江西財經(jīng)大學(xué)歷年微積分2試題

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06-07學(xué)年其次學(xué)期期末考試試卷

試卷代碼：03034A授課課時：64

課程名稱：微積分Ⅱ適用對象：2023級

試卷命題人鄒玉仁試卷審核人王平平一、填空題（將正確答案寫在答題紙的相應(yīng)位置.答錯或未答，該題不得分.每題3分，共15分.）

1.若?f(x)dx?g(x)?c，則?sinxf(cosx)dx?________.2.極限lim?x0cos2tdtxx?0?________.

3.已知z?xy而x?tan(s?t)，y?cot(s?t)則

4.設(shè)D??(x,y)0?x?1,0?y?1?則??xexyd??________.

D?z?________.?s5.微分方程y???2y?0的通解為________.

二、單項選擇題（從以下各題四個備選答案中選出一個正確答案，并將其代碼寫在答題紙的相應(yīng)位置.答案選錯或未選者，該題不得分.每題3分，共15分.）1.設(shè)?dx1?x2?________.

1A.arctanx?cB.ln(x?1?x2)?cC.21?x2?cD.ln(1?x2)?c.

22.以下積分值為0的是________.

??111A.?B.dx??1x2dx01?x21?sinx21?xdx.C.?(D.?cosx)dx??1??1?x23.函數(shù)z?f(x,y)在點(x0,y0)處可微的充分條件是函數(shù)在該點處________.A.有極限B.連續(xù)C.偏導(dǎo)數(shù)存在D.有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù).4.?dx?f(x,y)dy?________.

001xA.?dy?f(x,y)dxB.?dy?f(x,y)dx

000011y1C.?dy?f(x,y)dxD.?dy?f(x,y)dx.

000y1y115.以下級數(shù)收斂的是________.

?n?3nA．?2B.?()

n?12n?n?1n?11?n?n第1頁共29頁

?n!?12n?C．???()?D.?n.

3?n?1?nn?1n?三、（計算題請寫出主要步驟及結(jié)果，每題6分，共18分.）1.?xedx2.?12x4dxx(1?x)3.請給出第七章（定積分）的知識小結(jié).

四、（請寫出主要計算步驟及結(jié)果，6分.）已知方程xy?z?ex?z確定函數(shù)z?z(x,y)求dz.五、（請寫出主要計算步驟及結(jié)果，8分.）

求??ln(1?x2?y2)d?,其中D為圓周x2?y2?1圍成的區(qū)域.

D六、（請寫出主要計算步驟及結(jié)果，8分.）

求初值問題的解

?dy?(2x?y)dx??yx?0?0七、（請寫出主要計算步驟及結(jié)果，8分.）求冪級數(shù)?(?1)nx的收斂半徑，收斂區(qū)間.并求?nnn?0?n的和.n3n?0?八、（請寫出主要計算步驟及結(jié)果，8分.）

求由y?x2與x?y2所圍成的平面圖形的面積，并求此平面圖形分別繞x軸，y軸旋轉(zhuǎn)所成的體積.

九、經(jīng)濟(jì)應(yīng)用題（請寫出主要計算步驟及結(jié)果，8分.）

某廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品的生產(chǎn)函數(shù)為Q?0.005x2y，若甲、乙兩種原料的單價分別為1萬元和5萬元，現(xiàn)用150萬元購原料，求兩種原料各購多少時，能使生產(chǎn)量最大？最大生產(chǎn)量為多少？十、證明題（請寫出推理步驟及結(jié)果，6分.）

設(shè)f(x)在[a,b]上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，且有f?(x?M及f(a)?0，試證：

M?2(a?b)2?baf(x)dx

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06-07學(xué)年其次學(xué)期期末考試試卷答案和評分標(biāo)準(zhǔn)

試卷代碼：03034A授課課時：64

課程名稱：微積分Ⅱ適用對象：2023級

試卷命題人鄒玉仁試卷審核人王平平

一、1.?g(cosx)?c2.13.sec(s?t)cot(s?t)?tan(s?t)csc(s?t)

224.e?25.y?c1cos2x?c2sin2x二、1.B2.C3.D4.D5.D

三、1.

