2022-2023學(xué)年吉林省吉林市五十五中數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末預(yù)測試題含解析

2022-2023高二下數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項1．考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認(rèn)真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．設(shè)x0是函數(shù)f（x）＝lnx+x﹣4的零點，則x0所在的區(qū)間為（）A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，4）2．二項式(ax-36)3(a>0)的展開式的第二項的系數(shù)為A．3B．73C．3或73D．33．曲線的參數(shù)方程為，則曲線是（）A．線段 B．雙曲線的一支 C．圓弧 D．射線4．設(shè)函數(shù)，若，則正數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．5．在長方體中，為棱的中點，則異面直線與所成角的余弦值為（）A． B． C． D．6．三個數(shù)，，之間的大小關(guān)系是()A． B．C． D．7．由曲線，，，圍成圖形繞y軸旋轉(zhuǎn)一周所得為旋轉(zhuǎn)體的體積為，滿足，，的點組成的圖形繞y軸旋一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積為，則（）A． B． C． D．8．離散型隨機(jī)變量X的分布列為，，2，3，則（）A．14a B．6a C． D．69．在中，，若，則A． B． C． D．10．用反證法證明命題：“三角形的內(nèi)角中至少有一個不大于60°”時，反設(shè)正確的是()A．假設(shè)三內(nèi)角都不大于60° B．假設(shè)三內(nèi)角都大于60°C．假設(shè)三內(nèi)角至多有一個大于60° D．假設(shè)三內(nèi)角至多有兩個大于60°11．下列三句話按“三段論”模式排列順序正確的是（）①是周期函數(shù)；②三角函數(shù)是周期函數(shù)；③是三角函數(shù)A．②③① B．②①③ C．①②③ D．③②①12．已知函數(shù)在上單調(diào)，則實數(shù)的取值范圍為（）A． B．C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．拋物線的準(zhǔn)線方程為________．14．用1，2，3，4，5這五個數(shù)字，可以組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位奇數(shù)的個數(shù)為__________（用數(shù)字作答）15．已知復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，則實數(shù)_________.16．四個不同的小球放入編號為1，2，3，4的四個盒子中，則恰有兩個空盒的不同放法共有__________種.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）設(shè)函數(shù)（1）若函數(shù)在上遞增，在上遞減，求實數(shù)的值.（2））討論在上的單調(diào)性；（3）若方程有兩個不等實數(shù)根，求實數(shù)的取值范圍，并證明.18．（12分）如圖，直三棱柱中，為等腰直角三角形，，且.分別為的中點.（1）求證：；（2）求二面角的余弦值.19．（12分）的內(nèi)角，，所對的邊分別為，，．向量與平行．（Ⅰ）求；（Ⅱ）若，求的面積．20．（12分）《九章算術(shù)》中，將底面為長方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽馬，將四個面都為直角三角形的四面體稱之為鱉臑．首屆中國國際進(jìn)口博覽會的某展館棚頂一角的鋼結(jié)構(gòu)可以抽象為空間圖形陽馬．如圖所示，在陽馬中，底面．（1）若，斜梁與底面所成角為，求立柱的長（精確到）；（2）證明：四面體為鱉臑；（3）若，，，為線段上一個動點，求面積的最小值．21．（12分）已知數(shù)列滿足（）.（1）計算，，，并寫出與的關(guān)系；（2）證明數(shù)列是等比數(shù)列，并求出數(shù)列的通項公式.22．（10分）已知橢圓C:經(jīng)過點,是橢圓的兩個焦點，，是橢圓上的一個動點.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若點在第一象限，且,求點的橫坐標(biāo)的取值范圍；

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】

由函數(shù)的解析式可得，再根據(jù)函數(shù)的零點的判定定理，求得函數(shù)的零點所在的區(qū)間，得到答案．【詳解】因為是函數(shù)的零點，由，所以函數(shù)的零點所在的區(qū)間為，故選C．【點睛】本題主要考查了函數(shù)的零點的判定定理的應(yīng)用，其中解答中熟記零點的存在定理，以及對數(shù)的運算性質(zhì)是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎(chǔ)題．2、A【解析】試題分析：∵展開式的第二項的系數(shù)為-32，∴C31a2(-當(dāng)a=1時，-2a考點：二項式定理、積分的運算.3、A【解析】由代入消去參數(shù)t得又所以表示線段。故選A4、C【解析】分析：先求出最大值，再求出的最大值，從而化恒成立問題為最值問題.詳解：令，，令，解得，在、單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，又，又，當(dāng)時，令，解得，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.；當(dāng)時，無最大值，即不符合；故有，解得，故.故選：C.點睛：本題考查了函數(shù)的性質(zhì)的判斷與應(yīng)用，同時考查了恒成立問題與最值問題的應(yīng)用.5、D【解析】

取CC1的中點F，連結(jié)DF，A1F，EF，推導(dǎo)出四邊形BCEF是平行四邊形，從而異面直線AE與A1D所成角即為相交直線DF與A1D所成角，由此能求出異面直線AE與A1D所成角的余弦值．【詳解】取的中點.連接.因為為棱的中點,所以,所以四邊形為平行四邊形.所以.故異面直線與所成的角即為相交直線與所成的角.因為,所以.所以.即為直角三角形,從而.故選D【點睛】本題考查異面直線所成角的余弦值的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是中檔題．6、A【解析】

