2023屆江西省宜春市豐城第九中學(xué)高三年級(jí)下冊(cè)學(xué)期重點(diǎn)班開學(xué)質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)（理）試題【含答案】

2023屆江西省宜春市豐城高三下學(xué)期重點(diǎn)班開學(xué)質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)（理）試題一、單選題1．定義集合且.已知集合，，則中元素的個(gè)數(shù)為（

）A．6 B．5 C．4 D．7【答案】C【分析】根據(jù)集合新定義求解即可.【詳解】根據(jù)題意，因?yàn)?，，所?故選：C.2．的實(shí)部與虛部之和為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用復(fù)數(shù)的除法化簡，進(jìn)而即得.【詳解】因?yàn)椋瑒t的實(shí)部與虛部之和為為.故選：B.3．在數(shù)列中,,,則（

）A．是等比數(shù)列 B．是等比數(shù)列C．是等比數(shù)列 D．是等比數(shù)列【答案】B【分析】根據(jù)變形整理為,再求出,根據(jù)等比數(shù)列的定義即可選出選項(xiàng).【詳解】解:由題知,所以,又因?yàn)?所以是等比數(shù)列,且首項(xiàng)為4,公比為2.故選:B4．過點(diǎn)作直線，使它與拋物線僅有一個(gè)公共點(diǎn)，這樣的直線有（

）A．1條 B．2條 C．3條 D．4條【答案】B【分析】分直線的斜率不存在與存在兩種情況討論，當(dāng)斜率存在時(shí)，將直線與方程聯(lián)立，分析即得解；【詳解】當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線，代入拋物線方程可，故直線與拋物線有兩個(gè)交點(diǎn)．不滿足要求，當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，由，消得，，當(dāng)時(shí)，解得，直線與拋物線有且只有一個(gè)交點(diǎn)，符合題意；當(dāng)時(shí)，由，可得，即當(dāng)時(shí)，符合題意．綜上，滿足條件的直線有2條．故選：B.5．將的圖象向右平移個(gè)單位長度得到的圖象，則（

）A． B．的圖象關(guān)于直線對(duì)稱C．的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱 D．在內(nèi)是增函數(shù)【答案】C【分析】根據(jù)三角函數(shù)圖象變換的知識(shí)求得的解析式，利用代入驗(yàn)證法判斷BC，根據(jù)三角函數(shù)單調(diào)性判斷D.【詳解】由題可得，A錯(cuò)誤；因?yàn)?，所以的圖象不關(guān)于直線對(duì)稱，B錯(cuò)誤；因?yàn)?，所以的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，C正確；因?yàn)椋栽趦?nèi)不是增函數(shù)，D錯(cuò)誤.故選：C.6．已知三個(gè)單位向量，，滿足，則的最大值為（

）A． B．2 C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意可求得，再結(jié)合數(shù)量積的定義分析運(yùn)算.【詳解】因?yàn)?，則，∴，故當(dāng)，即與同向時(shí)，有最大值.故選：A.7．若，滿足約束條件，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)給定條件，畫出約束條件表示的平面區(qū)域，再利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義求解作答.【詳解】作出不等式組表示的可行域，如圖中陰影（含邊界），其中，目標(biāo)函數(shù)，即表示點(diǎn)與可行域內(nèi)的點(diǎn)間距離，顯然，過P作于Q，顯然點(diǎn)Q在線段BC上，則，觀察圖形知，，即，，所以的取值范圍是.故選：B8．2020年1月11日，被譽(yù)為“中國天眼”的500米口徑球面射電望遠(yuǎn)鏡（簡稱FAST）開放運(yùn)行.FAST的反射面的形狀近似為球冠.球冠是球面被平面所截得的一部分，截得的圓為球冠的底，垂直于截面的直徑被截得的一段為球冠的高.某科技館制作了一個(gè)FAST模型，其口徑為米，反射面總面積為平方米，若模型的厚度忽略不計(jì)，則截出該球冠模型的球的體積為（

