檢測與傳感技術(shù)課件

檢測與傳感技術(shù)課件第1頁，共124頁，2023年，2月20日，星期五1.1測量概論1.1.1測量測量是以確定被測量的值或獲取測量結(jié)果為目的的一系列操作。所以,測量也就是將被測量與同種性質(zhì)的標(biāo)準(zhǔn)量進行比較，確定被測量對標(biāo)準(zhǔn)量的倍數(shù)。它可由下式表示：(1-1)(1-2)第2頁，共124頁，2023年，2月20日，星期五式中：x——被測量值；

u——標(biāo)準(zhǔn)量，即測量單位；n——比值（純數(shù)），含有測量誤差。由測量所獲得的被測量的量值叫測量結(jié)果，測量結(jié)果可用一定的數(shù)值表示，也可以用一條曲線或某種圖形表示，但無論其表現(xiàn)形式如何，測量結(jié)果應(yīng)包括比值和測量單位。測量結(jié)果僅僅是被測量的最佳估計值，并非真值，所以還應(yīng)給出測量結(jié)果的質(zhì)量，即測量結(jié)果的可信程度。這個可信程度用測量不確定度表示，測量不確定度表征測量值的分散程度。因此測量結(jié)果的完整表述應(yīng)包括估計值、測量單位及測量不確定度。第3頁，共124頁，2023年，2月20日，星期五被測量值和比值等都是測量過程的信息，這些信息依托于物質(zhì)才能在空間和時間上進行傳遞。被測量作用到實際物體上，使其某些參數(shù)發(fā)生變化，參數(shù)承載了信息而成為信號。選擇其中適當(dāng)?shù)膮?shù)作為測量信號，例如熱電偶溫度傳感器的工作參數(shù)是熱電偶的電勢，差壓流量傳感器中的孔板工作參數(shù)是差壓Δp。測量過程就是傳感器從被測對象獲取被測量的信息，建立起測量信號，經(jīng)過變換、傳輸、處理，從而獲得被測量量值的過程。第4頁，共124頁，2023年，2月20日，星期五1.1.2測量方法實現(xiàn)被測量與標(biāo)準(zhǔn)量比較得出比值的方法，稱為測量方法。針對不同測量任務(wù)，進行具體分析，找出切實可行的測量方法，對測量工作是十分重要的。對于測量方法，從不同角度，有不同的分類方法。根據(jù)獲得測量值的方法可分為直接測量、間接測量和組合測量；根據(jù)測量方式可分為偏差式測量、零位式測量與微差式測量；根據(jù)測量條件不同可分為等精度測量與不等精度測量；根據(jù)被測量變化快慢可分為靜態(tài)測量與動態(tài)測量；根據(jù)測量敏感元件是否與被測介質(zhì)接觸可分為接觸式測量與非接觸式測量；根據(jù)測量系統(tǒng)是否向被測對象施加能量可分為主動式測量與被動式測量等。第5頁，共124頁，2023年，2月20日，星期五

1.直接測量、間接測量與組合測量在使用儀表或傳感器進行測量時，測得值直接與標(biāo)準(zhǔn)量進行比較，不需要經(jīng)過任何運算，直接得到被測量的數(shù)值，這種測量方法稱為直接測量。被測量與測得值之間關(guān)系可用下式表示：y=x(1-3)式中：y——被測量的值；

x——直接測得值。第6頁，共124頁，2023年，2月20日，星期五例如，用磁電式電流表測量電路的某一支路電流，用彈簧管壓力表測量壓力等，都屬于直接測量。直接測量的優(yōu)點是測量過程簡單而又迅速，缺點是測量精度不容易達到很高。在使用儀表或傳感器進行測量時，首先對與被測量有確定函數(shù)關(guān)系的幾個量進行直接測量，將直接測得值代入函數(shù)關(guān)系式，經(jīng)過計算得到所需要的結(jié)果，這種測量稱為間接測量。間接測量與直接測量不同，被測量y是一個測得值x或幾個測得值x1，x2，…，xn的函數(shù)，即y=f(x)或y=f(x1,x2,…,xn)(1-4)(1-5)第7頁，共124頁，2023年，2月20日，星期五被測量y不能直接測量求得，必須有測得值x或xi（i=1，2，…，n）及與被測量y的函數(shù)關(guān)系確定。如直接測量電壓值U和電阻值R，根據(jù)式P=U2/R求電功率P即為間接測量的實例。間接測量手續(xù)較多，花費時間較長，一般用在直接測量不方便，或者缺乏直接測量手段的場合。若被測量必須經(jīng)過求解聯(lián)立方程組求得，如有若干個被測量y1，y2，…，ym，直接測得值為x1,x2,…,xn,把被測量與測得值之間的函數(shù)關(guān)系列成方程組，即(1-6)第8頁，共124頁，2023年，2月20日，星期五方程組中方程的個數(shù)n要大于被測量y的個數(shù)m，用最小二乘法求出被測量的數(shù)值，這種測量方法稱為組合測量。組合測量是一種特殊的精密測量方法，操作手續(xù)復(fù)雜，花費時間長，多適用于科學(xué)實驗或特殊場合。第9頁，共124頁，2023年，2月20日，星期五

2.偏差式測量、零位式測量與微差式測量用儀表指針的位移（即偏差）決定被測量的量值，這種測量方法稱為偏差式測量。應(yīng)用這種方法測量時，儀表刻度事先用標(biāo)準(zhǔn)器具分度。在測量時，輸入被測量按照儀表指針在標(biāo)尺上的示值，決定被測量的數(shù)值。偏差式測量,其測量過程簡單、迅速，但測量結(jié)果的精度較低。用指零儀表的零位反映測量系統(tǒng)的平衡狀態(tài)，在測量系統(tǒng)平衡時，用已知的標(biāo)準(zhǔn)量決定被測量的量值，這種測量方法稱為零位式測量。在零位測量時，已知標(biāo)準(zhǔn)量直接與被測量相比較，已知標(biāo)準(zhǔn)量應(yīng)連續(xù)可調(diào)，指零儀表指零時，被測量與已知標(biāo)準(zhǔn)量相等。例如天平測量物體的質(zhì)量、電位差計測量電壓等都屬于零位式測量。零位式測量的優(yōu)點是可以獲得比較高的測量精度，但測量過程比較復(fù)雜，費時較長，不適用于測量變化迅速的信號。第10頁，共124頁，2023年，2月20日，星期五微差式測量是綜合了偏差式測量與零位式測量的優(yōu)點而提出的一種測量方法。它將被測量與已知的標(biāo)準(zhǔn)量相比較，取得差值后，再用偏差法測得此差值。應(yīng)用這種方法測量時，不需要調(diào)整標(biāo)準(zhǔn)量，而只需測量兩者的差值。設(shè)：N為標(biāo)準(zhǔn)量，x為被測量，Δ為二者之差，則x=N+Δ。由于N是標(biāo)準(zhǔn)量，其誤差很小，且ΔN，因此可選用高靈敏度的偏差式儀表測量Δ，即使測量Δ的精度不高，但因Δx，故總的測量精度仍很高。微差式測量的優(yōu)點是反應(yīng)快，而且測量精度高，特別適用于在線控制參數(shù)的測量。第11頁，共124頁，2023年，2月20日，星期五3.等精度測量與不等精度測量在整個測量過程中，若影響和決定誤差大小的全部因素（條件）始終保持不變，如由同一個測量者，用同一臺儀器，用同樣的方法，在同樣的環(huán)境條件下，對同一被測量進行多次重復(fù)測量，稱為等精度測量。在實際中，極難做到影響和決定誤差大小的全部因素（條件）始終保持不變，所以一般情況下只是近似認為是等精度測量。有時在科學(xué)研究或高精度測量中，往往在不同的測量條件下，用不同精度的儀表，不同的測量方法，不同的測量次數(shù)以及不同的測量者進行測量和對比，這種測量稱為不等精度測量。第12頁，共124頁，2023年，2月20日，星期五