2x2x2xx2xx2xxxxedx?xde?xe?2xedx?xe?2xde?xe?2xe?2e?????dx

?xe?2xe?2e?c2xxx2.t?xx?t2

2212tdt1t214?2(?)dt?2ln?2ln?2ln?2ln?1t1?t1?t1323t2(1?t)2?4dxx(1?x)1??1

四、F(x,y,z)?xy?z?ex?z

Fx?y?ex?zFy?xFz?1?ex?z

Fx?zy?ex?zy?xy?z?????x?z?xFZxy?z?11?eFy?zxx??????yFZ1?ex?zxy?z?1dz??z?zy?xy?zxdx?dy?dx?dy?x?yxy?z?1xy?z?12?1五、??ln(1?x2?y2)d???d??ln(1?r2)rdr

D00211r?212?22212???d??ln(1?r)dr???rln(1?r)??dr?2000021?r??第3頁共29頁

11?2?2121???ln2??ln(1?)dr???ln2??r??ln(1?r)20001?r????ln2????ln2?2?ln2????(2ln2?1)

六、y??y?2x

?f(?1)dxy?e?2xe?(?1)dxdx?c?

??????x??2xedx?c?

?e??2?xde?c??e??2xe?exx?xx?x?2?e?xdx?c

???2x?2?cex

由于yx?0?0所以2?c所求特解為y?2(e?x?1)

七、R?xann??1an?1n?1當(dāng)x??1時

?n(?1)?n發(fā)散

收斂區(qū)間為(?1,1)設(shè)S(x)??nxn?0??n?x?nxn?1

n?0設(shè)T(x)??nxn?0n?1

xn0則

?x0T(x)dx??x?0?nxn?0n?1dx??xn?0???xn?n?0?11?xT(x)?1

(1?x)2x2(1?x)所以S(x)?xT(x)?11?n1313?3?x?時?n?S()?14433n?03(1?)239第4頁共29頁

八、

y（1，1）0x

11

0312Vx????x?(x2)2?dx

?0???3??

10S??(x?x2)dx???Vy????0??1?y?23?(y2)2?dy??

??102九、解F(x,y,?)?0.005xy??(x?2y?150)Fx?0.001xy???0

?x?100??2Fy?0.005x?2??0?y?25

F??x?2y?150?0Q?0.005*100*25?十、f(x)?f(x)?f(a)?f?(?)(x?a)2a???b

f?(x)?Mf(x)?M(x?a)?ba(x?a)2f(x)dx?M?(x?a)dx?M?a2bba?1M(b?a)22?

baf(x)dx??baf(x)dx

?ba2Mf(x)dx?(b?a)2M?(a?b)22?baf(x)dx

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07-08學(xué)年其次學(xué)期期末考試試卷

試卷代碼：03034A授課課時：64

課程名稱：微積分Ⅱ適用對象：2023級

試卷命題人鄒玉仁試卷審核人王平平一、填空題（將正確答案寫在答題紙的相應(yīng)位置.答錯或未答，該題不得分.每題3分，共15分.）

dz1.已知z?cos(xy)，而y??(x)可導(dǎo),則?________.

dxf(x)x2.若?2dx??c,則f(x)?________.

1?xx3.p________時，廣義積分??n211dx發(fā)散.2p?1(x?1)x2n,x?(??,??),則函數(shù)sin2x的麥克勞林級數(shù)等于________.4.若cosx??(?1)(2n)!n?05.微分方程y???ay??y?0的通解為y?c1e?x?c2ex，則a?________.

二、單項選擇題（從以下各題四個備選答案中選出一個正確答案，并將其代碼寫在答題紙的相應(yīng)位置.答案選錯或未選者，該題不得分.每題3分，共15分.）

'1.設(shè)z?xexy，則zx=________.

A.xyexyB.x2exyC.exyD.(1?xy)exy.2.?A.

11?3x13132dx?________.

x3arcsinx?cB.arcsin13?c

C.arcsin3x?cD.arcsin3x?c.

3.以下結(jié)論正確的個數(shù)是________.

（1）?xdx??xdx（2）e??e?xdx?e?1

0011213?222（3）??20???xcosxdx?0（4）[?sint2dt]??2xsinx2

1x2A.0B.1C.2D.3.4.?d??f(rcos?,rsin?)rdr?________.

01第6頁共29頁

A.?dy?f(x,y)dxB.?dx?0001111?x201?x20f(x,y)dyf(x,y)dx.

C.?dx?f(x,y)dyD.?dy?0001115.微分方程y??y?1的通解是________.A．y?cexB.y?cex?1C．y?cex?1D.y?(c?1)ex.

