2022-2023學(xué)年安徽省滁州市定遠縣民族中學(xué)高二年級上冊學(xué)期11月期中數(shù)學(xué)試題【含答案】

2022-2023學(xué)年安徽省滁州市定遠縣高二上學(xué)期11月期中數(shù)學(xué)試題一、單選題1．如圖，在平行六面體中，底面是邊長為2的正方形．若，且，則的長為（

）A． B． C． D．5【答案】A【分析】利用空間向量的線性運算及數(shù)量積運算即可求解.【詳解】根據(jù)空間向量的運算法則，易得，又因為，故.故選：A．2．已知空間向量，，滿足，，，，則與的夾角為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】將，兩邊平方，利用空間向量的數(shù)量積即可得選項.【詳解】設(shè)與的夾角為．由，得，兩邊平方，得，所以，解得，又，所以，故選：C．3．如圖，在三棱錐中，點，分別是，的中點，點滿足，若，則（

）A．B．C．D．【答案】B【分析】利用空間向量的線性運算求解即可.【詳解】在三棱錐中，點，分別是，的中點，點滿足，若，則，故選：B4．設(shè)l1的方向向量為=（1，2，﹣2），l2的方向向量為=（﹣2，3，m），若l1⊥l2，則m等于（

）A．1 B．2 C． D．3【答案】B【分析】由l1⊥l2，可得其兩直線的方向向量垂直，即，所以，從而可求出m的值【詳解】因為l1的方向向量為=（1，2，﹣2），l2的方向向量為=（﹣2，3，m），且l1⊥l2，所以，所以，解得，故選：B5．直線l過點，且與以為端點的線段相交，則直線l的斜率的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】作出圖形，并將直線l繞著點M進行旋轉(zhuǎn)，使其與線段PQ相交，進而得到l斜率的取值范圍.【詳解】∵直線l過點，且與以，為端點的線段相交，如圖所示：∴所求直線l的斜率k滿足或，，則或，∴，故選：D．6．在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)有兩個點，，若在軸上存在點，使，則點的坐標(biāo)是A． B． C． D．或【答案】D【解析】根據(jù)可知，則，構(gòu)造出關(guān)于點坐標(biāo)的方程，解方程求得結(jié)果.【詳解】設(shè)，則，

，則則：，解得：或點坐標(biāo)為：或本題正確選項：【點睛】本題考查利用直線垂直關(guān)系求解參數(shù)值的問題，關(guān)鍵是利用斜率乘積為構(gòu)造方程.7．若入射光線所在直線的方程為，經(jīng)x軸反射，則反射光線所在直線的方程是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】由題意可得已知直線過點，，由反射原理，反射光線必經(jīng)過點和點關(guān)于軸的對稱點，然后由求直線方程的方法可得答案．【詳解】解：由已知直線方程，令可得，令可得，即入射光線所在直線與軸、軸分別相交于點，，由反射原理，反射光線必經(jīng)過點和點關(guān)于軸的對稱點，故可得其斜率為：，由斜截式方程可得，所求反射光線所在直線方程為：故選：．8．經(jīng)過直線l1：2x﹣y+1＝0和l2：x﹣y﹣2＝0的交點，且垂直于直線l1的方程為（）A．2x﹣y+13＝0 B．x+2y+13＝0 C．2x﹣y﹣13＝0 D．x+2y﹣13＝0【答案】B【分析】先求出兩條直線的交點坐標(biāo)，然后求出直線的斜率，由直線的點斜式方程求解即可．【詳解】聯(lián)立直線l1：2x﹣y+1＝0和l2：x﹣y﹣2＝0的方程，解得x＝﹣3，y＝﹣5，所以直線l1：2x﹣y+1＝0和l2：x﹣y﹣2＝0的交點為（﹣3，﹣5），又直線l1的斜率為2，故所求直線的斜率為，所以所求直線的方程為，即x+2y+13＝0．故選：B二、多選題9．在棱長為1的正方體中，，是線段（含端點）上的一動點，則下列命題中正確的是（

）．A． B．當(dāng)為線段的中點時，取最小值C．三棱錐體積的最大值是最小值的倍 D．與所成角的范圍是【答案】AD【分析】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，求出的坐標(biāo)后可通過向量的方法判斷AB正誤，可證明平面，從而可判斷C的正誤，連接，設(shè)，連接，則，則或其補角即為與所成角，計算的范圍后可判斷D的正誤.【詳解】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，則，.設(shè)，其中，故，故，所以，所以，故A正確.又，當(dāng)時，有最小值，故B錯誤.對于D，如圖，連接，設(shè)，連接，則，故或其補角即為與所成角，在中，，，，在中，，故，在中，，故，而為三角形內(nèi)角，故，故.故D正確.由正方體可得，而平面，平面，故平面，故到平面的距離為定值，故三棱錐體積為定值，故C錯誤.故選：AD.10．已知在以為直角頂點的等腰三角形中，頂點、都在直線上，下列判斷中正確的是（

