《礦業(yè)系統(tǒng)可靠性教學(xué)》k2-講義

第二章常用的壽命分布

第一節(jié)統(tǒng)計(jì)方法在可靠性中應(yīng)

用的前提第二節(jié)可靠性特征量

第三節(jié)常用的壽命分布習(xí)題4/15/20231編輯ppt傳統(tǒng)的假設(shè)變異的性質(zhì)(平均、擴(kuò)展等)不隨時間改變．以特定的方式分布，可用一個數(shù)學(xué)函數(shù)。即大家都知道的統(tǒng)計(jì)正態(tài)分布來描述；4/15/20232編輯ppt工程中變異的特點(diǎn)零部件供應(yīng)商可能在某個過程中做了小的改動。而導(dǎo)致了可靠性方面的大變化(更好或更壞）可能是有意的或意外的，可能是已知的或未知的。零部件可能是根據(jù)諸如尺寸或其他可測量參數(shù)的準(zhǔn)則選樣的，這并不符合大多數(shù)統(tǒng)計(jì)方法所基于的統(tǒng)計(jì)正態(tài)分布假定某個過程或參數(shù)可能隨時間連續(xù)地或周期性地變化，故在其一時間獲取的統(tǒng)汁數(shù)字與其他時間獲取的統(tǒng)汁數(shù)字可能并不相關(guān)4/15/20233編輯ppt某些變異就性質(zhì)而論往往是確定性的：如彈簧的變形是力的函數(shù)，對這種情況運(yùn)用統(tǒng)計(jì)技術(shù)不一定總是很適合的；工程中的變異可能會難于進(jìn)行數(shù)學(xué)處理。例如：自動凋溫器失效會導(dǎo)致某個過程以不同于通過早期測量確定的方式變化，或者操作人員或測試人員也有可能出現(xiàn)失誤變異可能是大變異，而不儀僅是連續(xù)的；例如．電平這樣的參數(shù)可能在一個范圍內(nèi)變化，也可能變到零4/15/20234編輯ppt結(jié)論

工程中的變異很大程度上是由人(如設(shè)計(jì)者、制造者、操作者及維修者)所引起的這一事實(shí)。必須總要把人的因素考慮進(jìn)去，必須重視能動性、培訓(xùn)、管理牢記：在任何應(yīng)用統(tǒng)計(jì)方法處理科學(xué)和工程問題的過程中，所有的因果關(guān)系最終都在科學(xué)理論、工程設(shè)計(jì)、過程或人的行為等方面有所解釋。我們必須去尋求變異的原因，因?yàn)橹挥辛私庠?，才算真正地受控?/15/20235編輯ppt變異的類型確定性的或因果性的功能性的。它包括諸如操作程序改變、人為錯誤、校準(zhǔn)誤差等的影響之類的關(guān)系．原理上這些關(guān)系是可以被考慮到的．但是經(jīng)常并非如此．而因果關(guān)系并不總是易于識別或量化的隨機(jī)性的。是各種過程和使用條件的固有變異性的影響。它們可被認(rèn)為是當(dāng)所有確定性的和功能性的原因已經(jīng)被排除后，所遺留的無法解釋的變異。（難于解釋的變異）4/15/20236編輯ppt變異是正態(tài)分布的嗎

1.截尾數(shù)據(jù):零件尺寸、人體尺寸4/15/20237編輯ppt2.選擇的結(jié)果:產(chǎn)品的分類銷售4/15/20238編輯ppt3.傾斜的數(shù)據(jù)4/15/20239編輯ppt4.雙峰數(shù)據(jù):人為的調(diào)整4/15/202310編輯ppt正態(tài)分布?相同的平均值和標(biāo)準(zhǔn)差4/15/202311編輯ppt結(jié)論1.大部分有關(guān)統(tǒng)計(jì)過程控制的教科書和教學(xué)都強(qiáng)調(diào)把工態(tài)分布的應(yīng)用作為制作圖表和決策的基礎(chǔ).2.對處于臨界應(yīng)力使用條件下的機(jī)械零件(如飛機(jī)和民用工程結(jié)構(gòu)零件)有著典型的設(shè)計(jì)規(guī)定，都要求在最大預(yù)計(jì)應(yīng)力和預(yù)計(jì)強(qiáng)度的較低的3σ值之間一定要有一個安全系數(shù).(極值分布)3.達(dá)到高質(zhì)量的所謂的“6σ”方法4/15/202312編輯ppt第二節(jié)可靠性特征量

