2023屆遼寧省名校聯(lián)盟高三年級下冊學期3月份聯(lián)合考試數(shù)學試題【含答案】

2023屆遼寧省名校聯(lián)盟高三下學期3月份聯(lián)合考試數(shù)學試題一、單選題1．已知集合，，則（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意，化簡集合，然后由交集的運算即可得到結果.【詳解】由題意可得，集合，即集合中的元素是的倍數(shù)，集合，即集合中的元素是的倍數(shù)余，故既是的倍數(shù)，又是的倍數(shù)余，所以故選:B2．已知復數(shù)，（且），則對應的點在平面直角坐標系內的（

）A．軸上 B．軸上 C．一、二象限 D．三、四象限【答案】A【分析】化簡復數(shù)，根據(jù)復數(shù)的幾何意義可得對應點所在象限．【詳解】，，，又，則對應的點在平面直角坐標系內的軸上故選：A3．拋物線繞其頂點順時針旋轉90°之后，得到的圖象正好對應拋物線，則（

）A． B． C．1 D．【答案】A【分析】采用逆向思考：即將拋物線將其繞頂點逆時針方向旋轉，得到拋物線，也即是，進而即可求得的值.【詳解】拋物線即的開口向上，將其繞頂點逆時針方向旋轉，得到的拋物線開口向左，其方程為，所以，則，故選：.4．已知直線平面，下列說法正確的是（

）A．若直線，則平面 B．若直線，則平面C．若平面，則 D．若平面，則平面【答案】C【分析】根據(jù)直線與平面的位置關系判斷A，根據(jù)直線與平面平行的判定定理判斷B，根據(jù)面面平行的性質判斷C，根據(jù)面面的位置關系判斷D．【詳解】A：若直線平面，且直線，則或，或與相交，故A錯誤；B：若直線平面，且直線，則或，故B錯誤；C：若直線平面，且平面，則必有，故C正確；D：若直線平面，且平面，則或與相交，故D錯誤，故選：C．5．已知，，若，，成等差數(shù)列，則（

）A．0或1 B．1或 C．1或 D．0或【答案】D【分析】設，根據(jù)，，分別表示出，，，再根據(jù)它們成等差數(shù)列，列出方程求出，即可得出答案．【詳解】設，，，，，，又，，成等差數(shù)列，，即，化簡得，，解得，或，故選：D．6．武術是中國的四大國粹之一，某武校上午開設文化課，下午開設武術課，某年級武術課有太極拳、形意拳、長拳、兵器四門，計劃從周一到周五每天下午排兩門課，每周太極拳和形意拳上課三次，長拳和兵器上課兩次，同樣的課每天只上一次，則排課方式共有（

）A．19840種 B．16000種 C．31360種 D．9920種【答案】D【分析】先確定從5天中選3天排太極拳的排法情況，再分五天中有天既有太極拳又有形意拳，五天中有天既有太極拳又有形意拳，五天中有天既有太極拳又有形意拳，三種情況討論，從而可得出答案.【詳解】先從5天中選3天排太極拳，有種，然后再從所選的3天中選一節(jié)排太極拳有種，所以太極拳有種排法，若五天中有天既有太極拳又有形意拳，則哪一天重復有種，再從另外不重復的2天中每天選1天排形意拳，有種，再從剩下的4節(jié)課中選2節(jié)排長拳，有種，則另外2節(jié)排兵器，所以有種，若五天中有天既有太極拳又有形意拳，則哪兩天重復有種，再從另外不重復的2天中排形意拳，有種，再從剩下的4節(jié)課中抽2節(jié)課排長拳，有種，則另外2節(jié)排兵器，但排在同一天不合適，所以有種，所以共有種，若五天中有天既有太極拳又有形意拳，則剩下的4節(jié)課中選2節(jié)排長拳，有種，再去掉排同一天的種，所以有種，綜上所述：共有種.故選：D.7．如圖所示為某正弦型三角函數(shù)的部分圖象，則下列函數(shù)不可能是該三角函數(shù)的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)圖象知且為一個最小值，結合各選項解析式逐一判斷.【詳解】若某正弦型三角函數(shù)為，根據(jù)圖象知：且為一個最小值，A：，，符合；B：，，不符合；C：，，符合；D：，，符合；故選：B8．已知，，，則下列排序正確的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先直接計算得的值，構造函數(shù)，利用導數(shù)研究其單調性得到，再利用二項式定理求得的值，從而得解.【詳解】因為，，令，則，故在上單調遞減，所以，即，故，因為，所以，即.故選：A.【點睛】關鍵點睛：本題解決的關鍵是構造函數(shù)證得，再利用二項式定理求得，從而得解.二、多選題9．下列說法中正確的是（