利用指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求解【詳解】,故故選：A【點睛】本題考查三個數(shù)的大小的比較，是基礎(chǔ)題，解題時要認(rèn)真審題，注意指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性的合理運用．7、C【解析】

由題意可得旋轉(zhuǎn)體夾在兩相距為8的平行平面之間，用任意一個與軸垂直的平面截這兩個旋轉(zhuǎn)體，設(shè)截面與原點距離為，求出所得截面的面積相等，利用祖暅原理知，兩個幾何體體積相等．【詳解】解：如圖，兩圖形繞軸旋轉(zhuǎn)所得的旋轉(zhuǎn)體夾在兩相距為8的平行平面之間，用任意一個與軸垂直的平面截這兩個旋轉(zhuǎn)體，設(shè)截面與原點距離為，所得截面面積，，由祖暅原理知，兩個幾何體體積相等，故選：．【點睛】本題主要考查祖暅原理的應(yīng)用，求旋轉(zhuǎn)體的體積的方法，體現(xiàn)了等價轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，屬于基礎(chǔ)題．8、C【解析】

由離散型隨機(jī)變量X的分布列得a+2a+3a＝1，從而，由此能求出E（X）．【詳解】解：∵離散型隨機(jī)變量X的分布列為，，∴，解得，∴．故選：C．【點睛】本題考查離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列、數(shù)學(xué)期望的等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．9、A【解析】

根據(jù)平面向量的線性運算法則，用、表示出即可.【詳解】即：本題正確選項：【點睛】本題考查平面向量的加法、減法和數(shù)乘運算，屬于基礎(chǔ)題.10、B【解析】

“至少有一個”的否定變換為“一個都沒有”，即可求出結(jié)論.【詳解】“三角形的內(nèi)角中至少有一個不大于60°”時，反設(shè)是假設(shè)三內(nèi)角都大于.故選：B.【點睛】本題考查反證法的概念，注意邏輯用語的否定，屬于基礎(chǔ)題.11、A【解析】

根據(jù)“三段論”的排列模式：“大前提”“小前提”“結(jié)論”，分析即可得到正確的順序.【詳解】根據(jù)“三段論”的排列模式：“大前提”“小前提”“結(jié)論”，可知：①是周期函數(shù)是“結(jié)論”；②三角函數(shù)是周期函數(shù)是“大前提”；③是三角函數(shù)是“小前提”；故“三段論”模式排列順序為②③①.故選：A【點睛】本題考查了演繹推理的模式，需理解演繹推理的概念，屬于基礎(chǔ)題.12、D【解析】

求得導(dǎo)數(shù)，根據(jù)在上單調(diào)，得出或在上恒成立，分離參數(shù)構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求得新函數(shù)的單調(diào)性與最值，即可求解?！驹斀狻坑深}意，函數(shù)，則，因為，在上單調(diào)，所以①當(dāng)在上恒成立時，在上單調(diào)遞增，即在上恒成立，則在上恒成立，令，，則在為增函數(shù)，∴．②當(dāng)在上恒成立時，在上單調(diào)遞減，即在上恒成立，則在上恒成立，同①可得，綜上，可得或．故選：D．【點睛】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性、最值問題，用到了分離參數(shù)法求參數(shù)的范圍，恒成立問題的處理及轉(zhuǎn)化與化歸思想是本題的靈魂，著重考查了推理與運算能力，屬于偏難題．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

先將拋物線化為標(biāo)準(zhǔn)方程，進(jìn)而可得出準(zhǔn)線方程.【詳解】因為拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：，因此其準(zhǔn)線方程為：.故答案為：【點睛】本題主要考查拋物線的準(zhǔn)線，熟記拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程即可，屬于基礎(chǔ)題型.14、【解析】

通過先分析個位數(shù)字的可能，再排列十位和千位即得答案.【詳解】根據(jù)題意，個位數(shù)字是1,3,5共有3種可能，由于還剩下4個數(shù)字，排列兩個位置故可以組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位奇數(shù)的個數(shù)為,故答案為36.【點睛】本題主要考查排列組合相關(guān)知識，難度不大.15、【解析】

將化簡為的形式，根據(jù)復(fù)數(shù)是純虛數(shù)求得的值.【詳解】因為為純虛數(shù)，所以.【點睛】本小題主要考查復(fù)數(shù)乘法運算，考查純虛數(shù)的概念，屬于基礎(chǔ)題.16、84【解析】分析：先選兩個空盒子，再把4個小球分為，兩組，分到其余兩個盒子里，即可得到答案.詳解：先選兩個空盒子，再把4個小球分為，兩組，故有.故答案為84.點睛：本題考查的是排列、組合的實際應(yīng)用，考查了計數(shù)原理，注意這種有條件的排列要分兩步走，先選元素再排列.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）見解析（3），見解析【解析】

