【大學(xué)】有限長單位沖激響應(yīng)（FIR）數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)方法

第六章有限長單位沖激響應(yīng)（FIR）數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)方法(2)1編輯ppt6.3窗函數(shù)設(shè)計(jì)法顧名思義，窗函數(shù)設(shè)計(jì)法就是利用加窗技術(shù)來設(shè)計(jì)線性相位FIR濾波器的。加窗處理是在時(shí)域進(jìn)行的，是一種時(shí)域設(shè)計(jì)方法。其基本思想是，在給定理想線性相位FIR濾波器的頻率響應(yīng)函數(shù)Hd(ej)的前提下，用有限長的一個(gè)h(n)去逼近理想的hd(n)。這種逼近可以看成是對(duì)hd(n)進(jìn)行加窗截?cái)嗵幚矶玫降摹?編輯ppt設(shè)計(jì)方法已知理想濾波器的頻率響應(yīng)Hd(ej)（一般為具有矩陣形狀的頻率響應(yīng)特性）。要求設(shè)計(jì)一個(gè)FIR濾波器響應(yīng)逼近Hd(ej)是一個(gè)無限長序列，若用有限長的h(n)去逼近它就要對(duì)hd(n)作加窗截?cái)嗵幚?。設(shè)所用的窗函數(shù)為w(n)則有由于3編輯ppt設(shè)計(jì)方法由上式可以看到，在衡量h(n)與hd(n)的相似程度時(shí)，w(n)函數(shù)起到了關(guān)鍵作用。我們最直接所能夠想到的窗函數(shù)為矩形窗函數(shù)。下面就以矩形窗函數(shù)為加窗函數(shù)，以低通濾波器為例來分析窗函數(shù)的設(shè)計(jì)方法設(shè)低通濾波器的通帶截止頻率為c，低通濾波器的群時(shí)延為α，此時(shí)的Hd(ej)如下在通帶內(nèi)|Hd(ej)|=1，相位為線性相位-α，Hd(ej)對(duì)應(yīng)的hd(n)為4編輯ppt設(shè)計(jì)方法hd(n)是一個(gè)中心點(diǎn)在α的偶對(duì)稱無限長的非因果序列令

