無限單元在地基動(dòng)力反應(yīng)中的應(yīng)用

無限單元在地基動(dòng)力反應(yīng)中的應(yīng)用摘要：在地下結(jié)構(gòu)或土體的動(dòng)力分析中，無限地基的模擬是其中的一個(gè)關(guān)鍵問題。本文對(duì)無限地基模擬的人工邊界方法進(jìn)行了若干理論探討，并借助于有限元軟件ABAQUS中對(duì)各類人工邊界進(jìn)行了算例模擬，最后將無限單元、粘性邊界和修正的粘彈性邊界的數(shù)值計(jì)算結(jié)果同理論解進(jìn)行了比較，結(jié)果表明，相對(duì)于其它人工邊界而言無限單元的效果較好，而且使用簡單，是無限地基的動(dòng)力模擬的有效方法。關(guān)鍵詞：人工邊界，粘性邊界，粘彈性邊界，無限單元AnalysisandComparisonsofNumericalSimulationsforInfiniteMediumUsingArtificialBoundaryABSTRACT:Thenumericalsimulationofinfinitemediumisaveryimportanttopicindynamicanalysisofundergroundstructuresorsoils.Thispaperinvestigatestheinfluenceofartificialboundaryconditionssuchasviscousboundary,modifiedviscous-springboundary,andinfiniteelementonstructuralanalysisusingthefiniteelementsoftwarepackage,ABAQUS.Thecomparisonofthenumericalresultswiththeclosedformsolutionshowsthattheinfiniteelementismoreeffectiveandmoreaccuratethantheothertwo.Soitisrecommendedtousetheinfiniteelementwhensimulatinginfinitedomains.Keywords:artificialboundary,viscousboundary,modifiedviscous-springboundary,infiniteelement.1.引言在對(duì)土體或地下結(jié)構(gòu)進(jìn)行有限元分析的過程中，必須對(duì)實(shí)際上近于無限的計(jì)算域用某一人為邊界截?cái)?，才能在有限的區(qū)域內(nèi)劃分有限個(gè)單元進(jìn)行計(jì)算。這樣就不可避免地給計(jì)算結(jié)果引入截?cái)嗾`差。特別是對(duì)于動(dòng)力分析問題，應(yīng)力波傳到截?cái)噙吔鐣r(shí)將發(fā)生反射，常常會(huì)給計(jì)算結(jié)果帶來不能允許的誤差。這就使得動(dòng)力分析過程中邊界處理問題尤為重要，也吸引了很多學(xué)者進(jìn)行這方面的研究。最初和最簡單的人工邊界是遠(yuǎn)置人工邊界。1968，Alterman[REF_Ref132620700\h8]首次將無限域用一個(gè)很大的有限域來模擬，這種遠(yuǎn)置人工邊界的方法成為現(xiàn)在常用的檢驗(yàn)邊界精度的一個(gè)比較精確的方法。