（1）根據(jù)單調(diào)區(qū)間判斷出是極值點，由此根據(jù)極值點對應(yīng)的導(dǎo)數(shù)值為求解出的值，并注意驗證是否滿足；（2）先求解出，然后結(jié)合所給區(qū)間對進(jìn)行分類討論，分別求解出的單調(diào)性；（3）構(gòu)造函數(shù)，分析的取值情況，由此求解出的取值范圍；將證明通過條件轉(zhuǎn)化為證明，由此構(gòu)造新函數(shù)進(jìn)行分析證明.【詳解】（1）由于函數(shù)函數(shù)在上遞增，在上遞減，由單調(diào)性知是函數(shù)的極大值點，無極小值點，所以，∵，故，此時滿足是極大值點，所以；（2）∵，∴，①當(dāng)時，在上單調(diào)遞增.②當(dāng)，即或時，，∴在上單調(diào)遞減.③當(dāng)且時，由得.令得；令得.∴在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.綜上，當(dāng)時，在上遞增；當(dāng)或時，在上遞減；當(dāng)且時，在上遞增，在上遞減.（3）令，當(dāng)時，，單調(diào)遞減；當(dāng)時，，單調(diào)遞增；故在處取得最小值為又當(dāng)，由圖象知：不妨設(shè)，則有，令在上單調(diào)遞增，故即，【點睛】本題考查函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的綜合運用，涉及到根據(jù)單調(diào)性求解參數(shù)、分類討論法分析函數(shù)的單調(diào)性、雙變量構(gòu)造函數(shù)問題，難度較難.（1）已知是的極值點，利用求解參數(shù)值后，要注意將參數(shù)值帶回驗證是否滿足；（2）導(dǎo)數(shù)中的雙變量證明問題，一般的求解思路是：先通過轉(zhuǎn)化統(tǒng)一變量，然后構(gòu)造函數(shù)分析單調(diào)性和取值范圍達(dá)到證明的目的.18、（1）證明過程詳見試題解析；（2）二面角的余弦值為.【解析】試題分析：（1）由已知條件可以為坐標(biāo)原點建立空間坐標(biāo)系，用坐標(biāo)表示出，由向量的數(shù)量積運算得，根據(jù)線面垂直的判定定理得平面；（2）先分別求出平面和平面的法向量，，再根據(jù)公式求出二面角的余弦即可.試題解析：（1）如圖建立空間直角坐標(biāo)系，令，則A(0,0,0),E(0,4,2),F(2,2,0),B(4,0,0),B1(4,0,4).，，平面.平面的法向量為，設(shè)平面的法向量為令則,∴二面角的大小的余弦為.考點：1、線面垂直的判定定理；2、二面角．19、（Ⅰ）；（Ⅱ）．【解析】

試題分析：（1）根據(jù)平面向量，列出方程，在利用正弦定理求出的值，即可求解角的大小；（2）由余弦定理，結(jié)合基本不等式求出的最大值，即得的面積的最大值.試題解析：（1）因為向量與平行，所以，由正弦定理得，又，從而tanA＝，由于0<A<π，所以A＝.（2）由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA，而a＝，b＝2，A＝，得7＝4＋c2－2c，即c2－2c－3＝0，因為c>0，所以c＝3.故△ABC的面積為bcsinA＝.考點：平面向量的共線應(yīng)用；正弦定理與余弦定理.20、（1）；（2）詳見解析；（3）.【解析】

（1）推導(dǎo)出側(cè)棱在平面上的射影是，從而是側(cè)棱與平面所成角，，從而求得立柱的長.（2）四邊形是長方形，從而是直角三角形，由此得出，從而三角形是直角三角形，由平面，得是直角三角形，由此能證明四面體為鱉臑.（3）利用轉(zhuǎn)化法求出異面直線與的距離，即可求得三角形面積的最小值.【詳解】（1）因為側(cè)棱平面，所以側(cè)棱在底面上的射影是，所以是側(cè)棱與平面所成角，所以，在中，，所以，即，，所以.（2）證明：由題意知四邊形是長方形，所以三角形是直角三角形.由于平面，所以，所以三角形和三角形是直角三角形.因為，所以平面，所以，所以三角形是直角三角形.所以四面體為鱉臑.（3）與是兩異面直線，，所以平面，則兩異面直線與的距離等于到平面的距離，也即到平面的距離，等于到直線的距離.因為，所以，則到的距離為.所以線段上的動點到的最小距離為.則三角形面積的最小值為.【點睛】本小題主要考查空間中直線與直線，直線與平面位置關(guān)系，考查空間想象能力和邏輯推理能力，屬于中檔題.21、（1），，；；（2）證明見解析，【解析】

（1）代入，和，計算得到，，，通過，得到與的關(guān)系；（2）根據(jù)（1）中所得與的關(guān)系，得到，并求出的值，從而得到是等比數(shù)列，寫出其通項，再得到的通項.【詳解】（1）由已知可得，時，，即，時，，即，時，，即.由（），得，兩式相減，得，即.（2）證明：由（1）得，且，∴，∴數(shù)列是等