普通高中新課程中的數(shù)學史

普通高中新課程中的數(shù)學史第1頁，共151頁，2023年，2月20日，星期五數(shù)學史專題教學設(shè)計數(shù)學史專題教學設(shè)計過程第2頁，共151頁，2023年，2月20日，星期五數(shù)學史專題教學設(shè)計可接受性：數(shù)學史專題的內(nèi)容應(yīng)符合學生的認知水平；實用性：數(shù)學史專題的教學應(yīng)與必修課相結(jié)合，或為必修課服務(wù)，或為必修課內(nèi)容之拓展和深入；科學性：數(shù)學史專題的教學內(nèi)容應(yīng)符合史實，教學設(shè)計應(yīng)符合課程標準及有關(guān)教學理論；可操作性：數(shù)學史專題的內(nèi)容應(yīng)為教師所易于接受，教學設(shè)計應(yīng)為教師所易于操作。第3頁，共151頁，2023年，2月20日，星期五案例1從多邊形數(shù)到棱錐數(shù)形數(shù)（figurednumbers）理論可以上溯到畢達哥拉斯（Pythagoras,569B.C.～500B.C.）本人。用一點（或一個小石子）代表1，兩點（或兩個小石子）代表2，三點（或三個小石子）代表3，等等，畢達哥拉斯學派在世界數(shù)學史上首次建立了數(shù)和形之間的聯(lián)系。早期畢達哥拉斯學派似乎已經(jīng)熟悉利用小石子或點來構(gòu)造三角形數(shù)和正方形數(shù)；晚期的畢達哥拉斯學派成員尼可麥丘（Nicomachus,60?～120?）以及稍后的泰恩（Theon,約2世紀上半葉）則討論了各種平面數(shù)（包括三角形數(shù)、正方形數(shù)、長方形數(shù)、五邊形數(shù)、六邊形數(shù)等等）和立體數(shù)（包括立方數(shù)、棱錐數(shù)等等）。第4頁，共151頁，2023年，2月20日，星期五案例1從多邊形數(shù)到棱錐數(shù)問題1（“歸納－猜想－論證”第1課時

）

依次計算數(shù)列1，1+2+1，1+2+3+2+1，1+2+3+4+3+2+1，…的前四項值，由此猜測的結(jié)果，并加以證明。第5頁，共151頁，2023年，2月20日，星期五案例1從多邊形數(shù)到棱錐數(shù)正方形數(shù)第6頁，共151頁，2023年，2月20日，星期五案例1從多邊形數(shù)到棱錐數(shù)古希臘數(shù)學家Iamblichus（公元4世紀）在研究Nicomachus《算術(shù)引論》一書時發(fā)現(xiàn)

=n2

Iamblichus或許正是從正方形數(shù)的構(gòu)造中發(fā)現(xiàn)上述結(jié)論的。第7頁，共151頁，2023年，2月20日，星期五案例1從多邊形數(shù)到棱錐數(shù)問題2（2006廣東數(shù)學高考題）在德國不萊梅舉行的第48屆世乒賽期間，某商場櫥窗里用同樣的乒乓球成若干堆“正三棱錐”形的展品，其中第一堆只有一層，就一個球，第2、3、4堆最底層（第一層）分別按圖所示方式固定擺放，從第二層開始，每層的小球自然壘放在下一層之上，第n

堆第n

層就放一個乒乓球，以f(n)表示第n

堆的乒乓球總數(shù)，則f(3)=______，f(n)=______。第8頁，共151頁，2023年，2月20日，星期五案例1從多邊形數(shù)到棱錐數(shù)后期畢達哥拉斯學派數(shù)學家尼可麥丘在《算術(shù)引論》中將多邊形數(shù)推廣到立體數(shù)。前四個三棱錐數(shù)為

11+31+3+61+3+6+10

第9頁，共151頁，2023年，2月20日，星期五案例1從多邊形數(shù)到棱錐數(shù)第n個三棱錐數(shù)為（Nicomachus,1世紀）第10頁，共151頁，2023年，2月20日，星期五案例1從多邊形數(shù)到棱錐數(shù)前四個四棱錐數(shù)為

11+41+4+91+4+9=16第n個四棱錐數(shù)為第11頁，共151頁，2023年，2月20日，星期五案例2等比數(shù)列求和公式萊因得紙草書（約公元前1650年）第12頁，共151頁，2023年，2月20日，星期五案例2等比數(shù)列求和公式萊因得紙草上的等比數(shù)列問題

