淺談函數(shù)奇偶性、周期性、對稱性的關(guān)系 論文

淺談函數(shù)奇偶性、周期性、對稱性的關(guān)系摘要：本文通過對函數(shù)奇偶性、周期性、對稱性的研究，加深學(xué)生對函數(shù)的理解并發(fā)現(xiàn)其共性和個性。研究過程中所體現(xiàn)的函數(shù)的代數(shù)特征和幾何特征，有助于培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合思維。函數(shù)這三種性質(zhì)相關(guān)聯(lián)時在高考中經(jīng)常出現(xiàn)，通過舉例，為學(xué)生更好的掌握函數(shù)提供參考。關(guān)鍵詞:函數(shù)，奇偶性，周期性，對稱性一、函數(shù)的奇偶性、周期性和對稱性的含義1.奇偶性一般地，設(shè)函數(shù) f(x)的定義域是A，如果對任意的xA,有xA,且f(x)f(x),那么稱函數(shù)f(x)為奇函數(shù)。設(shè)函數(shù)f(x)的定義域是A，如果對任意的xA,有xA,且f(x)f(x),那么稱函數(shù)f(x)為偶函數(shù)。2.周期性一般地，對于函數(shù)yf(x),xD,如果存在一個非零常數(shù)T,使得對任意的xD，都有xTD且滿足f(xT)f(x),那么函數(shù)yf(x)稱作周期函數(shù)，非零常數(shù)T稱作這個函數(shù)的周期。3.對稱性對稱情況通常可以分為兩種類型，一種為軸對稱，另一種為中心對稱。前者是如果一個圖形沿著一條直線對折,兩側(cè)的圖形能夠完全重合,這個圖形就是軸對稱圖形；后者是把一個圖形繞著某一點旋轉(zhuǎn)180，如果它能與另一個圖形重合，那么就說這兩個圖形關(guān)于這個點對稱或中心對稱。二、函數(shù)的奇偶性、周期性和對稱性的結(jié)論1.奇偶性（1）f(xa)f(ax)f(x)為偶函數(shù)；（2）f(xa)f(ax)f(x)為奇函數(shù)；2.周期性（1）f(xa)f(xa)f(x)是周期為2a的函數(shù)；（2）f(xa)f(xa)f(x)是周期為4a的函數(shù)；1（3）f(xa)1f(x)是周期為2a的函數(shù)；f(x)（4）f(xa)1f(x)是周期為2a的函數(shù)；f(x)3.對稱性（1）f(ax)f(ax)f(x)的圖象關(guān)于直線xa對稱；（2）f(ax)ff(ax)f(x)的圖象關(guān)于點(a0,)對稱；(x)的圖象關(guān)于直線xab對稱;（3）f(ax)f(bx)2（4）f(ax)kf(bx)f(x)的圖象關(guān)于點(ab,k)對稱；22總結(jié)：學(xué)生在周期性和對稱性結(jié)論的運用時，容易混淆。在這里我通常告訴學(xué)生記憶口訣“同號考周期，異號考對稱”來掌握。也就是當(dāng)函數(shù)方程中的自變量x同號時，考查的是函數(shù)周期性，自變量x異號時，考查的是函數(shù)對稱性。三、函數(shù)的奇偶性、周期性和對稱性間的聯(lián)系1.奇偶性 對稱性（1）設(shè)f(xa)為偶函數(shù)，則f(x)的圖象關(guān)于直線xa對稱。證明： f(xa)為偶函數(shù) f(ax)f(ax),故f(x)的圖象關(guān)于直線xa對稱（2）設(shè)f(xa)為奇函數(shù)，則f(x)的圖象關(guān)于點(a0,)對稱。證明： f(xa)為奇函數(shù) f(ax)f(ax),故f(x)的圖象關(guān)于點(a0,)對稱總結(jié)：若 f(x)為偶函數(shù),這里可以令tax,偶函數(shù) f(t)f(t)則f(ax)f(ax);而若 f(xa)為偶函數(shù)，這里令g(x)f(xa),偶函數(shù)g(x)g(x),則f(ax)f(ax)。奇函數(shù)同理也可以這樣分析。2.對稱性 周期性（1）設(shè)函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于xa和xb對稱（ab），則f(x)為周期函數(shù)，2且2|ab|為其一個周期。證明： f(x)關(guān)于xa對稱,則f(ax)f(ax) f(x)f(2ax)又 f(x)關(guān)于xb對稱,則f(bx)f(bx) f(x)f(2bx) f(2ax)f(2bx),即f(x)f(x2b2a) f(x)為周期函數(shù)，且2|ab|為其一個周期（2）設(shè)函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于(a0,)和(b0,)對稱（ab），則f(x)為周期函數(shù)，且2|ab|為其一個周期。