2021-2022學(xué)年北京市昌平區(qū)高一上學(xué)期期末質(zhì)量抽測數(shù)學(xué)試題（解析版）

2021-2022學(xué)年北京市昌平區(qū)高一上學(xué)期期末質(zhì)量抽測數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】解絕對值不等式確定集合，然后由交集定義計算．【詳解】，，則.故選：A.2．已知命題：，，則為（

）A．， B．，C．， D．，【答案】C【分析】根據(jù)特稱命題的否定是全稱命題即可得解.【詳解】把存在改為任意，把結(jié)論否定，為，.故選：C3．下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在區(qū)間上單調(diào)遞減的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)基本函數(shù)的性質(zhì)和偶函數(shù)的定義分析判斷即可【詳解】對于A，因為，所以是偶函數(shù)，的圖象是開口向下，頂點為原點，對稱軸為軸，所以其在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以A正確，對于B，是非奇非偶函數(shù)，所以B錯誤，對于C，因為，所以是奇函數(shù)，所以C錯誤，對于D，，可知函數(shù)在遞增，所以D錯誤，故選：A4．函數(shù)的零點個數(shù)為（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【分析】作出函數(shù)圖像，數(shù)形結(jié)合求解即可.【詳解】解：根據(jù)題意，，故，故函數(shù)與的圖像如圖，由于函數(shù)與的圖像只有一個交點，所以方程有且只有一個實數(shù)根，所以函數(shù)的零點個數(shù)為1個.故選：B5．北京2022年冬奧會新增了女子單人雪車?短道速滑混合團(tuán)體接力?跳臺滑雪混合團(tuán)體?男子自由式滑雪大跳臺?女子自由式滑雪大跳臺?自由式滑雪空中技巧混合團(tuán)體和單板滑雪障礙追逐混合團(tuán)體等個比賽小項，現(xiàn)有甲?乙兩名志愿者分別從個比賽小項中各任選一項參加志愿服務(wù)工作，且甲?乙兩人的選擇互不影響，那么甲?乙兩名志愿者選擇同一個比賽小項進(jìn)行志愿服務(wù)工作的概率是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)古典概型概率的計算公式直接計算.【詳解】由題意可知甲?乙兩名志愿者分別從個比賽小項中各任選一項參加志愿服務(wù)工作共有種情況，其中甲?乙兩名志愿者選擇同一個比賽小項進(jìn)行志愿服務(wù)工作共種，所以甲?乙兩名志愿者選擇同一個比賽小項進(jìn)行志愿服務(wù)工作的概率是，故選：C.6．如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由線性運算的加法法則即可求解.【詳解】如圖，設(shè)交于點，則.故選：D7．農(nóng)科院的專家為了了解新培育的甲?乙兩種麥苗的長勢情況，從種植有甲?乙兩種麥苗的兩塊試驗田中各抽取6株麥苗測量株高，得到的數(shù)據(jù)如下（單位：）：甲：9，10，11，12，10，20；乙：8，14，13，10，12，21.根據(jù)所抽取的甲?乙兩種麥苗的株高數(shù)據(jù)，給出下面四個結(jié)論，其中正確的結(jié)論是（

）A．甲種麥苗樣本株高的平均值大于乙種麥苗樣本株高的平均值B．甲種麥苗樣本株高的極差小于乙種麥苗樣本株高的極差C．甲種麥苗樣本株高的75%分位數(shù)為10D．甲種麥苗樣本株高的中位數(shù)大于乙種麥苗樣本株高的中位數(shù)【答案】B【分析】對A，由平均數(shù)求法直接判斷即可；由極差概念可判斷B，結(jié)合百分位數(shù)概念可求C；將甲乙兩組數(shù)據(jù)排序，可判斷D.【詳解】甲組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，乙組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，故A錯誤；甲種麥苗樣本株高的極差為11，乙種麥苗樣本株高的極差為13，故B正確；，故甲種麥苗樣本株高的75%分位數(shù)為第5位數(shù)，為12，故C錯誤；甲種麥苗樣本株高的中位數(shù)為，乙種麥苗樣本株高的中位數(shù)為，故D錯誤.故選：B8．設(shè)且，則“函數(shù)在上是減函數(shù)”是“函數(shù)在上是增函數(shù)”的（

）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】函數(shù)在上是減函數(shù)，根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性得出；函數(shù)在上是增函數(shù)，得出且，從而可得出答案.【詳解】函數(shù)在上是減函數(shù)，則；函數(shù)在上是增函數(shù)，則，而且，解得：且，故“函數(shù)在上是減函數(shù)”是“函數(shù)在上是增函數(shù)”的充分不必要條件.故選：A.9．為了鼓勵大家節(jié)約用水，北京市居民用水實行階梯水價，其中每戶的戶年用水量與水價的關(guān)系如下表所示：分檔戶年用水量（立方米）水價（元/立方米）第一階梯0-180（含）5第二階梯181-260（含）7第三階梯260以上9假設(shè)居住在北京的某戶家庭2021年的年用水量為，則該戶家庭2021年應(yīng)繳納的水費為（

