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2021-2022學(xué)年甘肅省蘭州市蘭州第一中學(xué)高一上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題一、單選題1.函數(shù)的定義域是()A. B. C. D.(0,4)【答案】C【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性,結(jié)合二次根式的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【詳解】由,故選:C2.函數(shù)(,且)的圖象必過(guò)定點(diǎn)A. B. C. D.【答案】C【解析】令,即可得到本題答案.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù),且有(且),令,則,,所以函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn).故選:C.【點(diǎn)睛】本題主要考查對(duì)數(shù)函數(shù)(且)恒過(guò)定點(diǎn),屬于基礎(chǔ)題目.3.已知角α的終邊過(guò)點(diǎn),則的值是()A. B. C.0 D.或【答案】B【分析】根據(jù)三角函數(shù)的定義進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)榻铅恋慕K邊過(guò)點(diǎn),所以,,,故選:B4.設(shè)則的大小關(guān)系是A. B. C. D.【答案】C【詳解】由在區(qū)間是單調(diào)減函數(shù)可知,,又,故選.【解析】1.指數(shù)函數(shù)的性質(zhì);2.函數(shù)值比較大小.5.設(shè),且,則()A. B.10 C.20 D.100【答案】A【分析】根據(jù)指數(shù)式與對(duì)數(shù)的互化和對(duì)數(shù)的換底公式,求得,,進(jìn)而結(jié)合對(duì)數(shù)的運(yùn)算公式,即可求解.【詳解】由,可得,,由換底公式得,,所以,又因?yàn)?,可得.故選:A.6.函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為()A. B.C. D.【答案】C【解析】由解出范圍即可.【詳解】由,可得,所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為,故選C.7.若,且,那么角的終邊落在A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】C【分析】由根據(jù)三角函數(shù)在各象限的符號(hào)判斷可能在的象限,再利用兩角和的正弦公式及三角函數(shù)的圖象由求出的范圍,兩范圍取交集即可.【詳解】,在第二或第三象限,,即,或,解得或,又在第二或第三象限,在第三象限.故選:C【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)值在各象限的符號(hào)、正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì),屬于基礎(chǔ)題.8.當(dāng)時(shí),,則a的取值范圍是A.(0,) B.(,1) C.(1,) D.(,2)【答案】B【分析】分和兩種情況討論,即可得出結(jié)果.【詳解】當(dāng)時(shí),顯然不成立.若時(shí)當(dāng)時(shí),,此時(shí)對(duì)數(shù),解得,根據(jù)對(duì)數(shù)的圖象和性質(zhì)可知,要使在時(shí)恒成立,則有,如圖選B.【點(diǎn)睛】本題主要考查對(duì)數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的應(yīng)用,熟記對(duì)數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)即可,屬于??碱}型.9.當(dāng)時(shí),函數(shù)(,),取得最小值,則關(guān)于函數(shù),下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是()A.是奇函數(shù)且圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱B.是偶函數(shù)且圖象關(guān)于點(diǎn)(π,0)對(duì)稱C.是奇函數(shù)且圖象關(guān)于直線對(duì)稱D.是偶函數(shù)且圖象關(guān)于直線對(duì)稱【答案】C【分析】根據(jù)正弦型函數(shù)的性質(zhì)逐一判斷即可.【詳解】因?yàn)楫?dāng)時(shí),函數(shù)取得最小值,所以,因?yàn)椋粤?,即,所以,設(shè),因?yàn)?,所以函?shù)是奇函數(shù),因此選項(xiàng)B、D不正確;因?yàn)?,,所以,因此函?shù)關(guān)于直線對(duì)稱,因此選項(xiàng)A不正確,故選:C二、多選題10.定義在R上的偶函數(shù)f(x)滿足,且在上是增函數(shù),則下列關(guān)于f(x)的結(jié)論中正確的有()A.f(x)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱 B.f(x)在[0,1]上是增函數(shù)C.f(x)在[1,2]上是減函數(shù) D.【答案】AD【分析】根據(jù)題意,由分析可得,即可得是周期為2的周期函數(shù),可得D正確,利用函數(shù)的奇偶性分析可得函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱;結(jié)合周期性以及對(duì)稱性分析可判斷BC選項(xiàng);綜合即可得答案.【詳解】解:根據(jù)題意,若,則,即,是周期為2的周期函數(shù),則有(2),故D選項(xiàng)正確;若,且函數(shù)為偶函數(shù),則有,則函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱,故A選項(xiàng)正確;在,上是增函數(shù),且函數(shù)為偶函數(shù),則函數(shù)在,上是減函數(shù),B選項(xiàng)錯(cuò)誤;在,上是增函數(shù),且是周期為2的周期函數(shù),則函數(shù)在在[1,2]上是增函數(shù),C選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選:AD.11.