線性代數(shù)同濟(jì)大學(xué)第五第三章

（優(yōu)選）線性代數(shù)同濟(jì)大學(xué)第五版第三章現(xiàn)在是1頁\一共有25頁\編輯于星期三八、矩陣的秩

若在矩陣A中有一個(gè)r階子式D非零,且所有的r+1階子式(如果存在的話)都為零,則稱D為矩陣A的一個(gè)最高階非零子式,稱數(shù)r

為矩陣A的秩,記作R(A).若A為n階可逆矩陣,則(1)A的最高階非零子式為|A|;(2)R(A)=n;性質(zhì)1:0R(Amn)min{m,n};性質(zhì)2:

R(AT)

=

R(A);性質(zhì)3:

若AB,則R(A)

=

R(B);性質(zhì)4:

若P,Q可逆,則R(PAQ)

=

R(A);矩陣秩的性質(zhì)現(xiàn)在是2頁\一共有25頁\編輯于星期三

性質(zhì)5:max{R(A),R(B)}R(A

|

B)

R(A)

+

R(B),特別當(dāng)B

=

b時(shí),R(A)R(A

|

b)

R(A)

+

1;性質(zhì)6:

R(A

+

B)

R(A)

+

R(B);性質(zhì)7:

R(AB)min{R(A),

R(B)};性質(zhì)8:

若AmnBnl=O,則R(A)+R(B)n.現(xiàn)在是3頁\一共有25頁\編輯于星期三

把矩陣用初等行變換變成為行階梯形矩陣,行階梯形矩陣中非零行的行數(shù)就是矩陣的秩(2)初等變換法(1)利用定義

(矩陣的階數(shù))求矩陣秩的方法尋找矩陣中非零子式的最高階數(shù);現(xiàn)在是4頁\一共有25頁\編輯于星期三九、線性方程組有解判別定理及解法

定理1:

n元線性方程組Amnx=b

(1)無解的充分必要條件是R(A)<R(A,b);(2)有唯一解的充分必要條件是R(A)=R(A,b)=n;(3)有無窮多解的充分必要條件是R(A)=R(A,b)<n.

定理1:(克拉默(Cramer)法則)如果線性方程組(1)的系數(shù)行列式不等于零,那么,線性方程組(1)有解,且解是唯一的.n元線性方程組Annx=b

現(xiàn)在是5頁\一共有25頁\編輯于星期三

把行最簡形中r個(gè)非零行的非零首元所對應(yīng)的未知量取作非自由未知量,其余n–r個(gè)未知量取作自由未知量,并令自由未知量分別取c1,c2,···,cn–r,由B(或A)的行最簡形即可寫出含有n–r個(gè)參數(shù)的通解.

非齊次線性方程組的解法:

增廣矩陣化成行階梯形矩陣,便可判斷其是否有解.若有解,化成行最簡形矩陣,便可寫出其通解.

齊次線性方程組的解法:

系數(shù)矩陣化成行最簡形矩陣,便可寫出其通解.現(xiàn)在是6頁\一共有25頁\編輯于星期三初等變換法解矩陣方程或者(1)AX=B(2)XA=B

注意:用初等行變換求逆矩陣時(shí),必須始終用行變換,其間不能作任何列變換.同樣地,用初等列變換求逆矩陣時(shí),必須始終用列變換,其間不能作任何行變換.現(xiàn)在是7頁\一共有25頁\編輯于星期三2009年期末考題七、（10分)求非齊次線性方程組的通解。類型一：求解線性方程組現(xiàn)在是8頁\一共有25頁\編輯于星期三2009年期末考題(線代II)現(xiàn)在是9頁\一共有25頁\編輯于星期三2011年期末考題現(xiàn)在是10頁\一共有25頁\編輯于星期三四、（12分）設(shè)有線性方程組：問取何值式時(shí)，此方程(1)有唯一解，(2)無解，(3)有無限多解？并在有無限多解時(shí)求其通解。2010年期末考題課后題16類型二、含參數(shù)線性方程組解的討論現(xiàn)在是11頁\一共有25頁\編輯于星期三2011年選考題現(xiàn)在是12頁\一共有25頁\編輯于星期三2012年期末考題現(xiàn)在是13頁\一共有25頁\編輯于星期三2012年選考題現(xiàn)在是14頁\一共有25頁\編輯于星期三課后題17非齊次線性方程組當(dāng)取何值時(shí)有解？并求出它的通解?，F(xiàn)在是15頁\一共有25頁\編輯于星期三課后題18設(shè)問取何值時(shí)，此方程組有唯一解、無解或無窮多解？并在有無窮多解時(shí)求其通解?，F(xiàn)在是16頁\一共有25頁\編輯于星期三(A)存在且唯一(B)存在但不唯一(C)不存在(D)存在與否不確定4.設(shè)B是數(shù)域K上的n階可逆矩陣，對應(yīng)K中任意n個(gè)數(shù)b1,…,bn,線性方程組的解()2009年期末考題A類型三、判斷線性方程組的解現(xiàn)在是17頁\一共有25頁\編輯于星期三4．設(shè)非齊次線性方程組Ax=b有n個(gè)未知量,m個(gè)方程,且R(A)=r,則此方程組()。(A)當(dāng)r=m時(shí),有解;(B)當(dāng)r=n時(shí),有唯一解;(C)當(dāng)m=n時(shí),有唯一解;(D)當(dāng)r<n時(shí),有無窮多解.2008年期末考題(I)2008年期末考題(II)1.若方程組

(m

n)對于任意m維列向量b都有解,則().R(A)=n;(B)R(A)=m;(C)R(A)>n;(D)R(A)<m.現(xiàn)在是18頁\一共有25頁\編輯于星期三齊次線性方程組2.齊次線性方程組只有零解,則k應(yīng)滿足的條件是

.則齊次線性方程組Ax=O3.設(shè)的通解為

.零解現(xiàn)在是19頁\一共有25頁\編輯于星期三一、單項(xiàng)選擇題(每題4分，共16分)1.設(shè)A是矩陣，B是矩陣，則()(A)當(dāng)m>n時(shí)，必有行列式(B)當(dāng)m>n時(shí)，必有行列式(C)當(dāng)n>m時(shí)，必有行列式(D)當(dāng)n>m時(shí)，必有行列式2010年期末考題D類型四：矩陣的秩現(xiàn)在是20頁\一共有25頁\編輯于星期三C2011年選考題，2012年期末考題2011年期末考題現(xiàn)在是21頁\一共有25頁\編輯于星期三-32011年選考題B2.設(shè)A,B為n階非零方陣,且AB=O,則A和B的秩()A.必有一個(gè)為零

B.都小于nC.一個(gè)小于n，一個(gè)等于nD.都等于n2009年期末考題(線代I)現(xiàn)在是22頁\一共有25頁\編輯于星期三2.已知P為3階非零方陣，且滿足PQ=O,則()(A)t=6時(shí)，P的秩必為1；(B)t=6時(shí)，P的秩必為2；(C)時(shí)，P的秩必為1；(B)時(shí)，P的秩必為2；2010年期末考題C現(xiàn)在是23頁\一共有25頁\編輯于星期三2．已知A=

B≠O,B為3階矩陣,且AB=O,則t=

.(A)–9,(B)27,(C)18,(D)–27.2008年期末考題(II)D現(xiàn)在是24頁\一共有25頁\編輯于星期三2011年期末考題所以,由矩陣秩的性質(zhì)8結(jié)論可知:R(A)+R(E–A)n.再由矩陣