2022-2023學年福建省莆田市名校高二數(shù)學第二學期期末經(jīng)典模擬試題含解析

2022-2023高二下數(shù)學模擬試卷注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知曲線與直線圍成的圖形的面積為，則（）A．1 B． C． D．2．使不等式成立的一個必要不充分條件是（）A． B． C． D．3．在平面直角坐標系中，角的終邊與單位圓交于點，則（）A． B． C． D．4．設集合，，則()A． B． C． D．5．已知函數(shù)，對于任意，且，均存在唯一實數(shù)，使得，且，若關于的方程有4個不相等的實數(shù)根，則的取值范圍是（）A． B． C． D．6．設是曲線上的一個動點，記此曲線在點點處的切線的傾斜角為，則可能是（）A． B． C． D．7．函數(shù)f(x)=sin(ωx+πA．關于直線x=π12對稱 B．關于直線C．關于點π12，0對稱 D．8．若點是曲線上任意一點，則點到直線的距離的最小值為（）A． B． C． D．9．拋擲甲、乙兩顆骰子，若事件A：“甲骰子的點數(shù)大于4”；事件B：“甲、乙兩骰子的點數(shù)之和等于7”，則的值等于（）A． B． C． D．10．由0，1，2，3，4，5這六個數(shù)字可以組成沒有重復數(shù)字且能被5整除的5位數(shù)的個數(shù)是（）A．144 B．192 C．216 D．24011．安排4名志愿者完成5項工作，每人至少完成1項，每項工作由1人完成，則不同的安排方式共有A．120種 B．180種 C．240種 D．480種12．斐波那契螺旋線，也稱“黃金蜾旋線”，是根據(jù)斐波那契數(shù)列（1，1，2，3，5，8…）畫出來的螺旋曲線，由中世紀意大利數(shù)學家列奧納多?斐波那契最先提出．如圖，矩形ABCD是以斐波那契數(shù)為邊長的正方形拼接而成的，在每個正方形中作一個圓心角為90°的圓弧，這些圓弧所連成的弧線就是斐波那契螺旋線的一部分．在矩形ABCD內(nèi)任取一點，該點取自陰影部分的概率為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若實數(shù)x,y滿足x-y+1≥0x+y≥0x≤0，則z=14．年齡在60歲（含60歲）以上的人稱為老齡人，某小區(qū)的老齡人有350人，他們的健康狀況如下表：其中健康指數(shù)的含義是：2代表“健康”，1代表“基本健康”，0代表“不健康，但生活能夠自理”，代表“生活不能自理”，按健康指數(shù)大于0和不大于0進行分層抽樣，從該小區(qū)的老齡人中抽取5位，并隨機地訪問其中的3位，則被訪問地3位老齡人中恰有1位老齡人的健康指數(shù)不大于0的概率為___15．已知復數(shù)滿足方程，則的最小值為____________．16．先閱讀下面的文字：“求的值時，采用了如下的方式：令，則有，兩邊平方，可解得（負值舍去）”.那么，可用類比的方法，求出的值是__________．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)，.（1）若，求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，求實數(shù)的取值范圍.18．（12分）知數(shù)列的前項和.（1）求的通項公式；（2）設，求數(shù)列的前項和.19．（12分）已知.（1）當時，求的展開式中含項的系數(shù)；（2）證明：的展開式中含項的系數(shù)為.20．（12分）已知拋物線：，點為直線上任一點，過點作拋物線的兩條切線，切點分別為，，（1）證明，，三點的縱坐標成等差數(shù)列；（2）已知當點坐標為時，，求此時拋物線的方程；（3）是否存在點，使得點關于直線的對稱點在拋物線上，其中點滿足，若存在，求點的坐標；若不存在，說明理由.21．（12分）某理財公司有兩種理財產(chǎn)品A和B，這兩種理財產(chǎn)品一年后盈虧的情況如下（每種理財產(chǎn)品的不同投資結果之間相互獨立）：產(chǎn)品A投資結果獲利40%不賠不賺虧損20%概率產(chǎn)品B投資結果獲利20%不賠不賺虧損10%概率pq注：p＞0，q＞0（1）已知甲、乙兩人分別選擇了產(chǎn)品A和產(chǎn)品B投資，如果一年后他們中至少有一人獲利的概率大于，求實數(shù)p的取值范圍；（2）若丙要將家中閑置的10萬元人民幣進行投資，以一年后投資收益的期望值為決策依據(jù)，則選用哪種產(chǎn)品投資較理想？22．（10分）如圖，四棱錐中，底面為矩形，面，為的中點．（1）證明：平面;（2）設，，三棱錐的體積，求A到平面PBC的距離．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】分析：首先求得交點坐標，然后結合微積分基本定理整理計算即可求得最終結果.詳解：聯(lián)立方程：可得：，，即交點坐標為，，當時，由定積分的幾何意義可知圍成的圖形的面積為：，整理可得：，則，同理，當時計算可得：.本題選擇D選項.點睛：(1)一定要注意重視定積分性質(zhì)在求值中的應用；(2)區(qū)別定積分與曲邊梯形面積間的關系，定積分可正、可負、也可以為0，是曲邊梯形面積的代數(shù)和，但曲邊梯形面積非負.2、B【解析】解不等式，可得，即，故“”是“”的一個必要不充分條件，故選B.3、D【解析】

