華科高等工程數(shù)學(xué)課后習(xí)題答案

第一章

5.計算球體積.要使相對誤差限為1%,問度量半徑A時允

許的相對誤差限是多少？|

二兀*一'

5.解&(V)=-——；-------------

與個

0

?R—R*+*R+RR'

-------?---------------------------

RR

_/?-R'3/T_R~R'2_10/

RRR°

ijjR—R=-L

故R300,

12.序列；滿足遞推關(guān)系

yn—10yn-i-1(〃=1.2????)?

若X=1.41(三位有效數(shù)字).計算到那時誤差有多大?這

個計算過程穩(wěn)定嗎？

12.解因￥=J2.y；=1.41.而

Iy—yoiWg,10'=3.

于是有

Iyi—yiI—I10yo—1—10^+11—101yo-yoIW103.

Iyz—yi1=1lOyi—1—10yT+1I=10Iyi—yiI10'3.

類推有.

Iyio—yioI&10103.

即計算到力。.其誤差限為10“6.亦即若在yo處有誤差限為6.貝IJ

13

po的誤差限將擴大1010倍.可見這個計算過程是不穩(wěn)定的.

第二章

7.已知sin(0.32)=0.314567,sin(0.34)=0.333487有6位

有效數(shù)字.

(1)用線性插值求sin(0.33)的近似值.

(2)證明在區(qū)間［0.32,0.34］上用線性插值計算sinx時至少

有4位有效數(shù)字.

7.解(1)選取X?=0.329xi=0.34?x=0.33代入

Lagrange線性插值多項式，得

sin(o.33)=?￡1(0.33)=耨|三等嗡X0.314567

0.33-0.32.Aooo<Q7

0.34-0.320-3334-

=4(0-314507+0.333487)=0.324027.

(2)由余項表達式(2.8)知.在區(qū)間［0.32,0.34］上用線性插

值計算sinx的余項滿足

Ift(x)I=|^-5(：x-0.32)(?-0.34)|￡￡(0.32,0.34)

.。.3*87(034-o.32y

O

^0.000017<-i-X10*.Vx€［0.32,0.3,

因此結(jié)果至少有4位有效數(shù)字.

G.設(shè)x,為互異節(jié)點(j=0,l求證：

*

(1)E=J(A=0,1,…，71)；

尸。

A

(2)Z(即一x)*/；(x)=0(A=1,2,….

/-0

6.解(D設(shè)/(*)=x*.當(dāng)&=0,1,….n時，有

/心⑷=0.

對/(X)構(gòu)造Lagrange插值多項式，

*

L-(x)=E￡。，

產(chǎn)。

其

/??(X)=/(X)—￡?(X)=:----1(X)=0,

(〃一1)!

&介J,Xj之間，j=0,1,.

故/(%)=乙(”)，即

A

￡“：/j(%)=r.A=0,l,,

/-0

特別地，當(dāng)兒=0時.

■

E/>(X)=1.

/-0

(2)方法1：

弓(X,一工力,(4=力士(一iyk]j,7,(x)

II.

利用(D*[k]t”

二(—1),.Xj1Xi=(斯—X/)--0.

i?°I)

方法2：令g(。=0一X)'/=0,1「?，/1.對g(D構(gòu)造〃次

Lagrange插值多項式,得

*

L.(t)=￡(第一x)*/；(t).

60

由（D的結(jié)果知

Z（方—=（/—x）*

/-0

對一切，均成立.特別地.取，=X,上式仍成立,即

?

E（期一?）*/；（?）=o,k=0,1,

i-o

4.給出cosx,0°<x<90°的函數(shù)表，步長/?=1'=（1/60）°,

若函數(shù)表具有5位有效數(shù)字,研究用線性插值求CC"近似值時的

總誤差界.

4.M由題設(shè)知OYY9or=川一X.=(&°?記X，

處的凈確值為f.帶有誤差的值為，,則

58

其中&=fi—f?占1=戶7-ff--

IRBI&lR.1+1R*1=1II(X—x.)(x—XHI)I

+x-x.-t&+X-X.3x

X?-x**iJT?M—X*

1!Jx-XHI?x-x?I

+q=77+7T^r|l

(8=max(I&I?IdI)1

10

■slwIsoJ~~2T.tt?<o,Sxio

%1.OCX1O*+4x101=5.0106X10?.

26.填空咫：

(1)/(X)=3/+1則兒1,2,3]=，小2,3,41=

(2)設(shè)x,(i=O,1.2,3,4,5)為互異節(jié)點，/,(*)為對應(yīng)的5次

5S

Lagrange插值基函數(shù)，則V/4(0)=.二(￡—2￡+

0i-0

Xi—l)Zi(x)—?