）A．點的坐標(biāo)是或B．三角形的面積等于C．斜邊的中點坐標(biāo)是D．點關(guān)于直線的對稱點是【答案】ACD【分析】取的中點，由，且在上，求得點坐標(biāo)為，可判斷C；由及，求得的坐標(biāo)可判斷A；求得，可判斷B；求出點關(guān)于直線的對稱點可判斷D．【詳解】取的中點，因為三角形為等腰三角形，所以，即垂直于直線，則，且，解得，則的中點坐標(biāo)為，故C正確；所以①，而，且，②，聯(lián)立①②，解得，或，所以的坐標(biāo)是或，故A正確；，，所以，故B錯誤；設(shè)點的對稱點為，則的中點為，即，所以，，解得，即點關(guān)于直線的對稱點是，故D正確．故選：ACD．.11．已知圓，點P是圓C上的一個動點，點，，則下列選項中正確的是（

）A． B．的最大值為C．的最大值為12 D．的最大值為9【答案】AC【分析】對于A選項，根據(jù)判斷；對于B選項，當(dāng)時，取的最大值，再根據(jù)幾何關(guān)系求解判斷；對于CD選項，由向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運算轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的最值問題即可求解.【詳解】由題意知，圓心，半徑為，所以，當(dāng)點P在AC的延長線上時，最大，此時，當(dāng)點P在AC之間時，最小，此時，所以，即選項A正確;當(dāng)直線AP與圓C相切時，取得最大值，此時，，即選項B錯誤;設(shè)，，當(dāng)時，此時點，有最大值為，即選項C正確;，所以的最大值為，即選項D錯誤.故選：AC三、單選題12．瑞士著名數(shù)學(xué)家歐拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直線上，這條直線被后人稱為三角形的“歐拉線”．若滿足，頂點，，且其“歐拉線”與圓M：相切，則下列結(jié)論正確的是（