）A．一組數(shù)據(jù)的眾數(shù)和中位數(shù)可能相同B．若事件發(fā)生的概率，事件發(fā)生的概率，則C．一組數(shù)據(jù)，，，，，若，則是這組數(shù)據(jù)的75%分位數(shù)D．若隨機變量服從正態(tài)分布，則【答案】AC【分析】對于A，舉特殊例子即可判斷；對于B，由獨立事件的概率公式即可判斷；對于C，利用分位數(shù)的定義即可判斷；對于D，利用正態(tài)分布曲線的對稱性即可判斷.【詳解】對于A，取一組數(shù)據(jù)為，易得其眾數(shù)和中位數(shù)都為，故A正確；對于B，只有當事件為相互獨立事件時，才有，故B錯誤；對于C，根據(jù)分位數(shù)的定義得，，則第個數(shù)為75%分位數(shù)，故C正確；對于D，當時，，，即，故D錯誤.故選：AC.10．下列能使式子最小值為1的是（

）A． B． C． D．【答案】AD【分析】由得出，結合不等式“1”的妙用，即可求出的最小值為1，判斷出A正確；由得，代入，結合基本不等式，即可判斷出B錯誤；假設，則，即可判斷出C錯誤；由，設，，，代入化簡，結合的范圍，即可得出當即時，取得最小值1，即可判斷D正確．【詳解】對于A：當，則，則，則，當且僅當，即時等號成立，故A正確；對于B：由得，，則，當且僅當時，即時，等號成立，故最小值為，故B錯誤；對于C：假設，則，故C錯誤；對于D：，，且，即，，由得，，設，，即，，，，即，則，，，當，即，時，取得最小值1，故D正確，故選：AD．11．在所在的平面上存在一點，，則下列說法錯誤的是（

）A．若，則點的軌跡不可能經(jīng)過的外心B．若，則點的軌跡不可能經(jīng)過的垂心C．若，則點的軌跡不可能經(jīng)過的重心D．若，，則點的軌跡一定過的外心【答案】ABD【分析】由，結合向量共線的推論判斷的軌跡，討論形狀判斷A、B正誤；根據(jù)重心的性質得判斷C；根據(jù)題設確定，，點的軌跡，討論形狀判斷D.【詳解】若，根據(jù)向量共線的推論知：共線，即在直線上，中，則的中點為三角形外心，故有可能為外心，A錯；中或，則或為三角形垂心，故有可能為垂心，B錯；若為的重心，必有，此時，C對；若，，結合，則點在一個以AB、AC為鄰邊的平行四邊形內（含邊界），為銳角三角形，其外心在內，則必過外心；為直角三角形，其外心為斜邊中點，則必過外心；為鈍角三角形且，其外心在外，即邊的另一側，如下圖示，點在平行四邊形內（含邊界），此時，當外心在內（含邊界），則必過外心；當外心在外（如下圖為的中垂線），則不過外心；所以，，，的軌跡不一定過的外心，D錯.故選：ABD12．已知函數(shù)（且），下列說法正確的是（