一、系統(tǒng)失效分布函數(shù)系統(tǒng)（復(fù)雜產(chǎn)品）:是完成特定功能的綜合體，是若干協(xié)調(diào)工作部件的有機(jī)組合。工作部件:是具有可靠性的數(shù)量指標(biāo)、具有被獨(dú)立地加以考慮的系統(tǒng)的組合部分系統(tǒng)失效:系統(tǒng)喪失規(guī)定的功能4/15/202313編輯ppt環(huán)境造成系統(tǒng)失效可分為兩類：永久性損壞，如機(jī)械損壞功能故障。所謂功能故障指系統(tǒng)的各種功能出現(xiàn)不利的變化，或受環(huán)境條件的影響功能不能正常發(fā)揮，一旦外界條件變好，系統(tǒng)功能仍能恢復(fù)。4/15/202314編輯ppt據(jù)失效的性質(zhì)，系統(tǒng)失效又可以分為兩類:（1）突然失效。在大多數(shù)情況下，元器件的機(jī)械或電器的失效是突然發(fā)生的，稱為突然失效。突然失效通常使系統(tǒng)完全喪失規(guī)定的功能。（2）退化失效。由于老化而使得元器件、材料的參數(shù)逐漸變化而引起的失效，稱為退化失效。退化失效多半僅僅使系統(tǒng)的輸出特性變壞，而系統(tǒng)可以繼續(xù)保持工作能力。4/15/202315編輯ppt失效判據(jù)（或失效標(biāo)準(zhǔn)）:為了判斷失效，必須制定判斷失效的技術(shù)指標(biāo).

為了研究系統(tǒng)失效的規(guī)律，以下面的實(shí)驗(yàn)為例進(jìn)行分析。系統(tǒng)的工作部件失效并不能引起系統(tǒng)的不可靠

4/15/202316編輯ppt例2-1測得某型號的N=110（個）集成電路塊的失效時間（從開始工作到失效之間的時間）如表2-1所示。此表是對所測得的數(shù)據(jù)進(jìn)行了初步整理，按從小到大的順序排列后，再進(jìn)行分組處理，比如分為8組，計(jì)算每組中的失效數(shù)據(jù)的個數(shù)（稱為頻率），記第組的頻率為，再除以總數(shù)N即得該組的頻率，列表如表2-2所示。4/15/202317編輯ppt表2-1110個集成塊的失效時間數(shù)據(jù)160200260300350390450460480500510530540560580600600610630640650650670690700710730730750770770780790800810830840840850860870880900920920930940950970980990100010001010103010401050107010701080110011001130114011501180118011801190120012001210122012301240124012601260127012901290130013301380140014301450149015001500153015501570159016401700173017501790180018201870189020502070218022502380275031004/15/202318編輯ppt表2-2失效數(shù)據(jù)的頻數(shù)分布表組中值頻數(shù)頻率累計(jì)頻率組號范圍15～40520560.050.052405～805605280.250.303805～12051005370.340.06441205～16051405230.210.8551605～2005180590.080.9362005～2405220550.050.9872405～2805260510.010.9982805～3205300510.011.00合計(jì)1101.004/15/202319編輯ppt以失效時間為橫坐標(biāo)，以頻率除以組距所得的商（2-1）為縱坐標(biāo)，畫出失效頻率直方圖如圖2-1所示。4/15/202320編輯ppt圖2-1頻率直方圖4/15/202321編輯ppt此直方圖的面積值正是失效的頻率值，全部矩形面積的總和為1，由此可以看出為什么坐標(biāo)不取頻率，而取為頻率除以組距的商。從失效頻率直方圖中，可以看到=110個集成模塊的失效時間分布情況：①分布范圍是從5h到3205h：②分布集中在1005h左右為最多；③每個小的區(qū)間所占整個分布的比例不等。若將圖2-1中的組距分得更小些、組數(shù)分得更多一些，比如將組距=400h縮小一倍，此時的頻率直方圖如圖2-2所示。4/15/202322編輯ppt圖2-2頻率直方圖4/15/202323編輯ppt其圖形與圖2-1是一致的，只是由于組距縮小了，分得更細(xì)了，因此更接近真實(shí)情況。可以設(shè)想，如果試驗(yàn)個數(shù)越來越多，分組越來越細(xì)，那么相鄰矩形的高度差別就會越來越小，最后折線就趨于一條光滑的曲線，這條曲線就表示失效時間在理論上的分布曲線，稱為失效密度曲線。它的數(shù)學(xué)表達(dá)式為：

