中考數(shù)學復習指導：構(gòu)造直角巧解中考幾何題

中考數(shù)學復習指導：結(jié)構(gòu)直角巧解中考幾何題結(jié)構(gòu)直角巧解中考幾何題同學們我們剛才學過了圓的相關(guān)性質(zhì)，一定不會忘記“直徑所對的圓周角是直角”這一結(jié)論，在好多題目中，我們結(jié)構(gòu)這一直角能起到意想不到的效果，下面僅舉幾例，說明這個問題，以幫同學們總結(jié)。例1如圖，已知AB是半圓O的直徑，弦AD，BC相交于點P，若DPB，CD）C那么等于（DABＡ．sinＢ．cosPＣ．tanＤ．1BtanAO第1圖題析解：大家考慮CD與∠的三角函數(shù)怎樣聯(lián)系起來呢？經(jīng)過察看能夠發(fā)現(xiàn)△PCD∽AB△PAB，為什么呢？因為ACAC，根據(jù)同弧所對的圓周角相等，所以∠D=∠B。同理BDBD獲得∠C=∠A.于是由相像得CDPD，這時問題進行了轉(zhuǎn)變，PD與∠的ABPBPB三角函數(shù)有什么聯(lián)系呢？如果△PDB為直角三角形就好了。我們應當想到線段AB為直徑，它所對的圓周角為直角，于是我們連結(jié)BD,則∠DPA=90°.所以在Rt△DPB中，PDcos。于是CDPD=cos本題選B。PB=PB.AB說明：本題主要考察了同弧所對的圓周角相等，三角形相像的判斷，三角函數(shù)的定義，不難看出直徑所對的圓周角為直角在中間起到了至關(guān)重要的作用。例2.如圖，△ABC的三個極點都在O上，C30，CAB2cm，則O的半徑為cm．O析解：方法1.經(jīng)過察看我們不難想到連結(jié)OA，OB.

AB（第2題）1/3中考數(shù)學復習指導：結(jié)構(gòu)直角巧解中考幾何題因為C30根據(jù)一條弧所對的圓周角是它所對的圓心角的一半得∠AOB=60°，又OA=OB，所以△AOB為等邊三角形，于是OA=AB=2cm.方法2.求半徑那么我們?nèi)绻懒酥睆降拈L度半徑的長就迎刃而解了，連結(jié)AO并延伸交O于點M，連結(jié)MB。因為ABAB，根據(jù)同弧所對的圓周角相等。所以∠C=∠M=30°。又AM為O的直徑，所以∠ABM為直角。在Rt△ABM中，∠M=30°，所以1AB=AM。2即AM=2AB=4.所以O的半徑為2cm.說明：在方法2中我們巧妙的結(jié)構(gòu)了直徑所對的圓周角為直角，利用直角三角形中30°的角所對直角邊為斜邊的一半，求出了直徑，進而獲得半徑的長。例3．如圖3，AB是⊙O的直徑。OD⊥AB交AC于D，若∠A=30°，OD=20cm，求CD的長。析解：經(jīng)過察看剖析我們獲得如果連結(jié)BC，根據(jù)直徑所對的圓周角為直角,則∠ACB=90°，利用在Rt△AOD中∠A=30°，OD=20，所以AD=40，AO=AD2OD2402202203,所以AB=403，所以ACABcosA403360,2所以CDACAD604020cm.

于是我們想到CMOAB（第2題）ADOCB圖3說明：一般來說，若條件中有直徑，經(jīng)常增添協(xié)助線組成直徑所對的圓周角，以便利用直角三角形的性質(zhì)。例4.如圖4，已知C為半圓上一點，ACCE。過C點作直徑AB的垂線CP，P為垂足，弦AE分別交PC，CB于點D，F(xiàn).求證：AD=CD.2/3中考數(shù)學復習指導：結(jié)構(gòu)直角巧解中考幾何題CEDFABPO圖4析解：欲證AD=CD，只需證明它們所對邊相等即可。但AD和CD不在同一個三角形中，于是我們連結(jié)AC,由于ACCE根據(jù)等弧所對的圓周角相等得∠CAE=∠CEA.又ACAC，所以∠CEA=∠CBA，我們獲得∠CBA=∠CAE。又AB為⊙O的直徑，所以∠ACB=90°又CP⊥AB，得∠ACP+∠BCP=∠ABC+∠BCP=90°，根據(jù)等角的余角相等所以∠ABC=∠ACP。所以∠CAE=∠ACP.