證明： f(x)關(guān)于(a0,)對稱,則f(ax)f(ax) f(x)f(2ax)又 f(x)關(guān)于(b0,)對稱,則f(bx)f(bx) f(x)f(2bx) f(2ax)f(2bx),即f(x)f(x2b2a) f(x)為周期函數(shù)，且2|ab|為其一個周期（3）設(shè)函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于xa和(b0,)對稱，則f(x)為周期函數(shù)，且4|ab|為其一個周期。證明： f(x)關(guān)于xa對稱,則f(ax)f(ax) f(x)f(2ax)又 f(x)關(guān)于(b0,)對稱,則f(bx)f(bx) f(x)f(2bx) f(2ax)f(2bx),即f(x)f(x4b4a) f(x)為周期函數(shù)，且4|ab|為其一個周期總結(jié)：在由對稱性推出周期性的教學(xué)中，可以聯(lián)系三角函數(shù)的圖象，相鄰兩條對稱軸的距離是三角函數(shù)的1周期，相鄰兩個對稱中心的距離是三角函數(shù)的122周期，相鄰一條對稱軸和一個對稱中心的距離是三角函數(shù)的1周期。43.奇偶性+對稱性周期性（1）設(shè)函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，關(guān)于xa對稱，則f(x)是T2a的周期函數(shù)。證明：f(x)關(guān)于xa對稱3f(ax)f(ax)f(x)是T4a的周期函數(shù)。又f(x)為偶函數(shù)f(ax)f(xa)f(ax)(xa)故f(x)是周期為2a的函數(shù)（2）設(shè)函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，關(guān)于xa對稱，則f證明：f(x)關(guān)于xa對稱)關(guān)于xa對稱。(ax)f(ax)又f(x)為奇函數(shù)f(ax)f(xa)f(ax)f(xa)故f(x)是周期為4a的函數(shù)4.奇偶性+周期性對稱性（1）設(shè)函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，周期T2a,則f(xf證明：f(x)是T2a的周期函數(shù))關(guān)于（0,a）對稱。(x)f(2ax),f(x)f(2ax)又f(x)為偶函數(shù)f(x)f(x),f(2ax)f(x)f(x)關(guān)于xa對稱（2）設(shè)函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，周期T2a,則f(xf證明：f(x)是T2a的周期函數(shù)(x)f(2ax),f(x)f(2ax)又f(x)為奇函數(shù)f(x)f(x),f(2ax)f(x)f(x)關(guān)于（0,a）對稱4f5.對稱性+周期性對稱性、奇偶性xab對稱。（1）設(shè)函數(shù)f(x)關(guān)于xa對稱，周期Tb,則f(x)關(guān)于證明：f(x)關(guān)于xa對稱(x)f(2ax)f(x)是Tb的周期函數(shù)為偶函數(shù)。f(x)f(2bx),f(2ax)f(2bx)故f(x)關(guān)于xab對稱（2）特別地，在（1）中令b2a,其他條件不變，則f(x)f證明：f(x)關(guān)于xa對稱(ax)f(ax)f(x)是T2a的周期函數(shù)f(xa)f(xa),f(ax)f(xa)故f(x)為偶函數(shù)四、函數(shù)的奇偶性、周期性和對稱性的應(yīng)用例1（2014高考全國卷文第12題）奇函數(shù)f(x)的定義域為R，若f(2)為偶函數(shù)，且f)1(1，則f(8)f(9)（）f(D．1x2對A．2B．1C．0分析：由f(2)為偶函數(shù)得到f(x2)x2)（f(x)關(guān)于稱），而f(x)為奇函數(shù),不難得到函數(shù)周期T8。f(x)的定義域為R，f()1f(8)f(9)f(0)f)1(1,選D。該題思路是：奇偶性+對稱性周期性例2（2021高考全國甲卷理第12題）設(shè)函數(shù)5為奇函數(shù)，f(2)為偶函數(shù)，當(dāng)x2,1[]時，f(x)ax2b．若f(0)f(3)6，則f(9)（）2A．9B．3C．7D．54242對稱）分析：由f()1為奇函數(shù)得到f(x)1f(x)1（f(x)關(guān)于0,1()f(2)為偶函數(shù)得到f(x2)f(x2)（f(x)關(guān)于x2對稱）令x1,f(0)f(2)4ab,f(3)f)1(aba2令x0,f()1(0b2不難得到函數(shù)周期T4,f(9)f(1)f(3)5，選D。2222該題思