常微分方程習(xí)題與答案

第十二章常微分方程(A)一、是非題.任意微分方程都有通解。（）.微分方程的通解中包含了它所有的解。（）.函數(shù)y=3sinx-4cosx是微分方程y〃+y=0的解。（）.函數(shù)y二x2.ex是微分方程y〃-2y，+y=0的解。（）.微分方程xy-lnx=0的通解是y=1Gnx）2+C（C為任意常數(shù)）。（）2.y，=siny是一階線性微分方程。（）.y'=x3y3+xy不是一階線性微分方程。（）.y〃-2y'+5y=0的特征方程為r2-2r+5=0。（）.孚=1+x+y2+xy2是可分離變量的微分方程。（）dx二、填空題1.在橫線上填上方程的名稱(chēng)①(①(y-3)?lnxdx-xdy=0是②(y2+x^dx+(-x2y^dy=0是x—=y?In—是dxxxy'=y+x2sinx是y〃+y，-2y=0是。y〃'+sinxy'-x=cosx的通解中應(yīng)含個(gè)獨(dú)立常數(shù)。y〃=e-2x的通解是。y"=sin2x-cosx的通解是 。xy"'+2x2y'2+x3y=x4+1是階微分方程。微分方程廣〉〃-(y)=。是階微分方程。7?y=L所滿足的微分方程是。.y=型的通解為oX.包+電=0的通解為 。y%.電—三=Q+/,其對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解為dxx+1.方程孫一(+X2]=0的通解為o.3階微分方程黃=心的通解為o三、選擇題TOC\o"1-5"\h\z.微分方程〃+x()/)3—y4y=0的階數(shù)是( )oA.3B.4C.5D.2.微分方程x2y〃—￡=1的通解中應(yīng)含的獨(dú)立常數(shù)的個(gè)數(shù)為( )oA.3B.5C.4D.2.下列函數(shù)中，哪個(gè)是微分方程6-2xdx=。的解（ ）oA.y=2xB.y=l2C.j=-lxD.y=-x7.微分方程〈=3"的一個(gè)特解是（ ）oA.y=+1 B.y=Q+2） C.y=G+C）2D.y=C（l+J.函數(shù)y=cosx是下列哪個(gè)微分方程的解（ ）oA.y'+y=0 B.yf+2y=0 C.y”+y=0 D.y"+y=cosx.y=Cex+Cer是方程y〃-丁=。的（）,其中。,c為任意常數(shù)。1 2 1 2A.通解B.特解C.是方程所有的解D,上述都不對(duì).:/二〉滿足田=2的特解是（ ）ox=0A.y=ex+l B.y=2exC.y=2-ei D.y=3e.微分方程y〃+y=sinx的一個(gè)特解具有形式（ ）。A.y*=asinxy*y*=x(asinx+bcosx)y*=acosx+bsinx9.下列微分方程中，9.下列微分方程中，（）是二階常系數(shù)齊次線性微分方程。A.y"—2y=0D.y〃—2y'+1=0）。.微分方程y'-y=0滿足初始條件y6）=1的特解為（）。A.exB.ex—1C.ex+1D. 2—exTOC\o"1-5"\h\z.在下列函數(shù)中，能夠是微分方程y〃+y=0的解的函數(shù)是（ ）。A.y=1B.y=xC.y=sinx D.y=ex.過(guò)點(diǎn)“3)且切線斜率為2x的曲線方程y=yQ)應(yīng)滿足的關(guān)系是( )。A.y'=2x B.y"=2x C.y'=2x,y(L)=3 D.y"=2x,y(L)=3.下列微分方程中，可分離變量的是（ ）。ady^yady^yA.——+—=e B.dxxC.-—siny=x D.dx14.方程y=2y=0的通解是(A.y=sinxB.y=4?e2x3=k(x—a)b—y)(k,a,b是常數(shù))dxy'+xy=y2.ex)。C.y=C-e2xD.y=ex）。.微分方程3+電=0滿足yI=4的特解是（yx x=3）。A. x2+y2=25D.x2-y2=7.微分方程電—Ly=0的通解是y=( )。dxxA.CB.CxC.1+CD.x+Cx x.微分方程y'+y=0的解為( )。A.ex B.e—x C.ex+e—x D.—ex