三、（請寫出主要計算步驟及結(jié)果，每題8分，共16分.）1.?xarctanxdx2.?41dxx?x.

四、（請寫出主要計算步驟及結(jié)果，8分.）

已知方程xy?xsinz?yz確定函數(shù)z?f(x,y)，求dz.五、（請寫出主要計算步驟及結(jié)果，8分.）

求??(x?y2)d?,其中D是由直線y?2，y?x及y?2x圍成的區(qū)域.

D六、（請寫出主要計算步驟及結(jié)果，8分.）

求由y?x與y?x3所圍成的平面圖形的面積，并求此平面圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)所形成的立體的體積.七、（請寫出主要計算步驟及結(jié)果，8分.）

?2n?1判斷級數(shù)?的斂散性.

5n?0n?1

第7頁共29頁

八、（請寫出主要計算步驟及結(jié)果，8分.）

en求冪級數(shù)?(x?1)n的收斂半徑，收斂區(qū)間.

n?1n?

九、經(jīng)濟(jì)應(yīng)用題（請寫出主要計算步驟及結(jié)果，8分.）

某工廠生產(chǎn)A、B兩種產(chǎn)品，單位成本分別為2元和14元，需求量分別為Q1件和Q2件，價格分別為P1元和P2元，且滿足關(guān)系式Q1?4(P2?P1)，Q2?80?4P1?8P2，試求A、B兩種產(chǎn)品的價格P1，P2，使該廠總利潤最大（要求利用極值的充分條件）.

十、證明題（請寫出推理步驟及結(jié)果，6分.）設(shè)f(x)為連續(xù)函數(shù)，試證：

?

x0f(t)(x?t)dt??(?f(u)du)dt.

00xt第8頁共29頁

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07-08學(xué)年其次學(xué)期期末考試試卷答案和評分標(biāo)準(zhǔn)

試卷代碼：03034A授課課時：64

課程名稱：微積分Ⅱ適用對象：2023級

試卷命題人鄒玉仁試卷審核人王平平

一、填空題（每題3分，共15分）

?x?1.?sin[x?(x)][?(x)?x??(x)]2.??3.p?1

1?x??24.???1?n?1?n?122n?1x2n(2n)!x????,???5.0

二、單項選擇題（每題3分，共15分）1.D2.C3.B4.B5.C三、（請寫出主要計算步驟及結(jié)果，每題8分，共16分.）

?xarctanxdx??arctanxd1.

12x(1分）2121x2?xarctanx??dx(3分）2221?x121x2?1?1?xarctanx??dx(5分）221?x2111?x2arctanx?x?arctanx?c22211?(x2?1)arctanx?x?c(8分）224?2.

4dxx?x1????dxx(1?x)2dx(1?x)4114(2分）(4分）(6分）(8分）1.

?2ln(1?x)?2ln32四、（請寫出主要計算步驟及結(jié)果，8分.）

第9頁共29頁

F?xy?xsinz?yz(1分）Fx??y?sinz，F(xiàn)y??x?z，F(xiàn)z??xcosz?yF??zy?sinz??x??xFz?xcosz?yFy??zx?z????yFz?xcosz?ydz?y?sinzx?zdx?dyxcosz?yxcosz?y(5分）(6分）(8分）(4分）

五、（請寫出主要計算步驟及結(jié)果，8分.）

圖

2(1分）

y22(x?y)d??dy(x?y)dxy????D02(3分）(5分）(6分）(7分）(8分）1??(x2?xy2)0222yy2dy31??(y2?y3)dy082112?(y3?y4)088??1六、（請寫出主要計算步驟及結(jié)果，8分.）

圖

(1分）

10S??(x?x3)dx21?(x2?x4)345?1210310(3分）(4分）(5分）

Vx???[(x)2?x6]dx5?(8分）14七、（請寫出主要計算步驟及結(jié)果，8分.）

2n?1?5limn?1n??(7分）1n32?1(4分）由比較判別法的極限形式知級數(shù)?n?1?1n32,?n?0?2n?1n?15斂散性一致，

第10頁共29頁

由于?

n?1

?