）A．1800元 B．1400元 C．1040元 D．1000元【答案】C【分析】結(jié)合階梯水價直接求解即可.【詳解】由表可知，當(dāng)用水量為時，水費為元；當(dāng)水價在第二階段時，超出，水費為元，則年用水量為，水價為1040元.故選：C10．已知函數(shù)，給出下面四個結(jié)論：①的定義域是；②是偶函數(shù)；③在區(qū)間上單調(diào)遞增；④的圖像與的圖像有4個不同的交點.其中正確的結(jié)論是（

）A．①② B．③④ C．①②③ D．①②④【答案】D【分析】可根據(jù)已知的函數(shù)解析式，通過求解函數(shù)的定義域、奇偶性、單調(diào)性和與的圖像的交點個數(shù)即可判斷.【詳解】函數(shù)，不難判斷函數(shù)的定義域為R，故①選項是正確的；②選項，因為，所以，故②選項也是正確的；選項③，在區(qū)間時，，而函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，此時函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，故選項不正確，排除選項；選項④，可通過畫出的圖像與的圖像，通過觀察不難得到，兩個函數(shù)圖像有4個交點，因此，選項④正確.故選：D.二、填空題11．實數(shù)的值為___________.【答案】【分析】直接根據(jù)指數(shù)冪運算與對數(shù)運算求解即可.【詳解】解：故答案為：12．某校高中三個年級共有學(xué)生2000人，其中高一年級有學(xué)生750人，高二年級有學(xué)生650人.為了了解學(xué)生參加整本書閱讀活動的情況，現(xiàn)采用分層抽樣的方法從中抽取容量為200的樣本進(jìn)行調(diào)查，那么在高三年級的學(xué)生中應(yīng)抽取的人數(shù)為___________.【答案】【分析】求出高三年級的學(xué)生人數(shù)，再根據(jù)分層抽樣的方法計算即可.【詳解】高三年級有學(xué)生人，用分層抽樣的方法從中抽取容量為200的樣本，應(yīng)抽取高三年級學(xué)生的人數(shù)為.故答案為：13．已知，，，則，，的大小關(guān)系是___________（用“”連接）【答案】【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)單調(diào)性直接判斷即可.【詳解】由已知得，所以，，，所以，故答案為：.14．函數(shù)的定義域為D，給出下列兩個條件：①；②任取且，都有恒成立.請寫出一個同時滿足條件①②的函數(shù)，則___________.【答案】（答案為不唯一）【分析】由題意可知函數(shù)在定義域內(nèi)為增函數(shù)，且，從而可得其解析式【詳解】因為函數(shù)的定義域為D，且任取且，都有恒成立，所以的定義域內(nèi)為增函數(shù)，因為，所以（答案為唯一）故答案為：（答案為不唯一）三、雙空題15．某高中校為了減輕學(xué)生過重的課業(yè)負(fù)擔(dān)，提高育人質(zhì)量，在全校所有的1000名高中學(xué)生中隨機抽取了100名學(xué)生，了解他們完成作業(yè)所需要的時間（單位：h），將數(shù)據(jù)按照，，，，，，分成6組，并將所得的數(shù)據(jù)繪制成頻率分布直方圖（如圖所示）.由圖中數(shù)據(jù)可知___________；估計全校高中學(xué)生中完成作業(yè)時間不少于的人數(shù)為___________.【答案】

0.1

50【分析】利用頻率之和為1可求，由圖求出完成作業(yè)時間不少于的頻率，由頻數(shù)=總數(shù)頻率可求.【詳解】由可求；由圖可知，全校高中學(xué)生中完成作業(yè)時間不少于的頻率為，則對應(yīng)頻數(shù)為.故答案為：；5016．若函數(shù)（且）.①若，則___________；②若有最小值，則實數(shù)的取值范圍是___________.【答案】