18.下列函數(shù)中，為微分方程18.下列函數(shù)中，為微分方程+ 的通解是（）。A.x+y=CB.xi+yi=CC.Cx+y=0D.Cx2+y=0.微分方程2ydy-dx=。的通解為（ ）。A.y2-x=C B.y-yfx=CC.y=x+C D.y=-x+C.微分方程cosydy=sinxdx的通解是（ ）。B.cosy-sinx=CD.cosx+siny=C）oB.cosy-sinx=CD.cosx+siny=C）oC.cosx-siny=C.y〃=er的通解為＞=（A.—q-xB?6-元C.e-x+Cx+CD?—e-%+Cx+C1 2 1 2.按照微分方程通解定義，了〃=$指%的通解是（）oA?-sinx+Cx+CA?-sinx+Cx+C1 2B.-sinx+C+C1 2D.sin%+C+C1 2四、解答題.驗(yàn)證函數(shù)y=C-5+5（c為任意常數(shù)）是方程電=e-2x—3y的通解，dx并求出滿足初始條件田的特解。x=Q.求微分方程卜t+源二°的通解和特解。b10=1.求微分方程無(wú)=2+tan）的通解。dxxx，—xy.求微分方程「二亍+^的特解。yI=2IX=1.求微分方程yf+ytcosx=e-^nx的通解。.求微分方程或+2=sin'的通解。dxx.求微分方程Q+lb'—2y-Q+lg=。的特解。yI=1x=08.求微分方程y〃二三滿足初始條件、二°,y=1,y一3的特解。9.求微分方程y〃=2yy'滿足初始條件x=°,y=1,y'=2的特解。10.驗(yàn)證二元方程x2-町+y2=C所確定的函數(shù)為微分方程Q-2y)y'=2x-y的解。11.求微分方程1+y-exddx+(x+y+ey^dy-°的通解。11..求3-y.tanx-secx,y|二°的特解。dx x=°.驗(yàn)證y1-cos①x,y2-sin3x都是y-①2y-°的解，并寫(xiě)出該方程的通解。.求微分方程y'=2y-x2的通解。x.求微分方程y'+1y+ex=°滿足初始條件yG)=°的特解。x.求微分方程處-J-y=(x+1)3的通解。dxx+1.求微分方程-dx-工dy-0滿足條件y6)=1的特解。1+y 1+x.求微分方程y〃+y，-2y-0的通解。.求微分方程y〃+2y45y-0的通解。.求微分方程y〃+4y，+4y=0的通解。.試求y〃-x的經(jīng)過(guò)點(diǎn)MQ1)且在此點(diǎn)與直線y-x+1相切的積分曲線。2(B)一、是非題.可分離變量微分方程不都是全微分方程。().若y*),y23都是y'+PQ)y-QQ)的特解，且y*)與y2Q)線性無(wú)關(guān),則通解可表為yQ)=y*)+C[y+)->*)1().函數(shù)y-e4x+e%x是微分方程y〃-4+q)y+入/2y=°的解。().曲線在點(diǎn)Q,y）處的切線斜率等于該點(diǎn)橫坐標(biāo)的平方，則曲線所滿足的微分方程是y'=42+c（。是任意常數(shù)）。（）TOC\o"1-5"\h\z.微分方程y,—02尤-y,滿足初始條件y? =。的特解為ey=—e2x+1o（ ）x=o 2二、填空題.y=cosx與y=sinx是方程y〃+y=0的兩個(gè)解，則該方程的通解為。1 2 —.微分方程y〃-2了-3y=0的通解為。.微分方程y〃-2V+y=。的通解為。.微分方程yJ吶的通解是o.微分方程丁〃=了的通解是oTOC\o"1-5"\h\z.微分方程包=2肛的通解是 odx三、選擇題.微分方程y〃-4V+4y=0的兩個(gè)線性無(wú)關(guān)解是（ ）。A.￡2%與2?021 B.e-2x與％?6-2% C.02%與％?02% D.6-2%與4?0-2x.下列方程中，不是全微分方程的為（ ）oA.+6]y2）_x+Gx2y+4y2兀=0B.cydx+Qcy-2ylzy=0C.yQ- -x2dy-0 D.C2-y^dx-xdy-0.下列函數(shù)中，哪個(gè)函數(shù)是微分方程s〃C）=-g的解（ ）o11A.s=-gtB.5=-gt2C.s=__gt2 D.5=—gt2.下列函數(shù)中，是微分方程y〃-7/+12y=0的解（ ）oA.y= B.y=X2C.y=e3xD.y=e2x.方程（-ml—沖=0的通解是（ ）o1 C ]A.y=Cj]_x2B.y=. C.y=--X3+Cxyjl-x2 2