1

32

n?1n

八、（請寫出主要計算步驟及結(jié)果，8分.）

n?0,所以??2n?15收斂。(8分）

R?limn??anan?1enn?1?limnn??e?1en?11發(fā)散，?n?1n??(4分）

1由于x?1?,e(5分）

1x?1??e(?1)n收斂，?nn?1(6分）

11(8分）所以收斂區(qū)間為[1?,1?)。

ee九、經(jīng)濟(jì)應(yīng)用題（請寫出主要計算步驟及結(jié)果，8分.）

L?PQ11?P2Q2?2Q1?14Q222?8PP?4P?8P1212?184P2?48P1?1120

(2分）?1?8P2?8P?1?48?0?Lp??2?8P1?16P2?184?0??Lp(4分）

解得駐點:P1?P2?

(5分）

(7分）

??????A?LP??8?0,B?LP?8,C?LP??161P11P22P2?(15.75,8.5)2???????LP?LPLP??64?0P121P12P2所以P1?15.75P2?8.5時利潤最大。

(8分）

十、證明題（請寫出推理步驟及結(jié)果，6分.）設(shè)?(x)??f(t)(x?t)dt??(?f(u)du)dt000xxt(1分）

x0則有??(x)??f(t)dt??xf(x)?xf(x)??f(u)du?00x(3分）

即?(x)為常數(shù)令?(x)?c0(4分）

0t則?(0)??f(t)(x?t)dt??(?f(u)du)dt?0?c000xxt000(5分）

(6分）

所以有?(x)?0??f(t)(x?t)dt??(?f(u)du)dt

第11頁共29頁

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08-09學(xué)年其次學(xué)期期末考試試卷

試卷代碼：03034B授課課時：64（考試時間：150分鐘）課程名稱：微積分Ⅱ適用對象：2023級

試卷命題人鄒玉仁試卷審核人王平平

一、單項選擇題（從以下各題四個備選答案中選出一個正確答案，并將其代碼寫在答題紙的相應(yīng)位置.答案選錯或未選者，該題不得分.每題2分，共14分.）1.若fx?(x0,y0)，fy?(x0,y0)存在，則函數(shù)f(x,y)在點(x0,y0)處________.A.一定可微B.一定連續(xù)C.有定義D.無定義.

?(1,1)?________.2.設(shè)z?(1?y)xy，則zxA.2B.1C.2ln2D.ln2.

12n?13.設(shè)I?lim(2?2??2)，則I?________.

n??nnn11111x?11A.?dxB.?2dxC.?xdxD.?dx.

0x0x00x4.設(shè)f(x)??e?xdx，則?f(x)dx?________.

10x2111A.0B.1C.e?1D.(e?1?1).

22sinx5.設(shè)f(x,y)?，則f(x,y)在由y?0，y?x及x?1圍成的平面區(qū)域D上的平均值為

x________.

A.1?cos1B.2?2cos1C.1?sin1D.2?2sin1

6.設(shè)一階微分方程的通解是y?ce?x，則此微分方程是________.A.dy?x2ydx?0B.dy?2xydx?0C.dy?x2ydx?0D.dy?2xydx?0.

7.設(shè)y?f(x)是微分方程y???2y??3y?0滿足條件y(0)?0,y?(0)?1的特解，則

2?f(x)dx?________.

1111A．y?e?3x?ex?cB.y?e?3x?ex?c

441241111C．y?e?3x?exD.y?e?3x?ex.

44124二、填空題（將正確答案寫在答題紙的相應(yīng)位置.答錯或未答，該題不得分.每題2分，共14分.）

第12頁共29頁

1.已知方程xz?lny?lnx確定函數(shù)z?f(x,y)，則2.已知f?(x)?sinx，則?f(x)dx?________.

?z?________.?y?3.若limx?0ax0arctanxdxx2?1,則a?________.

4.???0xe?xdx?_______.

??xn2n?15若e??，則級數(shù)??_______.

n!n?0n!n?2x6.交換二次積分次序?dy?f(x,y)dx??dy?0011y22?y0f(x,y)dx?_______.

7.?2(x2?3x?1)?________.

三、求以下積分（請寫出主要計算步驟及結(jié)果，每題6分，共18分.）

211x2dx2.?1.?dx3.?arctanxdx.

00xx?14?x2

四、（請寫出主要計算步驟及結(jié)果，8分.）

?2Z設(shè)函數(shù)z?f(x?y,xsiny)，求dz和.

?x?y五、（請寫出主要計算步驟及結(jié)果，6分.）

求由曲線y?x2，直線y?2x所圍成的平面圖形的面積，并求此平面圖形繞y軸旋轉(zhuǎn)所形成的立體的體積.六、（請寫出主要計算步驟及結(jié)果，6分.）求??(x?x2?y2)d?,其中D:x2?y2?1.