(3)/(x)=x4-1,x.=其中i=0,l.2,…，則A=

乙

5Gl

J+J,0WX1,

4-、，」=c是以0,1,2為

2+hx2+ex-1,14y2

節(jié)點的三次樣條函數(shù).則b=,c=.

(5)滿足條件P(0)=P'(0)=0.PCD=1,P(2)=2的插

值多項式P(x)=.

26.解2,3]==Z=3,/￡1,2,3,41=0.

(2)ZXi/i(0)=0.=(x：+2x：+工：-1)/，(算)=無'+2x'

i―0i—0

+J+1.

(3)-#="，(==0,Nfz=17.8125.

(4)ft|limS(x)=limS(x)及l(fā)imS'(％)=limS'(x),

?-l4L「?-l4L廣

得b=-2,c=3.

(5)|設(shè)P(x)=J(ox+b)?得P(x)=--yX3+-yX2.

第三章

25.用最小二乘法求一個形如y=a+bx2的經(jīng)驗公式，使它

與下列數(shù)據(jù)相擬合.并計算均方誤差.

Xi1925313844

19.032.349.078.397.8

25.解由題意知中=span{l,J},%=1,*=1.經(jīng)計算

(強，6)=￡1=5,(*.,9)=Z金=5327,

?-1?-1

(<?，%)=￡￡=7277699,(?,y)=Ey；=271.4,

(<Ft,y)=〉24戶=3G9321.5,

i-1

得法方程組

5a+53276=271.4,

5327Q+72776996=369321.5,

解之得a=0.9726046,6=0.0500351.

故y=0.9726046+0.0500351x.

均方誤差為

llslli=[IIyIIz_?y)]11

122

=(0.0150232)'”=0.123.

26.觀測物體的直線運動,得出以下數(shù)據(jù).

時間”秒00.91.93.03.95.0

鹿肉/秒010305080110

求運動方程.

26.解設(shè)運動方程為S=m-b.

66?

E1=6,Xi=14.7,〉：xi=53.63,

1i-1i-1

Sr=280,Zx乎=1078.

?-li-1

得法方程

66+14.7a=280,

,14.76+53.63a=1078,

解之得fc=-7.8550478,a=22.25376.

故S=22.25376，-7.8550478.

第四章

例4試構(gòu)造形如

Ao/(0)-/(2ft)

的數(shù)值求積公式，使其代數(shù)精度盡可能高,并指出其代數(shù)精度的階

數(shù).

解令公式對/(x)=hx,x均準確成立，則有

135

3/i=4o+4i-Az?

a,

—li=0-^4ih—Az2h^

乙

.9川=0-4ih~-4A*234Ai.

解之得

39

4c.A=0,Az,h,

44

故求積公式的形式為

Jo*/(x)dx弋竽/(0)+yfC2h).

由公式的構(gòu)造過程知.公式至少有2次代數(shù)精度，而當(dāng)/(x)

=x'時，公式的左邊=弓/，右邊=18/f.左邊片右邊，說明此公

式對/(x)=?不能凈確成立.因此，公式只具2次代數(shù)精度.

L確定下列求積公式中的待定參數(shù),使其代數(shù)精度盡量高，

并指明所構(gòu)造出的求積公式所具有的代數(shù)精度.

.41/(-/i)+4o/(0)+4./(h)；

(2)I/(x)dx*Ai/(—h)+A：f(Q)—4i/(/i)；

(3)P/(x)dxL/(-1)+2/(X.)+3/(x2)]/3；

L解(D求積公式中含有三個待定參數(shù),即A

將/(x)=l,.r,x2分別代入求積公式，并令其左右相等，得

41+4+$=2兒

—hCA1-4i)=0,

ft2(4i+4)=q力,.

u

解得A>=.4；=^h,A：=薩所求公式至少具有2次代數(shù)精

度.又由于

「￡dx=4(-Q3+4(1),

JA33

Ixdx^-y(—A.)*+■(—).

Aso

故l：/(x)d…告八一/?)一力/(0)一4_/w具有三次代數(shù)精度

(3)求積公式中含兩個待定常數(shù)力、心，當(dāng)令公式對/(A)=1

求確成立時,得到

I]dx=2="^-(1+2+3),

此等式不含有待定量"、g.無用.故需令公式對/(X)=準

確成立，即

I]*dM=0=g(—l+2xi+3xz).