D. y=Cxe-2 x x x四、解答題1 x x x四、解答題1.求微分方程y〃+9y=(24x-6)cos3x-2sin3x的通解。2.求微分方程y〃-7y，+6y=sinx的通解。3.求微分方程(3x2+2xy-y2^dx+(2一2x^dy=0的通解。(C)一、是非題1.只要給出“階線性微分方程的幾個(gè)特解，就能寫(xiě)出其通解。2.已知二階線性齊次方程y〃+P(x)?y'+Q(x)?y=0的一個(gè)非零解y，即可求出它的通解。()二、填空題1.微分方程y〃+4y+5y=0的通解是.微分方程y-lnxdx=x-Inydy滿足yl=1的特解是( )。x=1A. ln2 x=ln2 y B. ln2x+ln2y=1C. ln2 x+ln2 y= 0D. ln2x=ln2y+1.微分方程1+x2^dy+1+y2^dx=0的通解是( )。A.arctanx+arctany=CB.tanx+tany=CC.lnx+lny=C.lnx+lny=C D.cotx+coty=C.微分方程y〃=sin(-x)的通解是(A.y=sin(-x) B.C.y=-sin(—x)+Cx+C D..方程xy，+y=3的通解是( )。.c 3A.y=—+3B.y=—+CC.)。y=-sin(-x)y=sin(-x)+Cx+CCC

y=---3D.y=-—3.已知y=l,y=x,丁二心某二階非齊次線性微分方程的三個(gè)解，則該方程的通解為o.微分方程y〃-2/+2y=的通解為三、選擇題1的通解為（1的通解為（）。A.arctanx+CB. —Cretan+ C.1arctanx+CTOC\o"1-5"\h\zx xn Cu?arctanx+一x.微分方程V-y=l的通解是（ ）oA.y=c-exB.y=C-ex+1C.y=C-ex—1D.y=（C+1）,ex.］盯'+y=3的解是（）oA.y= B.y=3（l-x）C.y=l--Vx） x.微分方程蟲(chóng)=）+tan）的通解為（）odxxxD.sin—=——yCxAD.sin—=——yCxA.sm—= B.sm—=—— C.sin—=Crx xCx y.已知微分方程V+〃（Jy=Q+l）|的一個(gè)特解為y*=￡Q+M，則此微分方程的通解是（ ）oA.A..微分方程y〃-y'=ex+l的一個(gè)特解應(yīng)具有形式（式中。，。為常數(shù)）（）oA.aex+bB.axe^+bC.ae^+bxD.axex+bx四、解答題L設(shè)〉=/是微分方程冷/+夕&為=%的一個(gè)解，求此微分方程滿足條件