D

第13頁共29頁

七、判斷級數(shù)的斂散性，如收斂，指出是絕對收斂還是條件收斂（請寫出主要計算步驟及結(jié)果，每題6分，共12分.）1.?(?1)n?1?n?1?2n(?1)n?12.?.2nn?1n?1

八、（請寫出主要計算步驟及結(jié)果，8分.）

(?1)n求冪級數(shù)?n(x?1)n的收斂半徑，收斂區(qū)間及和函數(shù).

n?1e?

九、經(jīng)濟(jì)應(yīng)用題（請寫出主要計算步驟及結(jié)果，8分.）

某產(chǎn)品的產(chǎn)量Q與原材料甲，乙，丙的數(shù)量x,y，z（單位均為噸）滿足Q?0.05xyz，已知甲，乙，丙的價格分別為3，2，4（單位為百元），若用5400元購買甲，乙，丙三種原材料，問購買量分別是多少，可使產(chǎn)量最大.

十、證明題（請寫出推理步驟及結(jié)果，6分.）設(shè)函數(shù)f(x)是連續(xù)函數(shù)，證明：

(1)?2a0bf(x)dx??[f(x)?f(2a?x)]dx.0baa

(2)(?f(x)dx)2?(b?a)?f2(x)dx.a

第14頁共29頁

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08-09學(xué)年其次學(xué)期期末考試試卷答案和評分標(biāo)準(zhǔn)

試卷代碼：03034B授課課時：64

課程名稱：微積分Ⅱ適用對象：2023級

試卷命題人鄒玉仁試卷審核人王平平一、單項選擇題（每題2分，共14分.）

1.C2.C3.C4.D5.B6.B7.B二、填空題（每題2分，共14分.）1.?12.?sinx?c1x?c23.?24.1xy12?xx05.e6.?dx?f(x,y)dy7.2

三、求以下積分（每題6分，共18分.）1.

11dx?(2分）?xx?1?(1?t2)t?2tdt1?2?dt

1?t2?2arctant?c(4分）?2arctanx?1?c(6分）2

?20x24?x2dx?x?2sint??20?4sin2t?2costdt??24sin2tdt02cost(2分）??2?2(1?cos2t)dt0(4分）(6分）

1?2(t?sin2t)2?20??3.

?10arctanxdx?xarctanx??=10xdx01?x2110(2分）(4分）.

1?ln(1?x2)42?1??ln242?(6分）四、（請寫出主要計算步驟及結(jié)果，8分.）

第15頁共29頁

?z?f1?(x?y,xsiny)?f2?(x?y,xsiny)?siny(2分）?x?z?f1?(x?y,xsiny)?f2?(x?y,xsiny)?(xcosy)(4分）?y?z?zdz?dx?dy?[f1?(x?y,xsiny)?f2?(x?y,xsiny)?siny]dx?x?y?[f1?(x?y,xsiny)?f2?(x?y,xsiny)?(xcosy)]dy?2z?f11??(x?y,xsiny)?xcosyf12??(x?y,xsiny)?f21??(x?y,xsiny)?siny?x?y?xcosysinyf22??(x?y,xsiny)?cosyf2?(x?y,xsiny)(8分）

(6分）五、（請寫出主要計算步驟及結(jié)果，6分.）

142s??(2x?x2)dx?(x2?x3)0?(3分）0334y1184vy???((y)2?()2)dy??(y2?y3)0??0221232

(6分）六、（請寫出主要計算步驟及結(jié)果，6分.）

222(x?x?y)d??d?(rcos??r)rdr????D002?1(2分）(4分）

11??(r3cos??r4)10d?0342?11??(cos??)d?0342????2(6分）七、（請寫出主要計算步驟及結(jié)果，每題6分，共12分.）

2n?1n?1(?1)un?1(n?1)2(3分）1.由于lim?lim?2?1nn??un??2n(?1)n?12n所以?(?1)n?1?n?12n發(fā)散。2n(6分）

(?1)n?1n?12.由于lim?1,0?1???.

n??1n而?n?1??(?1)n?11發(fā)散，所以?發(fā)散。nn?1n?1(3分）

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(?1)n?1111?,lim?0是交織級數(shù)，且滿足?n??n?1n?1n?2n?1n?1?(?1)n?1所以?收斂，且為條件收斂。

n?1n?1?(6分）

八、（請寫出主要計算步驟及結(jié)果，8分.）

n?(x?1)nnt??(?1)n設(shè)t?x?1，則?(?1)neen?1n?1?nR?limn??anan?11ne?lim?en??1en?1?n(3分）