）A．圓M上的點到原點的最大距離為B．圓M上不存在三個點到直線的距離為C．若點在圓M上，則的最小值是D．若圓M與圓有公共點，則【答案】D【分析】由題意求出的垂直平分線可得的歐拉線，再由圓心到直線的距離求得，得到圓的方程，求出圓心到原點的距離，加上半徑判斷A；求出圓心到直線的距離判斷B；再由的幾何意義，即圓上的點與定點連線的斜率判斷C；由兩個圓有公共點可得圓心距與兩個半徑之間的關(guān)系，求得的取值范圍可判斷D.【詳解】對于A，由題意可得的歐拉線即為的垂直平分線，因為，，所以的中點坐標(biāo)為，，所以線段的垂直平分線方程為，即，因為“歐拉線”與圓M：相切，所以，所以圓M：，所以圓M上的點到原點的最大距離為，所以A錯誤；對于B，因為圓心到直線的距離為，而圓的半徑為，所以圓M上存在三個點到直線的距離為，所以B錯誤；對于C，表示圓上的點與定點連線的斜率，設(shè)過與圓相切的直線方程為，即，則，解得，所以的最小值為，所以C錯誤，對于D，圓的圓心為，半徑為，因為圓M：的圓心為，半徑為，所以要使圓M與圓有公共點，則只要圓心距的范圍為，所以，解得，所以D正確，故選：D.四、填空題13．已知平行六面體的棱長均為4，，E為棱的中點，則___________.【答案】6【分析】利用空間向量基本定理，選取合適的基底表示向量，再通過平方的方法求出其模長.【詳解】設(shè)，，，則，∴，∴.故答案為：614．點在軸上運動，點在直線上運動，若，則的周長的最小值為___________.【答案】【分析】設(shè)A關(guān)于軸的對稱點關(guān)于的對稱點，利用對稱將的周長的最小值轉(zhuǎn)化為求的長度，求得的坐標(biāo)，由兩點間距離公式即可求得答案.【詳解】設(shè)A關(guān)于軸的對稱點關(guān)于的對稱點，的周長，取等號時即共線時，的周長的值最小，即的長度即為三角形周長的最小值，由題意，設(shè)點，解得，所以，由兩點距離公式知.故答案為：.15．已知中，點，，.則的面積為________.【答案】10【分析】由兩點式的直線BC的方程，再根據(jù)點點到直線的距離求出BC邊上的高d，再根據(jù)兩點之間的距離公式求出BC，根據(jù)三角形的面積公式計算即可.【詳解】解：由兩點式的直線BC的方程為＝，即為x+2y﹣8＝0，由點A到直線的距離公式得BC邊上的高d＝＝，BC兩點之間的距離為＝4，∴△ABC的面積為×4×＝10，故答案為：10.【點睛】本題考查了直線方程的求法點到直線的距離公式，兩點之間的距離公式，三角形的面積公式，屬于基礎(chǔ)題.16．當(dāng)曲線與直線有兩個不同的交點時，實數(shù)k的取值范圍是____________．【答案】【分析】求出直線恒過的定點，結(jié)合曲線的圖象，數(shù)形結(jié)合，找出臨界狀態(tài)，即可求得的取值范圍.【詳解】因為，故可得，其表示圓心為，半徑為的圓的上半部分；因為，即，其表示過點，且斜率為的直線.在同一坐標(biāo)系下作圖如下：不妨設(shè)點，直線斜率為，且過點與圓相切的直線斜率為數(shù)形結(jié)合可知：要使得曲線與直線有兩個不同的交點，只需即可.容易知：；不妨設(shè)過點與相切的直線方程為，則由直線與圓相切可得：，解得，故.故答案為：.五、解答題17．已知直線．(1)求直線過定點的坐標(biāo)；(2)當(dāng)直線時，求直線的方程；(3)若交軸正半軸于，交軸正半軸于，的面積為，求最小值時直線的方程．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）直線可化為即可得解；（2）根據(jù)已知條件列式求出即可得解；（3）根據(jù)直線的方程，分別求出直線在軸，軸上的截距，再結(jié)合三角形的面積公式，以及基本不等式的公式即可求解.【詳解】（1）直線可化為，直線過定點．（2）直線，，，直線的方程為，即直線的方程為．（3）解法：設(shè)，直線過得：，，當(dāng)且僅當(dāng)，即取等號，，，當(dāng)時，最小值為，此時，直線的方程為，即．解法：由直線的方程得：，，由題設(shè)得：．當(dāng)且僅當(dāng)時取等號．取最小值時，直線的方程為．18．如圖，已知圓O的直徑AB=4，定直線L到圓心的距離為4，且直線L⊥直線AB．點P是圓O上異于A、B的任意一點，直線PA、PB分別交L與M、N點．試建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，解決下列問題：（1）若∠PAB=30°，求以MN為直徑的圓方程；（2）當(dāng)點P變化時，求證：以MN為直徑的圓必過圓O內(nèi)的一定點．【答案】（1）；（2）證明見解析【詳解】建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，⊙O的方程為，直線L的方程為．（1）∵∠PAB=30°，∴點P的坐標(biāo)為，∴，．將x=4代入，得．∴MN的中點坐標(biāo)為（4，0），MN=．∴以MN為直徑的圓的方程為．同理，當(dāng)點P在x軸下方時，所求圓的方程仍是．（2）設(shè)點P的坐標(biāo)為，∴（），∴．∵，將x=4代入，得，．∴，MN=．MN的中點坐標(biāo)為．以MN為直徑的圓截x軸的線段長度為為定值．∴⊙必過⊙O內(nèi)定點．點評：用待定系數(shù)法求圓的方程要注意兩點：第一，究竟用標(biāo)準(zhǔn)方程還是一般方程要根據(jù)題設(shè)條件選擇，選擇得當(dāng)，解法就簡捷，選擇不當(dāng)，會增加解答的難度；第二，要注意適時運用幾何知識列方程，這樣可能大大減少運算量．19．如圖，在空間四邊形中，已知是線段的中點，在上，且．(1)試用，，表示向量；(2)若，，，，，求的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)空間向量線性運算法則計算可得；（2）由（1）可得，根據(jù)空間向量數(shù)量積的運算律及定義計算可得；【詳解】（1）解：，，又（2）解：由（1）可得知20．已知點、、，，．(1)若，且，求；(2)求；(3)若與垂直，求．【答案】(1)或；(2)(3)或【分析】（1）利用空間向量平行充要條件設(shè)出，再利用列方程，進而求得；（2）先求得，，再利用公式即可求得的值；（3）利用空間向量垂直充要條件列出關(guān)于的方程，解之即可求得的值．【詳解】（1）、，，，且，設(shè)，且，解得，或；（2）、、，，，，，；（3），，又與垂直，，解得或．21．已知直線.（1）若直線l不經(jīng)過第四象限，求k的取值范圍；（2）若直線l交x軸負半軸于點A，交y軸正半軸于點B，求面積的最小值；（3）已知，若點P到直線的距離為d，求d最大時直線的方程.【答案】（1）；（2）；（3）.【分析】（1）根據(jù)方程可得直線l恒過定點，然后可得答案；（2）可得，然后利用基本不等式可求出其最小值；（3）當(dāng)時，d最大，然后可求出答案.【詳解】（1）直線l的方程為，直線l恒過定點，∴若直線l不經(jīng)過第四象限，則，（2）因為直線l交x軸負半軸于點A，交y軸正半軸于點B，所以取，，，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立.（3）當(dāng)時，d最大，，可得直線的斜率為，則直線的方程，即.22．如圖①，在等腰梯形中，，，，，，將沿折起，使平面平面，得到如圖②所示的四棱錐，其中為的中點．（1）試在線段上找一點，使得∥平面，并說明理由；（2）求二面角的余弦值．【答案】（1）為的中點，理由見解析；（2）.【分析】（1）取的中點，利用中位線證明，則可證明平面；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，寫出點的坐標(biāo)，求出平面的法向量，再得平面的法向量，代入數(shù)量積的夾角計算公式求解余弦值即可.【詳解】解：（1）為的中點，證明如下：連接，∵分別為，的中點，∴，又，平面，∴平面（2）∵平面平面，平面平面，平面.由題意知，，兩兩垂直，以