）（注：球冠表面積，其中R是球的半徑，h是球冠的高）A． B． C． D．【答案】D【分析】由已知，可作出球冠的平面圖，根據(jù)題意條件，設(shè)出長度關(guān)系，在中，利用勾股定理和利用球冠表面積公式可得到一組方程，解方程即可求解出球的半徑，從而求得球的體積.【詳解】如圖所示，是弦，是直徑，點(diǎn)為弦的中點(diǎn)，由垂徑定理可知，交弦于點(diǎn)，由已知可得，口徑為米，反射面總面積為平方米，R是球的半徑，h是球冠的高，所以，，，，所以，在中，由勾股定理可知：，即①，又由球冠的表面積可得：②，由①②可得：，，所以截出該球冠模型的球的體積為.故選：D.9．設(shè)，且，則（

）A．－1 B． C．1 D．【答案】C【分析】根據(jù)題意，求出，則可以得到，，進(jìn)而可得的值.【詳解】，故，得，得到，，所以，，得，，，，則故選：C10．已知橢圓上存在兩點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，且線段中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，則橢圓的離心率是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)兩點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱點(diǎn)的特征可求得，并得到中點(diǎn)坐標(biāo)；利用點(diǎn)差法可構(gòu)造等式求得，根據(jù)橢圓離心率可求得結(jié)果.【詳解】關(guān)于直線對(duì)稱，，又中點(diǎn)縱坐標(biāo)為，中點(diǎn)橫坐標(biāo)為；設(shè)，，則，兩式作差得：，即，；又，，，解得：，橢圓的離心率.故選：A.11．已知，設(shè)，，，則（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)的形式構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)判斷其單調(diào)性，再結(jié)合差比法進(jìn)行判斷即可.【詳解】．令，則，．當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增，所以，即．因?yàn)?，所以．故．故選：D【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：根據(jù)的形式構(gòu)造函數(shù)是解題的關(guān)鍵,12．如圖，在四棱錐中，底面為矩形，平面平面，，，E為BC的中點(diǎn)，M為PE上的動(dòng)點(diǎn)，N為平面APD內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意得出平面PAD，進(jìn)而可得，將和所在平面折疊在一個(gè)平面內(nèi)，然后利用兩角和的正弦公式和正弦定理即可求解.【詳解】如圖1，取AD的中點(diǎn)F，連接EF，PF，過點(diǎn)M作PF的垂線，垂足為H.由，，四邊形ABCD為矩形，可得，由平面平面ABCD，可得平面PAD.在中，由，，可得.由平面PAD，可得平面PAD，可得.將和所在平面折疊在一個(gè)平面內(nèi)，過點(diǎn)B作PF的垂線，垂足為T，如圖2所示，易知.記，由，，可得，，，，，可得，，，則，故的最小值為.故選：.二、填空題13．如圖，在正六邊形ABCDEF中，向量在向量上的投影向量是，則_________．【答案】##－0.5【分析】由在向量上的投影向量公式計(jì)算即可.【詳解】設(shè)正六邊形邊長為1，則與的夾角為，故在向量上的投影向量為，所以.故答案為：14．設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為且，當(dāng)取最大值時(shí)，的值為________________．【答案】【分析】根據(jù)題意，用首項(xiàng)表示公差，代入前項(xiàng)和公式，化簡得到為關(guān)于開口向下的二次函數(shù)，進(jìn)而求出其最大值時(shí)對(duì)應(yīng)的的值.【詳解】因?yàn)?，所以，即，化簡后可得．，由二次函?shù)性質(zhì)可知，當(dāng)時(shí)，取得最大值．故答案為：.15．設(shè)P是橢圓上的任一點(diǎn)，EF為圓的任一條直徑，則的最大值為__________．【答案】【分析】設(shè)點(diǎn)，則且，計(jì)算得出，利用二次函數(shù)的基本性質(zhì)可求得的最大值.