首先根據(jù)三角函數(shù)的定義求出，再求即可.【詳解】，.故選：D【點睛】本題主要考查正切二倍角的計算，同時考查三角函數(shù)的定義，屬于簡單題.4、D【解析】函數(shù)有意義，則，函數(shù)的值域是，即.本題選擇D選項.5、A【解析】

解：由題意可知f（x）在[0，+∞）上單調(diào)遞增，值域為[m，+∞），∵對于任意s∈R，且s≠0，均存在唯一實數(shù)t，使得f（s）＝f（t），且s≠t，∴f（x）在（﹣∞，0）上是減函數(shù)，值域為（m，+∞），∴a＜0，且﹣b+1＝m，即b＝1﹣m．∵|f（x）|＝f（）有4個不相等的實數(shù)根，∴0＜f（）＜﹣m，又m＜﹣1，∴0m，即0＜（1）m＜﹣m，∴﹣4＜a＜﹣2，∴則a的取值范圍是（﹣4，﹣2），故選A．點睛：本題中涉及根據(jù)函數(shù)零點求參數(shù)取值，是高考經(jīng)常涉及的重點問題，（1）利用零點存在的判定定理構建不等式求解；（2）分離參數(shù)后轉(zhuǎn)化為函數(shù)的值域（最值）問題求解，如果涉及由幾個零點時，還需考慮函數(shù)的圖象與參數(shù)的交點個數(shù)；（3）轉(zhuǎn)化為兩熟悉的函數(shù)圖象的上、下關系問題，從而構建不等式求解.6、B【解析】分析：求出原函數(shù)的導函數(shù)，利用基本不等式求出導函數(shù)的值域，結合直線的斜率是直線傾斜角的正切值求解．詳解：由，得

當且僅當時上式“=”成立．，即曲線在點點處的切線的斜率小于等于-1．

則，

又，故選：B．點睛：本題考查利用導數(shù)研究過曲線上某點處的切線方程，過曲線上某點處的切線的斜率，就是函數(shù)在該點處的導數(shù)值，是中檔題．7、B【解析】

