淺談從小學(xué)到初中《圓》知識(shí)點(diǎn)遞進(jìn)教學(xué)的研究 論文

淺談從小學(xué)到初中《圓》知識(shí)點(diǎn)遞進(jìn)教學(xué)的研究【摘要】在九年制義務(wù)教育的人教2012版數(shù)學(xué)18冊(cè)教材中，小學(xué)12冊(cè)，初中6冊(cè)，發(fā)現(xiàn)小學(xué)初中兩個(gè)教學(xué)階段中，出現(xiàn)有大量的延伸遞進(jìn)的知識(shí)點(diǎn)，這引起我對(duì)這部分知識(shí)課堂教學(xué)的思考。我們?cè)撊绾卧谶@部分延伸遞進(jìn)知識(shí)的教學(xué)中再次激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)激情，如何在這部分中小學(xué)延伸遞進(jìn)知識(shí)中提高新課堂的教學(xué)效率，以及在這兩個(gè)學(xué)習(xí)階段看似重復(fù)又非重復(fù)的教學(xué)活動(dòng)中，培養(yǎng)出他們的獨(dú)立自主學(xué)習(xí)習(xí)慣，讓他們以后更高層次數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，不僅打牢知識(shí)儲(chǔ)備的基礎(chǔ)，更是養(yǎng)成了良好習(xí)慣的收獲，真正為國(guó)家民族培養(yǎng)優(yōu)秀核心素養(yǎng)的數(shù)學(xué)人才。 在這里我就人教版小學(xué)六年級(jí)上冊(cè)第5單元《圓》與初中九年級(jí)上冊(cè)第24章《圓》延伸遞進(jìn)知識(shí)的教學(xué)研究，做一些個(gè)人的闡述。 【關(guān)鍵詞】圓周長(zhǎng)面積性質(zhì)定理判定定理計(jì)算推理幾何證明延伸遞進(jìn)

一、人教版小學(xué)數(shù)學(xué)《圓》知識(shí)點(diǎn)包含和側(cè)重的內(nèi)容

人教版小學(xué)六年級(jí)上冊(cè)第5單元《圓》總共分為4個(gè)部分的學(xué)習(xí)內(nèi)容，第一部分是“圓的認(rèn)識(shí)”，是對(duì)圓的初步熟悉，首先學(xué)習(xí)了圓心O、半徑r、直徑d的定義，并進(jìn)一步獲知圓有無(wú)數(shù)條半徑，這些半徑都是相等的，并且它們的直徑也全部相等，在同一個(gè)圓或相等大小的圓中，圓的直徑是半徑的2倍或半徑是直徑的一半，用字母關(guān)系式表達(dá)寫(xiě)為d=2r。小學(xué)課本定義圓的半徑是圓規(guī)兩腳尖所叉開(kāi)的距離大小。在圓內(nèi)最長(zhǎng)的線段是直徑，直徑是有無(wú)數(shù)條的。圓是軸對(duì)稱圖形，直徑所在的直線就是圓的對(duì)稱軸。從而圓有無(wú)數(shù)條對(duì)稱軸。學(xué)生學(xué)習(xí)后可以知道快速的通過(guò)相交的直徑確定圓心的位置，也就是將一張圓形紙片至少對(duì)折2次，就能確定圓心的位置。圓的位置是由圓心決定的，圓的大小是由半徑?jīng)Q定的。圓是軸對(duì)稱圖形，它的對(duì)稱軸就是直徑所在的直線。由于圓有無(wú)數(shù)條直線，從而圓有無(wú)數(shù)條對(duì)稱軸。第二部分學(xué)習(xí)的內(nèi)容是“圓的周長(zhǎng)”，由圓的周長(zhǎng)定義知道圓一周的長(zhǎng)度便是圓的周長(zhǎng)。任何圓的周長(zhǎng)與它的直徑的比值是一個(gè)固定不變的數(shù)，我國(guó)古代數(shù)學(xué)家祖沖之把它稱做圓周率，圓周率不會(huì)隨圓的位置改變和大小改變而變化。圓周率的數(shù)學(xué)符號(hào)用字母π表示，在小學(xué)階段計(jì)算時(shí)通常取近似值3.14，我們這里提到的π是一個(gè)固定值、準(zhǔn)確值，它是一個(gè)無(wú)線不循環(huán)小數(shù)，到了初中我們知道π實(shí)際是個(gè)無(wú)理數(shù)，而3.14是π的近似值。最后學(xué)習(xí)了圓的周長(zhǎng)公式的表達(dá)：C=πd或C=2πr，即一個(gè)圓的周長(zhǎng)是直徑的π倍，或者表示成半徑的2π倍。