一般認(rèn)為[REF_Ref132622950\h10]，當(dāng)人工邊界與計(jì)算結(jié)構(gòu)的距離為結(jié)構(gòu)特征尺寸5～10倍時(shí)，上述遠(yuǎn)置人工邊界可以取得一個(gè)較穩(wěn)定的值。1969年，Lysmer和Kuhlemeyer[REF_Ref132620780\h6]提出了粘性邊界條件（viscousboundarycondition）。粘性邊界利用在邊界上設(shè)置法向和切向阻尼器的方法吸收反射波的能量，從而減少邊界反射波引入的誤差。粘性邊界因?yàn)槭褂煤唵危虼酥钡浆F(xiàn)在都應(yīng)用較多。后來的研究者又提出了粘彈性邊界的概念，即在粘性邊界的基礎(chǔ)上并聯(lián)一個(gè)彈簧，并建立了若干修正模型[REF_Ref132619934\h3]。隨著單向波動(dòng)理論的發(fā)展，各國學(xué)者開始從波動(dòng)方程的角度的對(duì)人工邊界條件進(jìn)行研究。Lindman首先從偏微分方程構(gòu)造單側(cè)波動(dòng)方程的角度來近似模擬人工邊界外行波場(chǎng)，并依據(jù)這一思路發(fā)展了多種人工邊界。而最有代表性的則是Clayton和Engquist(1977)提出的旁軸近似人工邊界（ParaxialApproximationboundary）。這是70年代和80年代人工邊界研究的標(biāo)志性成果。80年代初期，我國學(xué)者廖振鵬[REF_Ref132620827\h7]（1984）在直接模擬單側(cè)波動(dòng)共同運(yùn)動(dòng)學(xué)特征的基礎(chǔ)上，提出了多次透射人工邊界（MTF）。這種邊界條件，以邊界內(nèi)節(jié)點(diǎn)的位移來推求邊界點(diǎn)的位移，使得人工邊界變成一種真正的可動(dòng)邊界，但是在實(shí)際應(yīng)用過程中，這種邊界給出的計(jì)算結(jié)果有時(shí)會(huì)出現(xiàn)低頻漂移和高頻失穩(wěn)現(xiàn)象，并且控制參數(shù)的選取也帶有一定的經(jīng)驗(yàn)性。下面僅對(duì)粘性邊界、修正粘彈性邊界及有限元軟件ABAQUS自帶的無限單元進(jìn)行簡要的說明，并對(duì)各種邊界的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對(duì)比研究。結(jié)果表明，ABAQUS自帶的無限單元使用簡單，而且具有較高的效率和計(jì)算精度。2.各種邊界條件的簡要說明（1）粘性邊界[REF_Ref132620780\h6]1969年，Lysmer和Kuhlemeyer提出了粘性邊界條件（viscousboundarycondition）。粘性邊界最初的想法是把無限域分成內(nèi)部域和外部域，從內(nèi)部域向外部域行進(jìn)的波應(yīng)該全部通過，而沒有反射，因此，可以把外部域看作是一個(gè)波動(dòng)吸收器或是一個(gè)無反射邊界。基于這種思想，Lysmer等提出了邊界條件用以下公式表示：（SEQ公式\*ARABIC1）其中，分別是邊界的法向和切向應(yīng)力；是介質(zhì)密度；分別是波和波波速；分別是法向和切向速度。從以上我們可以看出，粘性邊界的實(shí)質(zhì)就是在人工邊界上施加法向和切向的阻尼器。（2）修正的粘彈性邊界[2,3]蜂杜修力奧和趙密農(nóng)利用敢平面波和遠(yuǎn)場(chǎng)付散射波經(jīng)驗(yàn)疊世加來反映外行柿波傳播，并在騙推導(dǎo)過程中考鍬慮了多角度透鍵射的影響，然涌后引入無限介去質(zhì)的線彈性本現(xiàn)構(gòu)關(guān)系建立了珠一種應(yīng)力人工績邊界條件。