?en當(dāng)t?e,級數(shù)?(?1)n??(?1)n發(fā)散

en?1n?1?(?e)n??1發(fā)散當(dāng)t??e,級數(shù)?(?1)nen?1n?1?n因此?e?x?1?e,收斂區(qū)間為?1?e?x??1?en(6分）

x?1?(x?1)e??x?1(8分）且?(?1)n?nx?1ee?1?xn?11?e

九、經(jīng)濟(jì)應(yīng)用題（請寫出主要計算步驟及結(jié)果，8分.）

?拉格朗日函數(shù)為L(x,y,z,?)?0.05xyz??(3x?2y?4z?54)(2分）

?(x,y,z,?)?0.05yz?3??0?Lx?L?(x,y,z,?)?0.05xz?2??0?y由?

?L(x,y,z,?)?0.05xy?4??0z???(x,y,z,?)?3x?2y?4z?54?0?L?解得唯一駐點：x?6,y?9,z?4.5(5分）

(7分）

(8分）

所以購買量分別是6，9，4.5噸時，可使產(chǎn)量最大.

十、證明題（請寫出推理步驟及結(jié)果，6分.）

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(1)?2a02a0f(x)dx??f(x)dx??0x?2a?t0aa2aaf(x)dxa0?2aaf(x)dx???f(2a?t)dt??f(2a?x)dxf(x)dx??f(x)dx??f(2a?x)dx??[f(x)?f(2a?x)]dx.000aaa

??(3分）(2)設(shè)D??(x,y)a?x?b,a?y?b?(?f(x)dx)??f(x)dx??f(x)dx??f(x)dx??f(y)dyaaaaab2bbbb???f(x)f(y)dxdy?D122[f(x)?f(y)]dxdy??2D?112f(x)dxdy?f2(y)dxdy????2D2Dbb1b1b??f2(x)dx?dy??f2(y)dy?dxaa2a2a(b?a)b2(b?a)b2?f(x)dx?f(y)dy??aa22

?(b?a)?f2(x)dxab?(?f(x)dx)2??f2(x)dxaabb(6分）

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江西財經(jīng)大學(xué)

09-10學(xué)年其次學(xué)期期末考試試卷

試卷代碼：03034C授課課時：64考試用時：150分鐘課程名稱：微積分Ⅱ適用對象：2023級

試卷命題人楊壽淵試卷審核人鄒玉仁一、填空題（將正確答案寫在答題紙的相應(yīng)位置.答錯或未答，該題不得分.每題2分，共14分.）

1.求z?x2?2x?y2的駐點為_____________________.

2.已知f(x)的彈性函數(shù)為x,則f(x)?_______________________.3.設(shè)?(x)?????x??x0xe?tdt，則?'(x)?______________________________.

24.?edx?______________________________.

5.差分方程yt?1?4yt?t的通解為______________________________.6.函數(shù)f(x)?sin2x的麥克勞林級數(shù)等于________.

7.微分方程y'?ycosx?cosx的通解為___________________________.

二、單項選擇題（從以下各題四個備選答案中選出一個正確答案，并將其代碼寫在答題紙的相應(yīng)位置.答案選錯或未選者，該題不得分.每題2分，共14分.）

1.以下曲面方程中，表示柱面的是______________.

A.x2?2y2?1B.x2?y2?zC.x2?2y2?z2D.x2?y2?z.

2.以下函數(shù)中，連續(xù)但不可微的是________.

?sin(xy),(x,y)?(0,0),?A.f(x,y)??x2?y2B.z?sin(x2?y2)

?0,x?y?0.??xy,(x,y)?(0,0),?22C.f(x,y)??x?yD.z?(1?xy)exy.

?0,x?y?0.?3.以下說法中正確的是____________.

A.一個二元函數(shù)在一點存在極值的必要條件是在該點處一階偏導(dǎo)數(shù)全為0；B.一個一元函數(shù)假使存在原函數(shù)則一定連續(xù)；

C.一個二元函數(shù)假使存在一階偏導(dǎo)數(shù)則一定連續(xù)；

D．一個二元函數(shù)假使存在連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)則一定可微；

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4.以下廣義積分中，收斂的是__________.A.

?11?10lnxdxB.