4.靜態(tài)測量與動態(tài)測量被測量在測量過程中認為是固定不變的，對這種被測量進行的測量稱為靜態(tài)測量。靜態(tài)測量不需要考慮時間因素對測量的影響。若被測量在測量過程中是隨時間不斷變化的，對這種被測量進行的測量稱為動態(tài)測量。第13頁，共124頁，2023年，2月20日，星期五1.1.3測量系統(tǒng)1.測量系統(tǒng)構(gòu)成測量系統(tǒng)應(yīng)具有對被測對象的特征量進行檢測、傳輸、處理及顯示等功能，一個測量系統(tǒng)是傳感器、變送器（變換器）和其它變換裝置等的有機組合。圖1-1表示測量系統(tǒng)組成結(jié)構(gòu)框圖。圖1-1測量系統(tǒng)組成框圖第14頁，共124頁，2023年，2月20日，星期五傳感器是感受被測量（物理量、化學(xué)量、生物量等）的大小，并輸出相對應(yīng)的可用輸出信號（一般多為電量）的器件或裝置。變送器將傳感器輸出的信號變換成便于傳輸和處理的信號，大多數(shù)變送器的輸出信號是統(tǒng)一的標(biāo)準(zhǔn)信號（目前多為4～20mA直流電流），信號標(biāo)準(zhǔn)是系統(tǒng)各環(huán)節(jié)之間的通信協(xié)議。當(dāng)測量系統(tǒng)的幾個功能環(huán)節(jié)獨立地分隔開時，必須由一個地方向另一個地方傳輸信號，傳輸環(huán)節(jié)就是完成這種傳輸功能的。傳輸通道將測量系統(tǒng)各環(huán)節(jié)間的輸入、輸出信號連接起來，通常用電纜連接，或用光導(dǎo)纖維連接，以用來傳輸數(shù)據(jù)。第15頁，共124頁，2023年，2月20日，星期五信號處理環(huán)節(jié)將傳感器輸出信號進行處理和變換。如對信號進行放大、運算、線性化、數(shù)—?；蚰！獢?shù)轉(zhuǎn)換，使其輸出信號便于顯示、記錄。這種信號處理環(huán)節(jié)可用于自動控制系統(tǒng)，也可與計算機系統(tǒng)連接，以便對測量信號進行信息處理。顯示裝置是將被測量信息變成人的感官能接受的形式，以完成監(jiān)視、控制或分析的目的。測量結(jié)果可以采用模擬顯示，也可采用數(shù)字顯示或圖形顯示，也可以由記錄裝置進行自動記錄或由打印機將數(shù)據(jù)打印出來。第16頁，共124頁，2023年，2月20日，星期五

2.開環(huán)測量系統(tǒng)與閉環(huán)測量系統(tǒng)（1）開環(huán)測量系統(tǒng)開環(huán)測量系統(tǒng)全部信息變換只沿著一個方向進行，如圖1-2所示。其中x為輸入量，y為輸出量，k1、k2、k3為各個環(huán)節(jié)的傳遞系數(shù)。輸入輸出關(guān)系表示如下：y=k1k2k3x

因為開環(huán)測量系統(tǒng)是由多個環(huán)節(jié)串聯(lián)而成的，因此系統(tǒng)的相對誤差等于各環(huán)節(jié)相對誤差之和。即(1-7)(1-8)第17頁，共124頁，2023年，2月20日，星期五式中，δ——系統(tǒng)的相對誤差；

δi——各環(huán)節(jié)的相對誤差。采用開環(huán)方式構(gòu)成的測量系統(tǒng)，結(jié)構(gòu)較簡單，但各環(huán)節(jié)特性的變化都會造成測量誤差。第18頁，共124頁，2023年，2月20日，星期五圖1-2開環(huán)測量系統(tǒng)框圖第19頁，共124頁，2023年，2月20日，星期五（2）閉環(huán)測量系統(tǒng)閉環(huán)測量系統(tǒng)有兩個通道，一為正向通道，一為反饋通道，其結(jié)構(gòu)如圖1-3所示。其中Δx為正向通道的輸入量，β為反饋環(huán)節(jié)的傳遞系數(shù)，正向通道的總傳遞系數(shù)k=k1k2。由圖1-3可知：第20頁，共124頁，2023年，2月20日，星期五當(dāng)k>>1時，則(1-9)系統(tǒng)的輸入輸出關(guān)系為(1-10)顯然，這時整個系統(tǒng)的輸入輸出關(guān)系由反饋環(huán)節(jié)的特性決定，放大器等環(huán)節(jié)特性的變化不會造成測量誤差，或者說造成的誤差很小。第21頁，共124頁，2023年，2月20日，星期五圖1-3閉環(huán)測量系統(tǒng)框圖第22頁，共124頁，2023年，2月20日，星期五1.1.4測量誤差測量誤差是測得值減去被測量的真值。由于真值往往不知道，因此測量的目的是希望通過測量獲取被測量的真實值。但由于種種原因，例如，傳感器本身性能不十分優(yōu)良，測量方法不十分完善，外界干擾的影響等，造成被測量的測得值與真實值不一致，因而測量中總是存在誤差。由于真值未知，所以在實際中，有時用約定真值代替真值，常用某量的多次測量結(jié)果來確定約定真值；或用精度高的儀器示值代替約定真值。第23頁，共124頁，2023年，2月20日，星期五在工程技術(shù)及科學(xué)研究中，對被測量進行測量時，測量的可靠性至關(guān)重要，不同場合對測量結(jié)果可靠性的要求也不同。例如，在量值傳遞、經(jīng)濟核算、產(chǎn)品檢驗場合應(yīng)保證測量結(jié)果有足夠的準(zhǔn)確度。當(dāng)測量值用作控制信號時，則要注意測量的穩(wěn)定性和可靠性。因此，測量結(jié)果的準(zhǔn)確程度，應(yīng)與測量的目的與要求相聯(lián)系，相適應(yīng)，那種不惜工本，不顧場合，一味追求越準(zhǔn)越好的作法是不可取的，要有技術(shù)與經(jīng)濟兼顧的意識。第24頁，共124頁，2023年，2月20日，星期五