第13頁，共151頁，2023年，2月20日，星期五案例2等比數(shù)列求和公式第14頁，共151頁，2023年，2月20日，星期五案例2等比數(shù)列求和公式歐幾里得《幾何原本》（公元前3世紀）第9卷命題35第15頁，共151頁，2023年，2月20日，星期五案例2等比數(shù)列求和公式第16頁，共151頁，2023年，2月20日，星期五案例3二次冪和公式巴比論：泥版數(shù)學文獻(約公元前3000年)

但我們無法判斷古代巴比倫人是否知道一般公式。第17頁，共151頁，2023年，2月20日，星期五案例3二次冪和公式阿基米德（Archimedes,前287-212）

《論劈錐曲面體與球體》命題2引理；

《論螺線》命題10第18頁，共151頁，2023年，2月20日，星期五案例3二次冪和公式阿基米德第19頁，共151頁，2023年，2月20日，星期五案例3二次冪和公式第20頁，共151頁，2023年，2月20日，星期五案例3二次冪和公式………第21頁，共151頁，2023年，2月20日，星期五案例3二次冪和公式第22頁，共151頁，2023年，2月20日，星期五案例3二次冪和公式…………第23頁，共151頁，2023年，2月20日，星期五案例3二次冪和公式第24頁，共151頁，2023年，2月20日，星期五案例3二次冪和公式第25頁，共151頁，2023年，2月20日，星期五案例3二次冪和公式第26頁，共151頁，2023年，2月20日，星期五案例3二次冪和公式第27頁，共151頁，2023年，2月20日，星期五案例3二次冪和公式阿基米德杠桿原理的啟示——物理視角下的二次冪和

Fehr（1963）：

“伏爾泰曾說過：如果沒有上帝，那就有必要創(chuàng)造一個出來。同樣，我們也可以斷言：在數(shù)學學習中，如果沒有該學科的物理應(yīng)用，那就有必要創(chuàng)造出一些來！”

第28頁，共151頁，2023年，2月20日，星期五案例3二次冪和公式阿基米德原理（尼加拉瓜，1971）第29頁，共151頁，2023年，2月20日，星期五案例3二次冪和公式第30頁，共151頁，2023年，2月20日，星期五案例3二次冪和公式第31頁，共151頁，2023年，2月20日，星期五案例3二次冪和公式阿爾·海賽姆（Al-Haitham,965～1039）：10-11世紀波斯數(shù)學家第32頁，共151頁，2023年，2月20日，星期五案例3二次冪和公式第33頁，共151頁，2023年，2月20日，星期五案例3二次冪和公式吉爾森（R.LeviBenGershon,1288-1344）《計算者之書》(MaasehHoshev)

第34頁，共151頁，2023年，2月20日，星期五案例3二次冪和公式邊長分別為1、2、3、…n的n個正方形面積之和即為二次冪和第35頁，共151頁，2023年，2月20日，星期五案例3二次冪和公式吉爾森公式的幾何圖示：擴縮法第36頁，共151頁，2023年，2月20日，星期五案例3二次冪和公式第37頁，共151頁，2023年，2月20日，星期五案例3二次冪和公式帕斯卡（B.Pascal,1623-1662）

第38頁，共151頁，2023年，2月20日，星期五案例3二次冪和公式分別令r=1，2，…，n，將個等式相加即得

第39頁，共151頁，2023年，2月20日，星期五案例3二次冪和公式三角形法第40頁，共151頁，2023年，2月20日，星期五案例3二次冪和公式第41頁，共151頁，2023年，2月20日，星期五案例3二次冪和公式第42頁，共151頁，2023年，2月20日，星期五案例3二次冪和公式第43頁，共151頁，2023年，2月20日，星期五案例3二次冪和公式體積法第44頁，共151頁，2023年，2月20日，星期五案例3二次冪和公式第45頁，共151頁，2023年，2月20日，星期五案例4球體積公式阿基米德第46頁，共151頁，2023年，2月20日，星期五案例4球體積公式第47頁，共151頁，2023年，2月20日，星期五案例4球體積公式

