一元一次方程的定義及解法

一元一次方程的定義及解法一.學(xué)習(xí)目標(biāo).了解方程和等式的概念；.理解方程的解和解方程的意義，并會(huì)檢驗(yàn)方程的解:.了解一元一次方程的概念，掌握等式的性質(zhì)：.熟練掌握一元一次方程的解法。二.重難點(diǎn)分析.一元一次方程的性質(zhì)及其應(yīng)用.解一元一次方程三.知識(shí)梳理方程的概念四.精講精練?一元一次方程的概念.方程的定義（1）定義：含有未知數(shù)的等式叫做方程。（2）第一種包含兩個(gè)要素：①必須是等式；②必須含有未知數(shù)：兩者缺一不可。.在理解方程的概念時(shí)，注意以下三點(diǎn)：（1）方程一定是等式，但等式不一定是方程；（2）方程中的未知數(shù)可以用x表示，也可以用其他字母表示；（3）方程中可含有多個(gè)未知數(shù)。.一元一次方程的定義（1）定義：只含有一個(gè)未知數(shù)，未知數(shù)的次數(shù)都是1，等號(hào)兩邊都是整式的方程叫做一元一次方程。（2）一元一次方程的條件：①等號(hào)兩邊都是整式；②是方程；③只含有一個(gè)未知數(shù)；④未知數(shù)的次數(shù)都是1（化簡(jiǎn)后）。例1.已知下列各式：①2x-5=l;：②8-7=1；③x+y;④3x+y=6：⑤5x+3y+4z=0：⑦x=0.其中方程的個(gè)數(shù)是（ ）A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)?【答案】B【解析】解：8-7=1不是方程，因?yàn)椴缓形粗獢?shù)；x+y不是方程，因?yàn)椴皇堑仁剑?x+y=6不是一元一次方程，是二元一次方程；5x+3y+4z=0不是一元一次方程，是三元一次方程2x-5=l;x=0都是方程，字母是未知數(shù)，式子又是等式；練習(xí)1.下列方程中，是一元一次方程的是（ ）1 1x-l=—+xA.x2-4x=3B.x=OC.x+2y=lD.v【解析】解：.x2-4x=3,未知數(shù)最高次數(shù)是二次，故不是一元一次方程；x=0,符合方程的定義，故是方程；x+2y=l,由于是二元一次方程，故不是一元一次方程；x-l=x,是分式，故不是一元一次方程.所以B是一元一次方程，小結(jié)本題考查了方程的定義.含有未知數(shù)的等式叫做方程.方程有兩個(gè)特征：（1）方程是等式（2）方程中必須含有字母（未知數(shù)）x-2=— ^=5x+]例2.已知下歹ij方程：①x；②0.3x=l；③2 ；(4)x2-4x=3；⑤x=6：⑥x+2y=0.其中一元一次方程的個(gè)數(shù)是( )A.2B.3C.4D.5【答案】Bx-2=—【解析】解：① K是分式方程，故①錯(cuò)誤；②0.3x=l,即0.3x-l=0,符合一元一次方程的定義.故②正確；③2 ,即9x+2=0,符合一元一次方程的定義.故③正確；④x2-4x=3的未知數(shù)的最高次數(shù)是2,它屬于一元二次方程.故④錯(cuò)誤；⑤x=6,即x-6=0,符合一元一次方程的定義.故⑤正確；⑥x+2y=0中含有2個(gè)未知數(shù)，屬于二元一次方程.故⑥錯(cuò)誤.綜上所述，一元一次方程的個(gè)數(shù)是3個(gè).小結(jié)本類題主要考查了一元一次方程的一般形式，只含有一個(gè)未知數(shù)，且未知數(shù)的指數(shù)是1,一次項(xiàng)系數(shù)不是0,這是這類題目考查的重點(diǎn).例3.如果方程(m-1)xH+2=0是表示關(guān)于x的一元一次方程，那么in的取值是.【答案】-1【解答】解：由一元一次方程的特點(diǎn)得解得m=-l.