1.測量誤差的表示方法測量誤差的表示方法有多種，含義各異。（1）絕對誤差絕對誤差可用下式定義：Δ=x-L式中:Δ——絕對誤差；x——測量值；L——真值。絕對誤差是有正、負并有量綱的。(1-11)第25頁，共124頁，2023年，2月20日，星期五在實際測量中，有時要用到修正值，修正值是與絕對誤差大小相等、符號相反的值，即c=-Δ(1-12)式中，c為修正值，通常用高一等級的測量標(biāo)準(zhǔn)或標(biāo)準(zhǔn)儀器獲得修正值。利用修正值可對測量值進行修正，從而得到準(zhǔn)確的實際值,修正后的實際測量值x′為x′=x+c

(1-13)修正值給出的方式，可以是具體的數(shù)值，也可以是一條曲線或公式。第26頁，共124頁，2023年，2月20日，星期五采用絕對誤差表示測量誤差，不能很好說明測量質(zhì)量的好壞。例如，在溫度測量時，絕對誤差Δ=1℃，對體溫測量來說是不允許的，而對鋼水溫度測量來說是極好的測量結(jié)果，所以用相對誤差可以比較客觀地反映測量的準(zhǔn)確性。第27頁，共124頁，2023年，2月20日，星期五（2）實際相對誤差實際相對誤差的定義由下式給出：(1-14)式中：δ——實際相對誤差，一般用百分數(shù)給出；Δ——絕對誤差；L——真值。由于被測量的真值L無法知道，實際測量時用測量值x代替真值L進行計算，這個相對誤差稱為標(biāo)稱相對誤差，即(1-15)第28頁，共124頁，2023年，2月20日，星期五（3）引用誤差引用誤差是儀表中通用的一種誤差表示方法。它是相對于儀表滿量程的一種誤差，又稱滿量程相對誤差，一般也用百分數(shù)表示。即式中：γ——引用誤差；Δ——絕對誤差。儀表精度等級是根據(jù)最大引用誤差來確定的。例如，0.5級表的引用誤差的最大值不超過±0.5%；1.0級表的引用誤差的最大值不超過±1%。在儀表和傳感器使用時，經(jīng)常會遇到基本誤差和附加誤差兩個概念。(1-16)第29頁，共124頁，2023年，2月20日，星期五（4）基本誤差基本誤差是指傳感器或儀表在規(guī)定的標(biāo)準(zhǔn)條件下所具有的誤差。例如，某傳感器是在電源電壓(220±5)V、電網(wǎng)頻率(50±2)Hz、環(huán)境溫度(20±5)℃、濕度65%±5%的條件下標(biāo)定的。如果傳感器在這個條件下工作，則傳感器所具有的誤差為基本誤差。儀表的精度等級就是由基本誤差決定的。（5）附加誤差附加誤差是指傳感器或儀表的使用條件偏離額定條件下出現(xiàn)的誤差。例如，溫度附加誤差、頻率附加誤差、電源電壓波動附加誤差等。第30頁，共124頁，2023年，2月20日，星期五2.測量誤差的性質(zhì)根據(jù)測量數(shù)據(jù)中的誤差所呈現(xiàn)的規(guī)律及產(chǎn)生的原因可將其分為系統(tǒng)誤差、隨機誤差和粗大誤差。（1）隨機誤差在同一測量條件下，多次測量被測量時，其絕對值和符號以不可預(yù)定方式變化著的誤差稱為隨機誤差。在我國新制訂的國家計量技術(shù)規(guī)范JJF1001-1998《通用計量術(shù)語及定義》中，對隨機誤差的定義是根據(jù)國際標(biāo)準(zhǔn)化組織（ISO）等七個國際組織制訂的《測量不確定度表示指南》定義的，即隨機誤差是將測量結(jié)果與在重復(fù)性條件下，對同一被測量進行無限多次測量所得結(jié)果的平均值之差。重復(fù)性條件包括：相同的測量程序，相同的觀測者，在相同的條件下使用相同的測量儀器，相同的地點，在短時間內(nèi)重復(fù)測量。隨機誤差可用下式表示：第31頁，共124頁，2023年，2月20日，星期五(1-17)式中：xi——被測量的某一個測量值；x∞——重復(fù)性條件下無限多次的測量值的平均值，即(n→∞)由于重復(fù)測量實際上只能測量有限次，因此實用中的隨機誤差只是一個近似估計值。對于隨機誤差不能用簡單的修正值來修正，當(dāng)測量次數(shù)足夠多時，隨機誤差就整體而言，服從一定的統(tǒng)計規(guī)律，通過對測量數(shù)據(jù)的統(tǒng)計處理可以計算隨機誤差出現(xiàn)的可能性的大小。第32頁，共124頁，2023年，2月20日，星期五（2）系統(tǒng)誤差在同一測量條件下，多次測量被測量時，絕對值和符號保持不變，或在條件改變時，按一定規(guī)律（如線性、多項式、周期性等函數(shù)規(guī)律）變化的誤差稱為系統(tǒng)誤差。前者為恒值系統(tǒng)誤差，后者為變值系統(tǒng)誤差。在我國新制訂的國家計量技術(shù)規(guī)范JJF1001-1998《通用計量術(shù)語及定義》中，對系統(tǒng)誤差的定義是，在重復(fù)性條件下對同一被測量進行無限多次測量所得結(jié)果的平均值與被測量的真值之差。它可用下式表示：系統(tǒng)誤差=x∞-L