??1elnxdxC.??exlnxdxD.?1xdx

5.以下級數(shù)中收斂的是________.

??A.?sin11n?1nB.?cosn?1n

??(?1)n?1nnC.?sinn?D.n?1?n?1(n?1)n.6.設(shè)y1(x),y2(x)是一階非齊次線性方程y'(x)?p(x)y(x?)f(x的兩個不一致的特解，則)y'(x)?p(x)y(x?)f(x的通解是)______________.A.yy1(x)?y2(x)B.1(x)yC.C(y1(x)?y2(x))?y1(x)D.y1(x)?y2(x)2(x)7.?10?1?yy?1f(x,y)dxdy?________.A.?0x?11x?1?0f(x,y)dxdy??10?1?x0f(x,y)dxdyB.?0dx?0f(x,y)dy

C.?1?112?x?10f(x,y)dxdyD.?0?0f(x,y)dxdy.

三、（請寫出主要計算步驟及結(jié)果，每題4分，共12分.）1.?1?sinx1?2dx2.??cosxdx3.?11x3?sin2x?13xdx

四、（請寫出主要計算步驟及結(jié)果，每題6分，共12分.）

1.設(shè)z?arctanyx，求dz及?2z?2z?x2??y2.

2.求方程y''?y'?y?x的通解。

五、（請寫出主要計算步驟及結(jié)果，8分.）求??xy2dxdy,其中D??(x,y)1?x2?y2?2?.

D

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六、（請寫出主要計算步驟及結(jié)果，8分.）設(shè)D??(x,y)(x?1)2?y2?1,y2?2x,x?2?，求：（1）區(qū)域D的面積；

（2）區(qū)域D繞y旋轉(zhuǎn)一周所形成的立體的體積.

七、（請寫出主要計算步驟及結(jié)果，每題4分，共8分.）

xsint?0tdt1.求極限lim

x?0x

?2．求定積分?20ln(1?sinx)dx

ln?1?sinx?cosx?sinxcosx?

八、（請寫出主要計算步驟及結(jié)果，8分.）

1sinxx2n求冪級數(shù)?(?1)的收斂區(qū)間及和函數(shù)，并利用所得結(jié)果計算?dx（寫成數(shù)項級

0x2n?1!??n?0?n數(shù)）。

九、經(jīng)濟(jì)應(yīng)用題（請寫出主要計算步驟及結(jié)果，8分.）

消費(fèi)者購買商品消費(fèi)的目的是滿足自身的某種欲望或需求，我們稱這種從商品消費(fèi)中獲得的滿足感為效用（utility），效用數(shù)量越多表示消費(fèi)者從商品消費(fèi)中獲得的滿足感越強(qiáng)。效用的多少依靠于消費(fèi)者所消費(fèi)的商品量，因此我們把效用視為商品數(shù)量的函數(shù)，例如某消費(fèi)者消費(fèi)X單位A商品和Y單位B商品所獲得的效用可表示為

U?U(X,Y),X?0,Y?0.

我們稱上面的函數(shù)為效用函數(shù)，并假設(shè)它具有連續(xù)的一階和二階偏導(dǎo)數(shù)，且

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''''''UX?0,UY?0,UXX?0,UYY?0。假使A，B兩種商品在市場上的單位售價分別為PX和PY（它

們均為正），該消費(fèi)者共有a單位貨幣，則他必需合理地分派自己的貨幣用于購買這兩種商品，以獲取最大的效用。這種最優(yōu)的資金分派方案也可以用商品數(shù)量?X?,Y??來等價地表示，即

?X?,Y??是以下條件極值問題的解：

maxU(X,Y)（i）

subjecttoXPX?YPY?a即求效用函數(shù)U?U(X,Y)在預(yù)算約束XPX?YPY?a下的最大值點。我們構(gòu)造拉格朗日函數(shù)如下：

L(X,Y,?)?U(X,Y)??(XPX?YPY?a),（ii）

試證明：

（1）假使X?,Y?,??是拉格朗日函數(shù)L(X,Y,?)的無條件最大值點，則X?,Y?一定是條件極

????值問題（i）的解；

（2）假使X?,Y?是條件極值問題（i）的解，則XPX?YPY?a；

（3）假使X?,Y?是條件極值問題（i）的解，則存在實數(shù)??使得X?,Y?,??是拉格朗日函

??????數(shù)L(X,Y,?)的駐點。

十、證明題（請寫出推理步驟及結(jié)果，8分.）

?試證lim

2n??0?sinnxdx?0。

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江西財經(jīng)大學(xué)

09-10學(xué)年其次學(xué)期期末考試試卷答案和評分標(biāo)準(zhǔn)

試卷代碼：03034C授課課時：64考試用時：150分鐘課程名稱：微積分Ⅱ適用對象：2023級

試卷命題人楊壽淵試卷審核人鄒玉仁

一、填空題（每題2分，共14分）

1.(1,0)2.f(x)?Ce2x3.1?e?x?1xe?x2114.25.yt?C4t?t?