例4.己知關(guān)于x的方程(m+5)xE4+18=0是一元一次方程.試求：(1)in的值；(2)3(4m-1)-2(3m+2)的值.【解析】解：(1)依題意有|m|-4=1且m+5和，解之得m=5,(2)3(4m-1)-2(3m+2)=12m-3-6m-4=6m-7,當(dāng)m=5時(shí)，原式=6x5-7=23.例5.若x=l是方程3-m+x=6x的解，則關(guān)于y的方程m(y-3)-2=m(2y-5)的解是()nA.y=-10 B.y=3 C.y=|_I D.y=4【答案】B【解析】解：由題意得：3-m+x=6x,解得：m=-2,第3頁則，m(y-3)-2=m(2y-5)為-2(y-3)-2=-2(2y-5)解得:y=3練習(xí).己知m=-4是方程5x+2m=2的解，x的值為()A.2B.-2C.2或-2D.1【解答】解：回m=-4是方程5x+2m=2的解回解得，x=2,故選A.小結(jié)本題考查一元一次方程的定義，解題的關(guān)健會(huì)明確一元一次方程的定義.?方程的解.使方程中等號(hào)左右兩邊相等的未知數(shù)的值，就是這個(gè)方程的解。.求方程的解的過程叫做解方程。.方程的解與解方程間的關(guān)系：方程的解是一個(gè)數(shù)(或者說一個(gè)值)，而解方程有"動(dòng)''的意思，是一個(gè)解題過程；解方程的目的是求方程的解，方程的解是解方程的結(jié)果。.在理解方程解的概念時(shí)，注意以下幾點(diǎn)：(1)方程中的未知數(shù)不一定只有一個(gè)；(2)方程的解可能不止一個(gè)，也可能無解：(3)檢驗(yàn)方程的解，切不可將數(shù)值直接代入原方程，要將數(shù)值分別代入原方程的左右兩邊,分別計(jì)算。例3.若x=l是方程3-m+x=6x的解，則關(guān)于y的方程m(y-3)-2=m(2y-5)的解是()nA.y=-10 B.y=3 C.y=|_I D.y=4【答案】B【解析】解：由題意得：3-m+x=6x,解得：m=-2,則，m(y-3)-2=m(2y-5)為-2(y-3)-2=-2(2y-5)解得:y=3練習(xí).己知m=-4是方程5x+2m=2的解，x的值為()A.2B.-2C.2或-2D.1【解答】解：回m=-4是方程5x+2m=2的解回解得，x=2,故選A.小結(jié)本題考查一元一次方程的定義，解題的關(guān)健會(huì)明確一元一次方程的定義.例4、方程3-2(x-5)=9的解是()2A.x=-2 B.x=2C.x=3D.x=l【答案】B練習(xí).方程3x-2=3+2x的解是()A.2B.3C.4D.5【答案】D小結(jié)方程的解即為能使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值.3_例2.x=4是方程|k|(x+2)=3x的解，那么k=.9【答案】±11【解析】解：根據(jù)題意得：|k|(4+2)=3x49 9解得：|k|=ll,故填:±n.練習(xí)1.如果x=-2是方程：2x2-ax-b=3-2x的根，那么3-4a+2b=【答案】5【解析】解：將x=-2代入方程得：8+2a-b=3+4,即2a-b=-1,則3-4a+2b=3-2(2a-b)=3+2=5.練習(xí)2.若x=-2是方程2x-ax-b=3-2x的根，則-6a+3b+2的值為.35【答案】-2小結(jié)利用方程的解求出字母的值，再求代數(shù)式的值。?等式的性質(zhì).定義：用等號(hào)把兩個(gè)代數(shù)式連接而成的式子叫等式。.性質(zhì)：(1)等式的兩邊同時(shí)加或減同一個(gè)代數(shù)式，等式仍成立；(2)等式的兩邊同時(shí)乘或除同一個(gè)不為0式子，等式仍成立。