式中,L為被測量的真值。第33頁，共124頁，2023年，2月20日，星期五因為真值不能通過測量獲知，所以通過有限次測量的平均值x與L的約定真值近似地得出系統(tǒng)誤差，稱之為系統(tǒng)誤差的估計，得出的系統(tǒng)誤差可對測量結(jié)果進行修正，但由于系統(tǒng)誤差不能完全獲知，因此通過修正值對系統(tǒng)誤差只能有限程度地補償。引起系統(tǒng)誤差的原因復(fù)雜，如測量方法不完善，零點未調(diào)整，采用近似的計算公式，測量者的經(jīng)驗不足等等。對于系統(tǒng)誤差，首先要查找誤差根源，并設(shè)法減小和消除，而對于無法消除的恒值系統(tǒng)誤差，可以在測量結(jié)果中加以修正。第34頁，共124頁，2023年，2月20日，星期五（3）粗大誤差超出在規(guī)定條件下預(yù)期的誤差稱為粗大誤差，粗大誤差又稱疏忽誤差。這類誤差的發(fā)生是由于測量者疏忽大意，測錯、讀錯或環(huán)境條件的突然變化等引起的。含有粗大誤差的測量值明顯地歪曲了客觀現(xiàn)象，故含有粗大誤差的測量值稱為壞值或異常值。在數(shù)據(jù)處理時，要采用的測量值不應(yīng)該包含有粗大誤差，即所有的壞值都應(yīng)當(dāng)剔除。所以進行誤差分析時，要估計的誤差只有系統(tǒng)誤差和隨機誤差兩類。第35頁，共124頁，2023年，2月20日，星期五1.2測量數(shù)據(jù)的估計和處理1.2.1隨機誤差的統(tǒng)計處理1.正態(tài)分布多次等精度地重復(fù)測量同一量值時，得到一系列不同的測量值，即使剔除了壞值，并采取措施消除了系統(tǒng)誤差，然而每個測量值數(shù)據(jù)各異，可以肯定每個測量值還會含有誤差。這些誤差的出現(xiàn)沒有確定的規(guī)律，具有隨機性，所以稱為隨機誤差。隨機誤差的分布規(guī)律，可以在大量測量數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)上總結(jié)出來，就誤差的總體來說是服從統(tǒng)計規(guī)律的。由于大多數(shù)隨機誤差服從正態(tài)分布，因而正態(tài)分布理論就成為研究隨機誤差的基礎(chǔ)。第36頁，共124頁，2023年，2月20日，星期五隨機誤差一般具有以下幾個性質(zhì)：①絕對值相等的正誤差與負誤差出現(xiàn)的次數(shù)大致相等，誤差所具有的這個特性稱為對稱性。②在一定測量條件下的有限測量值中，其隨機誤差的絕對值不會超過一定的界限，這一特性稱為有界性。③絕對值小的誤差出現(xiàn)的次數(shù)比絕對值大的誤差出現(xiàn)的次數(shù)多，這一特性稱為單峰性。④對同一量值進行多次測量，其誤差的算術(shù)平均值隨著測量次數(shù)n的增加趨向于零，這一特性稱為誤差的抵償性。第37頁，共124頁，2023年，2月20日，星期五抵償性是由第一個特性推導(dǎo)出來的,因為絕對值相等的正誤差與負誤差之和可以互相抵消。對于有限次測量，隨機誤差的平均值是一個有限小的量，而當(dāng)測量次數(shù)無限增多時，它趨向于零。抵償性是隨機誤差的一個重要特征，凡是具有抵償性的，原則上都可以按隨機誤差來處理。設(shè)對某一被測量進行多次重復(fù)測量，得到一系列的測量值為xi，設(shè)被測量的真值為L，則測量列中的隨機誤差δi為δi=xi-L

i=1,2,…,n(1-19)第38頁，共124頁，2023年，2月20日，星期五正態(tài)分布的概率分布密度f(δ)為(1-20)正態(tài)分布的分布密度曲線如圖1-4所示，即為一條鐘形的曲線，稱為正態(tài)分布曲線，其中L、σ（σ>0）是正態(tài)分布的兩個參數(shù)。從圖中還可以看到，曲線在L±σ（或±σ）處有兩個拐點。第39頁，共124頁，2023年，2月20日，星期五圖1-4正態(tài)分布曲線第40頁，共124頁，2023年，2月20日，星期五

2.隨機誤差的數(shù)字特征(1)算術(shù)平均值x

正態(tài)分布是以x=L為對稱軸，它是正態(tài)總體的平均值。由于在測量過程中，不可避免地存在隨機誤差，因此我們無法求得測量的真值。但如隨機誤差服從正態(tài)分布，算術(shù)平均值處隨機誤差的概率密度最大，即算術(shù)平均值與被測量的真值最為接近，隨著測量次數(shù)增加，算術(shù)平均值越趨近于真值。如果對某一量進行無限多次測量，就可以得到不受隨機誤差影響的值，或其影響甚微，可以忽略。由于實際上是有限次測量，因而有限次直接測量中算術(shù)平均值是諸測量值中最可信賴的，把它作為等精度多次測量的結(jié)果，即被測量的最佳估計值。第41頁，共124頁，2023年，2月20日，星期五對被測量進行等精度的n次測量，得n個測量值x1,x2,…,xn，它們的算術(shù)平均值為(1-21)由于被測量的真值為未知，不能按式（1-19）求得隨機誤差，這時可用算術(shù)平均值代替被測量的真值進行計算，則有式中,vi為xi的殘余誤差（簡稱殘差）。(1-22)第42頁，共124頁，2023年，2月20日，星期五（2）標(biāo)準(zhǔn)偏差σ標(biāo)準(zhǔn)偏差簡稱為標(biāo)準(zhǔn)差，又稱均方根誤差。標(biāo)準(zhǔn)差σ刻劃總體的分散程度，圖1-5給出了L相同，σ不同（σ=0.5，σ=1，σ=1.5）的正態(tài)分布曲線，σ值愈大，曲線愈平坦，即隨機變量的分散性愈大；反之，愈小，曲線愈尖銳（集中），隨機變量的分散性愈小。標(biāo)準(zhǔn)差σ由下式算得:(1-23)第43頁，共124頁，2023年，2月20日，星期五圖1-5不同σ的正態(tài)分布曲線第44頁，共124頁，2023年，2月20日，星期五σ是在當(dāng)測量次數(shù)趨于無窮時得到的，它是正態(tài)總體的平均值，稱為理論標(biāo)準(zhǔn)差或總體標(biāo)準(zhǔn)差。但在實際測量中不可能得到，因為被測量是在重復(fù)性條件下進行有限次測量，用算術(shù)平均值代替真值，此時表征測量值（隨機誤差）分散性的量用標(biāo)準(zhǔn)差的估計值σs表示，它是評定單次測量值不可靠性的指標(biāo)，由貝塞爾公式計算得到，即(1-24)第45頁，共124頁，2023年，2月20日，星期五式中：xi——第i次測量值；

