2022年江西省中考數(shù)學(xué)試卷解析版

2022年江西省中考數(shù)學(xué)試卷一、單項(xiàng)選擇題（本大題共6小題，每小題3分，共18分）1．（3分）下列各數(shù)中，負(fù)數(shù)是（）A．﹣1 B．0 C．2 D．2．（3分）實(shí)數(shù)a，b在數(shù)軸上的對應(yīng)點(diǎn)的位置如圖所示，則下列結(jié)論中，正確的是（）A．a(chǎn)＞b B．a(chǎn)＝b C．a(chǎn)＜b D．a(chǎn)＝﹣b3．（3分）下列計(jì)算正確的是（）A．m2?m3＝m6 B．﹣（m﹣n）＝﹣m+n C．m（m+n）＝m2+n D．（m+n）2＝m2+n24．（3分）將字母“C”，“H”按照如圖所示的規(guī)律擺放，依次下去，則第4個(gè)圖形中字母“H”的個(gè)數(shù)是（）A．9 B．10 C．11 D．125．（3分）如圖是四個(gè)完全相同的小正方體搭成的幾何體，它的俯視圖為（）A． B． C． D．6．（3分）甲、乙兩種物質(zhì)的溶解度y（g）與溫度t（℃）之間的對應(yīng)關(guān)系如圖所示，則下列說法中，錯(cuò)誤的是（）A．甲、乙兩種物質(zhì)的溶解度均隨著溫度的升高而增大 B．當(dāng)溫度升高至t2℃時(shí)，甲的溶解度比乙的溶解度大 C．當(dāng)溫度為0℃時(shí)，甲、乙的溶解度都小于20g D．當(dāng)溫度為30℃時(shí)，甲、乙的溶解度相等二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共18分）7．（3分）因式分解：a2﹣3a＝．8．（3分）正五邊形的外角和為度．9．（3分）關(guān)于x的方程x2+2x+k＝0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則k的值為．10．（3分）甲、乙兩人在社區(qū)進(jìn)行核酸采樣，甲每小時(shí)比乙每小時(shí)多采樣10人，甲采樣160人所用時(shí)間與乙采樣140人所用時(shí)間相等，甲、乙兩人每小時(shí)分別采樣多少人？設(shè)甲每小時(shí)采樣x人，則可列分式方程為．11．（3分）沐沐用七巧板拼了一個(gè)對角線長為2的正方形，再用這副七巧板拼成一個(gè)長方形（如圖所示），則長方形的對角線長為．12．（3分）已知點(diǎn)A在反比例函數(shù)y＝（x＞0）的圖象上，點(diǎn)B在x軸正半軸上，若△OAB為等腰三角形，且腰長為5，則AB的長為．三、解答題（本大題共5小題，每小題6分，共30分）13．（6分）（1）計(jì)算：|﹣2|+﹣20；（2）解不等式組：．14．（6分）以下是某同學(xué)化簡分式（﹣）÷的部分運(yùn)算過程：解：原式＝[﹣]×①＝[﹣]×②＝×③…解：（1）上面的運(yùn)算過程中第步出現(xiàn)了錯(cuò)誤；（2）請你寫出完整的解答過程．15．（6分）某醫(yī)院計(jì)劃選派護(hù)士支援某地的防疫工作，甲、乙、丙、丁4名護(hù)士積極報(bào)名參加，其中甲是共青團(tuán)員，其余3人均是共產(chǎn)黨員．醫(yī)院決定用隨機(jī)抽取的方式確定人選．（1）“隨機(jī)抽取1人，甲恰好被抽中”是事件；A．不可能B．必然C．隨機(jī)（2）若需從這4名護(hù)士中隨機(jī)抽取2人，請用畫樹狀圖法或列表法求出被抽到的兩名護(hù)士都是共產(chǎn)黨員的概率．16．（6分）如圖是4×4的正方形網(wǎng)格，請僅用無刻度的直尺按要求完成以下作圖（保留作圖痕跡）．（1）在圖1中作∠ABC的角平分線；（2）在圖2中過點(diǎn)C作一條直線l，使點(diǎn)A，B到直線l的距離相等．17．（6分）如圖，四邊形ABCD為菱形，點(diǎn)E在AC的延長線上，∠ACD＝∠ABE．（1）求證：△ABC∽△AEB；（2）當(dāng)AB＝6，AC＝4時(shí)，求AE的長．四、解答題（本大題共3小題，每小題8分，共24分）18．（8分）如圖，點(diǎn)A（m，4）在反比例函數(shù)y＝（x＞0）的圖象上，點(diǎn)B在y軸上，OB＝2，將線段AB向右下方平移，得到線段CD，此時(shí)點(diǎn)C落在反比例函數(shù)的圖象上，點(diǎn)D落在x軸正半軸上，且OD＝1．（1）點(diǎn)B的坐標(biāo)為，點(diǎn)D的坐標(biāo)為，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（用含m的式子表示）；（2）求k的值和直線AC的表達(dá)式．19．（8分）課本再現(xiàn)（1）在⊙O中，∠AOB是所對的圓心角，∠C是所對的圓周角，我們在數(shù)學(xué)課上探索兩者之間的關(guān)系時(shí)，要根據(jù)圓心O與∠C的位置關(guān)系進(jìn)行分類．