例1.下列運(yùn)用等式的性質(zhì)，變形不正確的是( )A.若x=y,則x+5=y+5B.若a=b,則ac=bcxyabC.若x=y,則0=aD.若c=c(crO),則a=b【答案】C練習(xí).運(yùn)用等式性質(zhì)進(jìn)行的變形，正確的是( )A.如果a=b,則a+c=b-cB.如果標(biāo)=3。，那么a=3ab abC.如果a=b,則?=0d.如果c=c,則a=b【答案】D【解析】解：A、根據(jù)等式性質(zhì)1,兩邊都加c,得到a+c=b+c,故A不正確；B、因?yàn)楦鶕?jù)等式性質(zhì)2,a#0,所以不正確；C、因?yàn)閏必需不為0,所以不正確：D、根據(jù)等式性質(zhì)2,兩邊都乘以c,得到a=b,所以D成立：小結(jié)本題考查的是等式的性質(zhì)：TOC\o"1-5"\h\z例2.己知等式3a=2b+5,則下列等式中不一定成立的是( )A.3a-5=2bB.3a+l=2b+6C.3ac=2bc+5D.a=3 3【答案】C練習(xí).已知x=y,字母m可以取任意有理數(shù)，下列等式不一定成立的是( )A.x+m=y+mB.x-m=y-mC.xm=ymD.x+m=x-m【答案】D例3.學(xué)完等式的性質(zhì)以后，老師在黑板上寫出了一個(gè)方程3(x-2)=2(x-2),小明就在方程的兩邊除以(X-2)后得到了3=2,肯定不對(duì)，于是小明認(rèn)為(x-2)=0.【答案】0【解析】解：3(x-2)=2(x-2),有兩種情況：①當(dāng)X-2工0時(shí)，等式兩邊同時(shí)除以X-2,得：3=2,不符合題意，②當(dāng)x-2=0時(shí)，3(x-2)-2(x-2)=0,3x-6-2x+4=0,x-2=0,符合題意，故答案為：0.例4.用等式性質(zhì)解下列方程：4x-7=13 (2)3x+2=x+l.【解析】解：(1)4x-7=13移項(xiàng)得：4x=20,方程兩邊同時(shí)除以4得：x=5；13x+2=x+l移項(xiàng)得：3x-x=-2+l,合并同類項(xiàng)得：2x=-1,解得：x=-2.練習(xí).下列方程的變形是否正確？為什么？(1)由3+x=5,得x=5+3.7(2)由7x=-4,得x=4.(3)由2 ,得y=2.(4)由3=x-2,得x=-2-3.【解析】解：(1)由3+x=5,得x=5+3,變形不正確，回方程左邊減3,方程的右邊加3,回變形不正確；7(2)由7x=-4,得x=4,變形不正確，7回左邊除以7,右邊乘16,回變形不正確；(3)由2，得y=2,變形不正確，回左邊乘2,右邊加2,回變形不正確；(4)由3=x-2,得x=-2-3,變形不正確，回左邊加x減3,右邊減x減3,回變形不正確.練習(xí)2.用等式的性質(zhì)解方程：①-Ly=4 ②2x=5x-6.21解：①-2x=4,x=-8：②2x=5x-6,2x-5x=-6,-3x=-6,x=2.小結(jié)此題主要考查了等式的性質(zhì)，熟練利用等式的性質(zhì)得出是解題關(guān)鍵.?解一元一次方程L解一元一次方程的一般步驟：