x——n次測量值的算術(shù)平均值；

vi——殘余誤差，即vi=xi-x。標(biāo)準(zhǔn)差的估計值σs也可用代號s表示。標(biāo)準(zhǔn)差的估計值又稱為樣本標(biāo)準(zhǔn)差，它是作為總體標(biāo)準(zhǔn)差σ的估計值，但并不是σ的無偏估計，而樣本方差σ2s才是總體方差σ2的無偏估計。標(biāo)準(zhǔn)差的估計值是方差的正平方根，具有與xi相同的量綱。第46頁，共124頁，2023年，2月20日，星期五若對被測量進行m組的“多次重復(fù)測量”，若這些測量值已消除了系統(tǒng)誤差，只存在隨機誤差，各組所得的算術(shù)平均值x1,x2,…,xm各不相同，也是隨機變量，它們分布在期望值附近，但比測量值靠近于期望值，隨著測量次數(shù)的增多，平均值將收斂于期望值。算術(shù)平均值的可靠性指標(biāo)用算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差σx來評定，它與標(biāo)準(zhǔn)差的估計值σs的關(guān)系如下：(1-25)第47頁，共124頁，2023年，2月20日，星期五由上式可見，在測量條件一定的情況下，算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差σx隨著測量次數(shù)n的增加而減小，算術(shù)平均值愈接近期望值。圖1-6所示為σx/σs比值與n的關(guān)系曲線。從圖中可見，當(dāng)n增加到一定次數(shù)（例如10次）以后，σx的減小就變得緩慢，所以不能單靠無限地增加測量次數(shù)來提高測量精度。實際上測量次數(shù)愈多，愈難保證測量條件的穩(wěn)定，從而帶來新的誤差。所以在一般精密測量中，重復(fù)性條件下測量的次數(shù)n大多少于10，此時如要進一步提高測量精度，則應(yīng)采取其它措施（如提高儀器精度，改進測量方法，改善環(huán)境條件等）來解決。第48頁，共124頁，2023年，2月20日，星期五圖1-6σx/σs與n的關(guān)系曲線第49頁，共124頁，2023年，2月20日，星期五

3.正態(tài)分布隨機誤差的概率計算如隨機變量符合正態(tài)分布，它出現(xiàn)的概率就是正態(tài)分布曲線下所包圍的面積。因為全部隨機變量出現(xiàn)的總的概率為1，所以曲線所包圍的面積應(yīng)等于1，即隨機變量落在任意區(qū)間（a，b）的概率為式中,Pa為置信概率。第50頁，共124頁，2023年，2月20日，星期五

σ是正態(tài)分布的特征參數(shù)，區(qū)間通常表示成σ的倍數(shù)，如kσ。由于隨機變量分布對稱性的特點，常取對稱的區(qū)間，即在±kσ區(qū)間的概率為式中:k——置信系數(shù)；±kσ——置信區(qū)間(誤差限)。第51頁，共124頁，2023年，2月20日，星期五表1-1正態(tài)分布的k值及其相應(yīng)的概率隨機變量落在±kσ范圍內(nèi)出現(xiàn)的概率為Pa，則超出的概率稱為置信度，又稱為顯著性水平，用α表示α=1-Pa

（1-27）第52頁，共124頁，2023年，2月20日，星期五圖1-7Pa與α關(guān)系第53頁，共124頁，2023年，2月20日，星期五從表1-1可知，當(dāng)k=1時，Pa=0.6827，即測量結(jié)果中隨機誤差出現(xiàn)在-σ～+σ范圍內(nèi)的概率為68.27%,而|v|>σ的概率為31.73%。出現(xiàn)在-3σ～+3σ范圍內(nèi)的概率是99.73%,因此可以認為絕對值大于3σ的誤差是不可能出現(xiàn)的，通常把這個誤差稱為極限誤差δlim，即極限誤差δlim=±3σ。第54頁，共124頁，2023年，2月20日，星期五【例1-1】對某一溫度進行10次精密測量，測量數(shù)據(jù)如表1-2所示，設(shè)這些測得值已消除系統(tǒng)誤差和粗大誤差，求測量結(jié)果。第55頁，共124頁，2023年，2月20日，星期五表1-2測量數(shù)據(jù)第56頁，共124頁，2023年，2月20日，星期五解：算術(shù)平均值標(biāo)準(zhǔn)差的估計值算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差第57頁，共124頁，2023年，2月20日，星期五測量結(jié)果可表示為或按照上面分析，測量結(jié)果可用算術(shù)平均值表示，因為算術(shù)平均值是被測量的最佳估計值，在測量結(jié)果中還應(yīng)包括測量不確定度。第58頁，共124頁，2023年，2月20日，星期五

4.不等精度直接測量的權(quán)與誤差前面講述的內(nèi)容是等精度測量的問題。嚴格地說，絕對的等精度測量是很難保證的，但對條件差別不大的測量，一般都當(dāng)作等精度測量對待，某些條件的變化，如測量時溫度的波動等，只作為誤差來考慮。但有時在科學(xué)研究或高精度測量中，為了獲得足夠的信息，有意改變測量條件，比如不同的地點、用不同精度的儀表，或是用不同的測量方法等進行測量，這樣的測量屬于不等精度測量。對于不等精度的測量，測量數(shù)據(jù)的分析和綜合不能套用前面等精度測量的數(shù)據(jù)處理的計算公式，需推導(dǎo)出新的計算公式。第59頁，共124頁，2023年，2月20日，星期五（1）“權(quán)”的概念在等精度測量中，即多次重復(fù)測量得到的各個測得值具有相同的精度，可用同一個標(biāo)準(zhǔn)偏差σ值來表征，或者說各個測得值具有相同的可信程度，并取所有測量值的算術(shù)平均值作為測量結(jié)果。在不等精度測量時，對同一被測量進行m組獨立無系統(tǒng)誤差及無粗大誤差的測量，得到m組測量列（進行多次測量的一組數(shù)據(jù)稱為一測量列）的測量結(jié)果及其誤差，由于各組測量條件不同，各組的測量結(jié)果及誤差不能同等看待，即各組測量結(jié)果的可靠程度不一樣。測量精度高（即標(biāo)準(zhǔn)差小）的測量列具有較高的可靠性。為了衡量這種可靠性和可信賴程度，引進“權(quán)”的概念。第60頁，共124頁，2023年，2月20日，星期五

“權(quán)”可理解為各組測量結(jié)果相對的可信賴程度。測量次數(shù)多，測量方法完善，測量儀表精度高，測量的環(huán)境條件好，測量人員的水平高，則測量結(jié)果可靠，其權(quán)也大。權(quán)是相比較而存在的。權(quán)用符號p表示，有兩種計算方法：①用各組測量列的測量次數(shù)n的比值表示p1∶p2∶….∶pm=n1∶n2∶…..∶nm

(1-28)第61頁，共124頁，2023年，2月20日，星期五②用各組測量列的標(biāo)準(zhǔn)差平方的倒數(shù)的比值表示從式（1-29）可看出：每組測量結(jié)果的權(quán)與其相應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)差平方成反比。如果已知各組算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差，即可確定響應(yīng)權(quán)的大小。測量結(jié)果權(quán)的數(shù)值只表示各組間的相對可靠程度，它是一個無量綱的數(shù)。通常在計算各組權(quán)時，令最小的權(quán)數(shù)為“1”，以便用簡單的數(shù)值來表示各組的權(quán)。(1-29)第62頁，共124頁，2023年，2月20日，星期五（2）加權(quán)算術(shù)平均值xp