嶼其中對(duì)粘彈性拒邊界的食粘猴性系數(shù)和懇彈性斗系數(shù)各提出一難個(gè)經(jīng)驗(yàn)系數(shù)進(jìn)中行了修正。喝其中對(duì)二維問碌題，鉤法向和切向的瓶彈簧和阻尼系宜數(shù)分別為：刻換囑法孔向水院穩(wěn)尊艷漫控心球痛尋粉腦流讀丑返（膨SEQ炒鍛公嚴(yán)式斥\*AR清ABIC抱語2據(jù)）華滋裳（動(dòng)SEQ款信公耳式牧\*AR跌ABIC赤鉛3遼）宅切刻向移鞏察在匠業(yè)（你SEQ跳篩公孝式鄰\*AR扮ABIC眠賭4述）絨幻夢(mèng)疫伴（蒜SEQ揮帶公丟式耽\*AR童ABIC糊眾5戶）顯（日3死）無限單元雪[早REF_R窗ef1326超21207枝\h幸不\*ME卻RGEFOR聯(lián)MAT魂9達(dá)]冶無限元的概念灌最早瘋由如Ungles妄s證提出，后來經(jīng)踢過怖Bettes揪s吸，燒Zienki續(xù)ewic杯z輸?shù)热说陌l(fā)展，慣在使用上已經(jīng)刊很廣泛了。REF_Ref133724134\h撿圖主澤1園為整體坐標(biāo)與鵲局部坐標(biāo)的映央射簡圖。其圖沉SEQ圖\*ARABIC搖1石掘整體坐標(biāo)與局滿部坐標(biāo)的映射向簡圖懶F肢ig.1段Mapped鑰烈figure禮betwe習(xí)en霸whole嶺coordi雕nate扛andl撓ocalc亞oordin禽ate泰對(duì)于一維的情慶況，整體坐標(biāo)往與局部坐標(biāo)之牽間的關(guān)系撓可以寫為停太欲轟（菠SEQ帽映公獎(jiǎng)式滴\*AR瘡ABIC肆毀6味）紗從而可以看出終當(dāng)欲時(shí)，尾；秧時(shí)，元；銅時(shí)，配，符合無限元污映射到無限遠(yuǎn)漆的條件。怕將淚，肌代入炸式抽（形6分）隸可以得到期，即受弱忍絡(luò)（盾SEQ峰盾公缺式顛\*AR拾ABIC竭完7塑）膝利用偏插值函數(shù)提表達(dá)式班，可得想秒劫饅（扇SEQ蕉翠公休式口\*AR瑞ABIC蟲杏8精）窗根據(jù)無限元艱的壓性質(zhì)定，認(rèn)為無窮遠(yuǎn)蔑處的位移為零潮，即侵，因此可得際撕元黑（佛SEQ寫疏公調(diào)式舞\*AR集ABIC曉東9凝）柿將式沃（適7圖）燭代入式可得蛋喪隊(duì)（剖SEQ奶狀公理式忍\*AR竿ABIC蹦有10腰）枕由此得到位移管隨著距離的衰抬減函數(shù)槳，即位移蓄為無限單元節(jié)蹈點(diǎn)位移的錯(cuò)和杰的紹函數(shù)遵。提將上述推導(dǎo)的廚無限單元應(yīng)用廳于靜力問題的筑有限元覺分析，顆可以獲得很好揭的計(jì)算結(jié)果；咳但若將其直接騙應(yīng)用于動(dòng)力問訴題的有限元分吳析，計(jì)算過程蝴中有限單元和脆無限單元的交胃界處仍然會(huì)產(chǎn)達(dá)生一些散射波找，從而影響計(jì)字算精度。下面冶的推導(dǎo)將通過疊給無限單元引楚入分布阻尼的掏方式消除上述滋散射波的影響紡。陡基于垂直入射洗平面體波的考墨慮，假定靠近墓邊界的區(qū)域的食反應(yīng)很小請(qǐng)材料處于彈性屆狀態(tài)，鉗介質(zhì)的唇平衡方程憤可以寫勝為軍勺權(quán)榆（賺SEQ駕蜘公爆式裁\*AR掙ABIC稀傳11番）晝其中，趨為材料的密度難，抹為介質(zhì)藝位移冰，扔為應(yīng)力，類是位置點(diǎn)。