圖1是其中一種情況，請你在圖2和圖3中畫出其它兩種情況的圖形，并從三種位置關(guān)系中任選一種情況證明∠C＝∠AOB；知識(shí)應(yīng)用（2）如圖4，若⊙O的半徑為2，PA，PB分別與⊙O相切于點(diǎn)A，B，∠C＝60°，求PA的長．20．（8分）圖1是某長征主題公園的雕塑，將其抽象成如圖2所示的示意圖，已知AB∥CD∥FG，A，D，H，G四點(diǎn)在同一直線上，測得∠FEC＝∠A＝72.9°，AD＝1.6m，EF＝6.2m．（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位）（1）求證：四邊形DEFG為平行四邊形；（2）求雕塑的高（即點(diǎn)G到AB的距離）．（參考數(shù)據(jù)：sin72.9°≈0.96，cos72.9°≈0.29，tan72.9°≈3.25）五、解答題（本大題共2小題，每小題9分，共18分）21．（9分）在“雙減”政策實(shí)施兩個(gè)月后，某市“雙減辦”面向本市城區(qū)學(xué)生，就“‘雙減’前后參加校外學(xué)科補(bǔ)習(xí)班的情況”進(jìn)行了一次隨機(jī)問卷調(diào)查（以下將“參加校外學(xué)科補(bǔ)習(xí)班”簡稱“報(bào)班”），根據(jù)問卷提交時(shí)間的不同，把收集到的數(shù)據(jù)分兩組進(jìn)行整理，分別得到統(tǒng)計(jì)表1和統(tǒng)計(jì)圖1：整理描述表1：“雙減”前后報(bào)班情況統(tǒng)計(jì)表（第一組）報(bào)班數(shù)人數(shù)類別01234及以上合計(jì)“雙減”前10248755124m“雙減”后2551524n0m（1）根據(jù)表1，m的值為，的值為；分析處理（2）請你匯總表1和圖1中的數(shù)據(jù)，求出“雙減”后報(bào)班數(shù)為3的學(xué)生人數(shù)所占的百分比；（3）“雙減辦”匯總數(shù)據(jù)后，制作了“雙減”前后報(bào)班情況的折線統(tǒng)計(jì)圖（如圖2）．請依據(jù)以上圖表中的信息回答以下問題：①本次調(diào)查中，“雙減”前學(xué)生報(bào)班個(gè)數(shù)的中位數(shù)為，“雙減”后學(xué)生報(bào)班個(gè)數(shù)的眾數(shù)為；②請對該市城區(qū)學(xué)生“雙減”前后報(bào)班個(gè)數(shù)變化情況作出對比分析（用一句話來概括）．22．（9分）跳臺(tái)滑雪運(yùn)動(dòng)可分為助滑、起跳、飛行和落地四個(gè)階段，運(yùn)動(dòng)員起跳后飛行的路線是拋物線的一部分（如圖中實(shí)線部分所示），落地點(diǎn)在著陸坡（如圖中虛線部分所示）上，著陸坡上的基準(zhǔn)點(diǎn)K為飛行距離計(jì)分的參照點(diǎn)，落地點(diǎn)超過K點(diǎn)越遠(yuǎn)，飛行距離分越高．2022年北京冬奧會(huì)跳臺(tái)滑雪標(biāo)準(zhǔn)臺(tái)的起跳臺(tái)的高度OA為66m，基準(zhǔn)點(diǎn)K到起跳臺(tái)的水平距離為75m，高度為hm（h為定值）．設(shè)運(yùn)動(dòng)員從起跳點(diǎn)A起跳后的高度y（m）與水平距離x（m）之間的函數(shù)關(guān)系為y＝ax2+bx+c（a≠0）．（1）c的值為；（2）①若運(yùn)動(dòng)員落地點(diǎn)恰好到達(dá)K點(diǎn)，且此時(shí)a＝﹣，b＝，求基準(zhǔn)點(diǎn)K的高度h；②若a＝﹣時(shí)，運(yùn)動(dòng)員落地點(diǎn)要超過K點(diǎn)，則b的取值范圍為；（3）若運(yùn)動(dòng)員飛行的水平距離為25m時(shí)，恰好達(dá)到最大高度76m，試判斷他的落地點(diǎn)能否超過K點(diǎn)，并說明理由．六、解答題（本大題共12分）23．（12分）綜合與實(shí)踐問題提出某興趣小組在一次綜合與實(shí)踐活動(dòng)中提出這樣一個(gè)問題：將足夠大的直角三角板PEF（∠P＝90°，∠F＝60°）的一個(gè)頂點(diǎn)放在正方形中心O處，并繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，探究直角三角板PEF與正方形ABCD重疊部分的面積變化情況（已知正方形邊長為2）．操作發(fā)現(xiàn)（1）如圖1，若將三角板的頂點(diǎn)P放在點(diǎn)O處，在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)OF與OB重合時(shí)，重疊部分的面積為；當(dāng)OF與BC垂直時(shí)，重疊部分的面積為；一般地，若正方形面積為S，在旋轉(zhuǎn)過程中，重疊部分的面積S1與S的關(guān)系為；類比探究（2）若將三角板的頂點(diǎn)F放在點(diǎn)O處，在旋轉(zhuǎn)過程中，OE，OP分別與正方形的邊相交于點(diǎn)M，N．