w(n)=RN(n)則

h(n)=hd(n)RN(n)思考：hd(n)為線性相位，而要求設(shè)計(jì)的h(n)也應(yīng)滿足線性相位的要求?；仡櫳瞎?jié)中關(guān)于線性相位FIRFilter的單位樣值響應(yīng)h(n)的約束條件，可知h(n)必須是偶對(duì)稱的，對(duì)稱中心應(yīng)為長度的一半，即(N-1)/2，因而必須要求α=(N-1)/2，這樣的h(n)才是具有線性相位頻率特性的5編輯ppt設(shè)計(jì)方法故有將（6-27）式的hd(n)代入上式可得6編輯ppt設(shè)計(jì)方法這里，由于α=(N-1)/2，故h(n)是滿足線性相位約束條件的得到了h(n)，就可以通過傅氏分析，找出所求FIR濾波器的頻率特性下面就來求解h(n)對(duì)應(yīng)的頻率響應(yīng)函數(shù)H(ej)，并比較H(ej)和Hd(ej)的異同由（6-25）式可得由式（6-30）式可知，H(ej)逼近Hd(ej)的程度關(guān)鍵取決于W(ej)即取決于窗函數(shù)的頻譜特性7編輯ppt設(shè)計(jì)方法若w(n)=RN(n)，有其中將Hd(ej)也寫成(6-31)的形式，可得其中8編輯ppt設(shè)計(jì)方法將(6-31)、(6-32)式代入(6-30)式可得(6-33)式說明：實(shí)際FIR濾波器的幅度函數(shù)H()是理想FIR濾波器幅度函數(shù)Hd()與窗函數(shù)WR()的卷積下面用圖示的方法，說明矩形窗函數(shù)設(shè)計(jì)低通濾波器的H()9編輯ppt設(shè)計(jì)方法1、圖8(a)表示理想低通濾波器的幅度函數(shù)2、圖8(b)表示矩形窗的幅度函數(shù)3、圖8(c)表示Hd()和WR()在=c處的卷積情況，可以看到WR(-θ)的左半部分與Hd(θ)重合而右半部分不重合（對(duì)應(yīng)圖8(f)的c點(diǎn)）4、圖8(d)表示Hd()*WR()在=c-2π/N處的情況，可以看到WR()的主瓣和左半部分旁瓣與Hd(θ)重合而右半部分旁瓣不與之重合（對(duì)應(yīng)圖8(f)的1點(diǎn)）5、圖8(e)表示Hd()*WR()在=c+2π/N處的情況，可以看到WR()的左半部分旁瓣與Hd(θ)重合而主瓣和右半部分旁瓣不與之重合（對(duì)應(yīng)圖8(f)的2點(diǎn)）6、圖8(f)表示Hd()*WR()對(duì)H(0)歸一化的結(jié)果。其中H(0)為圖8(a)和圖8(b)相重合部分相加的結(jié)果10編輯ppt設(shè)計(jì)方法理想頻率特性的通帶截止頻率處由不連續(xù)點(diǎn)變成了連續(xù)點(diǎn)在c兩邊1=c-2π/N和2=c+2π/N出現(xiàn)了峰值點(diǎn)和谷底點(diǎn)在c附近形成了一個(gè)過渡帶，其中峰值點(diǎn)1到谷值點(diǎn)2的寬度為=4π/N在通帶和阻帶都產(chǎn)生了波動(dòng)，形成了波紋。波動(dòng)的幅度取決于WR(θ)的旁瓣大小，波動(dòng)快慢取決于旁瓣數(shù)量。由圖可見，通過加窗處理，將理想的低通特性[圖8(a)]變成了圖8(f)的形式，具體為11編輯ppt設(shè)計(jì)方法下面的問題是：可否通過改變參數(shù)N來改變上述所提到的波動(dòng)呢？答案是：隨著

N

值得增大，可以改變窗譜函數(shù)的主瓣和旁瓣寬度，即可改變波動(dòng)的快慢，但N

增加并不改變主瓣和旁瓣的相對(duì)比例，這是因?yàn)樵谥靼旮浇?，較小時(shí)而主瓣和旁瓣的相對(duì)比例是由sinx/x來決定的。故隨著N的增加這一比例并不變化，即N的增加并不會(huì)改變肩峰的相對(duì)值，矩形窗其肩峰的相對(duì)值總是8.95%這種現(xiàn)象通常被稱為Gibbs效應(yīng)或Gibbs振蕩另：隨N的增加，過渡帶的寬度也會(huì)逐漸減小，這是因?yàn)椤?4π/N12編輯ppt設(shè)計(jì)方法以上介紹的是窗函數(shù)為矩形窗時(shí)的設(shè)計(jì)方法。矩形窗截?cái)嘣斐傻牟y肩峰為8.95%。此時(shí)對(duì)應(yīng)的阻帶最小，衰減為20log10(8.95%)=-20db，這個(gè)阻帶衰減量在很多工程領(lǐng)域都是不夠的。為了改變這一情況，以及其它一些問題，有必要尋找其它的加窗方式13編輯ppt各種窗函數(shù)我們看到上述矩形加窗設(shè)計(jì)法設(shè)計(jì)的低通濾波器的阻帶衰減不夠大的問題的核心是采用了矩形窗函數(shù)，要使阻帶衰減變大，則需要考慮其它形式的加窗另：我們也希望得到的低通濾波器頻譜有如下特性窗譜的主瓣盡量窄，這可有效地減小過渡帶的寬度，獲得更陡峭的過渡帶盡量減小窗譜第一旁瓣（最大旁瓣）的相對(duì)幅度，也就是將能量盡量集中于主瓣內(nèi)，這樣不僅能使肩峰和波紋減小，也可增大阻帶的衰減14編輯ppt各種窗函數(shù)上述兩條件是相互制約的，不能同時(shí)得到滿足增加主瓣寬度會(huì)加大阻帶衰減，減小波紋，但會(huì)使過渡帶變寬減小主瓣寬度會(huì)減小阻帶衰減，增大波紋，但會(huì)使過渡帶變窄下面介紹幾種工程常用的加窗函數(shù)15編輯ppt各種窗函數(shù)