）A．為偶函數(shù)B．為非奇非偶函數(shù)C．為偶函數(shù)（為的導函數(shù)）D．若，則對任意成立【答案】ACD【分析】先證明函數(shù)為奇函數(shù)，再根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義即可判斷AB；求出函數(shù)的導函數(shù)，再根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義即可判斷C；易得，再根據(jù)，可得，即可判斷D.【詳解】因為，所以的定義域為，因為，所以，所以為奇函數(shù)，對于A，因為，所以為偶函數(shù)，故A正確；對于B，因為，所以為奇函數(shù)，故B錯誤；對于C，，因為，所以為偶函數(shù)，故C正確；對于D，因為，所以，因為，所以，又，，所以，即，所以，故D正確.故選：ACD.【點睛】關鍵點點睛，解決本題AB的關鍵在于證明為奇函數(shù)，解決D選項的關鍵是由，結合換底公式轉化.三、填空題13．的展開式中第二個有理項為______．【答案】【分析】求出展開式的通項，由題意可得的指數(shù)為整數(shù)，從而可得出答案.【詳解】的展開式的通項為，要使第項為有理數(shù)，則，則可取，所以的展開式中第二個有理項為.故答案為：.14．已知在數(shù)列中，，，則______．【答案】【分析】根據(jù)遞推關系得到、............、及、，......、，進而得，即可求值.【詳解】由，，，，，，，，......,所以，，即，同理得、......、；，即，同理得，......、；綜上，.故答案為：15．已知，，，則“”是“，，為某斜三角形的三個內角”的______．（橫線上可以填：“充要條件”“充分不必要條件”“必要不充分條件”“既不充分也不必要條件”）【答案】必要不充分條件【分析】根據(jù)充分、必要性的定義，結合三角恒等變換及斜三角形內角的性質判斷條件間是否有推出關系即可.【詳解】由，即，所以，則，即，又，，則，而，此時或，且，充分性不成立；由，，為某斜三角形的三個內角，即且均不為直角，則，所以，則，整理得，必要性成立；綜上，“”是“，，為某斜三角形的三個內角”的必要不充分條件.故答案為：必要不充分條件16．如圖所示圓錐，為母線的中點，點為底面圓心，為底面圓的直徑，且，，的長度成等比數(shù)列，一個平面過，，與圓錐面相交的曲線為橢圓，若該橢圓的短軸與圓錐底面平行，則該橢圓的離心率為______．【答案】##【分析】令，由等比數(shù)列性質可得，進而確定圓錐軸截面為等腰直角三角形，并求出橢圓長軸長的長度，根據(jù)圓錐的結構特征找到橢圓短軸長，最后應用橢圓離心率定義求離心率.【詳解】令，則，又，，的長度成等比數(shù)列，所以，即，由題意，顯然，在直角△中，則，所以△為等腰直角三角形，故圓錐軸截面為等腰直角三角形且，所以，即橢圓長軸長，則，軸截面如下圖示：該橢圓的短軸與圓錐底面平行，過作交于，交于，則，為中點，所以為中點，即為橢圓中心，過作交于，則橢圓短軸，綜上，有△△均為等腰直角三角形，故，則，同理△△，故，則，，所以，即，綜上，橢圓離心率為.故答案為：【點睛】關鍵點點睛：注意短軸長為過長軸長中點平行于軸截面底邊并與母線相交所成的線段長度.四、解答題17．已知在中，，，為內角，，所對的邊，，且．(1)求與；(2)若，過作邊的垂線，并延長至點，若，，，四點共圓，求的長．【答案】(1)，(2)【分析】（1）由及正弦定理邊角關系可得，結合差角正弦公式求角的大小即可；（2）由四點共圓及正弦定理知，結合圓的性質、差角正弦公式求邊長即可.【詳解】（1）由題設，而，則，所以，即，故，而，則，即，.（2）設垂線的垂足為，而，則，又，，，四點共圓，則，且，，由，所以.18．