①如圖2，當(dāng)BM＝CN時(shí)，試判斷重疊部分△OMN的形狀，并說明理由；②如圖3，當(dāng)CM＝CN時(shí)，求重疊部分四邊形OMCN的面積（結(jié)果保留根號）；拓展應(yīng)用（3）若將任意一個(gè)銳角的頂點(diǎn)放在正方形中心O處，該銳角記為∠GOH（設(shè)∠GOH＝α），將∠GOH繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)過程中，∠GOH的兩邊與正方形ABCD的邊所圍成的圖形的面積為S2，請直接寫出S2的最小值與最大值（分別用含α的式子表示）．（參考數(shù)據(jù)：sin15°＝，cos15°＝，tan15°＝2﹣）

2022年江西省中考數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、單項(xiàng)選擇題（本大題共6小題，每小題3分，共18分）1．（3分）下列各數(shù)中，負(fù)數(shù)是（）A．﹣1 B．0 C．2 D．【分析】根據(jù)負(fù)數(shù)的定義即可得出答案．【解答】解：﹣1是負(fù)數(shù)，2，是正數(shù)，0既不是正數(shù)也不是負(fù)數(shù)，故選：A．【點(diǎn)評】本題考查了實(shí)數(shù)，掌握在正數(shù)前面添加“﹣”得到負(fù)數(shù)是解題的關(guān)鍵．2．（3分）實(shí)數(shù)a，b在數(shù)軸上的對應(yīng)點(diǎn)的位置如圖所示，則下列結(jié)論中，正確的是（）A．a(chǎn)＞b B．a(chǎn)＝b C．a(chǎn)＜b D．a(chǎn)＝﹣b【分析】根據(jù)數(shù)軸上右邊的數(shù)總比左邊的大即可得出答案．【解答】解：根據(jù)數(shù)軸得：a＜b，|a|＞|b|，故C選項(xiàng)符合題意，A，B，D選項(xiàng)不符合題意；故選：C．【點(diǎn)評】本題考查了實(shí)數(shù)與數(shù)軸，掌握數(shù)軸上右邊的數(shù)總比左邊的大是解題的關(guān)鍵．3．（3分）下列計(jì)算正確的是（）A．m2?m3＝m6 B．﹣（m﹣n）＝﹣m+n C．m（m+n）＝m2+n D．（m+n）2＝m2+n2【分析】根據(jù)同底數(shù)冪的乘法判斷A選項(xiàng)；根據(jù)去括號法則判斷B選項(xiàng)；根據(jù)單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式判斷C選項(xiàng)；根據(jù)完全平方公式判斷D選項(xiàng)．【解答】解：A選項(xiàng)，原式＝m5，故該選項(xiàng)不符合題意；B選項(xiàng)，原式＝﹣m+n，故該選項(xiàng)符合題意；C選項(xiàng)，原式＝m2+mn，故該選項(xiàng)不符合題意；D選項(xiàng)，原式＝m2+2mn+n2，故該選項(xiàng)不符合題意；故選：B．【點(diǎn)評】本題考查了整式的混合運(yùn)算，掌握（a+b）2＝a2+2ab+b2是解題的關(guān)鍵．4．（3分）將字母“C”，“H”按照如圖所示的規(guī)律擺放，依次下去，則第4個(gè)圖形中字母“H”的個(gè)數(shù)是（）A．9 B．10 C．11 D．12【分析】列舉每個(gè)圖形中H的個(gè)數(shù)，找到規(guī)律即可得出答案．【解答】解：第1個(gè)圖中H的個(gè)數(shù)為4，第2個(gè)圖中H的個(gè)數(shù)為4+2，第3個(gè)圖中H的個(gè)數(shù)為4+2×2，第4個(gè)圖中H的個(gè)數(shù)為4+2×3＝10，故選：B．【點(diǎn)評】本題考查了規(guī)律型：圖形的變化類，通過列舉每個(gè)圖形中H的個(gè)數(shù)，找到規(guī)律：每個(gè)圖形比上一個(gè)圖形多2個(gè)H是解題的關(guān)鍵．5．（3分）如圖是四個(gè)完全相同的小正方體搭成的幾何體，它的俯視圖為（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)從上邊看得到的圖形是俯視圖，可得答案．【解答】解：如圖，它的俯視圖為：故選：A．【點(diǎn)評】本題考查了簡單幾何體的三視圖，從上邊看上邊看得到的圖形是俯視圖．注意看得見的棱畫實(shí)線，看不見的棱畫虛線．6．（3分）甲、乙兩種物質(zhì)的溶解度y（g）與溫度t（℃）之間的對應(yīng)關(guān)系如圖所示，則下列說法中，錯(cuò)誤的是（）A．甲、乙兩種物質(zhì)的溶解度均隨著溫度的升高而增大 B．當(dāng)溫度升高至t2℃時(shí)，甲的溶解度比乙的溶解度大 C．當(dāng)溫度為0℃時(shí)，甲、乙的溶解度都小于20g D．當(dāng)溫度為30℃時(shí)，甲、乙的溶解度相等【分析】利用函數(shù)圖象的意義可得答案．