第三部分接著學(xué)習(xí)“圓的面積”，課本中把圓所占地方的大小稱之為圓的面積。圓面積公式的推導(dǎo)過(guò)程實(shí)際用到了微積分的思想，想象把一個(gè)圓分成足夠小的若干等分后，再拼接成近似于一個(gè)長(zhǎng)方形，利用長(zhǎng)方形的面積公式等量替換，就推導(dǎo)出了圓的面積公式S=πr2。最后第四部分教學(xué)的內(nèi)容是“扇形”，主要學(xué)習(xí)了弧、扇形、圓心角的定義。重點(diǎn)是要讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到在同圓中，扇形的大小與這個(gè)扇形的圓心角的大小有關(guān)，難點(diǎn)是要讓學(xué)生理解并掌握以上關(guān)系得運(yùn)用解題，即學(xué)會(huì)在已知扇形圓心角度數(shù)的條件下，如何計(jì)算扇形周長(zhǎng)和面積。此外老師還會(huì)補(bǔ)充一些特殊的扇形，例如半圓的周長(zhǎng)和面積的計(jì)算，首先半圓的定義是：將一個(gè)圓沿著任何一條直徑剪開(kāi)分成兩個(gè)相同的部分，其中的一個(gè)部分就叫做半圓。它是由一條半圓形的弧和一條直徑圍成的封閉圖形。于是得到半圓的周長(zhǎng)公式為C半圓=πr+d,半圓的面積公式S半圓=?πr2。二、人教版初中數(shù)學(xué)《圓》知識(shí)點(diǎn)包含和側(cè)重的內(nèi)容

人教版初中九年級(jí)上冊(cè)第24章《圓》同樣也分為4個(gè)部分的學(xué)習(xí)內(nèi)容，第一部分是《圓的有關(guān)性質(zhì)》，主要內(nèi)容是介紹了圓的相關(guān)概念和有關(guān)性質(zhì)，這部分知識(shí)是初中進(jìn)一步學(xué)習(xí)研究圓，以及圓與其他圖形位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系的主要基礎(chǔ)性依據(jù)，是這一章后面圓的內(nèi)容繼續(xù)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)。這一部分內(nèi)容有細(xì)分為四個(gè)小節(jié)來(lái)讓學(xué)生學(xué)習(xí)，分別為《圓》《垂直于弦的直徑》《弧、弦、圓心角》《圓周角》。圓的相關(guān)概念在小學(xué)學(xué)生們已經(jīng)有所接觸，對(duì)它有了一定的知識(shí)儲(chǔ)備，在小學(xué)已有的認(rèn)識(shí)圓的概念的基礎(chǔ)上，初中教科書(shū)又進(jìn)一步給出了半徑、直徑、弦、弧等圓的相關(guān)概念，強(qiáng)調(diào)圓是軸對(duì)稱圖形。并讓同學(xué)們結(jié)合圖形加深認(rèn)識(shí)和更加牢固掌握這些概念，并學(xué)會(huì)在題目中注意識(shí)別判定和進(jìn)行比較。接下來(lái)第二小節(jié)學(xué)習(xí)了圓的一個(gè)重要性質(zhì)定理——垂徑定理和弧、弦、圓心角幾者之間的關(guān)系，在同圓或等圓中，如果圓心角，圓周角，弧，弦四個(gè)要素中有一組量相等，那么他們所對(duì)應(yīng)的其余各組量也都分別相等。同時(shí)還深入學(xué)習(xí)了圓周角定理及其推論，為接下來(lái)的幾何證明和推理提供依據(jù)。第二部分的學(xué)習(xí)的是《點(diǎn)和圓、直線和圓的位置關(guān)系》，首先創(chuàng)設(shè)情境利用射擊問(wèn)題，給出了點(diǎn)和圓的三種不同位置關(guān)系，然后討論了這三種位置關(guān)系下，點(diǎn)與圓心的距離和圓的半徑對(duì)應(yīng)何種關(guān)系。接著學(xué)習(xí)了過(guò)不在同一直線上的三點(diǎn)可以畫(huà)有且只有一個(gè)圓，這個(gè)圓被稱之為三角形的外接圓，同時(shí)結(jié)合“過(guò)同一直線上的三點(diǎn)不能作圓”引入了初中的另一種幾何證明方法——反證法。