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文檔簡介
引入
6.5.1區(qū)間估計的概念
6.5.2樞軸量法
6.5.3單個正態(tài)總體參數(shù)的置信區(qū)間
6.5.4大樣本置信區(qū)間§6.5區(qū)間估計
前面介紹的參數(shù)點估計方法不能回答估計值的可靠度與精度問題,即對于“估計值θ落在區(qū)間[θ-ε,θ+ε]的概率有多大?”這樣的問題沒有明確的結(jié)論.因而需要引入?yún)^(qū)間估計方法.
例如,要估計一批電子產(chǎn)品的平均壽命,往往不需要一個很精確的數(shù),而只需給出一個不大的范圍即可,如8000--9000小時.當然,還需要求對這個估計有較高的“可信程度”,比如95%.引入
根據(jù)估計量的分布,在一定的可靠程度下,指出被估計的總體參數(shù)所在的可能數(shù)值范圍。這類問題稱為參數(shù)的區(qū)間估計。定義
設(shè)是總體的一個參數(shù),其參數(shù)空間為Θ,x1,x2
,
…,xn是來自該總體的樣本,對給定的一個(0<<1),若有兩個統(tǒng)計量和,若對任意的
∈Θ,有()6.5.1區(qū)間估計的概念
則稱隨機區(qū)間[]為的置信水平為1-的置信區(qū)間,或簡稱[]是的1-置信區(qū)間.
和分別稱為的(雙側(cè))置信下限和置信上限.
這里置信水平1-的含義是指在大量使用該置信區(qū)間時,至少有100(1-)%的區(qū)間含有
。
例
設(shè)x1,x2
,
…,x10是來自N(,
2)的樣本,則的置信水平為1-的置信區(qū)間為其中,,s分別為樣本均值和樣本標準差。這個置信區(qū)間的由來將在節(jié)中說明,這里用它來說明置信區(qū)間的含義。若取
=0.10,則t0..95(9)=1.8331,上式化為
現(xiàn)假定=15,
2=4,則我們可以用隨機模擬方法由N(15,4)產(chǎn)生一個容量為10的樣本,如下即是這樣一個樣本:14.8513.0113.5014.9316.9713.8017.953313.3716.2912.38
由該樣本可以算得從而得到的一個區(qū)間估計為該區(qū)間包含的真值--15?,F(xiàn)重復(fù)這樣的方法100次,可以得到100個樣本,也就得到100個區(qū)間,我們將這100個區(qū)間畫在圖上。
由圖可以看出,這100個區(qū)間中有91個包含參數(shù)真值15,另外9個不包含參數(shù)真值。圖6.5.1的置信水平為0.90的置信區(qū)間
取=0.50,我們也可以給出100個這樣的區(qū)間,見圖??梢钥闯?,這100個區(qū)間中有50個包含參數(shù)真值15,另外50個不包含參數(shù)真值。圖6.5.2
的置信水平為0.50的置信區(qū)間定義
沿用定義的記號,如對給定的(0<<1),對任意的∈Θ,有
()
稱為的1-同等置信區(qū)間。
同等置信區(qū)間是把給定的置信水平1-用足了。常在總體為連續(xù)分布場合下可以實現(xiàn)。定義
若對給定的(0<<1)和任意的∈Θ,有,則稱為的置信水平為1-的(單側(cè))置信下限。假如等號對一切∈Θ成立,則稱為的1-同等置信下限。若對給定的(0<<1)和任意的∈Θ,有,則稱為的置信水平為1-的(單側(cè))置信上限。若等號對一切∈Θ成立,則稱為1-同等置信上限。單側(cè)置信限是置信區(qū)間的特殊情形。因此,尋求置信區(qū)間的方法可以用來尋找單側(cè)置信限。6.5.2樞軸量法
構(gòu)造未知參數(shù)的置信區(qū)間的最常用的方法是樞軸量法,其步驟可以概括為如下三步:1.設(shè)法構(gòu)造一個樣本和的函數(shù)G=G(x1,x2
,
…,xn,
)使得G的分布不依賴于未知參數(shù)。一般稱具有這種性質(zhì)的G為樞軸量。2.適當?shù)剡x擇兩個常數(shù)c,d,使對給定的(0<<1)有P(c≤G≤d)=1-
3.假如能將c≤G
≤d進行不等式等價變形化為則[,]是的1-同等置信區(qū)間。關(guān)于置信區(qū)間的構(gòu)造有兩點說明:
