平面向量數(shù)量積的教案

當(dāng)前位置：人教網(wǎng)2010>>高中數(shù)學(xué)B版>>教師中心>〉同步教學(xué)資源>〉必修4〉〉教學(xué)設(shè)計

向量數(shù)量積的物理背景與定義

山東省東營市勝利第一中學(xué)郝葆華

一、教學(xué)目標(biāo)

（一）知識與技能目標(biāo)

1、理解平面向量數(shù)量積的含義及其物理意義

2、知道平面向量的數(shù)量積與向量在軸上的射影的關(guān)系

3、能運(yùn)用數(shù)量積表示兩個向量的夾角，會用數(shù)量積判斷兩個平面向量的垂直、共線關(guān)

系

（二）過程與方法目標(biāo)

經(jīng)歷概念的形成過程，解題的思維過程,讓學(xué)生親身體驗數(shù)形結(jié)合思想的指導(dǎo)作用。

（三）情感、態(tài)度與價值觀目標(biāo)

通過本節(jié)的自主性學(xué)習(xí)，讓學(xué)生嘗試數(shù)學(xué)研究的過程,培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)、提出、解決數(shù)學(xué)

問題的能力，有助于發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)新意識。

二、教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)

本節(jié)的重點(diǎn)是向量的數(shù)量積的定義及性質(zhì)，難點(diǎn)是對向量數(shù)量積的定義及性質(zhì)的理

解和應(yīng)用.

三、教學(xué)方法

倡導(dǎo)“自主、合作、探究”的學(xué)習(xí)方式,采用自主探究、講議結(jié)合、多媒體輔助教學(xué).

四、教學(xué)過程

教學(xué)

師生互設(shè)計意

教學(xué)內(nèi)容

動圖

環(huán)節(jié)

1、一個力作用于一個物體，力的方向與前進(jìn)方向有一

個夾角，則力使物體位移所做的功___________

2、已知兩個非零向量、,作,，則______稱作向量和的夾角，

記作_______，并規(guī)定它的范圍是________

3、在軸上的正射影的坐標(biāo)記作__，向量的方向與軸的___所使同學(xué)

引

成的角為，則_們通過

導(dǎo)要求同充分的

自4、(1）叫做向量和的數(shù)量積（內(nèi)積），記作，即___________學(xué)們在自主參

8分鐘與，對

學(xué)

之內(nèi)閱教材知

，

讀教識有個

感

材、積初步了

知極思解，帶

知考，完著問題

成老師進(jìn)入下

識

設(shè)置的一步的

問題.學(xué)習(xí)，

以充分

調(diào)動學(xué)

生的學(xué)

習(xí)興

趣。

設(shè)

教學(xué)

師生活計

教學(xué)內(nèi)容

動意

環(huán)節(jié)

圖

（2），其中是_________，叫做_______，叫做________

引

導(dǎo)感

自知5、敘述平面向量數(shù)量積的性質(zhì)

學(xué)知

，識

1、兩個向量的夾角

已知兩個非零向量、，作＝，＝，則∠ＡＯＢ稱作向量和向量

的夾角，記作:

(1）注意求兩向量的夾角，須先將兩個向量平移至公共起點(diǎn).

（2）兩個向量夾角的范圍：0

（3）當(dāng)＝０時，與同向；

利用多借

媒體展助

當(dāng)＝π時，與反向。示出不幾

同位置何

關(guān)系的直

(4)當(dāng)＝時，與垂直，幾組向觀

量，借加

記⊥.助幾何深

直觀對學(xué)

概念進(jìn)生

行強(qiáng)調(diào)對

說明。兩

向

(1）向量

量同起夾

(5）規(guī)定:零向量與任一向量垂直.點(diǎn)角

師的

理

解

（2）范,

生圍為

學(xué)

習(xí)

向

（3）特量

互

殊情況數(shù)

量

積

的

動（4）突定

，出一規(guī)義

定奠

理

定

基

礎(chǔ)

。

解

教學(xué)

師生活設(shè)計

教學(xué)內(nèi)容

動意圖

環(huán)節(jié)

2、向量在軸上的正射影

（1）概念：已知向量和軸，作，過點(diǎn)分別作軸的垂線，垂

足分別為,則向量叫做向量在軸上的正射影（簡稱射影）。

師生共

同回顧

自學(xué)時

所認(rèn)識

的向量

在軸上

的正射

影的概

念。

(2)正射影的數(shù)量：

加強(qiáng)

即向量在軸上的正射影的數(shù)量，記作幾何

直

設(shè)向量的方向與軸的正向所成的角為，則觀，

有利

強(qiáng)調(diào)：正射影是一個向量，該射影在軸上的坐標(biāo)才是一個于學(xué)

數(shù)量。生理

解概

念。

（3）時，；

時，；

時，；

時,；

時,。

師

生在正射

影的概

念的基

礎(chǔ)上給

出正射

互

影的數(shù)

量的概

念。

動

,

理

區(qū)別

教學(xué)

師生活設(shè)計

教學(xué)內(nèi)容

動意圖

環(huán)節(jié)

3、向量數(shù)量積的定義兩個向

概念:叫向量和的數(shù)量積（或內(nèi)積),記作,即有量的數(shù)

量積是學(xué)習(xí)

一個數(shù)新概

探究1：兩個向量的數(shù)量積與數(shù)乘向量有什么區(qū)別？量，這念與

個數(shù)量問題

兩個向量的數(shù)量積是一個實數(shù)，符號由的符號所決定；的大小討論

而數(shù)乘向量是一個向量。與兩個相結(jié)

