微積分產(chǎn)生的背景

微積分產(chǎn)生的背景現(xiàn)在是1頁\一共有20頁\編輯于星期一微積分產(chǎn)生的社會(huì)背景從15世紀(jì)初歐洲文藝復(fù)興時(shí)期起，工業(yè)、農(nóng)業(yè)、航海事業(yè)與商賈貿(mào)易的大規(guī)模發(fā)展，形成了一個(gè)新的經(jīng)濟(jì)時(shí)代，宗教改革與對(duì)教會(huì)思想禁錮的懷疑，東方先進(jìn)的科學(xué)技術(shù)通過阿拉伯的傳入，以及拜占庭帝國覆滅后希臘大量文獻(xiàn)的流入歐洲，在當(dāng)時(shí)的知識(shí)階層面前呈現(xiàn)出一個(gè)完全斬新的面貌。而十六世紀(jì)的歐洲，正處在資本主義萌芽時(shí)期，生產(chǎn)力得到了很大的發(fā)展，生產(chǎn)實(shí)踐的發(fā)展向自然科學(xué)提出了新的課題，迫切要求力學(xué)、天文學(xué)等基礎(chǔ)學(xué)科的發(fā)展，而這些學(xué)科都是深刻依賴于數(shù)學(xué)的，因而也推動(dòng)的數(shù)學(xué)的發(fā)展。科學(xué)對(duì)數(shù)學(xué)提出的種種要求，最后匯總成4個(gè)核心問題：

運(yùn)動(dòng)中速度與距離的互求問題、求曲線的切線問題、求長度、面積、體積、與重心問題、求最大值和最小值問題?，F(xiàn)在是2頁\一共有20頁\編輯于星期一

運(yùn)動(dòng)中速度與距離的互求問題

已知物體移動(dòng)的距離表示為時(shí)間的函數(shù)的公式，求物體在任意時(shí)刻的速度和加速度；或者反過來，已知物體的加速度表示為時(shí)間的函數(shù)，求物體在任意時(shí)刻的速度，或已知物體速度表示為時(shí)間的函數(shù)，求物體在任意時(shí)刻的移動(dòng)距離。現(xiàn)在是3頁\一共有20頁\編輯于星期一求曲線的切線問題

物體作曲線運(yùn)動(dòng)時(shí)，在每一瞬間的速度方向是該曲線相應(yīng)的點(diǎn)的切線的方向；在光學(xué)中對(duì)光的折射和反射的研究要求出界面的法線方向，法線方向是由切線方向決定的。

現(xiàn)在是4頁\一共有20頁\編輯于星期一

求長度、面積、體積、與重心問題

這些問題以計(jì)算行星或曲線運(yùn)動(dòng)的物體走過的路程為背景的；求曲線圍成的面積，以計(jì)算行星掃過的面積為代表；求物體的重心、求兩個(gè)天體之間的引力等問題?，F(xiàn)在是5頁\一共有20頁\編輯于星期一求最大值和最小值問題這與天文學(xué)和力學(xué)都有關(guān)，例如求行星運(yùn)行的近日點(diǎn)和遠(yuǎn)日點(diǎn)，拋射體的最大射程和最大高度等問題都可歸結(jié)為這種類型的問題?，F(xiàn)在是6頁\一共有20頁\編輯于星期一微積分產(chǎn)生的數(shù)學(xué)背景數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)折點(diǎn)是笛卡爾的變數(shù)，有了變數(shù)，運(yùn)動(dòng)進(jìn)入了數(shù)學(xué)，有了變數(shù)，辯證法進(jìn)入了數(shù)學(xué)，有了變數(shù)，微分學(xué)和積分學(xué)也就立刻成為必要的了，而它們也就立刻產(chǎn)生，并且是有牛頓和萊布尼茲大體上完成的，但不是由他們發(fā)明的。