已知數(shù)列，，點分布在一條方向向量為的直線上，且，．請在①數(shù)列的前項和為；②數(shù)列的前項和為；③數(shù)列的前項和為三個條件中選擇一個，解答下列問題．(1)求數(shù)列，的通項公式；(2)求數(shù)列的前項和．【答案】(1)，(2)【分析】（1）根據(jù)直線方向向量及所過的點得，結合所選的條件及關系求通項公式即可；（2）由題意，應用分組求和及等比數(shù)列前n項和公式求.【詳解】（1）由題設直線斜率為2，且過，則，故，選①：前n項和，當，，當，滿足上式，所以；選②：的前項和，當，，當，滿足上式，所以；選③：的前項和，當，，當，滿足上式，所以；（2）由（1）知：，所以，19．如圖所示的幾何體為一個正四棱柱被兩個平面與所截后剩余部分，且滿足，，．(1)當多長時，，證明你的結論；(2)當時，求平面與平面所成角的余弦值．【答案】(1)時，，證明見解析(2)【分析】（1）將正四棱柱補全為，取為中點，連接，由平行四邊形性質有，結合已知和△△即證明；（2）構建空間直角坐標，求平面與平面的法向量，應用空間向量求夾角的余弦值.【詳解】（1）當時，，證明如下：將正四棱柱補全為，則均為正方形，又，所以底面邊長為2，又且，所以分別為中點，取為中點，連接，則且，即為平行四邊形，因為，又，，所以，所以△△，所以且，所以，所以，又，故.（2）由可知，（1）中補全正四棱柱為正方體，構建空間直角坐標，如下圖，則，所以，設是平面的一個法向量，則，令，則；設是平面的一個法向量，則，令，則；所以，故所求角的余弦值為.20．隨著科技的進步和人民生活水平的提高，電腦已經(jīng)走進了千家萬戶，成為人們生活、學習、娛樂的常見物品，便攜式電腦（俗稱“筆記本”）也非常流行．某公司為了研究“臺式機”與“筆記本”的受歡迎程度是否與性別有關，在街頭隨機抽取了50人做調查研究，調查數(shù)據(jù)如下表所示．男性女性合計喜歡“臺式機”20525喜歡“筆記本”101525合計302050(1)是否有99%的把握認為喜歡哪種機型與性別有關？(2)該公司針對男性客戶做了調查，某季度男性客戶中有青年324人，中年216人，老年108人，按分層抽樣選出12人，又隨機抽出3人的調查結果進行答謝，這3人中的青年人數(shù)設為隨機變量，請求出的分布列與數(shù)學期望．附：，其中．0.100.050.0250.012.7013.8415.0246.635【答案】(1)有的把握認為喜歡哪種機型與性別有關(2)分布列見解析，【分析】（1）求出，再對照臨界值表即可得出結論；（2）先根據(jù)分層抽樣求出各層人數(shù)，再寫出隨機變量的所有可能取值，求出對應概率，即可得出分布列，再根據(jù)期望公式求期望即可.【詳解】（1），所以有的把握認為喜歡哪種機型與性別有關；（2）由題意，，所以人中有青年人人，中年人人，老年人人，則的所有可能取值為，，，，，則分布列為：.21．已知雙曲線，焦距為，一條漸近線斜率為．(1)求的方程；(2)已知為坐標原點，為上的一個動點，過作，垂直于漸近線，垂足分別為，，設四邊形的面積為．過作，分別平行于漸近線，且與漸近線交于，兩點，設四邊形面積為，求的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）直接根據(jù)，漸近線為，即可求出雙曲線的方程；（2）根據(jù)題意畫出圖像，得出，設點的坐標為，表示出，，即可表示出，同理表示出，再根據(jù)，即可求出的取值范圍．【詳解】（1）∵一條漸近線斜率為，焦距為，∴，，∴，即，解得，，，∴雙曲線的方程為．（2）不妨設點在雙曲線右支上，按要求作出圖像，如圖所示，易得，，設點的坐標為，則，由題可知，直線的方程為，直線的方程為，設直線的傾斜