(2-2)式中——失效密度函數(shù)。-概率論中的概率密度函數(shù)4/15/202324編輯ppt對于失效密度曲線而言，失效密度曲線與橫坐標(biāo)軸之間的面積等于1。用積分表示為：(2-3)此式表明，失效時間隨機(jī)變量在[0,∞]范圍內(nèi)取值的概率等于1。4/15/202325編輯ppt若將上例中第1組到第組所有失效頻率累加，稱為第組的累積頻率，記為。即（2-4）由此可得。以失效時間為橫坐標(biāo)，以累計(jì)頻率為縱坐標(biāo)畫出的直方圖如圖2-3，稱為失效累計(jì)頻率圖。4/15/202326編輯ppt當(dāng)數(shù)據(jù)個數(shù)很多，分組又很細(xì)，則圖形的頂部折線將趨于一條光滑的曲線，這條曲線就表示時間在理論上的累積分布曲線。其表達(dá)式為：(2-5)或(2-6)式中——失效累積分布函數(shù)或失效概率分布函數(shù)，簡稱失效分布函數(shù)。4/15/202327編輯ppt失效分布函數(shù)與失效密度函數(shù)之間有下述關(guān)系：

(2-7)

(2-8)

4/15/202328編輯ppt圖2-3累積失效分布函數(shù)曲線4/15/202329編輯ppt失效分布函數(shù)具有如下性質(zhì)：1）為非降函數(shù)；2）；3）。4/15/202330編輯ppt二、系統(tǒng)可靠性指標(biāo)

常將產(chǎn)品分為可修復(fù)與不可修復(fù)兩類。對于不可修復(fù)的產(chǎn)品常用可靠度、失效率、平均壽命等可靠性指標(biāo)進(jìn)行描述；對于可修復(fù)產(chǎn)品常用維修度、可用度、平均修復(fù)時間等指標(biāo)進(jìn)行描述。4/15/202331編輯ppt1．可靠度可靠度是產(chǎn)品在規(guī)定條件下和規(guī)定時間內(nèi)，完成規(guī)定功能的概率，一般記為。它是時間的函數(shù)，故也記為,稱為可靠度函數(shù)。由于系統(tǒng)失效與不失效是兩個對立事件，因此可借助于系統(tǒng)的失效分布函數(shù)來表示系統(tǒng)的可靠度函數(shù)。即

4/15/202332編輯ppt可靠度函數(shù)具有下述性質(zhì)：1）是非增函數(shù)；2），；3）。4/15/202333編輯ppt如果用隨機(jī)變量表示產(chǎn)品從開始工作到發(fā)生失效或故障的時間，其概率密度為圖2-2所示，若用表示某一指定時刻，則該產(chǎn)品在該時刻的可靠度

可靠性函數(shù)與失效分布函數(shù)及失效密度函數(shù)之間的關(guān)系，如圖2-4及圖2-5所示。4/15/202334編輯ppt圖2-4與的關(guān)系4/15/202335編輯ppt圖2-5與的關(guān)系4/15/202336編輯ppt2．失效率（1）失效率的定義衡量系統(tǒng)可靠性的另一個重要的指標(biāo)是失效率，其定義為：系統(tǒng)工作到時刻尚未失效的系統(tǒng)，在時刻后的單位時間內(nèi)發(fā)生失效的概率，稱為系統(tǒng)在時刻的失效率（或故障率），也稱為失效函數(shù)，記為。即