設(shè)函數(shù)則使不等式成立的實(shí)數(shù)a的取值范圍可以是()A.(0,1) B.C. D.【答案】BC【分析】由解析式,應(yīng)用奇偶性定義可得為奇函數(shù),并確定其值域、單調(diào)性,進(jìn)而討論、,結(jié)合的性質(zhì)解不等式求a的取值范圍.【詳解】由題設(shè),當(dāng)時(shí),,則,當(dāng)時(shí),,則,綜上,為奇函數(shù),在、上值域均為R且分別單調(diào)遞增;∴,可得,即,當(dāng)時(shí),,可得;當(dāng)時(shí),,可得;∴a的取值范圍為或.故選:BC.12.為了得到函數(shù)的圖象,只需把函數(shù)圖象上所有的點(diǎn)()A.向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度,再將橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的2倍B.向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度,再將橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的倍C.橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的,再向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度D.橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的,再向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度【答案】BC【分析】先將化簡(jiǎn),得,然后根據(jù)三角函數(shù)圖象變換規(guī)律分析判斷即可【詳解】,所以將圖象上所有的點(diǎn)向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度,得,再將其橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的倍,可得的圖象,即可得函數(shù)的圖象,所以A錯(cuò)誤,B正確,或?qū)D象上所有的點(diǎn)橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的,得的圖象,再將其向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度,得的圖象,所以C正確,D錯(cuò)誤,故選:BC三、填空題13.已知,則_________.【答案】【詳解】由題意可得:點(diǎn)睛:熟記同角三角函數(shù)關(guān)系式及誘導(dǎo)公式,特別是要注意公式中的符號(hào)問(wèn)題;注意公式的變形應(yīng)用,如sin2α=1-cos2α,cos2α=1-sin2α,1=sin2α+cos2α及sinα=tanα·cosα等.這是解題中常用到的變形,也是解決問(wèn)題時(shí)簡(jiǎn)化解題過(guò)程的關(guān)鍵所在.14.已知,則函數(shù)的最大值為_(kāi)_________.【答案】【分析】換元,,化簡(jiǎn)得到二次函數(shù),根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)得到最值.【詳解】設(shè),,則,,故當(dāng),即時(shí),函數(shù)有最大值為.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查了指數(shù)型函數(shù)的最值,意在考查學(xué)生的計(jì)算能力,換元是解題的關(guān)鍵.15.已知,則______.【答案】【分析】根據(jù),利用誘導(dǎo)公式轉(zhuǎn)化為可求得結(jié)果.【詳解】因?yàn)椋?故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查了利用誘導(dǎo)公式求值,解題關(guān)鍵是拆角:,屬于基礎(chǔ)題.16.函數(shù)的部分圖象如圖所示,則函數(shù)的解析式為_(kāi)_______.【答案】【分析】根據(jù)三角函數(shù)的圖象,求出函數(shù)的周期,進(jìn)而求出和即可得到結(jié)論.【詳解】由圖象得,,則周期,則,則,當(dāng)時(shí),,則,即即,即,,,當(dāng)時(shí),,則函數(shù)的解析式為,故答案為【點(diǎn)睛】本題主要考查三角函數(shù)解析式的求解,根據(jù)三角函數(shù)圖象求出,和的值是解決本題的關(guān)鍵.四、解答題17.已知.(1)化簡(jiǎn);(2)若是第三象限角,且,求的值.【答案】(1);(2).【分析】(1)根據(jù)誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)即可得答案;(2)根據(jù)誘導(dǎo)公式,結(jié)合已知條件得,再根據(jù)同角三角函數(shù)關(guān)系求值即可.【詳解】(1).(2)∵,∴,又是第三象限角,∴,故.【點(diǎn)睛】本題考查誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)求值,考查運(yùn)算能力,是基礎(chǔ)題.18.已知函數(shù),.(1)若不等式的解集為,求不等式的解集;(2)若函數(shù)在區(qū)間上有兩個(gè)不同的零點(diǎn),求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1);(2)【分析】(1)根據(jù)二次函數(shù)與對(duì)應(yīng)一元二次不等式的關(guān)系,求出a的值,再解不等式即可;(2)根據(jù)二次函數(shù)的圖象與性質(zhì),列出不等式組,求出解集即可.