驢假設(shè)介質(zhì)變形皮為彈性，則裂式甜（仙1俊1巨）仆解為緊腥襖嗎（拘SEQ陶營公畏式萍\*AR承ABIC剝倒12膠）建其中，槳為應(yīng)變，其中禾，社為拉梅還彈性詢常數(shù)（其中眾為彈性模量，蟲為泊松比定）任。對(duì)于小變形飾的情況，班，代入式放（就1征1殿）概可得泰超尊杰蠶（儉SEQ核樹公曠式災(zāi)\*AR罪ABIC喬拐13標(biāo)）信考慮平面波沿哄軸傳播時(shí)，對(duì)走于壓縮波，昏可以得到僑，司，釀；而陰對(duì)于剪切波蛙，可以得到伙，宰或者笨，聲，呆。習(xí)首先在睛邊界酬處悲施加廊分布阻尼，腫即父邊界上晉的阻尼應(yīng)黎力為擱，帥，看，棋然后運(yùn)選擇適當(dāng)?shù)膮⒔驍?shù)護(hù)、渡使穩(wěn)邊界處戀波的反射為零美，導(dǎo)就可以籮達(dá)到提高計(jì)算惡精度的目的燭。茂設(shè)邊界處為的蠢入射波為溪，則反射波為盯，酸那么家在鹽邊界偷處康施加了報(bào)分布?jí)糇枘嵋院笞u(yù)總升的峰法向衣應(yīng)力故可以寫與為稍逝觸蠶巴（拖SEQ出飛公蝴式鑼\*AR待ABIC白爆14矩）舉若考慮反射波拍為零，即秩，則式搬REF_R宴ef1332靠01220躲\h香勞霉己傳（掩（級(jí)1描4誘）疑成立的條件為怨組咸外瘋（徹SEQ瞎錄公憲式炸\*AR野ABIC嫁嶄15棚）冤同理，可得充。將這些分布植阻尼內(nèi)嵌疫入露ABAQU促S伙中的無限單元訴中蜻就可以進(jìn)行無債限地基的動(dòng)力曉模擬。由于無越限單元中非線恒性衰減映射函寸數(shù)對(duì)分布阻尼移具有調(diào)整作用羊，所以索相對(duì)于直接加火阻尼器而言，寒ABAQU對(duì)S煮中的無限單元膚可以取得更好鑼的效果。鄭3.漢算例驗(yàn)證松對(duì)于無限大的晶土體，邊界條灣件對(duì)計(jì)算精度籠的影響是不可被忽略的，因此做，盛本文館對(duì)不同的邊界誓條件咸進(jìn)行了數(shù)值驗(yàn)鴨證國。對(duì)于額無限大切各鎖向熊同性綢地基會(huì)，譽(yù)理論解表明躁[暈REF_R霉ef1326坐20827揉\h蓋\*M腥ERGEFO哲RMAT巾7糕]遺土體秒自由表面酷的位移幅值為病底部輸入位移定幅值吹的體2與倍。潛（從1叨）北提算例情況說明培計(jì)算模型陣[抵REF_R晶ef1326托15429集\h弊\*M渴ERGEFO債RMAT眨1賽]云如扭REF_R鵲ef1307雞22924聽\h像屯圖拔冶2揮，均勻場(chǎng)地，抓計(jì)算物理參數(shù)榮為：泊松比玉，質(zhì)量密度疲，剪切模量漫，剪切波速搭。入射波位移燈過程為產(chǎn)，直入射頑，癢人工邊界劃定欲的計(jì)算范圍承，單元大小淚，計(jì)算時(shí)步頃，計(jì)算區(qū)各質(zhì)氧點(diǎn)運(yùn)動(dòng)初始條倡件為零。煮圖北豬SEQ醋餅圖費(fèi)\*AR奮ABIC夠跳2膏均勻場(chǎng)地計(jì)算駱示意圖季F葉ig.2義Sketch揭mapo量f拖homoge動(dòng)neous雨field棕（鬧2羊）矩各種邊界計(jì)算改結(jié)果及對(duì)比a無限單元仙ABAQUS灑自帶的往無限單元導(dǎo)在無限元映射煎函數(shù)的基礎(chǔ)上霉，將分布阻尼籠嵌入到無限單訓(xùn)元中。為了倉盡可能使得揚(yáng)靠近邊界區(qū)域急的反應(yīng)為彈性貸，應(yīng)使無限單臣元遠(yuǎn)離我們所兆關(guān)心的區(qū)域聰。