【分析】先計算的值，再計算的值；通過分類討論確定不等式后即可求得的取值范圍.【詳解】當(dāng)時，，所以，所以；當(dāng)時，，當(dāng)時，取得最小值，當(dāng)時，且時，，此時函數(shù)無最小值.當(dāng)時，且時，，要使函數(shù)有最小值，則必須滿足，解得.故答案為：；.四、解答題17．設(shè)向量，，.(1)求；(2)若，，求的值；(3)若，，，求證：A，，三點共線.【答案】(1)1(2)2(3)證明見解析【分析】（1）先求，進(jìn)而求；（2）列出方程組，求出，進(jìn)而求出；（3）求出，從而得到，得到結(jié)果.(1)，；(2)，所以，解得：，所以；(3)因為，所以，所以A，，三點共線.18．已知函數(shù)(1)若，求的解集；(2)若方程有兩個實數(shù)根，，且，求的取值范圍.【答案】(1)(2)或.【分析】（1）根據(jù)題意，解不等式即可得答案；（2）由題知，再結(jié)合韋達(dá)定理解即可得答案.(1)解：當(dāng)時，，所以，解得，所以的解集為.(2)解：因為方程有兩個實數(shù)根，，所以，解得或.所以，所以，解得或.綜上，的取值范圍為或.19．近年來，手機逐漸改變了人們的生活方式，已經(jīng)成為了人們生活中的必需品，因此人們對手機性能的要求也越來越高.為了了解市場上某品牌的甲?乙兩種型號手機的性能，現(xiàn)從甲?乙兩種型號手機中各隨機抽取了6部手機進(jìn)行性能測評，得到的評分?jǐn)?shù)據(jù)如下（單位：分）：甲型號手機908990889192乙型號手機889189938594假設(shè)所有手機性能評分相互獨立.(1)在甲型號手機樣本中，隨機抽取1部手機，求該手機性能評分不低于90分的概率；(2)在甲?乙兩種型號手機樣本中各抽取1部手機，求其中恰有1部手機性能評分不低于90分的概率；(3)試判斷甲型號手機樣本評分?jǐn)?shù)據(jù)的方差與乙型號手機樣本評分?jǐn)?shù)據(jù)的方差的大?。ㄖ恍鑼懗鼋Y(jié)論）【答案】(1)(2)(3)甲型號手機樣本評分?jǐn)?shù)據(jù)的方差小于乙型號手機樣本評分?jǐn)?shù)據(jù)的方差.【分析】（1）由于甲型號手機樣本中，得共有4部手機性能評分不低于90分，進(jìn)而得其概率；（2）由于甲型號的手機有4部評分不低于90分，乙型號的手機有3部評分不低于90分，進(jìn)而列舉基本事件，根據(jù)古典概型求解即可；（3）根據(jù)表中數(shù)據(jù)的分散程度，估計比較即可.(1)解：根據(jù)表中數(shù)據(jù)，甲型號手機樣本中，得共有4部手機性能評分不低于90分，所以隨機抽取1部手機，求該手機性能評分不低于90分的概率為(2)解：甲型號的手機有4部評分不低于90分，記為，另外兩部記為乙型號的手機有3部評分不低于90分，記為，另外三部記為，所以甲?乙兩種型號手機樣本中各抽取1部手機，共有，，共36種，其中恰有1部手機性能評分不低于90分的基本事件有，，共18種，所以所求概率為.(3)解：根據(jù)表中數(shù)據(jù)，可判斷甲型號手機樣本評分?jǐn)?shù)據(jù)的方差小于乙型號手機樣本評分?jǐn)?shù)據(jù)的方差.20．已知函數(shù).(1)求的定義域；(2)判斷函數(shù)的奇偶性，并證明你的結(jié)論；(3)若對于恒成立，求實數(shù)的最小值.【答案】(1)(2)函數(shù)為偶函數(shù)，證明見解析(3)【分析】（1）解不等式即可得答案；（2）根據(jù)奇偶性的定義直接判斷即可；（3）根據(jù)題意，將問題轉(zhuǎn)化為且在均恒成立，再分離常數(shù)，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性與基本不等式求解即可.(1)解：由題知，解得，所以函數(shù)的定義域為(2)解：函數(shù)為偶函數(shù)，證明如下：由（1）知函數(shù)定義域關(guān)于原點對稱，所以，所以函數(shù)為偶函數(shù).(3)解：因為對于恒成立，即對于恒成立，所以且在均恒成立，所以且在均恒成立，由于，當(dāng)且僅當(dāng)成立，在上單調(diào)遞增，故，所以所以且，即.所以實數(shù)的取值范圍是，最小值21．已知函數(shù)的定義域為，如果存在，使得，則稱為的一階不動點；如果存在，使得，且，則稱為的二階周期點.(1)分別判斷函數(shù)與是否存在一階不動點；（只需寫出結(jié)論）(2)求的一階不動點；(3)求的二階周期點的個數(shù)【答案】(1)不存在一階不動點，存在一節(jié)不動點；(2)，(3)【分析】（1）根據(jù)一階不動點的定義直接分別判斷即可；（2）根據(jù)一階不動點的定義直接計算；（3）根據(jù)分段函數(shù)寫出，結(jié)合二階周期點的定義判斷.(1)設(shè)函數(shù)，，，，所以在上單調(diào)遞增，又，，所以，時，即，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，即恒成