滿足置信度要求的c與d通常不唯一。若有可能,應(yīng)選平均長度達到最短的c與d,這在G的分布為對稱分布場合通常容易實現(xiàn)。實際中,選平均長度盡可能短的c與d,這往往很難實現(xiàn),因此,常這樣選擇c與d,使得兩個尾部概率各為
/2,即P(G<c)=P(G>d)=
/2,這樣的置信區(qū)間稱為等尾置信區(qū)間。這是在G的分布為偏態(tài)分布場合常采用的方法。例
設(shè)x1,x2
,
…,xn是來自均勻總體U(0,
)的一個樣本,試對給定的(0<<1)給出
的1-同等置信區(qū)間。解:(1)取x(n)作為樞軸量,其密度函數(shù)為p(y;
)=nyn
,0<y<
;
(2)x(n)/
的分布函數(shù)為F(y)=yn,0<y<1,故P(c≤x(n)/
≤d)=dn-cn,因此我們可以適當?shù)剡x擇c和d滿足dn-cn=1-(3)利用不等式變形可容易地給出
的1-同等置信區(qū)間為[x(n)/d,x(n)/c],該區(qū)間的平均長度為。不難看出,在0≤c<d≤1及dn-cn=1-的條件下,當d=1,c=
時,取得最小值,這說明是
的置信水平1-為最短置信區(qū)間。6.5.3單個正態(tài)總體參數(shù)的置信區(qū)間
一、
已知時的置信區(qū)間在這種情況下,樞軸量可選為,c和d應(yīng)滿足P(c≤G≤d)=(d)-(c)=1-,經(jīng)過不等式變形可得該區(qū)間長度為。當d=-c=u1-/2時,d-c達到最小,由此給出了的同等置信區(qū)間為
[,]。()這是一個以為中心,半徑為的對稱區(qū)間,常將之表示為。例
用天平秤某物體的重量9次,得平均值為(克),已知天平秤量結(jié)果為正態(tài)分布,其標準差為0.1克。試求該物體重量的0.95置信區(qū)間。解:此處1-=0.95,=0.05,查表知u0.975=1.96,于是該物體重量的0.95置信區(qū)間為,從而該物體重量的0.95置信區(qū)間為
[15.3347,15.4653]。例
設(shè)總體為正態(tài)分布N(,1),為得到的置信水平為0.95的置信區(qū)間長度不超過1.2,樣本容量應(yīng)為多大?解:由題設(shè)條件知的0.95置信區(qū)間為
其區(qū)間長度為,它僅依賴于樣本容量n而與樣本具體取值無關(guān)?,F(xiàn)要求,立即有n(2/1.2)2u21-/2.現(xiàn)1-=0.95,故u1-/2=1.96,從而n(5/3)21.962=
10.6711。即樣本容量至少為11時才能使得的置信水平為0.95的置信區(qū)間長度不超過1.2。二、
2未知時的置信區(qū)間
這時可用t統(tǒng)計量,因為,因此t可以用來作為樞軸量。完全類似于上一小節(jié),可得到的1-置信區(qū)間為
此處是
2的無偏估計。例
假設(shè)輪胎的壽命服從正態(tài)分布。為估計某種輪胎的平均壽命,現(xiàn)隨機地抽12只輪胎試用,測得它們的壽命(單位:萬公里)如下:4.684.854.324.854.615.025.204.604.584.724.384.70
此處正態(tài)總體標準差未知,可使用t分布求均值的置信區(qū)間。經(jīng)計算有=4.7092,s2=0.0615。取
=0.05,查表知t0.975(11)=2.2010,于是平均壽命的0.95置信區(qū)間為(單位:萬公里)
在實際問題中,由于輪胎的壽命越長越好,因此可以只求平均壽命的置信下限,也即構(gòu)造單邊的置信下限。由于由不等式變形可知的1-置信下限為
將t0.95(11)=1.7959代入計算可得平均壽命的0.95置信下限為4.5806(萬公里)。三、
2的置信區(qū)間
取樞軸量,由于
2分布是偏態(tài)分布,尋找平均長度最短區(qū)間很難實現(xiàn),一般都用等尾置信區(qū)間:采用
2的兩個分位數(shù)
2
/2(n-1)和21-
/2(n-1),在
2分布兩側(cè)各截面積為/2的部分,使得由此給出
2的1-置信區(qū)間為例6.5.6某廠生產(chǎn)的零件重量服從正態(tài)分布N(,
2),現(xiàn)從該廠生產(chǎn)的零件中抽取9個,測得其重量為(單位:克)45.345.445.145.345.545.745.445.345.6
試求總體標準差的0.95置信區(qū)間。解:由數(shù)據(jù)可算得s2=0.0325,(n-1)s2=80325=0.26.