在等精度測量時，測量結(jié)果的最佳估計值用算術(shù)平均值表示;而在不等精度測量時，測量結(jié)果的最佳估計值用加權(quán)算術(shù)平均值表示。加權(quán)算術(shù)平均值不同于一般的算術(shù)平均值，它是各組測量列的全體平均值，不僅要考慮各測得值，而且還要考慮各組權(quán)。若對同一被測量進行m組不等精度測量，得到m個測量列的算術(shù)平均值 ，相應(yīng)各組的權(quán)分別為p1,p2,….,pm，則加權(quán)平均值可用下式表示：（1-30）第63頁，共124頁，2023年，2月20日，星期五（3）加權(quán)算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差用加權(quán)算術(shù)平均值作為不等精度測量結(jié)果的最佳估計值時，其精度由加權(quán)算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差來表示。對同一個被測量進行m組不等精度測量，得到m個測量結(jié)果 ，則加權(quán)算術(shù)平均值xp的標(biāo)準(zhǔn)差可由下式計算:(1-31)第64頁，共124頁，2023年，2月20日，星期五【例1-2】用三種不同的方法測量某電感量，三種方法測得的各平均值與標(biāo)準(zhǔn)差為求電感的加權(quán)算術(shù)平均值及其加權(quán)算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差。第65頁，共124頁，2023年，2月20日，星期五解：令p3=1，則加權(quán)算術(shù)平均值為第66頁，共124頁，2023年，2月20日，星期五加權(quán)算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差為第67頁，共124頁，2023年，2月20日，星期五1.2.2系統(tǒng)誤差的通用處理方法

1.從誤差根源上消除系統(tǒng)誤差由于系統(tǒng)誤差的特殊性，在處理方法上與隨機誤差完全不同。主要是如何有效地找出系統(tǒng)誤差的根源，并減小或消除。查找誤差根源的關(guān)鍵，就是要對測量設(shè)備、測量對象和測量系統(tǒng)作全面分析，明確其中有無產(chǎn)生明顯系統(tǒng)誤差的因素，并采取相應(yīng)措施予以修正或消除。由于具體條件不同，在分析查找誤差根源時，并沒有一成不變的方法，這與測量者的經(jīng)驗、水平以及測量技術(shù)的發(fā)展密切相關(guān)。通常，我們可以從以下幾個方面進行分析考慮。第68頁，共124頁，2023年，2月20日，星期五①所用傳感器，測量儀表或組成元件是否準(zhǔn)確可靠。比如傳感器或儀表靈敏度不足，儀表刻度不準(zhǔn)確，變換器、放大器等性能不太優(yōu)良等都會引起誤差，而且是常見的誤差。②測量方法是否完善，如用電壓表測量電壓，電壓表的內(nèi)阻對測量結(jié)果有影響。③傳感器儀表安裝、調(diào)整或放置是否正確合理。例如，未調(diào)好儀表水平位置，安裝時儀表指針偏心等都會引起誤差。④傳感器或儀表工作場所的環(huán)境條件是否符合規(guī)定條件。例如，環(huán)境、溫度、濕度、氣壓等的變化也會引起誤差。⑤測量者操作是否正確。例如，讀數(shù)時視差、視力疲勞等都會引起系統(tǒng)誤差。第69頁，共124頁，2023年，2月20日，星期五

2.系統(tǒng)誤差的發(fā)現(xiàn)與判別

發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)誤差一般比較困難，下面只介紹幾種發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)誤差的一般方法。（1）實驗對比法這種方法是通過改變產(chǎn)生系統(tǒng)誤差的條件從而進行不同條件的測量，來發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)誤差的。這種方法適用于發(fā)現(xiàn)固定的系統(tǒng)誤差。例如，一臺測量儀表本身存在固定的系統(tǒng)誤差，即使進行多次測量也不能發(fā)現(xiàn)，只有用更高一級精度的測量儀表測量時，才能發(fā)現(xiàn)這臺測量儀表的系統(tǒng)誤差。第70頁，共124頁，2023年，2月20日，星期五（2）殘余誤差觀察法這種方法是根據(jù)測量值的殘余誤差的大小和符號的變化規(guī)律，直接由誤差數(shù)據(jù)或誤差曲線圖形來判斷有無變化的系統(tǒng)誤差。把殘余誤差按照測量值先后順序作圖，如圖1-8所示。圖(a)殘余誤差有規(guī)律地遞增(或遞減)，表明存在線性變化的系統(tǒng)誤差；圖(b)中殘余誤差大小和符號大體呈周期性，可以認為有周期性系統(tǒng)誤差；圖(c)殘余誤差變化規(guī)律較復(fù)雜，懷疑同時存在線性系統(tǒng)誤差和周期性系統(tǒng)誤差。第71頁，共124頁，2023年，2月20日，星期五圖1-8殘余誤差變化規(guī)律第72頁，共124頁，2023年，2月20日，星期五（3）準(zhǔn)則檢查法目前已有多種準(zhǔn)則供人們檢驗測量數(shù)據(jù)中是否含有系統(tǒng)誤差。不過這些準(zhǔn)則都有一定適用范圍。如馬利科夫判據(jù)將殘余誤差前后各半分為兩組，若“∑vi前”與“∑vi后”之差明顯不為零，則可能含有線性系統(tǒng)誤差。阿貝檢驗法是檢查殘余誤差是否偏離正態(tài)分布，若偏離，則可能存在變化的系統(tǒng)誤差。將測量值的殘余誤差按測量順序排列,且設(shè) A=v21+v22+…+v2n B=(v1-v2)2+(v2-v3)2+…+(vn-1-vn)2+(vn-v1)2若則可能含有變化的系統(tǒng)誤差，但類型不能判定。第73頁，共124頁，2023年，2月20日，星期五

3.系統(tǒng)誤差的消除（1）在測量結(jié)果中進行修正對于已知的恒值系統(tǒng)誤差，可以用修正值對測量結(jié)果進行修正；對于變值系統(tǒng)誤差，設(shè)法找出誤差的變化規(guī)律，用修正公式或修正曲線對測量結(jié)果進行修正；對未知系統(tǒng)誤差，則按隨機誤差進行處理。（2）消除系統(tǒng)誤差的根源在測量之前，仔細檢查儀表，正確調(diào)整和安裝；防止外界干擾影響；選好觀測位置消除視差；選擇環(huán)境條件比較穩(wěn)定時進行讀數(shù)等。（3）在測量系統(tǒng)中采用補償措施找出系統(tǒng)誤差規(guī)律在測量過程中自動消除系統(tǒng)誤差。如用熱電偶測量溫度時，熱電偶參考端溫度變化會引起系統(tǒng)誤差，消除此誤差的辦法之一是在熱電偶回路中加一個冷端補償器，從而實現(xiàn)自動補償。第74頁，共124頁，2023年，2月20日，星期五（4）實時反饋修正由于自動化測量技術(shù)及微機的應(yīng)用，可用實時反饋修正的辦法來消除復(fù)雜的變化系統(tǒng)誤差。當(dāng)查明某種誤差因素的變化對測量結(jié)果有明顯的復(fù)雜影響時，應(yīng)盡可能找出其影響測量結(jié)果的函數(shù)關(guān)系或近似的函數(shù)關(guān)系。在測量過程中，用傳感器將這些誤差因素的變化，轉(zhuǎn)換成某種物理量形式（一般為電量），及時按照其函數(shù)關(guān)系，通過計算機算出影響測量結(jié)果的誤差值，并對測量結(jié)果作實時的自動修正。第75頁，共124頁，2023年，2月20日，星期五1.2.3粗大誤差