在第二節(jié)“直線和圓的位置關(guān)系”中，利用太陽(yáng)在海平面的日出情境引出了直線和圓的三種位置關(guān)系，第一種是直線和圓有2個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，此時(shí)是它們相交位置關(guān)系；第二種是直線和圓沒(méi)有公共點(diǎn)時(shí)，此時(shí)是它們相離位置關(guān)系；最后第三種是圓與直線有唯一公共點(diǎn)時(shí)，此時(shí)是它們相切位置關(guān)系，這條直線叫做圓的切線，這時(shí)唯一的這個(gè)公共點(diǎn)稱為切點(diǎn)。接著深入探究這三種位置關(guān)系下，圓心到直線的距離和圓的半徑對(duì)應(yīng)何種數(shù)量關(guān)系。最后通過(guò)幾何論證得到圓的切線性質(zhì)定理：圓的切線垂直于過(guò)切點(diǎn)的直徑；以及圓的切線判定定理。第三部分內(nèi)容是《正多邊形和圓》，正多邊形是一種特殊的多邊形，在生產(chǎn)和生活中有著廣泛的應(yīng)用，在小學(xué)我們就學(xué)過(guò)等邊三角形，正方形等常見(jiàn)的正多邊形。到了初中我們學(xué)習(xí)到正多邊形具有一些類似于圓的性質(zhì)，例如正多邊形的中心、正多邊形的半徑、正多邊形的中心角、正多邊形的邊心距的定義以及運(yùn)算。利用量角器計(jì)算圓內(nèi)接正多邊形的圓心角，利用畫(huà)出圓心角的方法，可以畫(huà)出任意的正n邊形。以及有關(guān)正多邊形和圓結(jié)合知識(shí)的證明和計(jì)算，也是本節(jié)內(nèi)容的重難點(diǎn)。最后第四部分學(xué)習(xí)的是《弧長(zhǎng)和扇形面積》，弧長(zhǎng)和扇形面積是在小學(xué)學(xué)過(guò)的圓形的周長(zhǎng)、面積公式的基礎(chǔ)上推導(dǎo)出來(lái)的，學(xué)生理解掌握這些推導(dǎo)公式，不僅可以計(jì)算一些有關(guān)扇形的簡(jiǎn)單平面組合圖形的周長(zhǎng)和陰影部分面積.更可以進(jìn)一步運(yùn)用到圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖的面積計(jì)算中，從而應(yīng)用解決一些例如蒙古包全面積的實(shí)際問(wèn)題。這些扇形應(yīng)用題的計(jì)算是這一節(jié)知識(shí)的基礎(chǔ)性計(jì)算，在日常生活中也有著廣泛的應(yīng)用。圓錐側(cè)面積知識(shí)不僅使同學(xué)們從本質(zhì)上理解了圓錐側(cè)面展開(kāi)后的扇形弧長(zhǎng)和圓錐自身的底面周長(zhǎng)存在相等關(guān)系，還可以培養(yǎng)學(xué)生的空間觀念和平面幾何之間的轉(zhuǎn)化和聯(lián)系，為高中階段繼續(xù)學(xué)習(xí)空間幾何做好準(zhǔn)備和鋪墊。三、初中、小學(xué)兩個(gè)階段的《圓》知識(shí)點(diǎn)的主要區(qū)別和聯(lián)系

小學(xué)階段主要讓學(xué)生在生活中認(rèn)識(shí)圓，了解和認(rèn)識(shí)圓的各部分名稱，同時(shí)能識(shí)別圓的特征。另外小學(xué)階段重視培養(yǎng)學(xué)生的工具畫(huà)圓能力，如何利用圓規(guī)畫(huà)出一個(gè)定半徑的圓，這種作圖能力是小學(xué)階段的重要的教學(xué)目標(biāo)。相比之下，在初中教科書(shū)里聯(lián)系結(jié)合生活中些圓的情景和實(shí)例，在小學(xué)學(xué)習(xí)畫(huà)圓的基礎(chǔ)上，抽象出圓的集合概念。從集合的角度專業(yè)分析了圓上每一點(diǎn)與圓心的距離都等于定長(zhǎng)，這些無(wú)數(shù)個(gè)到定點(diǎn)距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)，組合成的圖形就是圓。同時(shí)到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)都在同一個(gè)圓上，這樣圓的概念的呈現(xiàn)過(guò)程，在學(xué)生小學(xué)對(duì)圓的已有認(rèn)知的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步加深學(xué)生對(duì)圓的認(rèn)知和理解，同時(shí)再次強(qiáng)調(diào)確定一個(gè)圓的核心要素是圓心和半徑。 