中心區(qū)域的竿有限單元部分障的晴單元大小襲為穿，陳而靠近邊界的擋有限單元的尺肯寸可以適當(dāng)放舅大，濁REF_R秀ef1334粒63118謙\h傅鞋圖近頃3橡為無限元計(jì)算伶模型的簡圖。廢REF_R銜ef1307捷17514帥\h墻反\*ME成RGEFOR籠MAT真圖慎冠4倆，REF_Ref130723011\h因\*ME慌RGEFOR虜MAT懲圖膽松5呢分別為自由表硬面邊界點(diǎn)及中樸間的略兩個(gè)點(diǎn)的計(jì)算溜結(jié)果對(duì)比。從邁圖中可以看出渡，運(yùn)用胡無限協(xié)單元，表面節(jié)借點(diǎn)的位移可以茫達(dá)著到桃1.胞8劇倍恢到嶄2.招4挑倍之間，奏而且中間點(diǎn)的速位移幅值接近另是底部輸入位牙移幅值極的蔽2寸倍，并聽可以明顯歡地享看到滯后效應(yīng)鴉。永圖乖蜜SEQ板映圖且\*AR萌ABIC敵股3冶無限元計(jì)算模莊型簡圖航Fig.3貌S嗚kethm彩apof里infini漢teele馳men汁t蟻（望a讓）掉膛多魚歇贈(zèng)(b)押圖意造SEQ貨蛛圖紹\*AR芝ABIC形皇4嗓表面點(diǎn)斷A焦（領(lǐng)a蹄）劍、醋B縱（齊b柿）彈的位移時(shí)程及襖相應(yīng)底面位移嘆時(shí)程曲線煎F舞ig.4酒Thedi積splace府ment-t聽imehi壤story刺ofsur桐facep鮮ointA屆,Ban讓dthe硬corres養(yǎng)pondin滲gbott計(jì)ompoi豈nts悅亞圖減矮SEQ灑乏圖問\*AR版ABIC句簡5司表面點(diǎn)送C寇位移時(shí)程及相著應(yīng)底面位移時(shí)朱程曲線獎(jiǎng)F等ig.5吼Thedi矮splace刻ment求遇timeh陡istory盲ofsu自rface廚point細(xì)Cand炊theco賄rrespo鼠nding超bottom桃point解b.辦修正的粘彈性圓性邊界豈[酒REF_R肌ef1326什19843有\(zhòng)h栽偉\*ME查RGEFOR咽MAT跨2椅,3]燈杜修力和趙密受在原有粘彈性懼邊界的基礎(chǔ)上害，通過對(duì)參數(shù)述進(jìn)行修正，推結(jié)導(dǎo)出了修正的席粘彈性邊界葵。杜計(jì)算中采用文班獻(xiàn)REF_Ref132619843\h密2如、REF_Ref132619934\h始3剝中推薦的值，吼取千。慚計(jì)算結(jié)果的對(duì)澆比如佳REF_R考ef1307址23944貼\h跪獵\*ME媽RGEFOR畫MAT糠圖訊秋6串，REF_Ref130723948\h小\*ME狹RGEFOR哈MAT潑圖址攝7分所示。向（爐a垂）牌點(diǎn)侍斧派狹忌（揭b嘗）香圖糕突SEQ士線圖啞\*AR甜ABIC也政6隨表面點(diǎn)閑A繳（語a晃）、升B劣（炸b求）友的位移時(shí)程及毒相應(yīng)底面位移接時(shí)程曲線垃F(xiàn)錢ig.6碼Thedi祝splace鬧ment-t到imehi濕story秧ofsur戲facep錫ointA爹,Ban抄dthe夫corres去pondin腎gbott淹ompoi局nts答圖氣滿SEQ諒亮圖去\*AR神ABIC骨卸7涼表面點(diǎn)棵C嶄的位移時(shí)程及獎(jiǎng)相應(yīng)底面位移稍時(shí)程曲線什F油ig.7帶Thedi季splace礦ment-t售imehi性story膊ofsur食facep行ointC絹andt梢hecor貧respon陵dingb弦ottom然point宵從圖中可以看唯出，表面中間肝點(diǎn)的位移幅值廳只為底面輸入論位移時(shí)程穴的碌1.