AH:AT=圓柱截面:（圓錐截面＋球截面）

(圓錐截面＋球截面)=圓柱截面

(圓錐AEF＋球)=圓柱EG，

第48頁，共151頁，2023年，2月20日，星期五案例4球體積公式球=4圓錐ABD

第49頁，共151頁，2023年，2月20日，星期五案例4球體積公式第50頁，共151頁，2023年，2月20日，星期五案例4球體積公式球外切圓柱之表面積第51頁，共151頁，2023年，2月20日，星期五案例4球體積公式第52頁，共151頁，2023年，2月20日，星期五案例4球體積公式劉徽（3世紀）與祖暅（5世紀）牟合方蓋第53頁，共151頁，2023年，2月20日，星期五案例4球體積公式中國傳統(tǒng)數(shù)學的代表人物——魏晉時期數(shù)學家劉徽第54頁，共151頁，2023年，2月20日，星期五案例4球體積公式利用3DSMAX軟件制作的牟合方蓋

第55頁，共151頁，2023年，2月20日，星期五案例4球體積公式

八分之一合蓋的截面

第56頁，共151頁，2023年，2月20日，星期五案例4球體積公式內(nèi)棋（八分之一合蓋）第57頁，共151頁，2023年，2月20日，星期五案例4球體積公式外棋（“立方之內(nèi)、合蓋之外”部分）

第58頁，共151頁，2023年，2月20日，星期五案例4球體積公式倒立的陽馬第59頁，共151頁，2023年，2月20日，星期五案例4球體積公式開普勒（J.Kepler，1571～1630）

《測量酒桶體積的新科學》（1615）將球體積看成是無窮多個小棱錐的體積之和，這些棱錐的頂點在球心，底在球面上，于是由棱錐體積公式可得球積公式

第60頁，共151頁，2023年，2月20日，星期五案例4球體積公式開普勒第61頁，共151頁，2023年，2月20日，星期五案例4球體積公式卡瓦列利（B.Cavalieri，1598～1647）《連續(xù)體不可分量的幾何學》

（1629）第62頁，共151頁，2023年，2月20日，星期五案例4球體積公式圓柱截面－圓錐截面＝半球截面

圓柱體積－圓錐體積＝半球體積

第63頁，共151頁，2023年，2月20日，星期五案例4球體積公式松永良弼（1690～1744）：《算法集成》

第64頁，共151頁，2023年，2月20日，星期五案例4球體積公式第65頁，共151頁，2023年，2月20日，星期五案例5割補法與出入相補原理問題1

如圖，正三角形ABC的邊長為2，AA1，BB1，CC1均垂直于平面ABC，，，，求幾何體的體積。第66頁，共151頁，2023年，2月20日，星期五案例5割補法與出入相補原理問題2

如圖，已知多面體ABC-DEFG中，AB、AC、AD兩兩垂直，平面ABC//平面DEFG，平面BEF//平面ADGC，AB=AD=DG=2，AC=EF=1，求該多面體的體積。

第67頁，共151頁，2023年，2月20日，星期五案例5割補法與出入相補原理第68頁，共151頁，2023年，2月20日，星期五案例5割補法與出入相補原理第69頁，共151頁，2023年，2月20日，星期五案例5割補法與出入相補原理第70頁，共151頁，2023年，2月20日，星期五案例5割補法與出入相補原理第71頁，共151頁，2023年，2月20日，星期五案例5割補法與出入相補原理第72頁，共151頁，2023年，2月20日，星期五案例5割補法與出入相補原理劉徽原理第73頁，共151頁，2023年，2月20日，星期五案例5割補法與出入相補原理第74頁，共151頁，2023年，2月20日，星期五案例5割補法與出入相補原理第75頁，共151頁，2023年，2月20日，星期五案例6費馬與笛卡兒研究的軌跡問題問題1（費馬《平面與立體軌跡引論》）動點P到兩定點M和N距離的平方和與三角形PMN的面積之比等于給定比，求點P的軌跡。

如圖3，設(shè)P為滿足已知條件的任一點，PZ為MN的垂線，Z為垂足。MN=a，MZ=x，ZP=y，則由已知條件得，其中k為常數(shù)。即第76頁，共151頁，2023年，2月20日，星期五案例6費馬與笛卡兒研究的軌跡問題即。其中k為常數(shù)。這就是Z沿MN運動時，變線段ZP的另一端點P所畫出的曲線的方程。

那么，這是什么曲線呢？

第77頁，共151頁，2023年，2月20日，星期五案例6費馬與笛卡兒研究的軌跡問題取MN的中點A，過A作MN的垂線段AB，使得4AB/a=k。以AB為直徑作半圓ACB，在其上取點C，使得AC=AN。以B為圓心、BC為半徑作圓，在該圓上任取一點P，則PM和PN的平方和與三角形PMN面積之比等于給定比。第78頁，共151頁，2023年，2月20日，星期五案例6費馬與笛卡兒研究的軌跡問題這里，費馬給出了方程所確定的軌跡的作圖法，該軌跡是一個圓。費馬的方法相當于將方程化成第79頁，共151頁，2023年，2月20日，星期五案例6費馬與笛卡兒研究的軌跡問題問題2（帕普斯三線問題之特殊情形）設(shè)給定3條直線AB、AD、EF，其中直線AB與EF互相平行