392n2n?1?11?n(2x)n?12,???x??或?(?1)x2n,???x??6.??(?1)22n?0(2n)!(2n)!n?17.y?Ce?sinx?1

二、單項選擇題（每題2分，共14分）

1.A2.C3.D4.A5.C6.C7.A三、（請寫出主要計算步驟及結(jié)果，每題4分，共12分.）1.

1111dx??dx?1?x2?21?x1?x11?x?ln?C21?x(2分）

(4分）2.

?sinx?cosx1dx??3?sin2x?2??sinx?cosx?2d?cosx?sinx??sinx?cosx?d??22??sinx?cosx??1???2??1?sinx?cosx??arctan?(4分）?22???12?1(2分）(3分）.

3.

第23頁共29頁

01111(2分）??13xdx???13xdx??03xdxa111?lim??3dx?limdx?a?0?1b?0??b3xx33???(4分）221(3分）

四、（請寫出主要計算步驟及結(jié)果，每題6分，共12分.）1.

dz??z?z?yxdx?dy?2dx?dy,?x?yx?y2x2?y2(3分）

(2分）

?2z???y?2xy??,?2222?22?x?x?x?y??x?y??2z??x??2xy??,???y2?x?x2?y2??x2?y2?2從而

(4分）

?2z?2z??0.?x2?y2(6分）

13i，所以其通解為2.齊次線性方程y''?y?0的特征方程的根為????22y?e1?x2?33?Csinx?Ccosx??2?122???(5分）

(3分）由待定系數(shù)法知非齊次方程有一特解

y??x?1因此非齊次方程的通解為

y?y?y?e?1?x2?33?Csinx?Ccosx??x?1?2?1?22??(6分）

五、（請寫出主要計算步驟及結(jié)果，8分.）

圖

(1分）

第24頁共29頁

??xydxdy??22?d??rcos??r2sin2??rdr2(3分）D01??2?31cos?sin205?d?(5分）??2?3105sin2?d(sin?)(6分）2??3115sin3?(7分）0?0(8分）六、（請寫出主要計算步驟及結(jié)果，8分.）

（1）．圖

(1分）

S?2?20?2x?2x?x2?dx(2分）?16

3??(4分）（2）.

第25頁共29頁

1??2?1?Vy?2????4?y2?dy????1?1?y202???1?(6分）2??21?1??y2?dy????4?1?1?y202????2??dy????1?12?1???2???4?y?dy?2???4?y2??41?y2dy102?2???2?11??2???4?y2?dy?8??1?y2dy002??40???2?2(8分）3

七、（請寫出主要計算步驟及結(jié)果，8分.）1．解：由洛畢達(dá)法則

?xsint?sintdt???0?0tdtt?lim?lim?x?0x?0x1sinx?limx?0x?1x'(1分）(3分）(4分）

2.用I表示所求定積分，則

??ln(1?sinx)ln(1?sinx)I??2dx??2dx0ln?1?sinx1?cosx?0ln1?sinx?ln(1?cosx)????????t??x2(5分）

????20ln(1?cost)dtln?1?cost??ln(1?sint)ln(1?cosx)dx,

ln?1?cosx??ln(1?sinx)(6分）???20因此

?ln(1?sinx)ln(1?cosx)2I??2dx??2dx0ln1?sinx?ln(1?cosx)0ln1?cosx?ln(1?sinx)????????20ln(1?sinx)?ln(1?cosx)?dx?,ln?1?cosx??ln(1?sinx)2

I??4.(8分）

八、（請寫出主要計算步驟及結(jié)果，8分.）

?x2n令un(x)?(?1)，S(x)??un(x)則

(2n?1)!n?0nlimn??un?1(x)(2n?1)!2?limx?0,n??un(x)(2n?3)!(2分）

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因此冪級數(shù)S(x)的收斂域為(??,??)。(4分）