【解答】解：由圖象可知，A、B、C都正確，當(dāng)溫度為t1時(shí)，甲、乙的溶解度都為30g，故D錯(cuò)誤，故選：D．【點(diǎn)評】本題主要考查了函數(shù)的圖象，熟練掌握橫縱坐標(biāo)表示的意義是解題的關(guān)鍵．二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共18分）7．（3分）因式分解：a2﹣3a＝a（a﹣3）．【分析】直接把公因式a提出來即可．【解答】解：a2﹣3a＝a（a﹣3）．故答案為：a（a﹣3）．【點(diǎn)評】本題主要考查提公因式法分解因式，準(zhǔn)確找出公因式是a是解題的關(guān)鍵．8．（3分）正五邊形的外角和為360度．【分析】根據(jù)多邊形外角和等于360°即可解決問題．【解答】解：正五邊形的外角和為360度，故答案為：360．【點(diǎn)評】本題考查了多邊形內(nèi)角與外角，解決本題的關(guān)鍵是掌握多邊形外角和等于360°．9．（3分）關(guān)于x的方程x2+2x+k＝0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則k的值為1．【分析】根據(jù)根的判別式Δ＝0，即可得出關(guān)于k的一元一次方程，解之即可得出k值．【解答】解：∵關(guān)于x的方程x2+2x+k＝0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，∴Δ＝22﹣4×1×k＝0，解得：k＝1．故答案為：1．【點(diǎn)評】本題考查了根的判別式，牢記“當(dāng)Δ＝0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根”是解題的關(guān)鍵．10．（3分）甲、乙兩人在社區(qū)進(jìn)行核酸采樣，甲每小時(shí)比乙每小時(shí)多采樣10人，甲采樣160人所用時(shí)間與乙采樣140人所用時(shí)間相等，甲、乙兩人每小時(shí)分別采樣多少人？設(shè)甲每小時(shí)采樣x人，則可列分式方程為＝．【分析】由實(shí)際問題找到合適的等量關(guān)系即可抽象出分式方程．【解答】解：設(shè)甲每小時(shí)采樣x人，則乙每小時(shí)采樣（x﹣10）人，根據(jù)題意得：＝．故答案為：＝．【點(diǎn)評】本題考查由實(shí)際問題抽象出分式方程，分析題意，找到關(guān)鍵描述語，找到合適的等量關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵．11．（3分）沐沐用七巧板拼了一個(gè)對角線長為2的正方形，再用這副七巧板拼成一個(gè)長方形（如圖所示），則長方形的對角線長為．【分析】根據(jù)圖形可得長方形的長是正方形的對角線為2，長方形的寬是正方形對角線的一半為1，然后利用勾股定理即可解決問題．【解答】解：根據(jù)圖形可知：長方形的長是正方形的對角線為2，長方形的寬是正方形對角線的一半為1，則長方形的對角線長＝＝．故答案為：．【點(diǎn)評】本題考查了正方形的性質(zhì)，七巧板，矩形的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是掌握正方形的性質(zhì)．12．（3分）已知點(diǎn)A在反比例函數(shù)y＝（x＞0）的圖象上，點(diǎn)B在x軸正半軸上，若△OAB為等腰三角形，且腰長為5，則AB的長為5或2或．【分析】因?yàn)榈妊切蔚难淮_定，所以分三種情況分別計(jì)算即可．【解答】解：當(dāng)AO＝AB時(shí)，AB＝5；當(dāng)AB＝BO時(shí)，AB＝5；當(dāng)OA＝OB時(shí)，設(shè)A（a，）（a＞0），B（5，0），∵OA＝5，∴＝5，解得：a1＝3，a2＝4，∴A（3，4）或（4，3），∴AB＝＝2或AB＝＝；綜上所述，AB的長為5或2或．故答案為：5或2或．【點(diǎn)評】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，考查分類討論的思想，當(dāng)OA＝OB時(shí)，求出點(diǎn)A的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．三、解答題（本大題共5小題，每小題6分，共30分）13．（6分）（1）計(jì)算：|﹣2|+﹣20；（2）解不等式組：．【分析】（1）根據(jù)絕對值的性質(zhì)，算術(shù)平方根的意義，零指數(shù)冪的意義解答即可；（2）分別求出每一個(gè)不等式的解集，根據(jù)口訣：同大取大、同小取小、大小小大中間找、大大小小找不到確定不等式組的解集．【解答】解：（1）原式＝2+2﹣1，＝3．（2）解不等式①得：x＜3，解不等式②得：x＞1，∴不等式組的解集為：1＜x＜3．