1.3σ準(zhǔn)則前面已講到，通常把等于3σ的誤差稱為極限誤差，對于正態(tài)分布的隨機誤差，落在±3σ以外的概率只有0.27%，它在有限次測量中發(fā)生的可能性很小。3σ準(zhǔn)則就是如果一組測量數(shù)據(jù)中某個測量值的殘余誤差的絕對值|vi|>3σ時，則該測量值為可疑值（壞值），應(yīng)剔除。3σ準(zhǔn)則又稱萊以達準(zhǔn)則。3σ準(zhǔn)則是最常用也是最簡單的判別粗大誤差的準(zhǔn)則，它應(yīng)用于測量次數(shù)充分多的情況。第76頁，共124頁，2023年，2月20日，星期五

2.肖維勒準(zhǔn)則肖維勒準(zhǔn)則是以正態(tài)分布為前提的，假設(shè)多次重復(fù)測量所得的n個測量值中，某個測量值的殘余誤差|vi|>Zcσ,則剔除此數(shù)據(jù)。實用中Zc<3，所以在一定程度上彌補了3σ準(zhǔn)則的不足。肖維勒準(zhǔn)則中的Zc值見表1-3。表1-3肖維勒準(zhǔn)則中的Zc值第77頁，共124頁，2023年，2月20日，星期五3.格拉布斯準(zhǔn)則格拉布斯準(zhǔn)則也是以正態(tài)分布為前提的，理論上較嚴謹，使用也較方便。某個測量值的殘余誤差的絕對值|vi|＞Gσ，則判斷此值中含有粗大誤差，應(yīng)予剔除，此即格拉布斯準(zhǔn)則。G值與重復(fù)測量次數(shù)n和置信概率Pa有關(guān)，見表1-4。第78頁，共124頁，2023年，2月20日，星期五表1-4格拉布斯準(zhǔn)則中的G值第79頁，共124頁，2023年，2月20日，星期五以上準(zhǔn)則是以數(shù)據(jù)按正態(tài)分布為前提的，當(dāng)偏離正態(tài)分布，特別是測量次數(shù)很少時，判斷的可靠性就差。因此，對待粗大誤差，除用剔除準(zhǔn)則外，更重要的是要提高工作人員的技術(shù)水平和工作責(zé)任心。另外，要保證測量條件的穩(wěn)定，以防止因環(huán)境條件劇烈變化而產(chǎn)生的突變影響。第80頁，共124頁，2023年，2月20日，星期五

【例1-3】對某一電壓進行12次等精度測量，測量值如表1-5所示，若這些測量值已消除系統(tǒng)誤差，試判斷有無粗大誤差，并寫出測量結(jié)果。解：①求算術(shù)平均值及標(biāo)準(zhǔn)差:第81頁，共124頁，2023年，2月20日，星期五表1–5測量值第82頁，共124頁，2023年，2月20日，星期五②判斷有無粗大誤差。由于本例中測量次數(shù)比較少，不采用3σ準(zhǔn)則判斷粗大誤差。這里采用格拉布斯準(zhǔn)則,已知測量次數(shù)n=12，取置信概率Pa=0.95,查表1-4,得格拉布斯系數(shù)G=2.28。Gσs=2.28×0.032=0.073<|v6|故U6應(yīng)剔除,剔除后重新計算算術(shù)平均值和標(biāo)準(zhǔn)差。再次判斷粗大誤差，查表1-4得格拉布斯系數(shù)G=2.23。

Gσs2=2.23×0.0145=0.032所有vi2均小于Gσs2,故其它11個測量值中無壞值。第83頁，共124頁，2023年，2月20日，星期五③計算算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差④最后測量結(jié)果可表示為

Pa=99.73%第84頁，共124頁，2023年，2月20日，星期五1.2.4測量數(shù)據(jù)處理中的幾個問題1.間接測量中的測量數(shù)據(jù)處理前面主要是針對直接測量的誤差分析，在直接測量中，測量誤差就是直接測得值的誤差。而對于間接測量，是通過直接測得值與被測量之間的函數(shù)關(guān)系，經(jīng)過計算得到被測量的，所以間接測量的誤差則是各個直接測得值誤差的函數(shù)。第85頁，共124頁，2023年，2月20日，星期五一個測量系統(tǒng)或一個傳感器都是由若干部分組成的，設(shè)各環(huán)節(jié)分別為x1,x2,…,xn，系統(tǒng)總的輸入輸出之間的函數(shù)關(guān)系為y=f(x1,x2,…,xn)，而各部分又都存在誤差，也會影響測量系統(tǒng)或傳感器總的誤差，這類誤差的分析也可歸納到間接測量的誤差分析。在間接測量中，已知各直接測得值的誤差（或局部誤差），求總的誤差，即誤差的合成（也稱誤差的綜合）；反之，確定了總的誤差后，各環(huán)節(jié)（或各部分）具有多大誤差才能保證總的誤差值不超過規(guī)定值，這叫做誤差的分配。在傳感器和測量系統(tǒng)的設(shè)計時經(jīng)常用到誤差的分配。下面介紹誤差的合成。第86頁，共124頁，2023年，2月20日，星期五（1）絕對誤差和相對誤差的合成如被測量為y，設(shè)各直接測得值x1,x2,…,xn之間相互獨立，則與被測量y之間函數(shù)關(guān)系為y=f(x1,x2,…,xn)各測得值的絕對誤差分別為Δx1,Δx2,….,Δxn,因為誤差一般均很小，其誤差可用微分來表示，則被測量y的誤差可表示為(1-32)第87頁，共124頁，2023年，2月20日，星期五實際計算誤差時，以各環(huán)節(jié)的絕對誤差Δx1,Δx2,…,Δxn來代替上式中的dx1,dx2,…,dxn，即(1-33)式中，Δy為綜合后總的絕對誤差。如測得值與被測量的函數(shù)關(guān)系為y=x1+x2+…+xn，則綜合絕對誤差Δy=Δx1+Δx2+…+Δxn第88頁，共124頁，2023年，2月20日，星期五如被測量y的綜合誤差用相對誤差表示，則但當(dāng)誤差項數(shù)較多時，相對誤差的合成一般情況下按方和根合成比較符合統(tǒng)計值，即式中，第89頁，共124頁，2023年，2月20日，星期五（2）標(biāo)準(zhǔn)差的合成設(shè)被測量y與各直接測得值x1,x2,…,xn之間的函數(shù)關(guān)系為y=f(x1,x2,…,xn)，各測得值的標(biāo)準(zhǔn)差分別為σ１，σ２，…，σn，當(dāng)各測得值相互獨立時，被測量y的標(biāo)準(zhǔn)差為(1-34)第90頁，共124頁，2023年，2月20日，星期五【例1-4】用手動平衡電橋測量電阻Rx（如圖1-9所示）。已知R1=100Ω，R2=1000Ω，RN=100Ω，各橋臂電阻的恒值系統(tǒng)誤差分別為ΔR1=0.1Ω，ΔR2=0.5Ω，ΔRN=0.1Ω。求消除恒值系統(tǒng)誤差后的Rx值。圖1-9測量電阻Rx的平衡電橋原理線路圖第91頁，共124頁，2023年，2月20日，星期五

