中山大學-通信原理-第8章-差錯控制編碼課件

第8章差錯控制編碼8.1引言8.2常用簡單分組碼8.3線性分組碼8.4循環(huán)碼8.5卷積碼4/21/202318.1引言

8.1.1信源編碼與信道編碼的基本概念在數(shù)字通信系統(tǒng)中，為了提高數(shù)字信號傳輸?shù)挠行远扇〉木幋a稱為信源編碼；為了提高數(shù)字通信的可靠性而采取的編碼稱為信道編碼。

1、信源編碼

4/21/202322、信道編碼（差錯控制編碼）差錯控制編碼是在信息序列上附加上一些監(jiān)督碼元，利用這些冗余的碼元，使原來不規(guī)律的或規(guī)律性不強的原始數(shù)字信號變?yōu)橛幸?guī)律的數(shù)字信號；差錯控制譯碼則利用這些規(guī)律性來鑒別傳輸過程是否發(fā)生錯誤，或進而糾正錯誤。

4/21/202338.1.2糾錯編碼的分類

（1）按照信道編碼的不同功能，可以將它分為檢錯碼和糾錯碼。（2）按照信息碼元和監(jiān)督碼元之間的檢驗關系，可以將它分為線性和非線性碼。

（3）按照信息碼元和監(jiān)督碼元之間的約束方式不同，可以將它分為分組碼和卷積碼。

（4）按照信息碼元在編碼后是否保持原來的形式，可以將它分為系統(tǒng)碼和非系統(tǒng)碼。

4/21/20234（5）按照糾正錯誤的類型不同，可以將它分為糾正隨機錯誤碼和糾正突發(fā)錯誤碼。（6）按照信道編碼所采用的數(shù)學方法不同，可以將它分為代數(shù)碼、幾何碼和算術碼。

隨著數(shù)字通信系統(tǒng)的發(fā)展，可以將信道編碼器和調(diào)制器統(tǒng)一起來綜合設計，這就是所謂的網(wǎng)格編碼調(diào)制。4/21/202358.1.2差錯控制方式

4/21/20236檢錯重發(fā)方式：檢錯重發(fā)（ARQ）的優(yōu)點主要表現(xiàn)在：

（1）只需要少量的冗余碼，就可以得到極低的輸出誤碼率；（2）有一定的自適應能力；

4/21/20237某些不足主要表現(xiàn)在：

（1）需要反向信道，故不能用于單向傳輸系統(tǒng)，并且實現(xiàn)重發(fā)控制比較復雜；

（2）通信效率低，不適合嚴格實時傳輸系統(tǒng)?；旌霞m錯方式是前向糾錯方式和檢錯重發(fā)方式的結合。4/21/202388.1.2糾錯編碼的基本原理

信道編碼有關的基本概念：碼長：碼字中碼元的數(shù)目；碼重：碼字中非0數(shù)字的數(shù)目；碼距：兩個等長碼字之間對應位不同的數(shù)目，有時也稱作這兩個碼字的漢明距離。最小碼距：在碼字集合中全體碼字之間距離的最小數(shù)值。

4/21/20239糾錯碼的抗干擾能力完全取決于許用碼字之間的距離，碼的最小距離越大，說明碼字間的最小差別越大，抗干擾能力就越強。

分組碼的最小漢明距離d0與檢錯和糾錯能力之間滿足下列關系：

（1）當碼字用于檢測錯誤時，如果要檢測e個錯誤，則d0≥e+1；（2）當碼字用于糾正錯誤時，如果要糾正t個錯誤，則d0≥2t+1；4/21/202310

（3）若碼字用于糾t個錯誤，同時檢e個錯誤時（e>t），則

d0≥t+e+1。編碼效率Rc可以用下式表示：4/21/2023118.2常用簡單分組碼

8.2.1奇偶監(jiān)督碼

可以表示成為（n，n-1）。如果是奇監(jiān)督碼，在附加上一個監(jiān)督元以后，碼長為n的碼字中“1”的個數(shù)為奇數(shù)個；如果是偶監(jiān)督碼，在附加上一個監(jiān)督元以后，碼長為n的碼字中“1”的個數(shù)為偶數(shù)個。

