2021-2022學(xué)年湖北省十堰市區(qū)縣普通高中聯(lián)合體高二上學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（解析版）

2021-2022學(xué)年湖北省十堰市區(qū)縣普通高中聯(lián)合體高二上學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、單選題1．直線的傾斜角為（）A．150° B．120° C．60° D．30°【答案】D【分析】由斜率得傾斜角．【詳解】直線的斜率為，所以傾斜角為30°.故選：D．2．直線截圓所得的弦長(zhǎng)是（

）A．2 B． C． D．1【答案】C【分析】先求出圓心到直線的距離，進(jìn)而利用勾股定理求出弦長(zhǎng).【詳解】圓心（0,0）到直線的距離，因?yàn)閳A的半徑為1，則弦長(zhǎng)為.故選：C.3．素?cái)?shù)指在一個(gè)大于1的自然數(shù)中，除了1和此整數(shù)自身外，不能被其他自然數(shù)整除的數(shù)．我國(guó)數(shù)學(xué)家陳景潤(rùn)在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界領(lǐng)先的成果．哥德巴赫猜想是“每個(gè)大于2的偶數(shù)可以表示為兩個(gè)素?cái)?shù)的和”，如．在不超過20的素?cái)?shù)中，隨機(jī)選取兩個(gè)不同的數(shù)，其和等于18的概率是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由于不超過20的素?cái)?shù)有2，3，5，7，11，13，17，19共8個(gè)，所以8個(gè)中選2個(gè)有種，而和為2的有2種，從而可求出概率【詳解】解：不超過20的素?cái)?shù)有2，3，5，7，11，13，17，19共8個(gè)，則從這8個(gè)數(shù)中任選2個(gè)不同的數(shù)共有種，而其中和為18的有2種，即，所以所求概率為，故選：B4．已知圓與圓關(guān)于直線對(duì)稱，則圓的方程為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】算出圓心關(guān)于直線直線的對(duì)稱點(diǎn)即可得到答案.【詳解】設(shè)圓心關(guān)于直線直線的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為，則線段C1C2的中點(diǎn)為，且.于是，易知圓的半徑長(zhǎng)度不變，所以圓的方程為.故選：D.5．如圖所示，在空間四邊形中，，點(diǎn)在上，且，為中點(diǎn)，則（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】由向量的加法和減法運(yùn)算法則計(jì)算即可．【詳解】故選：B6．已知圓，則當(dāng)圓的面積最小時(shí)，圓上的點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離的最大值為（

）A． B．6C． D．【答案】D【分析】配方，由半徑的最小值得參數(shù)值，然后求出圓心到原點(diǎn)距離，再加半徑可得.【詳解】根據(jù)題意，圓，變形可得．其圓心為，半徑為，則，當(dāng)圓的面積最小時(shí)，必有，此時(shí)．圓的方程為，圓心到原點(diǎn)為距離，則圓上的點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離的最大值為．故選：D．7．射擊運(yùn)動(dòng)中，一次射擊最多能得10環(huán)，下圖統(tǒng)計(jì)了某射擊運(yùn)動(dòng)員50次射擊命中環(huán)數(shù)不少于8環(huán)的頻數(shù)，用頻率估計(jì)概率，則該運(yùn)動(dòng)員在3次獨(dú)立的射擊中，總環(huán)數(shù)不少于28環(huán)的概率是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】該運(yùn)動(dòng)員在3次獨(dú)立的射擊中，總環(huán)數(shù)不少于28環(huán)包含4種情況：①三次10環(huán)，②二次10環(huán)一次9環(huán)，③二次10環(huán)一次8環(huán)，④一次10環(huán)二次9環(huán)，由此能求出該運(yùn)動(dòng)員在3次獨(dú)立的射擊中，總環(huán)數(shù)不少于28環(huán)的概率．【詳解】解：用頻率估計(jì)概率，則該運(yùn)動(dòng)員每次射擊命中10環(huán)的概率為，命中9環(huán)的概率為，命中8環(huán)的概率為，該運(yùn)動(dòng)員在3次獨(dú)立的射擊中，總環(huán)數(shù)不少于28環(huán)包含4種情況：①三次10環(huán)，概率為：；②二次10環(huán)一次9環(huán)，概率為；③二次10環(huán)一次8環(huán)，概率為；④一次10環(huán)二次9環(huán)，概率為；該運(yùn)動(dòng)員在3次獨(dú)立的射擊中，總環(huán)數(shù)不少于28環(huán)的概率是：．故選：C．8．《九章算術(shù)》是我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著，它在幾何學(xué)中的研究比西方早一千多年，例如塹堵指底面為直角三角形，且側(cè)棱垂直于底面的三棱柱；鱉臑指的是四個(gè)面均為直角三角形的三棱錐如圖，在塹堵ABC﹣A1B1C1中，∠ACB＝90°，若AB＝，AA1＝2，當(dāng)鱉臑A1﹣ABC體積最大時(shí)，直線B1C與平面ABB1A1所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】當(dāng)鱉臑A1﹣ABC體積最大時(shí)，AC＝BC＝1，以C為原點(diǎn)，CA為x軸，CB為y軸，CC1為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，由此能求出直線B1C與平面ABB1A1所成角的余弦值．【詳解】解：在塹堵ABC﹣A1B1C1中，∠ACB＝90°，AB＝，AA1＝2，當(dāng)鱉臑A1﹣ABC體積最大時(shí)，AC＝BC＝1，以C為原點(diǎn)，CA為x軸，CB為y軸，CC1為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，B1（0，1，2），C（0，0，0），A（1，0，0），B（0，1，0），設(shè)平面ABB1A1的法向量，則，取x＝1，得，設(shè)直線B1C與平面ABB1A1所成角為θ，則,所以∴直線B1C與平面ABB1A1所成角的余弦值為．故選：A．二、多選題9．下列說法不合理的是（