，AD垂直于AB，動點C到3條已知直線的距離CB、CD、CF滿足，求C點軌跡。

第80頁，共151頁，2023年，2月20日，星期五案例6費馬與笛卡兒研究的軌跡問題第81頁，共151頁，2023年，2月20日，星期五案例6費馬與笛卡兒研究的軌跡問題問題3（帕普斯四線問題之特殊情形）

設(shè)給定4條直線，其中AB和EF平行，AD和GH平行，且AB與AD垂直，動點C且到它們的距離為CB、CD、CF和CH，滿足CB·CF=CD·CH，求C點軌跡。

第82頁，共151頁，2023年，2月20日，星期五案例6費馬與笛卡兒研究的軌跡問題第83頁，共151頁，2023年，2月20日，星期五案例7歷史上的函數(shù)概念函數(shù)概念應(yīng)該成為中學數(shù)學的基石

——F.Klein（1849-1925）從伽利略到狄利克雷，數(shù)學家一直絞盡腦汁去理解函數(shù)的概念，但現(xiàn)在卻由定義域、值域和序偶（第一個數(shù)相同時第二個數(shù)也必須相同）來玩弄把戲。

——M.Kline（1958）

第84頁，共151頁，2023年，2月20日，星期五案例7歷史上的函數(shù)概念

20世紀50和60年代函數(shù)的形式化定義是一個大錯誤，我們可以將函數(shù)說成是法則、機器，但決不能把它說成是序偶的集合！

——Thorpe中學階段應(yīng)該教簡單易懂的函數(shù)概念。

——M.A.Malik（1980）第85頁，共151頁，2023年，2月20日，星期五案例7歷史上的函數(shù)概念較之函數(shù)的現(xiàn)代定義，[職前]教師對函數(shù)的理解要狹隘得多、原始得多。既然如此，我們還能期望他們按照現(xiàn)代課本上出現(xiàn)的函數(shù)的現(xiàn)代定義來教嗎？參與者對函數(shù)的不完善的理解是有問題的，這又會導致他們學生的函數(shù)定義與表象之間的不一致性，使學生的函數(shù)概念表象與18世紀的表象相類似……——R.Even

第86頁，共151頁，2023年，2月20日，星期五案例7歷史上的函數(shù)概念約翰·伯努利（1718）：一個變量的函數(shù)是由該變量和一些常數(shù)以任何方式組成的量。JohannBernoulli,1667-1748第87頁，共151頁，2023年，2月20日，星期五案例7歷史上的函數(shù)概念歐拉（1748）：一個變量的函數(shù)是由該變量和一些數(shù)或常量以任何方式組成的解析式。LeonhardEuler,1707-1783第88頁，共151頁，2023年，2月20日，星期五案例7歷史上的函數(shù)概念歐拉（1755）：

如果某些量依賴于另一些量，當后面這些量變化時，前面這些變量也隨之變化，則前面的量稱為后面的量的函數(shù)。LeonhardEuler,1707-1783第89頁，共151頁，2023年，2月20日，星期五案例7歷史上的函數(shù)概念孔多塞：

設(shè)有若干量x，y，z，…，

F，對于x，y，z，…的每一個確定的值，F(xiàn)有一個或多個確定的值與之對應(yīng)，則稱F為x，y，z，…的一個函數(shù)。A.N.C.Condorcet,1743-1794第90頁，共151頁，2023年，2月20日，星期五案例7歷史上的函數(shù)概念拉克洛瓦（S.F.Lacroix,1765-1843）（1797）：

任何一個量，如果它的值依賴于一個或多個其他的量，那么它就稱為這些量的函數(shù)，不管我們知不知道這種依賴關(guān)系是通過什么運算實現(xiàn)的。

第91頁，共151頁，2023年，2月20日，星期五案例7歷史上的函數(shù)概念拉格朗日（1797）：所謂一個或幾個量的函數(shù)，是指任意一個用于運算的表達式，這些量以任意方式出現(xiàn)于表達式中，表達式中可以有（也可以沒有）其它一些具有給定的不變值的量，而函數(shù)的量可以取所有可能的值。J.L.Lagrange,1736-1813第92頁，共151頁，2023年，2月20日，星期五案例7歷史上的函數(shù)概念傅立葉（1822）：函數(shù)f(x)代表一系列的值或縱坐標，它們中的每一個都是任意的。對于無限多個給定的橫坐標x的值，有同樣多個縱坐標

f(x)的值。所有的值要么為正數(shù)，要么為負數(shù)，要么是零。無需假設(shè)這些縱坐標滿足同一個法則；它們可以任何方式接續(xù)，每一個都好象是單個的量。