向量的合，

探究2：兩個向量的數(shù)量積與兩個實數(shù)的乘法有什么區(qū)長度及進(jìn)一

別？其夾角步加

的余弦深學(xué)

①書寫：實數(shù)乘積或;值有生對

關(guān)。新概

在實數(shù)中，若a0，且ab=0，則b=0；但是在數(shù)量積中，念的

若，且,不能推出，因為其中cos有可能為0。理解

與掌

②已知實數(shù)a、b、c（b0），則ab=bca=c,但是教師提握。

出問

③在實數(shù)中，有(ab）c=a(bc），但是題，學(xué)

生以小

組為單提出

4、向量數(shù)量積的性質(zhì)位進(jìn)行問題

探究。引導(dǎo)

（1)如果是單位向量,則學(xué)生

去探

；究，

培養(yǎng)

（2)學(xué)生

的探

且;索精

神。

師（3）或；

對于探

(4）;究2此

（5）.處重點(diǎn)

強(qiáng)調(diào)書

生寫的區(qū)

別，其

它性質(zhì)通過

或運(yùn)算對書

律的區(qū)寫的

互別學(xué)生強(qiáng)

若想不調(diào)，

到可在體現(xiàn)

后面例數(shù)學(xué)

1中展的嚴(yán)

動現(xiàn).謹(jǐn)

性。

教學(xué)

師生活設(shè)計

教學(xué)內(nèi)容

動意圖

環(huán)節(jié)

性質(zhì)的應(yīng)用：

（2）可解決兩向量的垂直問題;學(xué)生自

主觀察

申：解決兩向量共線的問題：性質(zhì)特培養(yǎng)

點(diǎn),自學(xué)生

主總結(jié)自主

且性質(zhì)的探

應(yīng)用價究、

師

(3）可求向量的長度；值，也合作

生可以以交流

互（4）可求兩向量的夾角,同時也建立了向量與三角的聯(lián)系；小組為的能

單位進(jìn)力，

動

（5)建立了向量與不等式之間的聯(lián)系.行探變

,理

究?！皩W(xué)

解會”

知為

“會

識

學(xué)”.

例1、判斷正誤：

①若，則對任一向量，

有。(√)教師出通過

典

示8個題目

②若，則對任一非零向量,判斷幫助

有。(×)題,學(xué)學(xué)生

例

生進(jìn)行更準(zhǔn)

③若,則、至少有一個為分析、確的

零。（×)判斷,認(rèn)識

探

教師提向量

④若，，問個別的數(shù)

則.同學(xué)進(jìn)量

究

（×）行回積，

，答,根并養(yǎng)

掌⑤若，則當(dāng)且僅當(dāng)時成立。（×）據(jù)回答成縝

情況進(jìn)密推

⑥對任意向量、、，行強(qiáng)調(diào)理的

握有.（×)和糾好習(xí)

正。慣。

⑦對任意向量,

知有.

(√)

⑧對任意向量，

識

有。(×）

教學(xué)

師生活設(shè)計

教學(xué)內(nèi)容

動意圖

環(huán)節(jié)

例2、已知,，

當(dāng)①，②，③與的夾角是30°時，分別求.教師出

示例讓學(xué)

題，由生在

學(xué)生到掌握

例3、在正三角形中，邊長為3,求（1）（2）黑板上向量

板演，數(shù)量

最后師積公

生共同式的

強(qiáng)調(diào):點(diǎn)評完基礎(chǔ)

典

成。上，

第(2）問是個易錯點(diǎn)，此兩向量首尾相接，所以兩向量的進(jìn)一

夾角不再為，而應(yīng)為.步認(rèn)

例

識兩

個向

量垂

探

教師出直、

示例共線

題，由的充

究

學(xué)生進(jìn)要條

，行口頭件，

分析，因為

掌

充分展它是

示學(xué)生用

的思維“向

握

過程。量

法”

解決

知

解析

幾

何、

識

立體

幾何

中有

關(guān)兩

直線

位置

關(guān)系

問題

的重

要工

具。

練基礎(chǔ)：

1、若，則與的夾角的取值范圍是___________。這些

練習(xí)

自2、已知,=4，，則=__________。學(xué)生獨(dú)源于

立完課本

3、已知=2,在方向上的正射影的數(shù)量為—4，則成,教例、

我

___________.師核對習(xí)

答案，題，

實4、已知=3,，且，則在方向上的正射影的數(shù)量為________.并關(guān)注充分

學(xué)生的體現(xiàn)

踐數(shù)學(xué)表以本

,達(dá)。為

應(yīng)本.

用

知

識

教學(xué)

師生活設(shè)計

教學(xué)內(nèi)容

動意圖

環(huán)節(jié)

通過

反饋

練

習(xí)，

學(xué)生

自我

檢驗

所學(xué)

自的效

果,

練能力：

找出

問

我1、在四邊形中，，且，則四邊形是（）

題，

進(jìn)行

梯形菱形

彌

實

補(bǔ)。

矩形正方形

踐2、在中，，，且,則的形狀為_________。

，

教材

應(yīng)以力

做功

練應(yīng)用：

為背

用景引

1、已知平面上三點(diǎn)、、滿足，，，求的值.

入新

知

2、已知一個與水平夾角為的力,的大小為50，拉著一個重

知識，

80的木塊在摩擦系數(shù)為的水平面上運(yùn)動了20，求拉力、摩

練習(xí)

擦力做的功分別為多少？

以計

識算力

做功

而結(jié)

束,

首尾

相

應(yīng)，