【詳解】圓的圓心為，半徑長為，設(shè)點(diǎn)，則且，，，所以，所以，當(dāng)時(shí)，取得最大值，即.故答案為：.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：圓錐曲線中的最值問題解決方法一般分兩種：一是幾何法，特別是用圓錐曲線的定義和平面幾何的有關(guān)結(jié)論來求最值；二是代數(shù)法，常將圓錐曲線的最值問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)或三角函數(shù)的最值問題，然后利用基本不等式、函數(shù)的單調(diào)性或三角函數(shù)的有界性等求最值．16．已知函數(shù)，，函數(shù)的圖象在點(diǎn)和點(diǎn)處的兩條切線互相垂直，且分別交軸于，兩點(diǎn)，則的取值范圍是_______.【答案】【分析】設(shè)，，由導(dǎo)數(shù)法得到，，再由垂直得到，然后寫出直線AM，BN的方程，得到M，N的坐標(biāo)，建立模型，用導(dǎo)數(shù)法求解.【詳解】解：由題意，，則∴，，，，由，得，∴：，則，：，則，∴，，令（），，∴在上遞增，又，，∴的取值范圍是.故答案為：【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求解切線有關(guān)的問題，關(guān)鍵點(diǎn)有兩個(gè)，一個(gè)是切點(diǎn)，另一個(gè)是斜率.切點(diǎn)即是要看清題目給的已知條件所給點(diǎn)是在曲線上，還是在曲線外；斜率是將切點(diǎn)的橫坐標(biāo)代入導(dǎo)函數(shù)求得的三、解答題17．設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，數(shù)列為等比數(shù)列，其中，，.(1)求，的通項(xiàng)公式；(2)若，求的前項(xiàng)和.【答案】(1)答案見解析；(2).【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，結(jié)合等比數(shù)列的性質(zhì)進(jìn)行求解即可；（2）運(yùn)用等差數(shù)列和等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式進(jìn)行求解即可.【詳解】（1）設(shè)數(shù)列的公差為，則，，，由得，，∴，或.當(dāng)時(shí)，，；當(dāng)時(shí)，，，所以當(dāng)時(shí)，，；當(dāng)時(shí)，，；（2）若，即，∴，，又，∴，∴.18．某農(nóng)戶有一個(gè)三角形地塊，如圖所示.該農(nóng)戶想要圍出一塊三角形區(qū)域（點(diǎn)在上）用來養(yǎng)一些家禽，經(jīng)專業(yè)測(cè)量得到.(1)若，求的長；(2)若，求的周長.【答案】(1)4(2)【分析】（1）在中應(yīng)用正弦定理得出的長；（2）由結(jié)合面積公式得出，再由余弦定理得出，，進(jìn)而得出的周長.【詳解】（1）解：在中，，且，所以.因?yàn)?，，所?在，由正弦定理可得，所以.（2）因?yàn)?，所以，所以，即：，可?在中，由余弦定理可得，所以，解得或（舍去）.因?yàn)?，所?在中，由余弦定理可得所以的周長為.19．如圖，在四棱錐中，平面ABCD，平面ABCD，底面ABCD為矩形，點(diǎn)F在棱PD上，且P與E位于平面ABCD的兩側(cè)．(1)證明：平面PAB．(2)若，，，且在上的投影為3，求平面ACF與平面ACE所成銳二面角的余弦值．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）根據(jù)條件證明平面平面PAB即可；（2）以A為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，分別求出兩個(gè)平面的法向量即可算出答案.【詳解】（1）因?yàn)槠矫鍭BCD，平面ABCD，所以，因?yàn)槠矫?，平面，所以平面，因?yàn)榈酌鍭BCD為矩形，所以，因?yàn)槠矫妫矫?，所以平面，因?yàn)椋云矫嫫矫鍼AB，又平面CDE，所以平面PAB．（2）以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，．因?yàn)樵谏系耐队盀?，所以F的坐標(biāo)為．設(shè)平面ACF的法向量為，，，則，即令，得．設(shè)平面ACE的法向量為，，，則，即，令，得．由，得平面ACF和平面ACE所成銳二面角的余弦值為．20．已知向量，，設(shè)函數(shù).