yIx』2=0的特解。.已知y=xex+e2x,y=xex+e-x，y=xex+e2x一e-x是某二階線性非齊次微分方程的三個(gè)解，求此微分方程。.已知fQ)=—,試確定fQ)，使e^x+f(x^y^dx+f(x>)dy=0為全微分方程，2并求此全微分方程的通解。第十二章微分方程(A)是非題1.X；2.X；3.V；4.X；5.，；6.X；7.X；8.，；9.，。填空題1.在橫線上填上方程的名稱(chēng)①可分離變量微分方程；②可分離變量微分方程；③齊次方程;④一階線性微分方程；⑤二階常系數(shù)齊次線性微分方程。2.3；3.1112.3；3.111e.2x+Cx+C；124.—-sin2x+cosx+Cx+C5.3；4126.2；7.y'+y2=0；8.y=Cx2；9.三、10.y=三、10.y=C(X+1)2；11.y=Cxe2；12.1y=—120X6+CX2+CX+C。選擇題10.A；19.A；四、解答題10.A；19.A；四、解答題.驗(yàn)證函數(shù)y=C-e-3x+e一2x（c為任意常數(shù)）是方程dy=e-2x-3y的通解，dx并求出滿足初始條件yIx0的特解。.求微分方程卜42+1dx+y'-x2dy=0的通解和特解。[y1=11x=0解：l±yl=C,2x2+y2=1。1-x2.求微分方程dy=y±tany的通解。dxxx解：siny=Cx。x一一、ly'=x±y….求微分方程|yyx的特解。yI=2lx=1解：y2=2x26nx±2）。.求微分方程y'=y-cosx=e-sinx的通解。解：y=e-sinx(x±C)。.求微分方程dy±y=sinx的通解。dxx解：y=-(sinx-xcosx±C)。x.求微分方程］Q±1)y'-2y-(x±1)2=0的特解。yI=1kx=0解：y=2(x±1)3±3(x±1)2。8.求微分方程y〃二差滿足初始條件x=0,y=1，y=3的特解。解：y=x3±3x±1。9.求微分方程y〃=2yy滿足初始條件x=0,y=1,y=2的特解。解：arctany=x±—或y=tan410.驗(yàn)證二元方程x2-町±y2=C所確定的函數(shù)為微分方程(x-2y)y'=2x-y的解。

解：略。11.解：求微分方程1+y~exddx+（x+y+eyddy-011.解：9+）y-j-C。.求dy-y.tanx-secx,yI-0的特解。dx x-0解：y--。cosx.驗(yàn)證y廣cosx,y2-sin①x都是y〃十①2y-0的解，并寫(xiě)出該方程的通解。解。解：略。.求微分方程y'=2y-x2的通解。x解：y=Cx2-x2lnx。.求微分方程y'+1y+ex-0滿足初始條件yG）=0的特解。x解：y=2-ex。x.求微分方程dy-2-y=（x+1）3的通解。dxx+1解：y=（x+1）2Q+1）2+C。2.求微分方程-dx--dy-0滿足條件y（0）=1的特解。+y1+x解：2（3-x3L32-x2Z5。.求微分方程y〃+y，-2y-0的通解。解：y-C1ex+C2e-2x。.求微分方程y〃+2y'+5y-0的通解。解：y-e-xC1cos2x+C2sin2x）。20.求微分方程y〃+4y，+4y=0的通解。

解：y= +C4-2%o" 1 221.試求/=X的經(jīng)過(guò)點(diǎn)MQl)且在此點(diǎn)與直線y=二+1相切的積分曲線。2解：y=—x^+—x+^06 2(B)一、是非題1.X;2.，；3.，；4.X;5.Xo二、填空題g 12 3 1三、選擇題1.C;2.C;3.C;4.C;5.D;6.1四、解答題.求微分方程y〃+9y=(24x—6)cos3x-2sin解：y=^C+x)cos3x+Q+2x2— 。, 1 2.求微分方程y〃-7y+6y=sinxg 12 3 1三、選擇題1.C;2.C;3.C;4.C;5.D;6.1四、解答題.求微分方程y〃+9y=(24x—6)cos3x-2sin解：y=^C+x)cos3x+Q+2x2— 。, 1 2.求微分方程y〃-7y+6y=sinx的通解。解：y=Ceex+Ce￥+J_(7cos-^+5sini 2 74.求微分方程4%2+2孫一丁21%+(2一2町)解：)72-XJ-X2=—0' ' X(C)一、是非題1.X;2.，；二、填空題1.y=e2x(Ccos-X+Csin%);2.y=C(x1 2 12A;7.A;8.C;9.A.3x的通解。y=。的通解。-i)+cC-i)+i；24.y=-e^x+C+Cx+C;5.y=Cex+C6.y=C-3.y二八Ccos%+Csinx+1)三、選擇題1.B;2,C;3,A;4,A;5,D;6,D.四、解答題1,設(shè)y=ex是微分方程%y，+pQ)y=%的一個(gè)解，求此微分方程滿足條件yI%Tn廣0的特解。解：代入y=e%到方程xy'+pQ)y=%中，得pQ)=%e-%—%原方程為%yr+Q-%-%)y=%y=e%1+C-ee-%)y'+C%