J.Fourier,1768-1830第93頁，共151頁，2023年，2月20日，星期五案例7歷史上的函數(shù)概念柯西《分析教程》（1821）：當變量之間這樣聯(lián)系起來，即給定了這些變量中的一個值，就可以決定所有其它變量的值的時候，人們通常想像這些量是用其中的一個來表達的，這時這個量就被稱為自變量；而用自變量表示的其它量就叫做該變量的函數(shù)。A.

L.Cauchy,1789-1857第94頁，共151頁，2023年，2月20日，星期五案例7歷史上的函數(shù)概念羅巴切夫斯基（1834）：

x的函數(shù)是這樣的一個數(shù)，它對于每個x都有確定的值，并且隨著x的變化而逐漸變化，函數(shù)值或者由解析式給出，或者由一個條件給出，這個條件提供了一種檢驗所有的數(shù)并選擇其中之一的方法，或者雖然依賴關(guān)系存在但可以是未知的。Lobachevsky,1792-1856第95頁，共151頁，2023年，2月20日，星期五案例7歷史上的函數(shù)概念狄里克雷（1837）設(shè)a、b是兩個確定的值，x是可取a、b之間一切值的變量。如果對于每一個x，有惟一有限的y值與它對應(yīng)，使得當x從a到b連續(xù)變化時，也逐漸變化，那么y就稱為該區(qū)間上

x的一個連續(xù)函數(shù)。在整個區(qū)間上，y無需按照同一種規(guī)律依賴于x，也無需單單考慮能用數(shù)學運算來表示的關(guān)系。L.Dirichlet,1805-1859第96頁，共151頁，2023年，2月20日，星期五案例7歷史上的函數(shù)概念斯托克斯（1847）函數(shù)是這樣一個量，它的值以任意方式依賴于構(gòu)成它的一個或幾個變量的值。因此，函數(shù)不必通過任何代數(shù)符號的組合來表達，甚至在變量的很近的界限之間也是如此。G.G.Stokes,1819-1903第97頁，共151頁，2023年，2月20日，星期五案例7歷史上的函數(shù)概念黎曼（1851）：假定z是一個變量，它可以逐次取所有可能的實數(shù)值。若對它的每一個值，都有不定量w的惟一的值與之相對應(yīng)，則稱w為z的函數(shù)。B.Riemann,1826-1866第98頁，共151頁，2023年，2月20日，星期五案例7歷史上的函數(shù)概念布爾(1854)：

任何包含符號x的代數(shù)式稱為x的函數(shù)，并用一般的簡記符號f(x)來表示。G.Boole,1815-1864第99頁，共151頁，2023年，2月20日，星期五案例7歷史上的函數(shù)概念漢克爾（1870）：