解：被測電阻Rx變化時，調(diào)節(jié)可變電阻RN的大小，使檢流計指零，電橋平衡，此時有

R1·RN=R2·Rx

即不考慮R1、R2、RN的系統(tǒng)誤差時，有第92頁，共124頁，2023年，2月20日，星期五由于R1、R2、RN存在誤差，因此測量電阻RN也將產(chǎn)生系統(tǒng)誤差，利用式（1-33）可得消除ΔR1、ΔR2、ΔRN的影響，即修正后的電阻Rx應(yīng)為Rx=Rx0-ΔRx=10-0.015=9.985Ω第93頁，共124頁，2023年，2月20日，星期五

2.最小二乘法的應(yīng)用最小二乘法原理是一數(shù)學(xué)原理，要獲得最可信賴的測量結(jié)果，應(yīng)使各測量值的殘余誤差平方和為最小，這就是最小二乘法原理?？捎盟阈g(shù)平均值作為多次測量的結(jié)果，因為它們符合最小二乘法原理。最小二乘法作為一種數(shù)據(jù)處理手段，在組合測量的數(shù)據(jù)處理、實驗曲線的擬合及在其它多種學(xué)科方面，均獲得了廣泛的應(yīng)用。下面以組合測量為例說明最小二乘法原理及基本運算。第94頁，共124頁，2023年，2月20日，星期五設(shè)有線性函數(shù)方程組為(1-35)式中:X1,X2,…,Xm——被測量；

Y1,Y2,…,Yn——直接測得值。第95頁，共124頁，2023年，2月20日，星期五由于在測量中不可避免會引入誤差，所求得的結(jié)果必然會帶有一定的誤差，為了減小隨機誤差的影響，測量次數(shù)n大于所求未知數(shù)個數(shù)m（n>m），顯然，用一般的代數(shù)方法無法求解，而只有采用最小二乘法來求解。根據(jù)最小二乘法原理，在直接測得值有誤差的情況下，欲求被測量最可信賴的值，應(yīng)使殘余誤差的平方之和為最小，即第96頁，共124頁，2023年，2月20日，星期五若x1,x2,…,xm是被測量X1,X2,…,Xm最可信賴的值，又稱最佳估計值，則相應(yīng)的估計值亦有下列函數(shù)關(guān)系:(1-36)第97頁，共124頁，2023年，2月20日，星期五設(shè)l1，l2，…，ln為帶有誤差的實際直接測得值，它們與相應(yīng)的估計值y1,y2,…,yn之間的偏差即為殘余誤差，殘余誤差方程組為(1-37)第98頁，共124頁，2023年，2月20日，星期五按最小二乘法原理，要得到可信賴的結(jié)果x1,x2,…,xm，上述方程組的殘余誤差平方和為最小。根據(jù)求極值條件，應(yīng)使(1-38)第99頁，共124頁，2023年，2月20日，星期五將上述偏微分方程式整理，最后可寫成(1-39)式(1-39）即為重復(fù)性測量的線性函數(shù)最小二乘估計的正規(guī)方程。式中第100頁，共124頁，2023年，2月20日，星期五正規(guī)方程是一個m元線性方程組，當(dāng)其系數(shù)行列式不為零時，有唯一確定的解，由此可解得欲求被測量的估計值x1,x2,…,xm,即為符合最小二乘原理的最佳解。線性函數(shù)的最小二乘法處理應(yīng)用矩陣這一工具進行討論有許多便利之處。將誤差方程（式1-37）用下列的矩陣表示：(1-40)式中，系數(shù)矩陣為第101頁，共124頁，2023年，2月20日，星期五被測量估計值矩陣為直接測得值矩陣為第102頁，共124頁，2023年，2月20日，星期五殘余誤差矩陣為殘余誤差平方和最小這一條件的矩陣形式為第103頁，共124頁，2023年，2月20日，星期五即V′V=最小或?qū)⑸鲜鼍€性函數(shù)的正規(guī)方程式（1-39）用殘余誤差表示，可改寫成(1-41)第104頁，共124頁，2023年，2月20日，星期五寫成矩陣形式為即A′V=0(1-42)第105頁，共124頁，2023年，2月20日，星期五由式（1-40）有（1-43）式（1-43）即為最小二乘估計的矩陣解。第106頁，共124頁，2023年，2月20日，星期五【例1-5】銅電阻的電阻值R與溫度t之間關(guān)系為Rt=R0(1+αt)，在不同溫度下，測得銅電阻的電阻值如下表所示。試估計0℃時的銅電阻的電阻值R0和銅電阻的電阻溫度系數(shù)α。第107頁，共124頁，2023年，2月20日，星期五解：列出誤差方程式中,rti為溫度ti下測得的銅電阻電阻值。令x=r0,y=αr0,則誤差方程可寫為76.3-(x+19.1y)=v177.8-(x+25.0y)=v2

79.75-(x+30.1y)=v3

80.80-(x+36.0y)=v4

82.35-(x+40.0y)=v583.9-(x+45.1y)=v6

85.10-(x+50.0y)=v7

第108頁，共124頁，2023年，2月20日，星期五按式（1-39），其正規(guī)方程為于是有第109頁，共124頁，2023年，2月20日，星期五將各值代入上式，得到7x+245.3y=566245.3x+9325.38y=20044.5解得x=70.8Ωy=0.288Ω/℃即r0=70.8Ω第110頁，共124頁，2023年，2月20日，星期五用矩陣求解，則有第111頁，共124頁，2023年，2月20日，星期五第112頁，共124頁，2023年，2月20日，星期五第113頁，共124頁，2023年，2月20日，星期五所以第114頁，共124頁，2023年，2月20日，星期五

3.用經(jīng)驗公式擬合實驗數(shù)據(jù)——回歸分析