）A．拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，點(diǎn)數(shù)為6的概率是，意即每擲6次就有一次擲得點(diǎn)數(shù)6．B．拋擲一枚硬幣，試驗(yàn)200次出現(xiàn)正面的頻率不一定比100次得到的頻率更接近概率．C．某地氣象局預(yù)報(bào)說，明天本地下雨的概率為，是指明天本地有的區(qū)域下雨．D．隨機(jī)事件A，B中至少有一個(gè)發(fā)生的概率一定比A，B中恰有一個(gè)發(fā)生的概率大．【答案】ACD【分析】在A中，意即每擲6次就可能有一次擲得點(diǎn)數(shù)6，故A錯(cuò)誤；在B中，試驗(yàn)200次出現(xiàn)正面的頻率不一定比100次得到的頻率更接近概率，故B正確；在C中，是指明天本地有的可能性會(huì)下雨，故C錯(cuò)誤；在D中，可以舉例說明D錯(cuò)誤．【詳解】解：在A中，拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，點(diǎn)數(shù)為6的概率是，意即每擲6次就可能有一次擲得點(diǎn)數(shù)6，故A錯(cuò)誤；在B中，拋擲一枚硬幣，由概率的定義得：試驗(yàn)200次出現(xiàn)正面的頻率不一定比100次得到的頻率更接近概率，故B正確；在C中，某地氣象局預(yù)報(bào)說，明天本地下雨的概率為，是指明天本地有的可能性會(huì)下雨，故C錯(cuò)誤；在D中，隨機(jī)事件，中至少有一個(gè)發(fā)生的概率不一定比，中恰有一個(gè)發(fā)生的概率大，如擲一枚骰子一次，向上的點(diǎn)數(shù)是偶數(shù)，=擲一枚骰子一次，向上的點(diǎn)數(shù)是奇數(shù)，則A，B中至少有一個(gè)發(fā)生的概率的概率是1，A，B中恰有一個(gè)發(fā)生的概率也是1，故D錯(cuò)誤.故選：ACD．10．已知兩圓，，則下列結(jié)論正確的是（

）A．兩圓外離 B．兩圓有3條公切線C．兩圓相交，且兩圓的公共弦長(zhǎng)為 D．兩圓的公共弦方程為【答案】CD【分析】計(jì)算得到，所以兩圓相交.所以選項(xiàng)AB錯(cuò)誤；兩圓方程相減，可得公共弦所在直線的方程，利用弦長(zhǎng)公式計(jì)算公共弦長(zhǎng)得選項(xiàng)CD正確.【詳解】解：由題得，圓心坐標(biāo)為；,圓心坐標(biāo)為.所以.所以，所以兩圓相交.所以選項(xiàng)AB錯(cuò)誤.兩圓方程相減，可得公共弦所在直線的方程；所以圓心到公共弦所在直線的距離，公共弦的長(zhǎng)為．所以選項(xiàng)CD正確.故選：CD11．設(shè)向量，，若，則實(shí)數(shù)的值為（

）A． B． C． D．【答案】AC【分析】利用空間向量夾角公式即可求解.【詳解】因?yàn)橄蛄?，，所以，，，所以，整理可得：，所以，解得：或，故選：AC.12．如圖，在四棱錐中，底面為平行四邊形，，，底面，則（

