數(shù)學物理方程格林函數(shù)

數(shù)學物理方程格林函數(shù)第1頁，共17頁，2023年，2月20日，星期六b.有界空間邊界上可能出現(xiàn)感應(yīng)電荷處靜電場是源電荷與感應(yīng)電荷的電勢之和。感應(yīng)電荷是源電荷的結(jié)果。計算變成由計算感應(yīng)電荷，然后是否能一次解決第2頁，共17頁，2023年，2月20日，星期六定解＝通解＋邊界條件求通解＝積分定解＝積分＋邊界條件（格林函數(shù)法）2.格林公式第一格林公式：區(qū)域T，邊界T設(shè)和在T中具有連續(xù)二階導數(shù)，在上有連續(xù)一階導數(shù)。由高斯定理感應(yīng)電荷是邊界問題第3頁，共17頁，2023年，2月20日，星期六第二格林公式：交換和：與上式相減即法向?qū)?shù)第4頁，共17頁，2023年，2月20日，星期六3.邊值問題泊松方程邊界條件定義在第一類邊界條件第二類邊界條件第三類邊界條件泊松方程與第一類邊界條件，構(gòu)成第一邊值問題(狄里希利問題)泊松方程與第二類邊界條件，構(gòu)成第二邊值問題(諾依曼問題)泊松方程與第三類邊界條件，構(gòu)成第三邊值問題第5頁，共17頁，2023年，2月20日，星期六4.泊松方程的基本積分公式點源泊松方程單位負電荷在奇異，不能化為面積分。在T中挖掉半徑，在的小球。小球邊界。邊界條件無法帶入積分之中！第6頁，共17頁，2023年，2月20日，星期六在，。和連續(xù)。第7頁，共17頁，2023年，2月20日，星期六這樣，邊界條件進入積分之中！泊松方程的基本積分公式。解在區(qū)域T中一點的值通過上面積分，由源項對區(qū)域的積分（右第一項），和邊值得積分（右第二項）給出。第8頁，共17頁，2023年，2月20日，星期六格林函數(shù)：將沖量定理法擴展到空間坐標對兩端固定的弦問題變成第9頁，共17頁，2023年，2月20日，星期六5.邊值問題的格林函數(shù)還需知道點源泊松方程度解的邊界條件。第一邊值問題(狄里希利問題)第三邊值問題第一邊值問題格林函數(shù)第三邊值問題格林函數(shù)第10頁，共17頁，2023年，2月20日，星期六在，在物理上是不合理的。考慮它是偶函數(shù)，具有同一個解，可作變換：第11頁，共17頁，2023年，2月20日，星期六12.2電像法求格林函數(shù)第一邊值問題格林函數(shù)導體球內(nèi)有一個點電荷，導體接地。求球內(nèi)電勢。電荷的存在，在導體上感應(yīng)了電荷。球內(nèi)的電勢為自由電荷和感應(yīng)電荷電勢之和。將感應(yīng)電荷的電勢由一

“電像電荷”的電勢表示第12頁，共17頁，2023年，2月20日，星期六如右圖，當導體外M1處有電荷時，鏡像電荷將在球內(nèi)M0處?，F(xiàn)在，問題反過來，在r0處有電荷-ε0，求r1，和鏡像電荷。

第13頁，共17頁，2023年，2月20日，星期六例1球內(nèi)第一邊值問題在球面上第14頁，共17頁，2023年，2月20日，星期六第15頁，共17頁，2023年，2月20日，星期六例2半空間第一邊值問題解按電磁學思維模式，應(yīng)當引入鏡像電荷表示平面（z=0）上的感應(yīng)電荷。計算格林函數(shù)：鏡像電荷的作用為使平面（z=0）上的電勢為零。顯然，這個電荷位于相對于平面（z=0）對稱