an-1+an-2+…+a1+a0=04/21/202312奇偶監(jiān)督碼的編碼可以用軟件實現(xiàn)，也可用硬件電路實現(xiàn)。

如果碼組B無錯，B＝A，則M＝0；如果碼組B有單個（或奇數(shù)個）錯誤，則M＝1。4/21/2023138.2.2行列監(jiān)督碼行列監(jiān)督碼又稱水平垂直一致監(jiān)督碼或二維奇偶監(jiān)督碼，有時還被稱為矩陣碼。1100101000010000110101111000011001110000101010101000101110001111004/21/202314二維奇偶監(jiān)督碼適于檢測突發(fā)錯碼。二維奇偶監(jiān)督碼不僅可用來檢錯，還可用來糾正一些錯碼。8.2.3恒比碼

恒比碼又稱等重碼，該碼的碼字中1和0的位數(shù)保持恒定的比例。具體情況見表8-3。

目前我國電傳通信中普遍采用3：2碼，國際上通用的ARQ電報通信系統(tǒng)中，采用3：4碼即7中取3碼。4/21/2023158.3線性分組碼

8.3.1基本概念

分組碼是一組固定長度的碼組，可表示為（n,k），通常它用于前向糾錯。在編碼時，k個信息位被編為n位碼組長度，而n-k個監(jiān)督位的作用就是實現(xiàn)檢錯與糾錯。這樣，一個k比特信息的線性分組碼可以映射到一個長度為n碼組上。

4/21/202316線性分組碼的主要性質如下：

（1）任意兩許用碼之和仍為一許用碼，也就是說，線性分組碼具有封閉性；（2）碼組間的最小碼距等于非零碼的最小碼重。對偶校驗時的監(jiān)督關系。在接收端解碼時，實際上就是在計算：

S=bn-1+bn-2+…+b1+b0

若S＝0，則無錯；若S＝1就認為有錯。

4/21/202317

當r個監(jiān)督方程式計算得到的校正子有r位，可以用來指示2r-1種誤碼圖樣。如果希望用r個監(jiān)督位構造出r個監(jiān)督關系式來指示一位錯碼的n種可能，則要求：例如r≥3，若取r=3，則n=k+r=7。假設S3、S2、S1三位校正字碼組與誤碼位置的關系如表8-4。根據(jù)表8-4，可以構成如下關系式：4/21/202318S1=a6+a5+a4+a2,S2=a6+a5+a4+a2,S3=a6+a4+a3+a0

進而得到下面的方程組形式：接收端收到每個碼組后，計算出S3、S2和S1，如不全為0，則可按表8-4確定誤碼的位置，然后予以糾正。不難看出，上述（7，4）碼的最小碼距dmin＝3。4/21/202319

8.3.2監(jiān)督矩陣H和生成矩陣G

將（7，4）碼的三個監(jiān)督方程式可以重新改寫為如下形式：上式可以記作：HAT=0T或AHT=0，其中4/21/202320也可以用矩陣形式來表示：或表示成為：這時Q=PT，如果在Q矩陣的左邊在加上一個k×k的單位矩陣，就形成了一個新矩陣G：

4/21/202321這里G稱為生成矩陣，利用它可以產(chǎn)生整個碼組：4/21/2023228.3.3校驗子S

設發(fā)送組碼A，在傳輸過程中有可能出現(xiàn)誤碼，這時接收到的碼組為B。則收發(fā)碼組之差為：其中：則接收端利用接收到的碼組B計算校正子：S=BHT=(A+E)HT=AHT+EHT=EHT