（2-9）4/15/202337編輯ppt其含義為：系統(tǒng)失效率近似等于系統(tǒng)在時刻以后的單位時間[,]內(nèi)的失效率與尚在工作的系統(tǒng)數(shù)（系統(tǒng)殘存數(shù)）之比值。即

（2-10）由失效率的定義可見，失效率愈大，則系統(tǒng)在時間區(qū)間[,]內(nèi)失效的可能性就愈大，可靠性就愈小。因此，失效率是表示可靠性大小的局部指標(biāo)。4/15/202338編輯ppt失效率常用的單位是：“”、“”。對于高可靠性產(chǎn)品常用“”作單位，稱為一個“菲特”，簡記為Fit(Failureunit)。即1菲特=，其意義是：1000個產(chǎn)品工作一百萬小時，只有1個可能發(fā)生失效。4/15/202339編輯ppt（2）失效率與可靠度及失效密度函數(shù)之間的關(guān)系由兩邊對t微分，得

即代入式（2-9），得

（2-11）4/15/202340編輯ppt將等式兩端對t積分，得由于初始條件R(0)=1，即當(dāng)t=0時N個產(chǎn)品全是好的，從而得（2-12）4/15/202341編輯ppt此式表明了失效率與可靠度之間的關(guān)系。特別是當(dāng)=時，即失效率為常數(shù)時，有即為常數(shù)時，可靠性按時間的指數(shù)分布。4/15/202342編輯ppt又由：

可得(2-13)此式表明了失效率、失效密度及可靠度函數(shù)之間的關(guān)系，即系統(tǒng)在時刻的失效率是到時刻尚未發(fā)生失效的可靠度R(t)的條件下，在下一個單位時間內(nèi)可能發(fā)生失效的條件概率，從而失效率可用失效密度、可靠密度R(t)來表達(dá)。4/15/202343編輯ppt3．平均壽命在系統(tǒng)的壽命特征中，最常用的是“平均壽命”。平均壽命，顧名思義就是壽命的平均數(shù)，即隨機(jī)變量壽命的期望值。對于不可修復(fù)系統(tǒng)，系統(tǒng)的壽命是指系統(tǒng)發(fā)生失效前的工作（或貯存）時間或工作次數(shù)。對于可修復(fù)系統(tǒng)，系統(tǒng)的壽命是指兩次相鄰失效（故障）之間的工作時間4/15/202344編輯ppt例2-2設(shè)測得18臺某種電子設(shè)備從工作開始到初次失效的時間數(shù)據(jù)（單位：h）如下：16,29,50,68,100,130,140,190,210,270,280,340,410,450,520,620,800,1100則得這18臺電子設(shè)備的平均壽命（平均初次失效間隔MTBF）為式中為單個值。4/15/202345編輯ppt若子樣本較大，即N較大，這時用分組處理，得平均壽命為：

（2-14）式中——數(shù)據(jù)的個數(shù)；——分組數(shù)；——第組的組中值；——第組的頻數(shù)；=/——第組的頻率。4/15/202346編輯ppt如果數(shù)據(jù)愈多，分組愈多，即當(dāng)時，平均壽命為

(2-15)式中——系統(tǒng)失效密度函數(shù)。

4/15/202347編輯ppt由得

故由于，所以(2-16)

4/15/202348編輯ppt特別是當(dāng)失效率≡為常數(shù)時，=,平均壽命通常記為。則即(2-17)

含義為，在失效率為常數(shù)的情況下，平均壽命等于失效率的倒數(shù)。4/15/202349編輯ppt此時，產(chǎn)品按平均壽命工作的可靠性為=時，。即對于的情況，產(chǎn)品能工作到平均壽命的僅占37%。4/15/202350編輯ppt第三節(jié)常用的壽命分布