【詳解】(1)因?yàn)椴坏仁降慕饧癁椋瑒t方程的兩個(gè)根為1和2,由根與系數(shù)的關(guān)系可得,,所以.由,得,即,解得或,所以不等式的解集為;(2)由題知函數(shù),且在區(qū)間上有兩個(gè)不同的零點(diǎn),則,即,解得,所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用問(wèn)題,也考查了不等式(組)的解法與應(yīng)用問(wèn)題,綜合性較強(qiáng),屬中檔題.19.已知函數(shù),(1)若,求的單調(diào)區(qū)間;(2)若有最大值3,求實(shí)數(shù)的值.【答案】(1)遞減區(qū)間為,遞增區(qū)間;(2).【分析】(1)當(dāng)時(shí),設(shè),根據(jù)指數(shù)函數(shù)和二次函數(shù)的單調(diào)性,結(jié)合復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性,即可求解;(2)由題意,函數(shù),分,和三種情況討論,結(jié)合復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性,即可求解.【詳解】(1)當(dāng)時(shí),,設(shè),則函數(shù)開(kāi)口向下,對(duì)稱軸方程為,所以函數(shù)在單調(diào)遞增,在單調(diào)遞減,又由指數(shù)函數(shù)在上為單調(diào)遞減函數(shù),根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性,可得函數(shù)在單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增,即函數(shù)的遞減區(qū)間為,遞增區(qū)間.(2)由題意,函數(shù),①當(dāng)時(shí),函數(shù),根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性,可得函數(shù)在上為單調(diào)遞增函數(shù),此時(shí)函數(shù)無(wú)最大值,不符合題意;②當(dāng)時(shí),函數(shù),根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性,可得函數(shù)在在單調(diào)遞增,在單調(diào)遞減,當(dāng)時(shí),函數(shù)取得最大值,即,解得;③當(dāng)時(shí),函數(shù),根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性,可得函數(shù)在在單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增,此時(shí)函數(shù)無(wú)最大值,不符合題意.綜上可得,實(shí)數(shù)的值為.【點(diǎn)睛】本題主要考查了指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì),以及復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的判定及應(yīng)用,其中解答中熟記指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì),二次函數(shù)的性質(zhì),以及復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的判定方法是解答的關(guān)鍵,著重考查推理與運(yùn)算能力,屬于中檔試題.20.已知一扇形的圓心角為,所在圓的半徑為.(1)若,求扇形的弧長(zhǎng)及該弧所在的弓形的面積;(2)若扇形的周長(zhǎng)是一定值,當(dāng)為多少弧度時(shí),該扇形有最大面積?【答案】(1);(2)見(jiàn)解析【分析】(1)根據(jù)弧長(zhǎng)的公式和扇形的面積公式即可求扇形的弧長(zhǎng)及該弧所在的弓形的面積;(2)根據(jù)扇形的面積公式,結(jié)合基本不等式即可得到結(jié)論.【詳解】(1)設(shè)弧長(zhǎng)為l,弓形面積為S弓,則α=90°=,R=10,l=×10=5π(cm),S弓=S扇-S△=×5π×10-×102=25π-50(cm2).(2)扇形周長(zhǎng)C=2R+l=2R+αR,∴R=,∴S扇=α·R2=α·=·=·≤.當(dāng)且僅當(dāng)α2=4,即α=2時(shí),扇形面積有最大值.【點(diǎn)睛】本題主要考查扇形的弧長(zhǎng)和扇形面積的計(jì)算,要求熟練掌握相應(yīng)的公式,考查學(xué)生的計(jì)算能力.21.已知函數(shù),.(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間;(2)將函數(shù)的圖象上各點(diǎn)的縱坐標(biāo)保持不變,橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的,再把所得到的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度,得到函數(shù)的圖象,求函數(shù)在區(qū)間上的值域.【答案】(1);(2)【分析】(1)根據(jù)正弦函數(shù)的周期性和單調(diào)性即可得出答案;(2)根據(jù)周期變換和平移變換求出函數(shù),再根據(jù)余弦函數(shù)的性質(zhì)即可得出答案.(1)解:由函數(shù),則函數(shù)f(x)的最小正周期,令,解得,所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為;(2)解:函數(shù)的圖象上各點(diǎn)的縱坐標(biāo)保持不變,橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的,得到,再把所得到的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度,得到,當(dāng)時(shí),,所以,所以函數(shù)在區(qū)間上的值域?yàn)?22.如圖,函數(shù)(,)的圖象與y軸交于點(diǎn),最小正周期是π
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