【點(diǎn)評】本題考查的是實(shí)數(shù)的運(yùn)算和解一元一次不等式組，正確求出每一個(gè)不等式解集是基礎(chǔ)，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中間找；大大小小找不到”的原則是解答此題的關(guān)鍵．14．（6分）以下是某同學(xué)化簡分式（﹣）÷的部分運(yùn)算過程：解：原式＝[﹣]×①＝[﹣]×②＝×③…解：（1）上面的運(yùn)算過程中第③步出現(xiàn)了錯(cuò)誤；（2）請你寫出完整的解答過程．【分析】根據(jù)分式的運(yùn)算法則：先乘方，再加減，最后乘除，有括號先算括號里面的計(jì)算即可．【解答】解：（1）第③步出現(xiàn)錯(cuò)誤，原因是分子相減時(shí)未變號，故答案為：③；（2）原式＝[﹣]×，＝[﹣]×，＝×，＝×，＝．故答案為：．【點(diǎn)評】本題主要考查了分式的混合運(yùn)算，熟練掌握分式的運(yùn)算法則是解決本題的關(guān)鍵．15．（6分）某醫(yī)院計(jì)劃選派護(hù)士支援某地的防疫工作，甲、乙、丙、丁4名護(hù)士積極報(bào)名參加，其中甲是共青團(tuán)員，其余3人均是共產(chǎn)黨員．醫(yī)院決定用隨機(jī)抽取的方式確定人選．（1）“隨機(jī)抽取1人，甲恰好被抽中”是C事件；A．不可能B．必然C．隨機(jī)（2）若需從這4名護(hù)士中隨機(jī)抽取2人，請用畫樹狀圖法或列表法求出被抽到的兩名護(hù)士都是共產(chǎn)黨員的概率．【分析】（1）根據(jù)隨機(jī)事件的定義即可解決問題；（2）從甲、乙、丙、丁4名護(hù)士積極報(bào)名參加，設(shè)甲是共青團(tuán)員用T表示，其余3人均是共產(chǎn)黨員用G表示．從這4名護(hù)士中隨機(jī)抽取2人，所有可能出現(xiàn)的結(jié)果共有12種，然后利用樹狀圖即可解決問題．【解答】解：（1）隨機(jī)抽取1人，甲恰好被抽中”是隨機(jī)事件；故答案為：C；（2）從甲、乙、丙、丁4名護(hù)士積極報(bào)名參加，設(shè)甲是共青團(tuán)員用T表示，其余3人均是共產(chǎn)黨員用G表示．從這4名護(hù)士中隨機(jī)抽取2人，所有可能出現(xiàn)的結(jié)果共有12種，如圖所示：它們出現(xiàn)的可能性相同，所有的結(jié)果中，被抽到的兩名護(hù)士都是共產(chǎn)黨員的（記為事件A）的結(jié)果有6種，則P（A）＝＝，【點(diǎn)評】本題考查的是用列表法或畫樹狀圖法求概率，隨機(jī)事件．解決本題的關(guān)鍵是掌握列表法或畫樹狀圖法可以不重復(fù)不遺漏的列出所有可能的結(jié)果，適合于兩步完成的事件．用到的知識(shí)點(diǎn)為：概率＝所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．16．（6分）如圖是4×4的正方形網(wǎng)格，請僅用無刻度的直尺按要求完成以下作圖（保留作圖痕跡）．（1）在圖1中作∠ABC的角平分線；（2）在圖2中過點(diǎn)C作一條直線l，使點(diǎn)A，B到直線l的距離相等．【分析】（1）連接AC，取AC的中點(diǎn)P，作射線BP即可；（2）利用是相結(jié)合的射線畫出圖形即可．【解答】解：（1）如圖1中，射線BP即為所求；（2）如圖2中，直線l即為所求．【點(diǎn)評】本題考查作圖﹣應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖，角平分線的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題．17．（6分）如圖，四邊形ABCD為菱形，點(diǎn)E在AC的延長線上，∠ACD＝∠ABE．（1）求證：△ABC∽△AEB；（2）當(dāng)AB＝6，AC＝4時(shí)，求AE的長．【分析】（1）根據(jù)兩角相等可得兩三角形相似；（2）根據(jù)（1）中的相似列比例式可得結(jié)論．【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD為菱形，∴∠ACD＝∠BCA，∵∠ACD＝∠ABE，∴∠BCA＝∠ABE，∵∠BAC＝∠EAB，∴△ABC∽△AEB；（2）解：∵△ABC∽△AEB，∴＝，∵AB＝6，AC＝4，∴＝，∴AE＝＝9．【點(diǎn)評】本題考查了菱形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，掌握相似三角形的性質(zhì)和判定是解本題的關(guān)鍵．四、解答題（本大題共3小題，每小題8分，共24分）18．（8分）如圖，點(diǎn)A（m，4）在反比例函數(shù)y＝（x＞0）的圖象上，點(diǎn)B在y軸上，OB＝2，將線段AB向右下方平移，得到線段CD，此時(shí)點(diǎn)C落在反比例函數(shù)的圖象上，點(diǎn)D落在x軸正半軸上，且OD＝1．