一、指數(shù)分布在可靠性理論中，指數(shù)分布是最基本、最常用的分布，適合于失效率為常數(shù)的情況。它不但在電子元器件偶然失效期普遍使用，而且在復(fù)雜系統(tǒng)和整機(jī)方面以及機(jī)械技術(shù)的可靠性領(lǐng)域也得到使用。指數(shù)分布常用于描述由于偶然因素沖擊，引起系統(tǒng)失效的失效規(guī)律

4/15/202351編輯ppt可以證明在內(nèi)發(fā)生的沖擊次數(shù)服從以為參數(shù)的泊松分布，即為泊松過程。其概率分布為

如果在內(nèi)無沖擊，即沖擊次數(shù)=0時的概率，也就是產(chǎn)品的可靠度為從而可得失效分布為（2-18）4/15/202352編輯ppt失效密度為

（2-19）若產(chǎn)品壽命具有失效分布式（2-18），或者具有失效密度式（2-19），則稱產(chǎn)品壽命服從參數(shù)為的指數(shù)分布。4/15/202353編輯ppt根據(jù)可靠性指標(biāo)間的相互關(guān)系，可求出指數(shù)分布場合下的可靠性特征量如下：可靠度：（2-20）失效率：(2-21)平均壽命:MTBT或MTTF=(2-22)壽命方差：（2-23）4/15/202354編輯ppt

綜上可知，指數(shù)分布的重要特征有：失效率為常數(shù)，反之，當(dāng)失效率為常數(shù)時，其壽命服從指數(shù)分布；平均壽命與失效率互為倒數(shù)；平均壽命在數(shù)值上等于特征壽命。

此外，指數(shù)分布還有一個很重要的性質(zhì)就是所謂“無記憶性”，即若壽命服從指數(shù)分布4/15/202355編輯ppt則對任意時間，有

（2-24）由條件概率公式很容易得到證明。因?yàn)?/15/202356編輯ppt

這意味著，若工作到時刻仍然正常的產(chǎn)品，就像產(chǎn)品由時刻開始工作一樣，以后，其壽命仍為指數(shù)分布。

由于指數(shù)分布的失效率不隨時間變化，因此對由指數(shù)分布的部件組成的系統(tǒng)，不能采用提前替換經(jīng)過工作考驗(yàn)的部件來提高系統(tǒng)的可靠性。

4/15/202357編輯ppt例2-3某臺儀器，在某種應(yīng)力條件下，其失效時間服從指數(shù)分布。有資料表明，此種儀器在1000h工作時間內(nèi)將有20%失效，試求其平均壽命。解由得則平均壽命

4/15/202358編輯ppt二、正態(tài)分布正態(tài)分布也稱高斯（Gauss）分布，是電子產(chǎn)品可靠性計(jì)算中常用的系統(tǒng)壽命分布類型。其失效率函數(shù)可以描述耗損失效區(qū)的失效率隨時間的變化情況。若隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)為

（2-25）

則稱服從正態(tài)分布。4/15/202359編輯ppt根據(jù)概率密度函數(shù)可求得累積分布概率和可靠度函數(shù)為

（2-26）

（2-27）4/15/202360編輯ppt通常正態(tài)分布的隨機(jī)變量X記為。當(dāng)時，稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，記作。當(dāng)樣品數(shù)目時，二項(xiàng)分布可近似為正態(tài)分布。和是正態(tài)分布的兩個特征參數(shù)，它們確定下來了，則整個分布的特征就定下來了。改變，一定時，分布曲線沿軸平移而其形狀不改變，如圖2-6所示；如果不變而僅改變，分布曲線的位置不變，但分散程度有所改變，反映在曲線的形狀則是“肥”、“廋”的不同，如圖2-7所示。X～～X4/15/202361編輯ppt圖2-6改變，一定時正態(tài)分布曲線4/15/202362編輯ppt圖2-7不變，改變時正態(tài)分布曲線4/15/202363編輯ppt正態(tài)分布函數(shù)有一個主要的特點(diǎn)，即對稱性，且在=處，最大。