——三角形(Bartlett)窗三角形(Bartlett)窗對(duì)應(yīng)的窗譜為16編輯ppt各種窗函數(shù)

——三角形(Bartlett)窗當(dāng)N>>1時(shí)該窗函數(shù)的主瓣寬度為8π/N，比相應(yīng)時(shí)域長度的矩形窗的主瓣寬度寬一倍17編輯ppt各種窗函數(shù)

——漢寧(Hanning)窗(又稱升余弦窗)

2、漢寧(Hanning)窗(又稱升余弦窗)對(duì)應(yīng)的窗譜函數(shù)為：當(dāng)N>>1時(shí)18編輯ppt各種窗函數(shù)

——漢寧(Hanning)窗(又稱升余弦窗)

W()利用WR()，WR(-2/N)，WR(+2/N)這三個(gè)矩形窗譜的旁瓣相互抵消作用，使能量更集中在主瓣，其主瓣寬度也為8/N。這種旁瓣相互抵消作用見書中P349圖7－919編輯ppt各種窗函數(shù)

海明(Hamming)窗(改進(jìn)升余弦窗)對(duì)(6-36)的升余弦窗加以改進(jìn)，可以得到旁瓣更小的效果此時(shí)的窗函數(shù)為對(duì)應(yīng)的窗譜函數(shù)的幅度函數(shù)為20編輯ppt各種窗函數(shù)

海明(Hamming)窗(改進(jìn)升余弦窗)N>>1時(shí)這種窗函數(shù)可使99.963%的能量集中在窗譜主瓣內(nèi)，與漢寧窗相比，主瓣寬度同為8π/N，但旁瓣幅度更小，旁瓣峰值小于主瓣峰值的1%21編輯ppt各種窗函數(shù)