（1）點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，2），點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，0），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（m+1，2）（用含m的式子表示）；（2）求k的值和直線AC的表達(dá)式．【分析】（1）根據(jù)OB＝2可得點(diǎn)B的坐標(biāo)，根據(jù)OD＝1可得點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，0），由平移規(guī)律可得點(diǎn)C的坐標(biāo)；（2）根據(jù)點(diǎn)C和D的坐標(biāo)列方程可得m的值，從而得k的值，再利用待定系數(shù)法可得直線AC的解析式．【解答】解：（1）由題意得：B（0，2），D（1，0），由平移可知：線段AB向下平移2個(gè)單位，再向右平移1個(gè)單位，∵點(diǎn)A（m，4），∴C（m+1，2），故答案為：（0，2），（1，0），（m+1，2）；（2）∵點(diǎn)A和點(diǎn)C在反比例函數(shù)y＝的圖象上，∴k＝4m＝2（m+1），∴m＝1，∴A（1，4），C（2，2），∴k＝1×4＝4，設(shè)直線AC的表達(dá)式為：y＝nx+b，，解得：，∴直線AC的表達(dá)式為：y＝﹣2x+6．【點(diǎn)評】此題主要考查了一次函數(shù)和反比例函數(shù)的綜合應(yīng)用以及平移的性質(zhì)，根據(jù)OB和OD的長得出平移的規(guī)律是解題關(guān)鍵．19．（8分）課本再現(xiàn)（1）在⊙O中，∠AOB是所對的圓心角，∠C是所對的圓周角，我們在數(shù)學(xué)課上探索兩者之間的關(guān)系時(shí)，要根據(jù)圓心O與∠C的位置關(guān)系進(jìn)行分類．圖1是其中一種情況，請你在圖2和圖3中畫出其它兩種情況的圖形，并從三種位置關(guān)系中任選一種情況證明∠C＝∠AOB；知識(shí)應(yīng)用（2）如圖4，若⊙O的半徑為2，PA，PB分別與⊙O相切于點(diǎn)A，B，∠C＝60°，求PA的長．【分析】（1）①如圖2，當(dāng)點(diǎn)O在∠ACB的內(nèi)部，作直徑，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)可得結(jié)論；②如圖3，當(dāng)O在∠ACB的外部時(shí)，作直徑CD，同理可理結(jié)論；（2）如圖4，先根據(jù)（1）中的結(jié)論可得∠AOB＝120°，由切線的性質(zhì)可得∠OAP＝∠OBP＝90°，可得∠OPA＝30°，從而得PA的長．【解答】解：（1）①如圖2，連接CO，并延長CO交⊙O于點(diǎn)D，∵OA＝OC＝OB，∴∠A＝∠ACO，∠B＝∠BCO，∵∠AOD＝∠A+∠ACO＝2∠ACO，∠BOD＝∠B+∠BCO＝2∠BCO，∴∠AOB＝∠AOD+∠BOD＝2∠ACO+2∠BCO＝2∠ACB，∴∠ACB＝∠AOB；如圖3，連接CO，并延長CO交⊙O于點(diǎn)D，∵OA＝OC＝OB，∴∠A＝∠ACO，∠B＝∠BCO，∵∠AOD＝∠A+∠ACO＝2∠ACO，∠BOD＝∠B+∠BCO＝2∠BCO，∴∠AOB＝∠AOD﹣∠BOD＝2∠ACO﹣2∠BCO＝2∠ACB，∴∠ACB＝∠AOB；（2）如圖4，連接OA，OB，OP，∵∠C＝60°，∴∠AOB＝2∠C＝120°，∵PA，PB分別與⊙O相切于點(diǎn)A，B，∴∠OAP＝∠OBP＝90°，∠APO＝∠BPO＝∠APB＝（180°﹣120°）＝30°，∵OA＝2，∴OP＝2OA＝4，∴PA＝＝2．【點(diǎn)評】本題考查了切線長定理，圓周角定理等知識(shí)，掌握證明圓周角定理的方法是解本題的關(guān)鍵．20．（8分）圖1是某長征主題公園的雕塑，將其抽象成如圖2所示的示意圖，已知AB∥CD∥FG，A，D，H，G四點(diǎn)在同一直線上，測得∠FEC＝∠A＝72.9°，AD＝1.6m，EF＝6.2m．（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位）（1）求證：四邊形DEFG為平行四邊形；（2）求雕塑的高（即點(diǎn)G到AB的距離）．（參考數(shù)據(jù)：sin72.9°≈0.96，cos72.9°≈0.29，tan72.9°≈3.25）【分析】（1）根據(jù)平行四邊形的定義可得結(jié)論；（2）過點(diǎn)G作GP⊥AB于P，計(jì)算AG的長，利用∠A的正弦可得結(jié)論．【解答】（1）證明：∵AB∥CD，∴∠CDG＝∠A，∵∠FEC＝∠A，∴∠FEC＝∠CDG，∴EF∥DG，∵FG∥CD，∴四邊形DEFG為平行四邊形；（2）解：如圖，過點(diǎn)G作GP⊥AB于P，∵四邊形DEFG為平行四邊形，∴DG＝EF＝6.2，∵AD＝1.6，∴AG＝DG+AD＝6.2+1.6＝7.8，Rt△APG中，sinA＝，∴＝0.96，∴PG＝7.8×0.96＝7.488≈7.5．