(1)若，求的值；(2)設(shè)的內(nèi)角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c，且________，求的取值范圍.從下面兩個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在上面的空隔中作答.①；②；注：若選擇多個(gè)條件分別解答，則按第一個(gè)解答計(jì)分.【答案】(1)；(2)選①和②答案都是.【分析】（1）結(jié)合向量坐標(biāo)乘法及三角恒等變換，將化簡成，再解方程求出的值即得解；（2）結(jié)合正弦定理、三角恒等變換及三角形角的范圍，可解出的值，即可求出的范圍，即可求出的取值范圍.【詳解】（1）解：因?yàn)椋?，所以，?dāng)時(shí)，，所以或.所以或.當(dāng)，時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.綜合得.（2）解：若選①，由正弦定理可得，即，即，由于，所以，解得，由于，得，所以，所以，得，即的取值范圍是.若選②，由正弦定理可得，即，由于，所以，由于，得，所以，所以，得，即的取值范圍是.21．已知橢圓的右焦點(diǎn)為F，過F作一條直線交C于R，S兩點(diǎn)，線段RS長度的最小值為3，C的離心率為．(1)求C的方程；(2)不過C的左頂點(diǎn)A的直線l與C相交于P，Q兩點(diǎn)，且直線AP與AQ的斜率之積恰好等于．試問直線l是否過定點(diǎn)？若過定點(diǎn)，求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不過定點(diǎn)，請(qǐng)說明理由．【答案】(1)(2)是，直線l恒過定點(diǎn)．【分析】（1）根據(jù)題意可得線段RS垂直于軸，然后列出方程即可求解（2）分直線斜率不存在和直線斜率存在，設(shè)出直線方程與橢圓進(jìn)行聯(lián)立，標(biāo)準(zhǔn)設(shè)而不求的步驟后，將韋達(dá)定理代入斜率積為的表達(dá)式中可得定點(diǎn)【詳解】（1）由過F作一條直線交C于R，S兩點(diǎn)，線段RS長度的最小值為3，可得此時(shí)線段RS垂直于軸，設(shè)橢圓的半焦距為，將代入可得，所以，所以根據(jù)題意可得，解得，所以C的方程為；（2）由（1）可知，當(dāng)直線l斜率存在時(shí)，設(shè)直線l方程為，聯(lián)立消去y，整理得，，所以，，因?yàn)椋?，所以，即，所以，即，所以或，均符合．?dāng)時(shí)，直線恒過定點(diǎn)，因?yàn)橹本€不過點(diǎn)A，所以舍去；當(dāng)時(shí)，直線恒過定點(diǎn)．當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，設(shè)直線，不妨設(shè)，則，則，且，解得或(舍去)；此時(shí)直線l過定點(diǎn)，綜上，直線l恒過定點(diǎn)．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用韋達(dá)定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下：（1）設(shè)直線方程，設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為；（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于（或）的一元二次方程，必要時(shí)計(jì)算；（3）列出韋達(dá)定理；（4）將所求問題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為、（或、）的形式；（5）代入韋達(dá)定理求解.22．已知函數(shù)，.(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在處的切線方程；(2)設(shè)，是的兩個(gè)不同零點(diǎn)，證明：.【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）當(dāng)時(shí)，求出、，代入直線的點(diǎn)斜式方程可得答案；（2）令，，設(shè)函數(shù)與相切于，可得，，，根據(jù)、的圖象可得時(shí)有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，有兩個(gè)零點(diǎn)，得的取值范圍為，求出，即證，不妨設(shè)，由，則，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷出，再由在上