——布拉克曼(blackman)窗又稱二階升余弦窗對(duì)應(yīng)的窗譜函數(shù)的幅度函數(shù)為此時(shí)主瓣寬度為12π/N，為矩形窗譜主瓣寬度的三倍，書中P351給出了各種加窗函數(shù)的設(shè)計(jì)效果22編輯ppt各種窗函數(shù)一般來講，窗函數(shù)的主瓣寬度越大，則更容易獲得好的阻帶衰減，但同時(shí)其過渡帶也會(huì)展寬跟Gibbs現(xiàn)象相似的道理，不能通過改變參數(shù)N來改善最小阻帶衰減，最小阻帶衰減只由所采用的窗函數(shù)形式來決定23編輯ppt窗函數(shù)的設(shè)計(jì)步驟步驟：已知理想的頻率響應(yīng)函數(shù)Hd(ej)求解hd(n)=IDTFT[Hd(ej)]按照設(shè)計(jì)指標(biāo)，選擇符合要求的窗函數(shù)形式及參數(shù)N的大小求所設(shè)計(jì)的FIR濾波器的單位樣值相應(yīng)h(n)=hd(n)w(n),n=0,1,2,….,N-1求H(ej)=DTFT[h(n)]，檢驗(yàn)是否符合要求。若不符合，則改變參數(shù)N或選擇其它窗函數(shù)重新設(shè)計(jì)窗函數(shù)法的優(yōu)點(diǎn)是簡單，有閉式解，比較實(shí)用；缺點(diǎn)是通帶、阻帶的截止頻率不易控制24編輯ppt窗函數(shù)的設(shè)計(jì)步驟-設(shè)計(jì)舉例圖9例：設(shè)計(jì)線性相位FIR低通濾波器，給定抽樣頻率為Ωs=2π×1.5×104(rad/s)，通帶起始頻率為Ωp=2π×1.5×103(rad/s)，阻帶起始頻率為Ωst=2π×3×103(rad/s)，阻帶衰減不小于-50dB。該低通濾波器對(duì)應(yīng)的模擬低通濾波的幅頻特性如圖9所示25編輯ppt解：求出理想低通濾波器的通帶截止頻率Ωc將各頻率劃分為數(shù)字域頻率根據(jù)圖中理想低通濾波器的頻響函數(shù)求出hd(n)其中τ為線性相位所必須的群延時(shí)，應(yīng)為τ=(N-1)/226編輯ppt根據(jù)阻帶衰減來確定窗函數(shù)，由過渡帶寬度確定N，由書上表7-3可選海明窗所要求的過渡帶寬而海明窗過渡帶寬滿足故由海明窗w(n)滿足FIRFilter的h(n)求H(ej)=DTFT[h(n)]，看是否滿足指標(biāo)，若不滿足，則可改變參數(shù)N或窗函數(shù)形式重新進(jìn)行設(shè)計(jì)和驗(yàn)證27編輯ppt6.4頻率抽樣設(shè)計(jì)法與窗函數(shù)設(shè)計(jì)法在時(shí)域使h(n)近似逼近hd(n)不同的是，頻率抽樣法是以頻率出發(fā)，把給定的理想頻率響應(yīng)Hd(ej)加以等間隔抽樣將Hd(k)作為實(shí)際FIR數(shù)字濾波器的頻率特性抽樣值H(k)由H(k)作IDFT求出有限長序列h(n)28編輯ppt6.4頻率抽樣設(shè)計(jì)法根據(jù)第三章介紹的頻率抽樣定理可知，由N個(gè)頻率抽樣值H(k)同樣可求出FIRFilter的系統(tǒng)函數(shù)H(z)和頻響函數(shù)H(ej)，這個(gè)H(z)和H(ej)將逼近Hd(z)和Hd(ej)H(z)的內(nèi)插公式為29編輯ppt6.4頻率抽樣設(shè)計(jì)法由內(nèi)插公式可以看到，在各抽樣點(diǎn)處有H(ej2π/N)=H(k)=Hd(k)=Hd(ej2πk/N)，即在各抽樣點(diǎn)上，濾波器的實(shí)際頻率響應(yīng)是和理想濾波響應(yīng)數(shù)值嚴(yán)格相等的，各抽樣點(diǎn)之間的頻響會(huì)有一定的誤差。誤差的大小是和理想濾波器頻響的變化有關(guān)的。若Hd(ej)變化緩慢，則誤差較小。若Hd(ej)變化劇烈，則誤差較大。如書上P360圖7-16的例子所示。圖7-16(a)在c處Hd(ej)變化劇烈故引入了較大誤差，圖7-16(b)在c處由于Hd(ej)變化緩慢，故誤差較小30編輯ppt減小設(shè)計(jì)誤差的方法當(dāng)理想Hd(ej)在某些頻點(diǎn)（如通帶截止頻率處）變化劇烈時(shí)，會(huì)引起較大的設(shè)計(jì)誤差。一種減小這種誤差的方法是對(duì)Hk在這些頻點(diǎn)附近增加過渡點(diǎn)通過增加過渡點(diǎn)可有效減小由H(k)內(nèi)插得到的H(ej)在c附近的波動(dòng)，從而減小設(shè)計(jì)誤差。但過渡點(diǎn)的增加會(huì)使設(shè)計(jì)的濾波器的過渡帶增大，同時(shí)過渡點(diǎn)的增加會(huì)使參數(shù)N增大，這樣會(huì)增加設(shè)備的成本。故這種方法較適用于窄帶濾波器的設(shè)計(jì)[通帶短，點(diǎn)數(shù)少N]，該方法便于在頻率域觀察設(shè)計(jì)結(jié)果，比較直觀31編輯ppt6.5IIR與FIR數(shù)字濾波器的比較IIR濾波器系統(tǒng)函數(shù)的極點(diǎn)可位于單位圓內(nèi)任意位置，故可用較低的階數(shù)獲得高的選擇性，所用的存貯單元少，經(jīng)濟(jì)高效但它的相位無法保證是線性相位而且一