x的一個函數(shù)被稱為f(x)，如果對于某區(qū)間內(nèi)x的每一個值，f(x)都有的惟一確定的值與之相關(guān)聯(lián)。此外，f(x)是通過量的解析運算還是通過別的方式確定，根本無關(guān)緊要。f(x)的值只須處處惟一確定。H.Hankel,1839-1873第100頁，共151頁，2023年，2月20日，星期五案例7歷史上的函數(shù)概念戴德金(1887)：函數(shù)就是系統(tǒng)S的一個映射，對于S中每一個確定的元素s，按照法則，都有一個確定的對象與之相關(guān)聯(lián)，這個對象稱為s的象，以φ(s)將表示；也可以說，φ(s)是由s通過映射產(chǎn)生的，即s通過映射變換成φ(s)。R.Dedekind,1831-1916第101頁，共151頁，2023年，2月20日，星期五案例7歷史上的函數(shù)概念坦納里(1904）：考慮不同數(shù)的集合(X)，將這些數(shù)看成是x的取值，于是x就是一個變量。假設(shè)x的每一個值，即集合(X)的每一個元素，對應(yīng)于一個數(shù)，這個數(shù)可以看成是字母y的取值；我們說y是由該集合(X)所確定的x的函數(shù)：如果定義了對應(yīng)關(guān)系，就定義了該集合上的一個函數(shù)。y所取的不同值的集合(Y)是由同一個對應(yīng)關(guān)系確定的：我們說b是(Y)的一個元素，即(X)的一個元素a與數(shù)b對應(yīng)。(X)的每一個元素對應(yīng)于(Y)的一個元素；反之亦然；但在前面的定義中，并沒有排除(X)的幾個不同元素對應(yīng)于(Y)的同一個元素，換言之，(X)和Y)之間的對應(yīng)不一定是完全的。J.Tannery,1848-1910第102頁，共151頁，2023年，2月20日，星期五案例7歷史上的函數(shù)概念維布倫：若在變量y的集合與另一個變量x的集合之間有這樣的關(guān)系成立，即對x的每一個值，有完全確定的y值與之對應(yīng)，則稱變量y是變量x的函數(shù)。O.Veblen,1880-1960第103頁，共151頁，2023年，2月20日，星期五案例7歷史上的函數(shù)概念皮亞諾（1911）：函數(shù)是這樣一種關(guān)系u，對于任意的x，y和z，如果第二個元素相同的兩個序偶y；x和z；x滿足這個關(guān)系，那么必有y=x。G.Peano,1858-1932第104頁，共151頁，2023年，2月20日，星期五案例7歷史上的函數(shù)概念豪斯道夫（1914）：設(shè)P是序偶p=(a,b)組成的一個集合，對于每一個，稱b為a的象，在特殊情況下，每個a只有惟一的象b，則被此a決定且與a相關(guān)的元b稱為a的函數(shù)，記為。F.Hausdorff,1868-1942第105頁，共151頁，2023年，2月20日，星期五案例7歷史上的函數(shù)概念古爾薩（1923）：函數(shù)這個詞的現(xiàn)代定義是柯西和黎曼給出的。如果x的一個值與y

的一個值相對應(yīng)，那么我們就說y是x的一個函數(shù)。我們用方程y=f(x)來表示。E.Goursat,1858-1936第106頁，共151頁，2023年，2月20日，星期五案例7歷史上的函數(shù)概念布爾巴基學派《集合論》（1939）：

設(shè)E和F是兩個集合，它們可以不同，也可以相同。E中的一個變元x和F中的變元y之間的一個關(guān)系稱為一個函數(shù)關(guān)系，如果對每一個x∈E，都存在惟一的y∈F，它滿足與x的給定關(guān)系。我們將聯(lián)系每一個元素x∈E和元素y∈F的運算稱為函數(shù)；y稱為x處的函數(shù)值，函數(shù)是由給定的關(guān)系決定的。兩個等價的函數(shù)關(guān)系確定了同一個函數(shù)。第107頁，共151頁，2023年，2月20日，星期五案例7歷史上的函數(shù)概念布爾巴基學派《集合論》（1939）：

定義集合X與Y的積集X

Y如下：X

Y={(x,y)|xX,yY}。積集X

Y中的一子集R稱為X與Y的一個關(guān)系，若(x,y)R，則稱x與y有關(guān)系R，記為xRy，現(xiàn)設(shè)f是x與y的關(guān)系，即f包含于X

Y，如果(x,y)、(x,z)

f，必有y=ｚ，那么稱f為X到Y(jié)的函數(shù)。第108頁，共151頁，2023年，2月20日，星期五案例8曲線的切線歐幾里得《幾何原本》圓的切線：與圓相遇、但延長后不與圓相交的直線。第3卷命題16推論：“過圓的直徑的端點作和它成直角的直線與圓相切?！盓uclid（about325BC-about265BC）第109頁，共151頁，2023年，2月20日，星期五案例8曲線的切線阿波羅尼斯《圓錐曲線》

命題32稱：“從圓錐曲線頂點作直線與相應(yīng)縱坐標線平行，則該直線與圓錐曲線相切，且在圓錐曲線與該直線之間不能再插入另外的直線。”Apollonius（about262BC-about190BC）第110頁，共151頁，2023年，2月20日，星期五案例8曲線的切線命題33－34：圓錐曲線的切線作圖第111頁，共151頁，2023年，2月20日，星期五案例8曲線的切線第112頁，共151頁，2023年，2月20日，星期五案例8曲線的切線第113頁，共151頁，2023年，2月20日，星期五案例8曲線的切線第114頁，共151頁，2023年，2月20日，星期五案例8曲線的切線阿基米德《論螺線》Archimedes（287BC-212BC）第115頁，共151頁，2023年，2月20日，星期五案例8曲線的切線17世紀數(shù)學家遇到的三類問題一是光的反射問題。光的反射和折射在17世紀是一個十分盛行的研究課題，洛必達在其《無窮小分析》中列專章加以討論。早在公元1世紀，古希臘數(shù)學家海倫（Heron）就已經(jīng)證明了光的反射定律：光射向平面時，入射角等于反射角。海倫還將該定律推廣到圓弧的情形，此時，入射光與反射光與圓弧的切線所成角相等。那么，對于其他曲線，光又如何反射呢？這就需要確定曲線的切線。