）A．B．與平面所成角為C．異面直線與所成角的余弦值為D．平面與平面所成二面角的平面角為銳角時(shí)的余弦值為【答案】AD【分析】設(shè)，則，由余弦定理求出的長(zhǎng)，可得，由底面可得，由線面垂直的判斷定理和性質(zhì)定理即可判斷選項(xiàng)A；計(jì)算即可判斷選項(xiàng)B；計(jì)算即可判斷選項(xiàng)C；建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的一個(gè)法向量，平面的一個(gè)法向量，計(jì)算再結(jié)合圖形可判斷選項(xiàng)D，進(jìn)而可得正確選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A，由，及余弦定理得，從而，故.由底面，可得.又，所以平面，故.故A正確.對(duì)于B，因?yàn)榈酌?，所以就是與平面所成的角，又，所以.故B錯(cuò)誤.對(duì)于C，顯然是異面直線與所成的角，易得.故C錯(cuò)誤.對(duì)于D，以D為原點(diǎn)，，，所在直線分別為軸、軸、軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.設(shè)，則，，，，所以，，.設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，即，取，則，，此時(shí).設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，即，取，則，，此時(shí)，所以，所以平面與平面所成二面角的平面角為銳角時(shí)的余弦值為.故D正確.故選：AD.三、填空題13．在空間直角坐標(biāo)系中，A(－1,2,3)，B(2,1，m)，若|AB|＝，則m的值為________.【答案】或13【分析】由空間兩點(diǎn)間的距離公式可得答案.【詳解】，所以，即所以m＝－7或13.故答案為：m＝－7或13.14．某個(gè)微信群在某次進(jìn)行的搶紅包活動(dòng)中，若某人所發(fā)紅包的總金額為15元，被隨機(jī)分配為3.50元，4.75元，5.37元，1.38元共4份，甲?乙?丙?丁4人參與搶紅包，每人只能搶一次，則甲?乙二人搶到的金額之和不低于8元的概率為___________.【答案】【分析】計(jì)算出基本事件總數(shù)及滿足條件的有利事件數(shù)，代入古典概型概率計(jì)算公式，可得答案．【詳解】由題意可得，甲、乙二人搶到的金額的基本事件總數(shù)為，，，，，共6種，“甲、乙二人搶到的金額之和不低于8元”包含，，共3種，∴甲、乙二人搶到的金額之和不低于8元的概率.故答案為：．15．當(dāng)直線：（）被圓：截得的弦最短時(shí)，實(shí)數(shù)的值為______．【答案】【分析】先求得直線l過的定點(diǎn)坐標(biāo)，再由定點(diǎn)與圓心連線與直線l垂直時(shí)弦最短求解.【詳解】直線：，即，圓：的圓心，半徑為5．由解得故直線經(jīng)過定點(diǎn)．要使直線被圓截得的弦長(zhǎng)最短，需和直線垂直，故，即，解得．故答案為：．16．在如圖所示的四棱錐中，，，，，，且，則直線與平面所成角的正弦值為_________．【答案】【分析】取的中點(diǎn)E，證明平面．以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為x軸，所在直線為y軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求解.【詳解】解：取的中點(diǎn)E．則．因?yàn)榍遥运倪呅问蔷匦危裕驗(yàn)榍?，平?所以平面．以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為x軸，所在直線為y軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，所以，，．設(shè)平面的法向量為，則取，得．設(shè)直線與平面所成角為，則．故答案為：四、解答題17．已知圓過點(diǎn)，，且圓心在直線上．（1）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）將圓向上平移1個(gè)單位長(zhǎng)度后得到圓，求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）先求線段的垂直平分線，再聯(lián)立直線求解即可；（2）分析向上平移1個(gè)單位長(zhǎng)度后的圓心和半徑即可【詳解】（1）因?yàn)橹本€的斜率為，所以線段的垂直平分線的斜率為1．又易知線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，所以直線的方程為，即．因?yàn)閳A心在直線上，所以圓心是直線與直線的交點(diǎn)．由，解得．所以圓心為，半徑．所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是．（2）由（1），知圓的圓心坐標(biāo)為，將點(diǎn)向上平移1個(gè)單位長(zhǎng)度后得到點(diǎn)，故圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為，故圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．