Idx=-T-=1+2x；+3xi).

，[3o

2xi+3x2=1,(4.29)

,2xi+34=1.(4.30)

解上述方程組得

X2=-0.12GG09xz=0.526609

,或1

XI=0.68990X!=-0.289&0.

故有

r/(x)dXAy[/(-D+2/C0.68990)—3/(-0.12660)]

或

I/(x)dx^-1)+2/(—0.28990)+3/(0.52G60)].

將/(4)=/代入上已確定的求積公式中.

i丁d?r—1—2K；+3工打.

163

故求積公式具有2次代數(shù)精度.

4-已知*==[,*=-|",

(1)推導(dǎo)以這三個點作為求積節(jié)點在[0/：|上的插值型求積

公式.

(2)指明求積公式所具有的代數(shù)精度，

157

(3)用所求公式計算「Jdx.

J0

4.解(1)所求公式的形式為

IJ(x)dx*4—42.

因所要構(gòu)造的公式應(yīng)為插值型的，則

Ac-I'

仆)dx=「尸一裂了一「心

J0?o(xo-XI)(X0-X2)

/_1w_3x

-(xy><x丁_2

--onry-!r,lx■■中

(T-T)(T-T)

(x-XO)(X-X2),

g(*)da=--------------;-----------------------<1.1

J。(XI-X0)(X1-X2)

/1、/3、

i(x-)(x-).

____T______T_=--Z_

(—)r3,

f1(a-xc)(—一二)二

^=lofe(x)dx=

(xz-x：)(xJ-A.A

16G

-(-3--_---1--“--3--_-=——1dX

/1)(TF'

故

Jo/(x)dx^yL2/(-j-)—/(y)+2/(q)].

(2)因上述求積公式為3點的插值型公式,由定理4.1知，此

公式至少有兩次代數(shù)精度.再將代入上述求積公

式，

|*?d?=^-=1E2X1]-1+2I

1戶.「白聲扣x圖一目+2圖1

故所求求積公式具有3次代數(shù)精度.

(3)因所得求積公式有3次代數(shù)精度,從而用求積公式計算

的值應(yīng)是精確值.即

=扣X圖一0+2X(1]]=1.

7.給定積分/=

JoX

(1)利用復(fù)化梯形公式計算上述積分值,使其截斷誤差不超

過鼻10I

(2)取同樣的求積節(jié)點，改用復(fù)化Simpson公式計算時,截斷

誤差是多少？

(3)要求截斷誤差不超過10'，如果用復(fù)化Simpson公式，應(yīng)

取多少個函數(shù)值？

7.解rflf-/(x)==I?cos(xl)df,所以

168

yk(x)=I-p-rcos(Z:/)d/=I/cos(xt+孕)dr.

故

I/*'(x)II?Icos(*+與)IdtWI.l'dt=L].

(1)為使復(fù)化梯形公式滿足誤差要求，只需

I/?.(/)1=<p/?2-|-<yX101

即可,這只需0.1342.

n*o"13.=0.3=7.4516,

故只需8等分即可.此時人=《=0.125,則

1+2

r=4X4<X<°-9973979+0.989G159

+0.97672GG+0.958851+0.9361557+0.9088517

+0.8771920+0.8414710}=0.945G911.

(2)對于同樣點數(shù)用復(fù)化Simpson公式時其截斷誤

差為

1凡。=-褊"廣⑸<羲小>得

=0.000000271=0.271X10*.

(3)為了在使用復(fù)化Simpson求積公式時誤差不超過10只

需

1取(“=卜鎬叮‘⑸卜羲"！

1(1]*,in-?

2880X51nJ，

解得n*^69.444444,2.88675.

故至少需將[0.1]3等分，即取2X3—1=7個節(jié)點處的函數(shù)

11.用復(fù)化梯形公式和復(fù)化Simpson公式的事后誤差估計計

算定積分/=」告dx.要求精確到1。。

n.+y（T2.—r.）,

**1

Tn=丁?！㈱/（x*"4）?

乙乙Q一Q

及&.+&?—Sn）,

10

計算列表如下（表4.6）.

表4.6

1身分2Ar?4-1r/一1?兄一”?、）.->>-:

3Jlw

013

123.18.183333

248.1311764713.141568627

883.13898S4953.1415925080.0000015?<103

4163.1409416120.000C51<1033.1415926510.000000009

因此.由梯形公式得I

/=r?=3.140941612,

精確到10’.由復(fù)化Simpson公式得到

/—&=3.141592503,

精確到10若取

中&=3.141592651,

則精確到」0L

of1

12.用Romberg算法計算積分多。小.要求誤差不超過

104.