（2-28）一般，按照式（2-26），計(jì)算很復(fù)雜和困難，我們將其表達(dá)式進(jìn)行變換，即令，，從而有

（2-29）

式中，和分別為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布密度函數(shù)和累積概率分布函數(shù)。4/15/202364編輯ppt因此，當(dāng)隨機(jī)變量呈正態(tài)分布時且均值和標(biāo)準(zhǔn)差已知，可以將它的分布函數(shù)轉(zhuǎn)換為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，且特性不變，即

(2-30)假設(shè)服從均值為，標(biāo)準(zhǔn)差為的正態(tài)分布，那么在區(qū)間的累積概率值可由下式計(jì)算。4/15/202365編輯ppt對上式進(jìn)行變量代換令，,則有正態(tài)分布曲線與軸所圍面積等于1。正態(tài)分布的失效率函數(shù)和可靠壽命為（2-31）其中，（2-32）4/15/202366編輯ppt例2-4電源電壓在不超過200V，200～240V和超過240V這三種情況下，部件損壞的概率分別為0.1，0.001和0.2。設(shè)電壓服從正態(tài)分布，～。求：電壓分別在不超過200V，200～240V，超過240V這三種情況下的概率。解

4/15/202367編輯ppt三、對數(shù)正態(tài)分布正態(tài)分布雖然應(yīng)用較廣，但由于分布規(guī)律的對稱性，往往使得正態(tài)分布在實(shí)際應(yīng)用中受到一定的限制，例如定應(yīng)力下材料的疲勞壽命及維修時間都不服從正態(tài)分布，即分布曲線不對稱。而對數(shù)正態(tài)分布是描述此類壽命與耐久性的一種好的分布，它解決了對稱正態(tài)分布在描述式樣在未經(jīng)試驗(yàn)即在t=0時出現(xiàn)失效的不合理性，能使之更符合于實(shí)際。4/15/202368編輯ppt假設(shè)隨即變量服從正態(tài)分布，則隨機(jī)變量服從對數(shù)正態(tài)分布，其概率分布密度函數(shù)為（2-33）失效概率函數(shù)（2-34）4/15/202369編輯ppt或?qū)懗蓸?biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布形式（2-35）其中4/15/202370編輯ppt可靠度（2-36）失效率函數(shù)

（2-37）4/15/202371編輯ppt對數(shù)正態(tài)分布的數(shù)學(xué)期望（均值）4/15/202372編輯ppt對數(shù)正態(tài)分布的方差

（2-38）4/15/202373編輯ppt圖2-8對數(shù)正態(tài)分布概率密度函數(shù)曲線4/15/202374編輯ppt圖2-9對數(shù)正態(tài)分布失效率函數(shù)曲線4/15/202375編輯ppt四、泊松（Poisson）分布二項(xiàng)分布在抽樣數(shù)很大而較小時，可趨近于泊松分布。泊松分布是概率論中的一種重要分布。這是只要為一有限數(shù)，再令充分大，即可得且稱概率分布（2-39）

為泊松分布，這是一種離散性分布4/15/202376編輯ppt其數(shù)學(xué)期望值、方差、可靠度分別為:

在可靠性分析中，若要考慮依時間的演變過程，此時式（2-39）就成為

（2-40）而且同樣可得

式（2-39）中的稱為泊松隨機(jī)變量，而式（2-40）中的稱為泊松隨機(jī)過程。4/15/202377編輯ppt例2-5為了保證設(shè)備正常工作，需要配備適量的維修工人(工人配備多了就浪費(fèi)，配備少了又要影響生產(chǎn))，現(xiàn)有同類型設(shè)備300臺，各臺工作是相互獨(dú)立的．發(fā)生故障的概率都是0.01，在通常情況下，一臺設(shè)備的故障可由一個人來處理。問至少要配備多少工人，才能保證設(shè)備發(fā)生故障而不能及時維修的概率小于0.01?4/15/202378編輯ppt解令表示同一時刻發(fā)生故障的設(shè)備臺數(shù)，則～。設(shè)需要配備幾個維修工人才能滿足題意要求．所要解決的問題是確定，使得4/15/202379編輯ppt由泊松分布，，得這樣，問題轉(zhuǎn)化成：對于參數(shù)為3的泊松分布，求，使得通過計(jì)算可知，最小的