面基本不等式經(jīng)典例題(含重點知識點和例題詳細解析)超詳細

精品學(xué)習(xí)資料基本不等式專題aa2 ab時取ab時取*ab2ab(2)若a,bR*，則ab2ab(當且僅當ab2ab223.若x0，則x13.若x0，則x1x若x0，則x12(當且僅當x1時取x“=”)若x0，則x12即12或1-2(當且僅當ab時取“=”)xxxxx4.若ab0，則ab2(當且僅當ab時取“=”)若ab0，則abbb2即ab2ab22abaa2aa (當且僅當ab時取“=”)(1)當兩個正數(shù)的積為定植時，可以求它們的和的最小值，(2)求最值的條件“一正，二定，三取等”(3)均值定理在求最值、比較大小、求變量的取值范圍、證明不等式、解決實際問題方面有應(yīng)用應(yīng)用一：求最值例：求下列函數(shù)的值域1 1 x112x22x2yxx∴值域為2x22x21x1x·x歡迎下載第1頁，共6歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精品學(xué)習(xí)資料1當x＜0時，y＝x＋=－(－x－)≤－2xx1x·x=－2∴值域為(－∞，－2]∪[2，+∞)項例已知x解：因4x55，求函數(shù)y4x21的最大值。544x50，所以首先要“調(diào)整”符號，又(4x2)不是常數(shù)，所以對4x24x55x,54x54當且僅當54x54x1254x24x554x53231技巧二：湊系數(shù)此題為兩個式子積的形式，但其和不是定值。注意到2x(82x)8為定值，故只需將yx(82x)湊上一個系數(shù)即可。當變式：設(shè)0，即x＝2時取等號當x＝2時，yx(82x)的最大值為8。3x，求函數(shù)y4x(32x)的最大值。2x3∴32x0∴y4x(32x)22x(32x)22x32x2222x343292技巧四：換元例：求yx27x10(x1)的值域。x1x歡迎下載第2頁，共6歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料解析一：本題看似無法運用均值不等式，不妨將分子配方湊出含有(x＋1)的項，再將其4當,即時,y2(x1)59(當且僅當x＝1時取“＝”號)。4x1xy當tt24tt4t4t559(當t=2即x＝1時取“＝”號)。技巧五：在應(yīng)用最值定理求最值時，若遇等號取不到的情況，結(jié)合函數(shù)例：求函數(shù)yxxxx2254f(x)xa的單x解：令x210,tytt4t(t1tyt25xx2x225xx2x4在區(qū)間1,單調(diào)遞增，所以在其子區(qū)間x1x24t1t525,2xx0,y0，且1，求xy的最小值。xy1且x9yxyx9xy9y922xyyxy12。min9y29等號成立條件是xy1x99y精品學(xué)習(xí)資料精品學(xué)習(xí)資料正解：x0,y0,191，xyxy19y9x1061016xyxyxyxyxyminxyxymin2例：已知x，y為正實數(shù)，且x2＋y2＝1，求x1＋y2的最大值.2分析：因條件和結(jié)論分別是二次和一次，故采用公式ab≤。2同時還應(yīng)化簡1＋y2中y2y1前面的系數(shù)為22·21x·2＋21下面將x，2＋21x·2＋2≤122y2＋2＝23＝4即x1＋y2＝212y2＋23≤41途徑進行。迎下載迎下載精品學(xué)習(xí)資料精品學(xué)習(xí)資料30－2b30－2b－2b2＋30b－2t2＋34t－31令t＝b+1，1＜t＜16，ab＝t)＋34∵t＋≥2tt·t11∴ab≤32，ab≤18，∴y≥點評：①本題考查不等式ab(點評：①本題考查不等式ab(a,bR)的應(yīng)用、不等式的解法及運算能力；②2ab與ab之間的關(guān)系，由此想到不等式為含ab的不等式，進而解ab的范ab2ab(a,bR)，這樣將已知條件轉(zhuǎn)換1522例:求函數(shù)y2x152x(x)22解析：注意到2x152x的和為定值。y2(2x152x)242(2x1)(52x)4(2x1)(52x)8又y0，所以0y222當且僅當2x1=52x，即x3時取等號。故ymax22。2應(yīng)用二：利用均值不等式證明不等式c111111abc分析：不等式右邊數(shù)字8，使我們聯(lián)想到左邊因式分別使用均值不等式可得三個“2”連乘，形入手。11ab形入手。aaaa歡迎下載歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精品學(xué)習(xí)資料1a11aabca2bca1。同理b12acb，1。上述三個不等式兩邊均為正，分別相乘，得121。上述三個不等式兩邊均為正，分別相乘，得cc11b11c12bc2ac2ababc13應(yīng)用三：均值不等式與恒成立問題xx例：已知x0,y0且y解：令xyk,x0,yyxyx