第116頁，共151頁，2023年，2月20日，星期五案例8曲線的切線第117頁，共151頁，2023年，2月20日，星期五案例8曲線的切線二是曲線運動的速度問題。對于直線運動，速度方向與位移方向相同或相反，但如何確定曲線運動的速度方向呢？這就需要確定曲線的切線。三是曲線的交角問題。曲線的交角是一個古老的難題。自古希臘以來，人們對圓弧和直線構(gòu)成的角——牛頭角（圖10中AB弧與AC構(gòu)成的角）和弓形角（圖11中AB與ACB弧所構(gòu)成的角）即有過很多爭議。17世紀數(shù)學家遇到的更一般的問題是：如何求兩條相交曲線所構(gòu)成的角呢？這就需要確定曲線在交點處的切線。第118頁，共151頁，2023年，2月20日，星期五案例8曲線的切線笛卡兒：切線問題“是我所知道的、甚至也是我一直想要知道的最有用的、最一般的問題”。

第119頁，共151頁，2023年，2月20日，星期五案例8曲線的切線費馬的方法第120頁，共151頁，2023年，2月20日，星期五案例8曲線的切線笛卡兒的方法RenéDescartes（1596–1650）第121頁，共151頁，2023年，2月20日，星期五案例8曲線的切線洛必達《無窮小分析》曲線的切線是曲線的內(nèi)接“無窮邊形”一邊的延長線。G.L’Hospital（1661-1704）第122頁，共151頁，2023年，2月20日，星期五案例8曲線的切線第123頁，共151頁，2023年，2月20日，星期五案例9數(shù)學狂怪的作品汪聯(lián)松：《北平晨報》（1938）吳佑之：《科學月刊》（1946）楊嘉如：《大陸報》（1948）華羅庚：《科學通報》第三卷第六期（1951）《中國數(shù)學雜志》刊登啟事（1952年8月）《數(shù)學通報》再次刊登上述啟事（1953年1-2月）

《數(shù)學通報》第三次刊登啟事(1957年1月號)—“再告企圖用規(guī)尺三等分角的同志”第124頁，共151頁，2023年，2月20日，星期五案例9數(shù)學狂怪的作品1852年，德摩根受一位朋友的委托，審查了一位朋友的一個老鄉(xiāng)所給出的十分恐怖的三等分角作圖法，該作圖法相當于：若θ是一個已知角，則第125頁，共151頁，2023年，2月20日，星期五案例9數(shù)學狂怪的作品德摩根(A.DeMorgan,1806-1871)第126頁，共151頁，2023年，2月20日，星期五案例9數(shù)學狂怪的作品一位美國三等分角者如是說：“掌握科學知識的人類怎會如此愚蠢？任何一位科學家或數(shù)學家在他還未開始著手研究手頭的難題時就說它不可能，這只能說明他能力有限?！钡?27頁，共151頁，2023年，2月20日，星期五案例9數(shù)學狂怪的作品一位美國三等分者如是說：“我們發(fā)現(xiàn)當代的數(shù)學權(quán)威們并不試圖去解決這些疑難，卻去寫些闡述不可能證明它們的論文。不鼓勵這些難題的解法，反而打擊他們，還封他們?yōu)椤窆帧！泵绹鴶?shù)學家UnderwoodDudley80年代搜集狂怪們的研究“成果”，得三等分角作圖法共兩百余種！第128頁，共151頁，2023年，2月20日，星期五案例9數(shù)學狂怪的作品1951年，底特律一位82歲高齡的“五好牌”向各個州的一流大學、各家著名私人研究機構(gòu)，還有包括愛因斯坦在內(nèi)的數(shù)學家，總共一百多處，通報了他的作圖法！他收到了六十多份答復，其中最好的是愛因斯坦的：“我收到的信件太多了，盡管我非常想回復所有的信件，但我實在是沒有時間！”