求出函數(shù)的解析式，然后判斷對稱中心或?qū)ΨQ軸即可．【詳解】函數(shù)f（x）＝2sin（ωx+π3）（ω＞0）的最小正周期為π2，可得ω函數(shù)f（x）＝2sin（4x+π由4x+π3=kπ+π2，可得x=kπ當k＝0時，函數(shù)的對稱軸為：x=π故選：B．【點睛】本題考查三角函數(shù)的性質(zhì)的應用，周期的求法，考查計算能力，是基礎題8、C【解析】點是曲線上任意一點,所以當曲線在點P的切線與直線平行時，點P到直線的距離的最小，直線的斜率為1，由，解得或（舍）.所以曲線與直線的切點為.點到直線的距離最小值是.選C.9、C【解析】本小題屬于條件概率所以事件B包含兩類：甲5乙2;甲6乙1;所以所求事件的概率為10、C【解析】

由題意可得，滿足條件的五位數(shù)，個位數(shù)字只能是0或5，分別求出個位數(shù)字是0或5時，所包含的情況，即可得到結果.【詳解】因為由0，1，2，3，4，5組成的沒有重復數(shù)字且能被5整除的5位數(shù)，個位數(shù)字只能是0或5，萬位不能是0；當個位數(shù)字是0時，共有種可能；當個位數(shù)字是5時，共有種情況；因此，由0，1，2，3，4，5這六個數(shù)字可以組成沒有重復數(shù)字且能被5整除的5位數(shù)的個數(shù)是個.故選C【點睛】本題主要考查排列的問題，根據(jù)特殊問題優(yōu)先考慮的原則，即可求解，屬于?？碱}型.11、C【解析】

根據(jù)題意，分兩步進行分析：先將5項工作分成4組，再將分好的4組進行全排，對應4名志愿者，分別求出每一步的情況數(shù)，由分步計數(shù)原理計算即可得到答案?！驹斀狻扛鶕?jù)題意，分2步進行分析：（1）先將5項工作分成4組，有種分組方法；（2）將分好的4組進行全排，對應4名志愿者，有種情況；分步計數(shù)原理可得：種不同的安排方式。故答案選C【點睛】本題考查排列、組合的綜合應用，注意題目中“每人至少完成1項，每項工作由1人完成”的要求，屬于基礎題。12、B【解析】

根據(jù)幾何概型的概率公式，分別求出陰影部分面積和矩形ABCD的面積，即可求得。【詳解】由已知可得：矩形的面積為，又陰影部分的面積為，即點取自陰影部分的概率為，故選?！军c睛】本題主要考查面積型的幾何概型的概率求法。二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、1【解析】試題分析：不等式對應的可行域為直線x-y+1=0,x+y=0,x=0圍成的三角形及其內(nèi)部，頂點為(0,0),(0,1),(-12,12考點：線性規(guī)劃問題14、【解析】

先確定抽取5位中健康指數(shù)大于0和不大于0的人數(shù)，再根據(jù)古典概型概率求解.【詳解】因為350人中健康指數(shù)大于0和不大于0各有280，70人，所以根據(jù)分層抽樣抽取5位中健康指數(shù)大于0和不大于0的人數(shù)分別為4，1；因此被訪問地3位老齡人中恰有1位老齡人的健康指數(shù)不大于0的概率為故答案為：【點睛】本題考查分層抽樣以及古典概型概率，考查基本分析求解能力，屬基礎題.15、【解析】

設復數(shù)根據(jù)復數(shù)的幾何意義可知的軌跡為圓；再根據(jù)點和圓的位置關系，及的幾何意義即可求得點到圓上距離的最小值，即為的最小值.【詳解】復數(shù)滿足方程，設（），則，在復平面內(nèi)軌跡是以為圓心，以2為半徑的圓；，意義為圓上的點到的距離，由點與圓的幾何性質(zhì)可知，的最小值為，故答案為：.【點睛】本題考查了復數(shù)幾何意義的綜合應用，點和圓的位置關系及距離最值的求法，屬于中檔題.16、【解析】分析：利用類比的方法，設，則有，解方程即可得結果，注意將負數(shù)舍去.詳解：設，則有，所以有，解得，因為，所以，故答案是.點睛：該題考查的是有關類比推理的問題，在解題的過程中，需要對式子進行分析，得到對應的關系式，求得相應的結果.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）的單調(diào)遞增區(qū)間為和；（2）.【解析】