12.解用Romberg方法計算積分［e,dx,應(yīng)用公式

(4.15),計算結(jié)果見表4.7.

172

表4.7

kn4)7\k>型

00.6839400.6323330.6821220.632120

10.6452350.632135O.63212C

、

0.6354100.682121

30.632948

所求積分

-^I-e-dx??-J=X0.632120^0.71327,

而積分準確值為0.713272.

14.用下列方法計算積分「上d>.

-1r

(l)Romberg算法.

(2)三點及五點Gauss-Legendre求積公式.

(3)將積分區(qū)間分為四等分，用復(fù)化兩點Gaus§公式.

14.解(1)用Romberg算法

斐=匕今a)+

計算，計算結(jié)果如表也8.

表4.8

k咿n4>nft>

01.3833331.1111111.0992581.098680

11.1666671.0999991.098640

2i.iieeeei.o?e725

31.108210

故1j—dy1.098G30

(2)用三點及五點Gauss-Legendre求積公式，需先對求積區(qū)

間口,3口作如下變換:令

y==(〃+6)+[■(6-a”=/+2.

則當(dāng)yW口,31時，?！闿一1/1,且dy=<h,

〕、打=?！纃，.

三點Gauss公式

r^y=Tdr

-iy1渾<-rZ

174

0-55o55oG[2^0.7745967-2-0.7745967

+0.8888889X.J,A

乙?UV

=1.098039283.

五點Gauss公式

—

2-0.90G17982+0.90C1798

-0.4786289X

-0.5088889x4

=1.098609289.

(3)用復(fù)化的兩點Gauss求積公式計算.需將口.314等分，則

dt,li*_dl

2i2.5+0.5，2~13.5—0.5:

_n1if1d，

2-'>4.5+0.5，2-,*5.5-0.5/

?」_________1,________]

'2l2.5+0.5X(卜32.5+0.5X3"

+______1___________I

3.5+0.5X(一37)+3.5-0.5X3一

+______I_____+_____I___?

4.5+0.5X(-31VTli)4.5+0.5X312

___________1__________________]

5.5+0.5X(-3,")5.5+0.5X3叼

=1.098537573.

/=的真值為/=1.098612289.

1b.建立Gauss型求枳公式

x)dx4,4c/(x?)+.41/(Xi).

15.解此題可用兩種方法求解：第一種利用代數(shù)精度，得到

￡于兒、小、加、外的一個非線性方程組，求解此方程組.得兒、

h、*第二種方法,利用正交多項式的零點作為Gauss點.下

亓田第一用去犍法.

17.證明求積公式

r〃幻dx&《[5/(O)+8/(0)+5/(-O)]

對丁?次數(shù)不高于5的多項式旅確成立，并計算積分|fRdx.

方法二:驗證所給的求積公式是Gauss-Legendre求積公式.

因為三次Legendre多項式為

LA(X)=_3x)

乙t

它的3個零點分別為xc=—JO.6,xi=0,*=JO.G.

于是有

/(x)dxkAc/(—JO.6)+Ai/(0)+42/(JO.6).

J-i

令公式對/(X)=1,X,X2準確成立，得

」一旦

2—4+A+,上一百

0=-Jo.GAo-Jo.6Az>—<

4=苫

=0.G4+0.6.42.

Az=-Q-

故公式

Ii/(x)dx??-1[5/(-1676)+8/(0)+5/(O)]

是Gauss型的，且恰為二點Gauss-Legendre求積公式.其代數(shù)精

度為5.

也可直接查表得.40,41,42.

計算積分L普九

令x=4(l+D,則

=0.2842485.

第五章

1.取步長/?=().2,用Euler法解初值問超

/一Z

Y——y—xy,

/(0&W0.6),

.y(O)=l.

1-解/(#,?)=—＞一》/，Euler格式為

216

y??1=y.-A/(x.?戶)="+0?2(-y.-x?yL)

=0?8六—0.2x.yi.

由尸=1計算得

y(0.2)&yi=0.8.

y(0.4)七戶=0.5888,

y(0.=0.3895.

2.用梯形公式解初值問題

『=8-3"

-J(1—,

>(f1)=2,

212

取步長人=0.2,小數(shù)點后至少保留5位.

2.解/(x,y)=8-3',梯形公式為

y?1=y-H--^]/(工。,)、)-*yni)J

=”+?^^[8-3y?-8—3y…J.