答：雕塑的高為7.5m．【點(diǎn)評】本題考查解直角三角形的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是理解題意，正確作輔助線構(gòu)建直角三角形解決問題．五、解答題（本大題共2小題，每小題9分，共18分）21．（9分）在“雙減”政策實(shí)施兩個(gè)月后，某市“雙減辦”面向本市城區(qū)學(xué)生，就“‘雙減’前后參加校外學(xué)科補(bǔ)習(xí)班的情況”進(jìn)行了一次隨機(jī)問卷調(diào)查（以下將“參加校外學(xué)科補(bǔ)習(xí)班”簡稱“報(bào)班”），根據(jù)問卷提交時(shí)間的不同，把收集到的數(shù)據(jù)分兩組進(jìn)行整理，分別得到統(tǒng)計(jì)表1和統(tǒng)計(jì)圖1：整理描述表1：“雙減”前后報(bào)班情況統(tǒng)計(jì)表（第一組）報(bào)班數(shù)人數(shù)類別01234及以上合計(jì)“雙減”前10248755124m“雙減”后2551524n0m（1）根據(jù)表1，m的值為300，的值為0.02；分析處理（2）請你匯總表1和圖1中的數(shù)據(jù)，求出“雙減”后報(bào)班數(shù)為3的學(xué)生人數(shù)所占的百分比；（3）“雙減辦”匯總數(shù)據(jù)后，制作了“雙減”前后報(bào)班情況的折線統(tǒng)計(jì)圖（如圖2）．請依據(jù)以上圖表中的信息回答以下問題：①本次調(diào)查中，“雙減”前學(xué)生報(bào)班個(gè)數(shù)的中位數(shù)為1，“雙減”后學(xué)生報(bào)班個(gè)數(shù)的眾數(shù)為0；②請對該市城區(qū)學(xué)生“雙減”前后報(bào)班個(gè)數(shù)變化情況作出對比分析（用一句話來概括）．【分析】（1）將表1中“雙減前”各個(gè)數(shù)據(jù)求和確定m的值，然后再計(jì)算求得n值，從而求解；（2）通過匯總表1和圖1求得“雙減后”報(bào)班數(shù)為3的學(xué)生人數(shù)，從而求解百分比；（3）①根據(jù)中位數(shù)和眾數(shù)的概念分析求解；②根據(jù)“雙減”政策對學(xué)生報(bào)班個(gè)數(shù)的影響結(jié)果角度進(jìn)行分析說明．【解答】解：（1）m＝102+48+75+51+24＝300，n＝m﹣（255+15+24）＝6，∴＝＝0.02，故答案為：300；0.02；（2）匯總表1和圖1可得：01234及以上總數(shù)“雙減”前172821188246500“雙減”后4232440121500×100%＝24%，答：“雙減”后報(bào)班數(shù)為3的學(xué)生人數(shù)所占的百分比為24%；（3）①“雙減”前共調(diào)查500個(gè)數(shù)據(jù)，從小到大排列后，第250個(gè)和第251個(gè)數(shù)據(jù)均為1，∴“雙減”前學(xué)生報(bào)班個(gè)數(shù)的中位數(shù)為1，“雙減”后學(xué)生報(bào)班個(gè)數(shù)出現(xiàn)次數(shù)最多的是0，∴“雙減”后學(xué)生報(bào)班個(gè)數(shù)的眾數(shù)為0，故答案為：1；0；②從“雙減”前后學(xué)生報(bào)班個(gè)數(shù)的變化情況說明：“雙減”政策宣傳落實(shí)到位，參加校外培訓(xùn)機(jī)構(gòu)的學(xué)生大幅度減少，“雙減”取得了顯著效果．【點(diǎn)評】本題考查統(tǒng)計(jì)的應(yīng)用，理解題意，對數(shù)據(jù)進(jìn)行采集和整理，掌握中位數(shù)和眾數(shù)的概念是解題關(guān)鍵．22．（9分）跳臺(tái)滑雪運(yùn)動(dòng)可分為助滑、起跳、飛行和落地四個(gè)階段，運(yùn)動(dòng)員起跳后飛行的路線是拋物線的一部分（如圖中實(shí)線部分所示），落地點(diǎn)在著陸坡（如圖中虛線部分所示）上，著陸坡上的基準(zhǔn)點(diǎn)K為飛行距離計(jì)分的參照點(diǎn)，落地點(diǎn)超過K點(diǎn)越遠(yuǎn)，飛行距離分越高．2022年北京冬奧會(huì)跳臺(tái)滑雪標(biāo)準(zhǔn)臺(tái)的起跳臺(tái)的高度OA為66m，基準(zhǔn)點(diǎn)K到起跳臺(tái)的水平距離為75m，高度為hm（h為定值）．設(shè)運(yùn)動(dòng)員從起跳點(diǎn)A起跳后的高度y（m）與水平距離x（m）之間的函數(shù)關(guān)系為y＝ax2+bx+c（a≠0）．