（1）由求得，求，由可解得函數(shù)的增區(qū)間；（2）在上恒成立，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值即得．【詳解】（1）若，則，，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為和；（2）若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則，則，因，則.【點睛】本題考查用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．屬于基礎題．18、（1）；（2）?！窘馕觥?/p>

（1）利用當時，，再驗證即可.（2）由（1）知.利用裂項相消法可求數(shù)列的前項和.【詳解】（1）.當時，.又符合時的形式，所以的通項公式為.（2）由（1）知.數(shù)列的前項和為.【點睛】本題考查數(shù)列的通項的求法，利用裂項相消法求和，屬于中檔題．19、（1）84；（2）證明見解析【解析】

（1）當時，根據(jù)二項展開式分別求出每個二項式中的項的系數(shù)相加即可；（2）根據(jù)二項展開式，含項的系數(shù)為，又，再結合即可得到結論．【詳解】（1）當時，，的展開式中含項的系數(shù)為．（2），，故的展開式中含項的系數(shù)為因為，所以項的系數(shù)為：.【點睛】本題考查二項式定理、二項展開式中項的系數(shù)的求法、組合數(shù)的計算，考查函數(shù)與方程思想，考查邏輯推理能力、運算求解能力．20、(1)證明見解析；(2)；(3)存在一點滿足題意.【解析】

(1)設,對求導,則可求出在,處的切線方程,再聯(lián)立切線方程分析即可.

(2)根據(jù)(1)中的切線方程,代入則可得到直線的方程,再聯(lián)立拋物線求弦長列式求解即可.(3)分情況,當?shù)目v坐標與兩種情況,求出點的坐標表達式,再利用與垂直進行求解分析是否存在即可.【詳解】(1)設,對求導有,故在處的切線方程為,即,又,故同理在處的切線方程為,聯(lián)立切線方程有,化簡得,即的縱坐標為,因為，故,,三點的縱坐標成等差數(shù)列.

(2)同(1)有在處的切線方程為,因為,所以,即,又切線過,則,同理,故均滿足直線方程,即故直線,聯(lián)立,則,即,解得,故拋物線：.(3)設,由題意得,則中點,又直線斜率,故設.又的中點在直線上,且中點也在直線上,代入得.又在拋物線上,則.所以或.即點或(1)當時,則,此時點滿足(2)當時,對,此時,則.又.,所以,不成立,對,因為,此時直線平行于軸,又因為,故直線與直線不垂直,與題設矛盾,故時,不存在符合題意的點.綜上所述,僅存在一點滿足題意.【點睛】本題考查了拋物線的雙切線問題,需要求出在拋物線上的點的切線方程,再根據(jù)拋物線雙切線的性質(zhì)進行計算,同時要靈活運用拋物線的方程,屬于難題.21、（1）；（2）當時，E(X)＝E(Y)，選擇產(chǎn)品A和產(chǎn)品B一年后投資收益的數(shù)學期望相同，可以在產(chǎn)品A和產(chǎn)品B中任選一個；當時，E(X)＞E(Y)，選擇產(chǎn)品A一年后投資收益的數(shù)學期望較大，應選產(chǎn)品A；當時，E(X)＜E(Y)，選擇產(chǎn)品B一年后投資收益的數(shù)學期望較大，應選產(chǎn)品B．【解析】

（1）先表示出兩人全都不獲利的概率，再求至少有一人獲利的概率，列出不等式求解；（2）分別求出兩種產(chǎn)品的期望值，對期望中的參數(shù)進行分類討論，得出三種情況.【詳解】（1）記事件A為“甲選擇產(chǎn)品A且盈利”，事件B為“乙選擇產(chǎn)品B且盈利”，事件C為“一年后甲，乙兩人中至少有一人投資獲利”，則，．所以，解得．又因為，q＞0，所以．所