數(shù)值計算課件

數(shù)值計算課件第1頁，共16頁，2023年，2月20日，星期六構(gòu)造有效的迭代格式選取合適的迭代初值對迭代格式進行收斂性分析一種圓周率計算方案:初值:

x0=1(n=1,2,3,······)迭代格式:2/16將一個計算過程反復進行稱為迭代,迭代法是一類常見常用的計算技術第2頁，共16頁，2023年，2月20日，星期六x2

x1

x0y=xf(x)=0迭代格式:(n=0,1,2,······)迭代函數(shù)若存在

x*,使得

,則稱x*為不動點6/16第3頁，共16頁，2023年，2月20日，星期六例已知方程x2+x-6=0在區(qū)間[0,3]內(nèi)有一實根，用簡單迭代法求一個實根的近似值，精度要求為ε=10-43/161.

x2+x-6=0

?

x=6-x2，取初始近似值x0=1代入其迭代格式xn+1=6-xn2中，計算得到的迭代值序列為x0=1;x1=5;x2=-19;x3=-355…2.

x2+x-6=0

?x

=(

6+3x-x2)/4，取初始近似值x0=1代入其迭代格式xn+1=(6+3xn-xn2)中，計算得到的迭代值序列為x0=1;x1=2;x2=2;x3=2…第4頁，共16頁，2023年，2月20日，星期六例2.2方程

x3+4x2–10=0在

[1,2]上有一個根,將方程變換成另一形式(1)(n=0,1,2,……)(2)(n=0,1,2,……)4/16第5頁，共16頁，2023年，2月20日，星期六fi=inline('0.5*sqrt(10-x^3)');x0=1.5;er=1;k=0;whileer>0.00001x=fi(x0);er=abs(x-x0);x0=x;k=k+1;endfi=inline('sqrt(10/(4+x))');x0=1.5;er=1;k=0;whileer>0.00001x=fi(x0);er=abs(x-x0);x0=x;k=k+1;endk=16x0=1.3652k=6x0=1.36525/16第6頁，共16頁，2023年，2月20日，星期六引理2.1如果

,滿足條件:;(2)則

在

[a,b]有唯一的不動點

x*證

若

或

,顯然

有不動點設

,則有

,記

則有所以,存在x*,使得即

,x*即為不動點.條件(2)是證明唯一性的條件。7/16第7頁，共16頁，2023年，2月20日，星期六定理2.4如果

,滿足條件:;(2)則對任意的

x0∈[a,b],迭代格式

產(chǎn)生的序列

{xn}收斂到不動點

x*,且有證8/16第8頁，共16頁，2023年，2月20日，星期六(0<L<1)所以,故迭代格式收斂9/16第9頁，共16頁，2023年，2月20日，星期六不動點迭代產(chǎn)生序列的收斂速度數(shù)列的r階收斂概念(局部收斂性|xn-x*|<δ)設

,若存在

a>0,r>0使得則稱數(shù)列{xn}r

階收斂.特別:(1)收斂階r=1時,稱為線性收斂;(2)收斂階r>1時,稱為超收斂;(3)收斂階r=2時,稱為平方收斂序列的收斂階數(shù)r越高,收斂速度越快10/16第10頁，共16頁，2023年，2月20日，星期六例2.3方程

x3+10x-20=0,取

x0=1.5,證明迭代法是線性收斂證:令

f(x)=x3+10x–20,繪出

y=f(x)圖形可知方程的根

x*≈1.5,令求導數(shù),得11/16第11頁，共16頁，2023年，2月20日，星期六利用Lagrange中值定理,有其中,介于xn和x*之間.

所以由此可知,這一序列的收斂階數(shù)為1,即迭代法是線性收斂.顯然,在x*附近12/16第12頁，共16頁，2023年，2月20日，星期六定理2.6設x*是

的不動點,且而

則

p階收斂由Taylor公式其中,介于xn和x*之間.所以故迭代法p階收斂.13/16第13頁，共16頁，2023年，2月20日，星期六數(shù)列收斂加速原理(Aitken)對于線性收斂數(shù)列,有于是整理化簡得加速收斂序列15/16第14頁，共16頁，2023年，2月20日，星期六1階收斂的數(shù)列{xn}的加速收斂算法s1=1;s2=s1-1/3;s3=s2+1/5;y0=s3;k=3;n=5;f=1;eor=1;whileeor>0.00005y=s3-(s2-s3)^2/(s3-2*s2+s1);eor=abs(y-y0);y0=y;k=k+1;s1=s2;s2=s3;f=-f;n=n+2;s3=s3+f/n;ends=4*y例數(shù)列

收斂于

但速度極慢S=3.14151898559528k=1714/1