（1）去分母；（2）去括號(hào)；（3）移項(xiàng)；（4）合并同類項(xiàng)；（5）系數(shù)化為1。這是解一元一次方程的一般步驟。2.注意事項(xiàng)：（1）系數(shù)化為1時(shí)，不能顛倒除數(shù)和被除數(shù)的位置（2）系數(shù)化為1時(shí)，注意除數(shù)和被除數(shù)的性質(zhì)符號(hào)（3）同類項(xiàng)的系數(shù)為負(fù)數(shù)時(shí)，不要出現(xiàn)符號(hào)錯(cuò)誤（4）若括號(hào)前有數(shù)字因數(shù)，去括號(hào)時(shí)數(shù)字因數(shù)不要漏乘括號(hào)內(nèi)的項(xiàng)（5）若括號(hào)前有負(fù)號(hào)，則去括號(hào)后原括號(hào)內(nèi)各項(xiàng)都要變號(hào)（6）去分母時(shí)，若分子是多項(xiàng)式，去掉分母時(shí)分子要加小括號(hào)（7）去分母的依據(jù)是等式的性質(zhì)2,而不是分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)，二者不能混淆（8）去分母時(shí)，不含分母的項(xiàng)也應(yīng)同乘各分母的最小公分母例1.方程2x-5=3x-9時(shí)，移項(xiàng)正確的是（）A.2x+3x=9+5 B.2x-3x=-9+5 C.2x-3x=9+5 D.2x-3x=9-5【答案】B練習(xí).由方程3x-5=2x-4變形得3x-2x=-4+5,那么這是根據(jù)（ ）變形的.A.合并同類項(xiàng)法則B.乘法分配律C.移項(xiàng)D.等式性質(zhì)2【答案】C小結(jié)本題只是考查移項(xiàng)，注意移項(xiàng)時(shí)一定要變號(hào)，題目比較簡(jiǎn)單.TOC\o"1-5"\h\z例2.方程8-5x=-12-x的解是（ ）A.x=lB.x=-IC.x=5D.x=-5【答案】D練習(xí)1.方程5（x-5）+2x=-33的解是（ ）1_A.x=4B?x=-4C,x=4d.x=4【答案】B練習(xí)2.方程7x-6=x的解是（ ）A.1B.-1C.2D.-2A.1B.-1C.2D.-2【答案】A小結(jié)解方程的過程就是一個(gè)方程變形的過程，變形的依據(jù)是等式的基本性質(zhì)，變形的目的是使方程接近x=a(a為常數(shù))的形式.例3.解方程：2(x-3)-(3x-1)=1【答案】x=-6練習(xí)1.解方程8y-3(3y+2)=6.【答案】y=-12練習(xí)2.解方程：2x-1=2(x+1)【答案】解得：x=-2.練習(xí)3.解方程：5x+l=3(x-1)+4.【答案】解得：x=0.小結(jié)注意：有括號(hào)的情況下，去括號(hào)時(shí)注意括號(hào)前面是“-〃，去掉括號(hào)括號(hào)中的符號(hào)變符號(hào)。例4.解方程：4一一6.【解析】解：去分母得：3(3x-l)-12=2(5x-7)去括號(hào)得:9x-3-12=10x-14移項(xiàng)得:9x-10x=-14+15合并得：-x=l系數(shù)化為1得：x=-l.xT] 0.lx-0.2 x+1練習(xí).解方程：(1)2-3 (2) 0.02 -0.5=3,【答案】解：(1)2 3 去分母得：3(x-1)=8x+6,去括號(hào)得：3x-3=8x+6移項(xiàng)得：3x-8x=6+3二曾合并同類項(xiàng)得：-5x=9 系數(shù)化為1得：“一石；0,lx-0?2 x+1(2) 0.02 -0.5=3.去分母得：5x-10-(2x+2)=3去括號(hào)得：5x-10-2x-2=3移項(xiàng)得：5x-2x=10+2+3合并同類項(xiàng)得：3x=15系數(shù)化為1得：x=5.小結(jié)去分母的依據(jù)是等式的性質(zhì)2,而不是分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)，二者不能混淆；（2）去分母時(shí)，不含分母的項(xiàng)也應(yīng)同乘各分母的最小公分母，容易漏乘常數(shù)項(xiàng)。