——恩格斯解析幾何是代數(shù)與幾何相結(jié)合的產(chǎn)物，它將變量引進(jìn)了數(shù)學(xué)，使運(yùn)動(dòng)與變化的定量表述成為可能，從而為微積分的創(chuàng)立搭起了舞臺(tái).現(xiàn)在是7頁\一共有20頁\編輯于星期一微積分思想的萌芽古希臘羅馬——微分、積分思想的發(fā)源地阿拉伯和歐洲中世紀(jì)——無限和運(yùn)動(dòng)的研究古代中國——面積、體積與極限思想的豐富現(xiàn)在是8頁\一共有20頁\編輯于星期一古希臘羅馬——微分、積分思想的發(fā)源地原子論樸素的微分和積分思想極限法的早期形式窮竭法芝諾的擬難現(xiàn)在是9頁\一共有20頁\編輯于星期一原子論樸素的微分和積分思想.現(xiàn)在是10頁\一共有20頁\編輯于星期一極限法的早期形式窮竭法現(xiàn)在是11頁\一共有20頁\編輯于星期一芝諾的擬難現(xiàn)在是12頁\一共有20頁\編輯于星期一阿拉伯和歐洲中世紀(jì)——無限和運(yùn)動(dòng)的研究代數(shù)和三角學(xué)的確立對(duì)無限和運(yùn)動(dòng)的研究現(xiàn)在是13頁\一共有20頁\編輯于星期一代數(shù)和三角學(xué)的確立從7世紀(jì)開始，阿拉伯帝國逐漸崛起，到8世紀(jì)，它已成為一個(gè)地跨亞、歐、非三洲，阿拉伯帝國在所轄的較大城市建立圖書館和天文館，政府組織人力進(jìn)行天文觀測，編制星表，集中學(xué)者翻譯和注釋希臘羅馬古典名著.正當(dāng)歐洲處在黑暗時(shí)期，“阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)”卻成了這時(shí)期西方科學(xué)的代表.希臘羅馬的古典名著正是通過“阿拉伯人”的工作才得以保存下來，這是阿拉伯人對(duì)人類文明的重要貢獻(xiàn)之一.不僅如此，阿拉伯也是東西科學(xué)文化交流的橋梁，今天通行的“印度—阿拉伯?dāng)?shù)碼”以及我國古代“四大發(fā)明”等，都是通過阿拉伯從東方傳到西方去的，這為歐洲以后科學(xué)文化的復(fù)蘇創(chuàng)造了重要條件.有繼承才有發(fā)展，阿拉伯人在保留古希臘羅馬文化和傳統(tǒng)文化的同時(shí)，也有一定的發(fā)展和創(chuàng)造.代數(shù)和三角學(xué)的確立就是他們對(duì)數(shù)學(xué)所做出的貢獻(xiàn).現(xiàn)在是14頁\一共有20頁\編輯于星期一對(duì)無限和運(yùn)動(dòng)的研究這一時(shí)期，除了“印度—阿拉伯?dāng)?shù)碼”的逐漸普及，代數(shù)和三角學(xué)已經(jīng)確立以及數(shù)學(xué)符號(hào)化已有端倪外，對(duì)無限的討論以及對(duì)運(yùn)動(dòng)和速度的研究已成為數(shù)學(xué)家們注意的中心.例如德國的紅衣主教庫薩的尼古拉，把圓與三角形分別看成邊數(shù)最多和邊數(shù)最少的多邊形，把無限大和零分別看成自然數(shù)的上界和下界.他還說盡管“世界不是無限的，但畢竟不能認(rèn)為它是有限的，因?yàn)槭澜鐩]有一條把它包圍起來的界限”，這表明了他把無限看作一個(gè)過程的潛無限思想.14世紀(jì)英國很有聲譽(yù)的數(shù)學(xué)家蘇依塞斯的重要著作《算術(shù)》中，已有變量、極大和極小概念的原始形式，預(yù)示了變數(shù)和導(dǎo)數(shù)即將進(jìn)入數(shù)學(xué)領(lǐng)域.他所使用的“流數(shù)”、“流量”等概念，被300年后的牛頓所采用.在無限問題上他指出，要解決所有關(guān)于無限的詭辯，只要認(rèn)識(shí)到有限和無限不能有它們的比就行了，這是關(guān)于對(duì)有限和無限應(yīng)有不同的論證的最早認(rèn)識(shí).現(xiàn)在是15頁\一共有20頁\編輯于星期一古代中國——面積、體積與極限思想的豐富簡單幾何圖形面積和體積的計(jì)算.《莊子》和《墨經(jīng)》中的極限思想極限思想的運(yùn)用——割圓術(shù)現(xiàn)在是16頁\一共有20頁\編輯于星期一簡單幾何圖形面積和體積的計(jì)算

在微積分的發(fā)展歷史上，對(duì)任意封閉的平面曲線圍成圖形面積的計(jì)算，和任意封閉的空間曲線包圍立體圖形體積的計(jì)算，是產(chǎn)生積分概念的主要途徑之一.計(jì)算面積和體積可以追溯到原始農(nóng)業(yè)社會(huì)，根據(jù)我國甲骨文記載，約在300年以前的殷代，就把耕種的土地分成方形小塊以求面積.積分概念就是在初等幾何計(jì)算面積和體積的基礎(chǔ)上逐漸形成的.現(xiàn)在是17頁\一共有20頁\編輯于星期一《莊子》和《墨經(jīng)》中的極限思想

極限概念是微積分區(qū)別于初等數(shù)學(xué)的特有概念，沒有極限概念就沒有現(xiàn)代的微積分.戰(zhàn)國時(shí)代的《莊子·天下篇》中，有不少極限思想，其中最膾炙人口的一句話是：“一尺之椎，日取其半，萬世不竭.”可以理解為無窮無盡、永遠(yuǎn)達(dá)不到極限的潛無限思想.無窮或無限概念，是極限概念的特殊情況，是微積分的重要概念.《墨經(jīng)》也是戰(zhàn)國時(shí)代的重要著作之一，該書對(duì)有窮和無窮作了明確的區(qū)分.該書說，“窮，或有前，不容尺也”，意思是有窮就是有邊界的區(qū)域，用尺沿一個(gè)方向去量它一定能量完；“窮，或不容尺，有窮；莫不容尺，無窮也”，即有窮就是能量盡這個(gè)區(qū)域，如果量不盡，就是無窮.與此同時(shí)《墨經(jīng)》也有豐富的微分思想，比如：“端，體之無厚而最前者也”；“端，無間也”；“非半則不動(dòng)，說在端”.第一句話就是說，“端”就是不可度量且位于物體的最前面的東西.第二和第三句是說，如果沒有空隙、也不能再進(jìn)行分割的就是端.這是對(duì)構(gòu)成物質(zhì)的最基本的元素相當(dāng)精確的定義，實(shí)際上就是對(duì)物體經(jīng)“化整為零”后的微分概念.現(xiàn)在是18頁\一共有20頁\編輯于星期一極限思想的運(yùn)用——割圓術(shù).

我國三國時(shí)的數(shù)學(xué)家劉徽提出的“割圓術(shù)”，他從圓內(nèi)接正六邊形做起，令邊數(shù)成倍地增加，逐步推求圓內(nèi)接正12邊形，正24邊形，……，直