查表知
20.025(8)=2.1797,20.975(8)=17.5345,代入可得
2的0.95置信區(qū)間為
從而的0.95置信區(qū)間為:[0.1218,0.3454]。
在樣本容量充分大時,可以用漸近分布來構(gòu)造近似的置信區(qū)間。一個典型的例子是關(guān)于比例p的置信區(qū)間。6.5.4大樣本置信區(qū)間
設(shè)x1,…,xn是來自b(1,p)的樣本,有對給定
,,通過變形,可得到置信區(qū)間為
其中記=u21-/2,實用中通常略去/n項,于是可將置信區(qū)間近似為例
對某事件A作120次觀察,A發(fā)生36次。試給出事件A發(fā)生概率p的0.95置信區(qū)間。解:此處n=120,=36/120=0.3
而u0.975=1.96,于是p的0.95(雙側(cè))置信下限和上限分別為故所求的置信區(qū)間為[0.218,0.382]例
某傳媒公司欲調(diào)查電視臺某綜藝節(jié)目收視率p,為使得p的1-置信區(qū)間長度不超過d0,問應(yīng)調(diào)查多少用戶?解:這是關(guān)于二點分布比例p的置信區(qū)間問題,由()知,1-的置信區(qū)間長度為這是一個隨機變量,但由于,所以對任意的觀測值有。這也就是說p的1-的置信區(qū)間長度不會超過?,F(xiàn)要求p的的置信區(qū)間長度不超過d0,只需要即可,從而
()
這是一類常見的尋求樣本量的問題。比如,若取d0=0.04,
=0.05,則。這表明,要使綜藝節(jié)目收視率p的0.95置信區(qū)間的長度不超過0.04,則需要對2401個用戶作調(diào)查。研討題目
國外民意調(diào)查機構(gòu)在進行民意調(diào)查時,通常要求在95%的置信度下將調(diào)查的允許誤差(即置信區(qū)間的d值)控制在3%以內(nèi)。⑴問為滿足該調(diào)查精度要求,至少需要多大的樣本?⑵如果要求置信度達到99%,調(diào)查誤差仍為3%,此時至少需要多大的樣本?本案例中,故需要的樣本容量至少為如果要求置信度達到99%,則Z/2=Z0.005=2.575,
兩個正態(tài)總體下的置信區(qū)間
設(shè)x1
,…,xm是來自N(1,12)的樣本,y1
,…,yn是來自N(2,22)的樣本,且兩個樣本相互獨立。與分別是它們的樣本均值,和分別是它們的樣本方差。下面討論兩個均值差和兩個方差比的置信區(qū)間。一、1-2的置信區(qū)間1、
12和
22已知時的兩樣本u區(qū)間
2、
12=22=
2未知時的兩樣本t區(qū)間
3、
22/12=已知時的兩樣本t區(qū)間
4、當m和n都很大時的近似置信區(qū)間
5、一般情況下的近似置信區(qū)間其中例
為比較兩個小麥品種的產(chǎn)量,選擇18塊條件相似的試驗田,采用相同的耕作方法作試驗,結(jié)果播種甲品種的8塊試驗田的畝產(chǎn)量和播種乙品種的10塊試驗田的畝產(chǎn)量(單位:千克/畝)分別為:甲品種628583510554612523530615
乙品種535433398470567480498560503426
假定畝產(chǎn)量均服從正態(tài)分布,試求這兩個品種平均畝產(chǎn)量差的置信區(qū)間.(=0.05)。解:以x1
,…,x8記甲品種的畝產(chǎn)量,y1,…,y10記乙品種的畝產(chǎn)量,由樣本數(shù)據(jù)可計算得到
=569.3750,sx2=2140.5536,m=8
=487.0000,sy2=3256.2222,n=10
下面分兩種情況討論。(1)
若已知兩個品種畝產(chǎn)量的標準差相同,則可采用兩樣本t區(qū)間。此處故1
-2的0.95置信區(qū)間為(2)
若兩個品種畝產(chǎn)量的方差不等,則可采用近似t區(qū)間。此處
s02=2110.5536/8+3256.2222/10=589.4414,
s0=24.2784
于是1-2的0.95近似置信區(qū)間為
[31.3685,133.3815]二、
12/22的置信區(qū)間由于(m-1)sx2/12
2(m-1),(n-1)sy2/22
2(n-1),且sx2與sy2相互獨立,故可仿照F變量構(gòu)造如下樞軸量
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