TOC\o"1-5"\h\z例5.某同學(xué)解方程5x-1=dx+3時(shí)，把□處數(shù)字看錯(cuò)得x=-3,他把□處看成了（ ）A.3B.-9C.8D.-84【解析】解：把x=3代入5x-1=dx+3,20 4_得：-3-1=-3n+3,解得：口=8.1+Llx練習(xí)1.某書上有一道解方程的題：3+i=x,□處在印刷時(shí)被油墨蓋住了，查后面的答案知這個(gè)方程的解是x=-2,那么□處應(yīng)該是數(shù)字（ ）A.7B.5C.2D.-21+口- 1-2口【解答】解：把x=-2代入3+i=x得：3+1=-2,解這個(gè)方程得：口=5.故選B.小結(jié)本題求□的思路是根據(jù)某數(shù)是方程的解，則可把己知解代入方程的未知數(shù)中，使未知數(shù)轉(zhuǎn)化為已知數(shù)，從而建立起未知系數(shù)的方程，通過未知系數(shù)的方程求出未知數(shù)系數(shù)，這種解題方法叫做待定系數(shù)法，是數(shù)學(xué)中的一個(gè)重要方法，以后在函數(shù)的學(xué)習(xí)中將大量用到這種方法五.當(dāng)堂總結(jié).一元一次方程：①等號(hào)兩邊都是整式；②是方程：③只含有一個(gè)未知數(shù)；④未知數(shù)的次數(shù)都是1。.解一元一次方程的步驟：變形名稱具體做法變形依據(jù)注意事項(xiàng)去分母方程兩邊都乘各分母的最小公倍數(shù)等式性質(zhì)2不要漏乘不含分母的項(xiàng)去括號(hào)一般先去小括號(hào)，再去中括號(hào)，最后去大括號(hào)分配律注意括號(hào)前面是“一"時(shí)的去括號(hào)移項(xiàng)把含有未知數(shù)的項(xiàng)移到方程的一邊，不含未知數(shù)的項(xiàng)移到方程的另一邊等式的性質(zhì)1移項(xiàng)要變號(hào)第10頁合并同類項(xiàng)把方程化為辦=人（。*0）的形式逆用分配律系數(shù)相加，字母及字母的指數(shù)均不變系數(shù)化為1方程兩邊同時(shí)除以4,得方程的解為bx=—等式性質(zhì)2分子分母不要顛倒六.課后作業(yè)TOC\o"1-5"\h\z1 1 1 o1.在下列方程中①V+2x=l,②一—3x=9,?-x=0,④3-—=2—,⑤x 2 3 3— +g是一元一次方程的有（ ）個(gè).A.1B.2C.3D.4【答案】B.若（m2-1）x2-（m-1）x-8=0是關(guān)于x的一元一次方程，則m的值為（ ）A.-1B.1C.±1D.不能確定【答案】A【解析】解：由題意，得1或-1=0且m-l#）,解得m=-l,.方程（a-2）x*I+3=0是關(guān)于x的一元一次方程，則a=（ ）A.2B.-2C.±1D.±2【答案】B解：由題意，得|a|-l=l,且a-2#）,解得a=-2,.若方程2x-kx+l=5x-2的解為-1,則k的值為（ ）A.10B?-4C.-6D.-8【答案】C.己知x=-1是關(guān)于x的方程8x3-4x2+kx+9=O的一個(gè)解，求3k15k-95的值.【解析】解：解得：k=-3,當(dāng)k=-3時(shí)，3k2-15k-95=27+45-95=-23..運(yùn)用等式性質(zhì)進(jìn)行的變形，不正確的是（ ）A.如果a=b,那么a-c=b-cB.如果a=b,那么a+c=b+cC.如果a=b,那么ac=bcD.如果ac=bc,那么a=b【答案】D.若a=b,則在匚a-3=b-3；□3a=2b：□-4a=-3b；二3a-l=3b-1