另外在小學(xué)階段內(nèi)容里，培養(yǎng)學(xué)生的觀察圓的組成元素的能力，動(dòng)手作各種有關(guān)圓的圖形能力，實(shí)物圖型中抽象出圓的模型的概括能力，也都是小學(xué)這個(gè)階段的學(xué)習(xí)側(cè)重點(diǎn)。在初中的圓的知識(shí)學(xué)習(xí)里，不僅要能掌握單獨(dú)有關(guān)圓的組成要素、幾何性質(zhì)，更要能掌握?qǐng)A和其他一些幾何圖形的組合后位置關(guān)系及相關(guān)性質(zhì)和判定。最后就是初中和小學(xué)的有關(guān)圓的習(xí)題類型，在小學(xué)階段主要以涉及圓的圖形計(jì)算題和實(shí)際問(wèn)題是習(xí)題考查的重心，例如小學(xué)有看圖計(jì)算的，有應(yīng)用題計(jì)算的；有計(jì)算面積的，有計(jì)算周長(zhǎng)的；有計(jì)算扇形的，有計(jì)算環(huán)形的，以及圓的組合圖形求陰影部分面積等等。小學(xué)這個(gè)階段就是讓學(xué)生熟練掌握有關(guān)圓的公式，然后在計(jì)算題中會(huì)準(zhǔn)確運(yùn)用，計(jì)算能力和少量基礎(chǔ)的圓的圖形理解識(shí)別能力是小學(xué)階段圓教學(xué)的重中之重，前者也是教學(xué)難點(diǎn)所在。但在初中有關(guān)圓的習(xí)題考查類型里，不僅有了圓的計(jì)算層面的拓展和延伸，例如上升難度的有關(guān)圓的計(jì)算有：利用垂徑定理配合勾股定理計(jì)算趙州橋主橋拱的半徑大小問(wèn)題；利用圓和正多邊形的有關(guān)聯(lián)系，計(jì)算出正多邊形底座亭子的地基面積問(wèn)題；利用有關(guān)扇形弧長(zhǎng)和面積公式解決生活中的圓錐體側(cè)面積和全面積的問(wèn)題。更是出現(xiàn)了以有關(guān)圓的性質(zhì)定理和判定定理應(yīng)用為依據(jù)的幾何證明，例如具有代表性的切線的性質(zhì)定理和判定定理的幾何證明，以及垂徑定理配合勾股定理的幾何推理計(jì)算等等。 綜上，人教版小學(xué)數(shù)學(xué)中的有關(guān)圓的知識(shí)點(diǎn)和初中數(shù)學(xué)中有著密切的聯(lián)系，我們?cè)诔踔袛?shù)學(xué)教學(xué)中，要注意將這兩部分具有延伸遞進(jìn)關(guān)系的知識(shí)點(diǎn)用銜接的教學(xué)手段上好。我個(gè)人對(duì)“圓”知識(shí)點(diǎn)連貫性教學(xué)的研究措施初步設(shè)想有以下幾個(gè)方面：

1.針對(duì)這部分圓的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)既然小學(xué)有過(guò)基礎(chǔ)和接觸，是否可以在初中的教學(xué)實(shí)踐中嘗試由學(xué)生自主學(xué)習(xí)已學(xué)內(nèi)容，提前做好自學(xué)預(yù)習(xí)工作，甚至可以充當(dāng)老師的小助手，替代老師在課堂上完成部分的課堂教學(xué)任務(wù)，不僅讓學(xué)生提前自主喚醒已學(xué)的記憶儲(chǔ)存，而且讓他們?cè)谶@部分知識(shí)點(diǎn)的遞進(jìn)學(xué)習(xí)中起到事半功倍的效果。2.如果在這部分學(xué)習(xí)的過(guò)程中，出現(xiàn)后進(jìn)生對(duì)小學(xué)的舊知識(shí)有歷史遺留的困惑或者空白時(shí)，是否可以考慮在上這部分知識(shí)點(diǎn)的時(shí)候，再次結(jié)合小學(xué)教材的教學(xué)內(nèi)容，對(duì)這部分學(xué)生在初中生的認(rèn)知水平上進(jìn)行補(bǔ)丁式教學(xué)，只有為他們修復(fù)好這部分欠缺，更重要的是幫助他們重拾學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的信心和興趣，才有可能連貫進(jìn)行下一步的