第129頁，共151頁，2023年，2月20日，星期五案例9數(shù)學狂怪的作品錯誤的三等分角法之一（R.J.,1986）：作者聲稱：有50多位數(shù)學教授（其中許多為博士）評價了他的論文，并支持他的證明第130頁，共151頁，2023年，2月20日，星期五案例9數(shù)學狂怪的作品1973年，一位來自杜塞爾多夫的69歲的退休公務(wù)員，聲稱自己在整整40年里，花費12,000多小時，終于找到了這個作圖法第131頁，共151頁，2023年，2月20日，星期五案例9數(shù)學狂怪的作品令人眼花繚亂的三等分角作圖法

第132頁，共151頁，2023年，2月20日，星期五案例9數(shù)學狂怪的作品神秘的三等分角法（K.B.S.,1972）第133頁，共151頁，2023年，2月20日，星期五案例9數(shù)學狂怪的作品一位美國大學校長的三等分角作圖法（1933）第134頁，共151頁，2023年，2月20日，星期五案例10實無窮概念研究問題：高中生比較無窮集合時采用何種策略？是否具有歷史相似性？研究方法：測試與訪談被試：江蘇省某中學高二、高三兩個年級各一個班，共94人。他們只具有一些初步的集合和元素的知識，尚未接觸過無窮集合的知識，也不曾閱讀過有關(guān)康托爾集合論方面的書籍。第135頁，共151頁，2023年，2月20日，星期五案例10實無窮概念實無窮測試題1、正整數(shù)集{1，2，3，4，5，…}中的元素是否比平方數(shù)集

{1，4，9，16，25，…}中的元素多？

A、是B、否C、不知道

解釋你的答案。2、正整數(shù)集{1，2，3，4，5，…}中的元素是否比偶數(shù)集{2，4，6，8，10，…}中的元素多？

A、是B、否C、不知道

解釋你的答案。第136頁，共151頁，2023年，2月20日，星期五案例10實無窮概念3、觀察長度分別為4厘米和6厘米的線段AB和CD，若比較

AB和CD上的點，CD上的點是否比AB上的點更多？

A、是B、否C、不知道

解釋你的答案。

第137頁，共151頁，2023年，2月20日，星期五案例10實無窮概念

4、再觀察線段AB和CD，連接CA和DB，并延長，交于點O，設(shè)P是CD上任意一點，連接PO，交AB于P。CD上的點是否比AB上的點更多？

A、是；B、否；C、不知道

解釋你的答案。第138頁，共151頁，2023年，2月20日，星期五案例10實無窮概念5、設(shè)，，則集合A和

B是否具有同樣多的元素？

A、是;B、否;C、不知道

解釋你的答案。第139頁，共151頁，2023年，2月20日，星期五案例10實無窮概念

兩個集合A和B都滿足：

(1)A和B都是無窮集合；

(2)B是A的真子集；

(3)A和B的元素之間存在一一對應(yīng)關(guān)系。第140頁，共151頁，2023年，2月20日，星期五案例10實無窮概念情境題次集合A集合B算術(shù)1正整數(shù)集平方數(shù)集2正整數(shù)集偶數(shù)集幾何3線段CD線段AB4線段CD線段AB算術(shù)＋幾何5區(qū)間

[0,2]區(qū)間[0,1]第141頁，共151頁，2023年，2月20日，星期五案例10實無窮概念研究發(fā)現(xiàn)：學生比較無窮集合所用的策略

類型1集合A與集合B中的元素個數(shù)均為無窮，所以元素一樣多。

類型2集合A與集合B的元素都是無窮多，無法比較。

類型3集合B是集合A的真子集，集合A中的元素比集合B中的元素多。

類型4集合A與B之間存在一一對應(yīng)關(guān)系，兩個集合中的元素一樣多。第142頁，共151頁，2023年，2月20日，星期五案例10實無窮概念歷史相似性古希臘G.Galilei(1638)：Dialoguesconcerningtwonewsciences：兩條不相等的線段AB和CD上的點可以構(gòu)成一一對應(yīng)；正整數(shù)集和正整數(shù)平方所構(gòu)成的集合之間可以建立一一對應(yīng)關(guān)系。伽利略沒能解決部分與整體“相等”的矛盾。他認為無窮大量都是一樣的，不能比較大小，即不能將“大于”、“小于”和“等于”這樣的詞用于無窮大量。第143頁，共151頁，2023年，2月20日，星期五案例10實無窮概念19世紀，高斯（C.F.Gauss,1777-1855）、柯西（A.L.Cauchy,1789-1857）、魏爾斯特拉斯（K.Wie