季8嘗倍左右。碗c.告粘性邊界衣對(duì)于普通的粘旋性邊界，標(biāo)直接蘇在邊界上施院加切向和法向旅阻尼器程，阻尼系數(shù)利挎用式欲（僻1舌5遺）進(jìn)行計(jì)算。射REF_R辣ef1334車67005即\h從犬圖夾內(nèi)8絲、REF_Ref133463556\h君圖玉譯9速為粘性邊界的阿情況下，伏底部位移時(shí)程疑與表面位移時(shí)燭程曲線價(jià)，可以發(fā)現(xiàn)，夠位移幅值為底算部輸入幅值山的遺1.仿4繳倍囑到戚1.題8閣倍之間。撤（滴a假）駁紐響括埋(b)慘圖將動(dòng)SEQ遠(yuǎn)玻圖搭\*AR煮ABIC違冰8勞表面震點(diǎn)害A浩（管a膚）曾、灰B巖（益b醒）的位移時(shí)程垮及相應(yīng)底面位愈移時(shí)程曲線羅F規(guī)ig.8閉Thedi咐splace廊ment-t螺imehi斥story恥ofsur竟facep笛ointA漲,Ban殊dthe誘corres絲pondin幸gbott裙ompoi明nts儲(chǔ)圖貿(mào)盟SEQ說圈圖李\*AR夜ABIC櫻棕9遇表面耽點(diǎn)愛C體的位移時(shí)程及糖相應(yīng)底面位移陳時(shí)程曲線瑞F括ig.9縣Thedi蒙splace叮ment-t榨imehi撫story豬ofsur勵(lì)facep辱ointC里andt拖hecor過respon號(hào)dingb成ottom駛point4.結(jié)論略象從以上的分析盲可見，軍人工邊界條件踢對(duì)無限地基動(dòng)茫力反應(yīng)的影響渾是很大的，因損此恰當(dāng)?shù)娜斯ど┻吔鐥l件是無著限域動(dòng)力反應(yīng)校的一個(gè)關(guān)鍵問己題。方常規(guī)幣的粘性邊界或棍粘彈性邊界是置在邊界節(jié)點(diǎn)上掛施加阻尼器和東彈簧，這對(duì)于朝網(wǎng)格劃分有一史定的依賴性，陳并且計(jì)算效果門也并不盡如人名意。繼本文鉆使用蛛有限元軟冬件老ABAQU貪S醉中的無限單元距，將算分布阻尼內(nèi)嵌籠入無限單元中容，從而宜不僅爛避免了清網(wǎng)格依賴性笨，刑還耀可以文借助于狀映射柴函數(shù)考慮波動(dòng)?jì)上蛲鈧鞑ミ^程迎中的衰減以及巧無限遠(yuǎn)樓處零位移邊界殺條件的影響趣。咐同時(shí)肉這種單元使用合簡單，并且具宮有良好的兇穩(wěn)定性和收斂蔥性擴(kuò)，每是畢無限地基的動(dòng)辟力龍模擬的有效方甚法配。參考文獻(xiàn)：SEQ折文獻(xiàn)劈\*AR蹄ABIC桂1所慮陳原，欄工程場(chǎng)地地震示動(dòng)相干函數(shù)研世究脾[D]籃，同濟(jì)大學(xué)婦博士學(xué)位論文歪，指導(dǎo)教師：債李杰苗，矛2005.SEQ池文獻(xiàn)努\*AR按ABIC應(yīng)2定.屬趙密益.根粘彈性人工邊稀界及其透射人寧工邊界的比較飛研究臥[D]盛，北京工業(yè)大缺學(xué)碩士學(xué)位論側(cè)文，指導(dǎo)教師淡：杜修力概，凍2004僅.SEQ逢文獻(xiàn)胖\*AR茅ABIC懶3濟(jì).暮杜修力，趙密境，王進(jìn)廷豆.匪近場(chǎng)波動(dòng)模擬鴨的人工應(yīng)力邊徹界條件紗[J]糟，力學(xué)學(xué)報(bào)，盈Vol.3臂8,No.蹄1箱:慎49勵(lì)~筆56伙，宿2006.