（1）c的值為66；（2）①若運(yùn)動(dòng)員落地點(diǎn)恰好到達(dá)K點(diǎn)，且此時(shí)a＝﹣，b＝，求基準(zhǔn)點(diǎn)K的高度h；②若a＝﹣時(shí)，運(yùn)動(dòng)員落地點(diǎn)要超過K點(diǎn)，則b的取值范圍為b＞；（3）若運(yùn)動(dòng)員飛行的水平距離為25m時(shí)，恰好達(dá)到最大高度76m，試判斷他的落地點(diǎn)能否超過K點(diǎn)，并說明理由．【分析】（1）根據(jù)起跳臺(tái)的高度OA為66m，即可得c＝66；（2）①由a＝﹣，b＝，知y＝﹣x2+x+66，根據(jù)基準(zhǔn)點(diǎn)K到起跳臺(tái)的水平距離為75m，即得基準(zhǔn)點(diǎn)K的高度h為21m；②運(yùn)動(dòng)員落地點(diǎn)要超過K點(diǎn)，即是x＝75時(shí)，y＞21，故﹣×752+75b+66＞21，即可解得答案；（3）運(yùn)動(dòng)員飛行的水平距離為25m時(shí)，恰好達(dá)到最大高度76m，即是拋物線的頂點(diǎn)為（25，76），設(shè)拋物線解析式為y＝a（x﹣25）2+76，可得拋物線解析式為y＝﹣（x﹣25）2+76，當(dāng)x＝75時(shí)，y＝36，從而可知他的落地點(diǎn)能超過K點(diǎn)．【解答】解：（1）∵起跳臺(tái)的高度OA為66m，∴A（0，66），把A（0，66）代入y＝ax2+bx+c得：c＝66，故答案為：66；（2）①∵a＝﹣，b＝，∴y＝﹣x2+x+66，∵基準(zhǔn)點(diǎn)K到起跳臺(tái)的水平距離為75m，∴y＝﹣×752+×75+66＝21，∴基準(zhǔn)點(diǎn)K的高度h為21m；②∵a＝﹣，∴y＝﹣x2+bx+66，∵運(yùn)動(dòng)員落地點(diǎn)要超過K點(diǎn)，∴x＝75時(shí)，y＞21，即﹣×752+75b+66＞21，解得b＞，故答案為：b＞；（3）他的落地點(diǎn)能超過K點(diǎn)，理由如下：∵運(yùn)動(dòng)員飛行的水平距離為25m時(shí)，恰好達(dá)到最大高度76m，∴拋物線的頂點(diǎn)為（25，76），設(shè)拋物線解析式為y＝a（x﹣25）2+76，把（0，66）代入得：66＝a（0﹣25）2+76，解得a＝﹣，∴拋物線解析式為y＝﹣（x﹣25）2+76，當(dāng)x＝75時(shí)，y＝﹣×（75﹣25）2+76＝36，∵36＞21，∴他的落地點(diǎn)能超過K點(diǎn)．【點(diǎn)評】本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，能根據(jù)題意把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題．六、解答題（本大題共12分）23．（12分）綜合與實(shí)踐問題提出某興趣小組在一次綜合與實(shí)踐活動(dòng)中提出這樣一個(gè)問題：將足夠大的直角三角板PEF（∠P＝90°，∠F＝60°）的一個(gè)頂點(diǎn)放在正方形中心O處，并繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，探究直角三角板PEF與正方形ABCD重疊部分的面積變化情況（已知正方形邊長為2）．操作發(fā)現(xiàn)（1）如圖1，若將三角板的頂點(diǎn)P放在點(diǎn)O處，在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)OF與OB重合時(shí)，重疊部分的面積為1；當(dāng)OF與BC垂直時(shí)，重疊部分的面積為1；一般地，若正方形面積為S，在旋轉(zhuǎn)過程中，重疊部分的面積S1與S的關(guān)系為S1＝S；類比探究（2）若將三角板的頂點(diǎn)F放在點(diǎn)O處，在旋轉(zhuǎn)過程中，OE，OP分別與正方形的邊相交于點(diǎn)M，N．①如圖2，當(dāng)BM＝CN時(shí)，試判斷重疊部分△OMN的形狀，并說明理由；②如圖3，當(dāng)CM＝CN時(shí)，求重疊部分四邊形OMCN的面積（結(jié)果保留根號）；拓展應(yīng)用（3）若將任意一個(gè)銳角的頂點(diǎn)放在正方形中心O處，該銳角記為∠GOH（設(shè)∠GOH＝α），將∠GOH繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)過程中，∠GOH的兩邊與正方形ABCD的邊所圍成的圖形的面積為S2，請直接寫出S2的最小值與最大值（分別用含α的式子表示）．（參考數(shù)據(jù)：sin15°＝，cos15°＝，tan15°＝2﹣）【分析】（1）如圖1，若將三角板的頂點(diǎn)P放在點(diǎn)O處，在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)OF與OB重合時(shí)，OE與OC重合，此時(shí)重疊部分的面積＝△OBC的面積＝正方形AB