整理得顯格式為

_7,16

由式1)=廣=2計算得

式1.2)8尸=2.30769,

y(l-4)*廣=2.47337,

r(1.6)?*p=2.56258,

y(L8)&y,=2.G10G2,

y(2.0)*尸=2.63G49.

4.寫出用梯形格式的迭代算法求解初值問題

y'+y=O,

.式0)=1

的計算公式.取步長人=0.1,并求y(0.2)的近似值.要求迭代誤差

不超過104.

4.解梯形格式的迭代算法為

y.-i=y.+h/(x.,y.),

y/"i1=y.+W]/(x?,y-)+/(x…,)J.

A=0,l.2,…，n=0,l,2,….

r是取/(x.y)=—y,有

y?-i=0.9x.,

.產(chǎn)產(chǎn)=0.958一0.05州.

由y(0)=K=l.經(jīng)計算有

行>=0.9,=0.905,^:>=0.90475,

=0.9047625,=0.904761875.

因|式>一4>1=6.25X10'V1()T,

于是取y(0.D*戶=)產(chǎn)=0.904761875,

則口>=0.814286,分”=0.818809,

產(chǎn)>=0.818583,,>=0.818595,

,"=0.818594.

因If-式|=10'V10

故得>(0.2)4管="”=0.818594.

13.設(shè)有常微分方程初值問同'一，二'"’的單步法

y(XD)=尸

=

y?-1?—^[/(心，y*)-2/(1，yn1)J,

o

214

證明該方法是無條件穩(wěn)定的.

13.證對模型方程/=。(入V0),所給方法的形式為

，…=--^-(入+2入/?]),

---o-3?

o

記a1為y.處的擾動.則有

1+4■入八

y?4i+&-i=(￥?+&).(5.35)

(5.35)式減(5.34)式得

1~-rX/i

&r=-^—3..

1—寫人力

0

11+打”

因恒有一JVI.故gJV6I總是成立，即此方法是無條

p-t^l

件穩(wěn)定的.

[y—\y,M二0,

19.討論求解初值問闕'的二階中點公式

I/0)=?

7.?1=,■+〃./[X-,y./(x-,y-)

的穩(wěn)定性.

19.解因/(%,)=入〉，所以中點公式為

加1=六-4*y.+-1-(Xy.)]].

令霜＞=方，則

y,—=1+方—y?.

設(shè)戶上有小擾動工制

,.，1+2,1=1一方--g"(y?-S.)

與上式相減有

S,?1=|11一方興?

顯然當(dāng)且僅當(dāng)|1+方+得百IW1時，值+1區(qū)陽，即所給格式是

穩(wěn)定的.解

11一方一■IW1

等價于-10+方即一1—(方W0,當(dāng)1一萬一

4尸=1時，得方1+4?方=0,即方=0及方=一2.將區(qū)間分為

/Z

229

(一8,—2),[—2,0],(0,+8),僅當(dāng)方￡2,01時，一2W方(1+

蘭?方)W0,故一2WliW0即為絕對穩(wěn)定區(qū)間.所以當(dāng)步長上三

時，二階中點公式是穩(wěn)定的.它是條件穩(wěn)定的.

第七章

18.設(shè)有解方程12—3x+2c°sx=0的迭代法

(1)證明均有ilri-mgx.=/(一為方程的根).

(2)取筋=4,用此迭代法求方程根的近似值.誤差不超過

18.解(D因迭代函數(shù)

275

而對一切X,均有

故迭代過程收斂,即VaGR.均有l(wèi)imx.=Y.

■98

(2)取xo=4,代人迭代式計算有

xi=4—ycos4=3.56424,

xz=4—yros3.56424=3.39199G.

X3=4—TCOS3.391990=3.354125.

2

x<=4—354125=3.34833.

U

O

xz=4—5-cos3.34833=3.3475299.

o

取/*m=3.347即可使誤差不超過10\

(3)因《(x)=—-^-sinx.|?(x*)|=|-ysinx,|K0?故由推

論G.1知,此迭代格式只具線性收斂性.

14.證明迭代公式

_*(4：+3。)

1=-z-:-----

ox*-a

是計算幾的三階方法；假定初值*充分靠近根，?求

..la—1

Iim-F=-----.

…(Ja-Q

14.證顯然，當(dāng)￡>0,q>0時，m>0(A=L2.…).令迭代

函數(shù)

22

1mlx)_-(3.r'+3a)(3x+a)—x(x^3a),6x

則￥(------------(3?-ay------------

_3(1—af

~(3x+aV

故