因此，校正子僅與E有關，即錯誤圖樣與校正子之間有確定的關系。4/21/202323

8.3.4漢明碼漢明碼是一種能夠糾正單個錯誤的線性分組碼。它有以下特點：

（1）最小碼距dmin＝3，可糾正一位錯誤；（2）碼長n與監(jiān)督元個數(shù)r之間滿足關系式：。

通常二進制漢明碼可以表示為：

4/21/202324（7，4）系統(tǒng)漢明碼的編碼器和譯碼器電路：4/21/2023254/21/2023268.4循環(huán)碼

循環(huán)碼是線性分組碼的一個重要子集，是目前研究得最成熟的一類碼，它有許多特殊的代數(shù)性質。8.4.1循環(huán)碼的特點循環(huán)特性是指：循環(huán)碼中任一許用碼組經(jīng)過循環(huán)移位后，所得到的碼組仍然是許用碼組。4/21/202327為了利用代數(shù)理論研究循環(huán)碼，可以將碼組用代數(shù)多項是來表示，這個多項式被稱為碼多項式，對于許用循環(huán)碼A=(an-1an-2…a1a0)，可以將它的碼多項式表示為：若一個整數(shù)m可以表示為:則在模n運算下，有m≡p（模n），同樣對于多項式而言：4/21/202328則可以寫為：F(x)≡R(x)（模N(x)）。

在循環(huán)碼中，若A(x)是一個長為n的許用碼組，則在按模運算下，亦是一個許用碼組。例如，

其對應的碼組為0101110，它正是表8-7中第3碼字。4/21/2023298.4.2循環(huán)碼的生成多項式和生成矩陣

循環(huán)碼中次數(shù)最低的碼多項式稱為生成多項式，用g(x)表示。可以證明生成多項式g(x)具有以下特性：（1）g(x)是一個常數(shù)項為1的次多項式；（2）g(x)是的一個因式；（3）該循環(huán)碼中其它碼多項式都是g(x)的倍式。

4/21/202330

為了保證構成的生成矩陣G的各行線性不相關，通常用g(x)來構造生成矩陣，顯然，上式不符合形式，所以此生成矩陣不是典型形式。

因此，一旦生成多項式g(x)確定以后，該循環(huán)碼的生成矩陣就可以確定。

4/21/202331利用循環(huán)碼的特點來確定監(jiān)督矩陣H：

由于（n,k）循環(huán)碼中g(x)是xn+1的因式，因此可令：

監(jiān)督矩陣表示為：4/21/2023328.4.3循環(huán)碼的編、譯碼方法

1、編碼過程首先需要根據(jù)給定循環(huán)碼的參數(shù)確定生成多項式g(x)，然后，利用循環(huán)碼的編碼特點，即所有循環(huán)碼多項式A(x)都可以被g(x)整除，來定義生成多項式A(x)。下面就將以上各步處理加以解釋：

（1）用xn-k乘m(x)。這一運算實際上是把信息碼后附加上（n-k）個“0”。

4/21/202333（2）求r(x)。由于循環(huán)碼多項式A(x)都可以被g(x)整除，也就是：上式也等效于：這樣我們就得到了r(x)。（3）編碼輸出系統(tǒng)循環(huán)碼多項式A(x)為：

4/21/202334上述三步編碼過程，在硬件實現(xiàn)時，可以利用除法電路來實現(xiàn)。

2、譯碼過程循環(huán)碼的譯碼可以分三步進行：

（1）由接收到的碼多項式B(x)計算校正子（伴隨式）多項式S(x)；4/21/202335（2）由校正子S(x)確定錯誤圖樣E(x)；（3）將錯誤圖樣E(x)與B(x)相加，糾正錯誤。4/21/2023368.5卷積碼

卷積碼中編碼后的n個碼元不僅與當前段的k個信息有關，而且也與前面（N-1）段的信息有關，編碼過程中相互關聯(lián)的碼元為nN個。因此，這N段時間內(nèi)的碼元數(shù)目nN通常被稱為這種碼的約束長度。由于與前面m段規(guī)定時間內(nèi)的信息位有關，這里的m＝N-1通常用