18．乒乓球是中國(guó)國(guó)球，它是一種世界流行的球類體育項(xiàng)目.某中學(xué)為了鼓勵(lì)學(xué)生多參加體育鍛煉，會(huì)定期地舉辦乒乓球競(jìng)賽.已知該中學(xué)高一?高二?高三三個(gè)年級(jí)的人數(shù)分別為，現(xiàn)采取分層抽樣的方法從三個(gè)年級(jí)共抽取7人參加校內(nèi)終極賽.（1）求該中學(xué)高一?高二?高三三個(gè)年級(jí)參加校內(nèi)終極賽的人數(shù)；（2）現(xiàn)從抽取的7人中再隨機(jī)抽取2人拍照做海報(bào)宣傳，求“抽取的2人來自同一年級(jí)”的概率.【答案】（1）高一?高二?高三三個(gè)年級(jí)參加校內(nèi)終極賽的人數(shù)分別為3，2，2；（2）.【分析】（1）直接利用分層抽樣計(jì)算可得；（2）列舉基本事件，利用古典概型求概率即可.【詳解】解：（1）高一?高二?高三三個(gè)年級(jí)的人數(shù)分別為，則分層抽取的人數(shù)比為，由于，所以高一?高二?高三三個(gè)年級(jí)參加校內(nèi)終極賽的人數(shù)分別為3，2，2.（2）設(shè)抽取的7人中高一的3人分別用表示，高二的2人分別用表示，高三的2人分別用表示，則從抽取的7人中再隨機(jī)抽取2人的所有可能結(jié)果為共21種，抽取的2人來自同一年級(jí)的所有結(jié)果為共5種，故“抽取的2人來自同一年級(jí)”的概率.【點(diǎn)睛】古典概型的概率計(jì)算中列舉基本事件的方法：（1）枚舉法；（2）列表法；（3）坐標(biāo)法；（4）樹狀圖法.19．××市正在積極創(chuàng)建文明城市，市交警支隊(duì)為調(diào)查市民文明駕車的情況，在市區(qū)某路口隨機(jī)檢測(cè)了輛車的車速.現(xiàn)將所得數(shù)據(jù)分成六段：?????，并繪得如圖所示的頻率分布直方圖.（1）現(xiàn)有某汽車途徑該路口，則其速度低于的概率是多少？（2）根據(jù)直方圖可知，抽取的輛汽車經(jīng)過該路口的平均速度約是多少？（3）在抽取的輛且速度在內(nèi)的汽車中任取輛，求這兩輛車車速都在內(nèi)的概率.【答案】（1）；（2）()；（3）.【分析】（1）計(jì)算出前四個(gè)小矩形的面積和即可；（2）平均數(shù)的估計(jì)方法：頻率分布直方圖中每個(gè)小矩形的面積乘以小矩形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和；（3）用列舉法求出基本事件總數(shù)和所求事件包含的基本事件數(shù)．然后可得概率.【詳解】（1）由頻率分布直方圖得速度低于的頻率為：，∴現(xiàn)有某汽車途徑該路口，則其速度低于的概率是；（2）根據(jù)直方圖可知，抽取的輛汽車經(jīng)過該路口的平均速度約是：()；（3）在抽取的輛且速度在內(nèi)的汽車共有：輛，其中速度在[內(nèi)的汽車抽取輛，設(shè)為?，速度在內(nèi)的汽車抽取輛，設(shè)為???，從中任取輛，其基本事件為：??????????????，總數(shù)為，這兩輛車車速都在內(nèi)包含的基本事件為：?????，總數(shù)為，∴這兩輛車車速都在內(nèi)的概率.20．已知圓，直線．（1）求證：不論m取什么實(shí)數(shù)，直線l與圓恒交于兩點(diǎn)；（2）求直線l被圓截得的最短弦長(zhǎng)以及此時(shí)直線l的方程．【答案】（1）見解析；（2）最短弦長(zhǎng)為，.【分析】（1）求出直線過定點(diǎn)，證明定點(diǎn)在圓內(nèi)，即可證明結(jié)論；（2）當(dāng)直線l所過的定點(diǎn)為弦的中點(diǎn)，即時(shí)，直線l被圓截得的弦長(zhǎng)最短，根據(jù)弦長(zhǎng)公式即可求出最短弦長(zhǎng)，根據(jù)求出直線的斜率，即可求出m的值，即可得出答案.【詳解】解：（1）直線化為，則，解得，所以直線l恒過定點(diǎn)，圓心，半徑，又因，所以點(diǎn)在圓C內(nèi)，所以不論m取什么實(shí)數(shù)，直線l與圓恒交于兩點(diǎn)；（2）當(dāng)直線l所過的定點(diǎn)為弦的中點(diǎn)，即時(shí)，直線l被圓截得的弦長(zhǎng)最短，最短弦長(zhǎng)為，，所以直線l的斜率為2，即，解得，所以直線l的方程為.21．如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，，，平面平面，P為的中點(diǎn)，，．(1)求證：；(2)求直線與平面所成角的正弦值；(3)設(shè)M為的中點(diǎn)，求二面角的余弦值．【答案】(1)證明見解析；(2)；(3)．【分析】（1）證明平面，原題即得證；（2）以P為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求直線與平面所成角的正弦值；（3）證明平面，再利用向量法求二面角的余弦值.(1)證明：在中，∵，P為的中點(diǎn)，∴，∵平面平面，且平面平面，平面，∴平面，又平面，∴.(2)解：在直角梯形中，∵，，P為中點(diǎn)，∴，且，則四邊形為平行四邊形，∵，∴，

由（1）可知，平面，故以P為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，∴