高中數(shù)學(xué)人教版選修2-1教學(xué)設(shè)計高考真題

nCD＝0，第三章

空間向量與立體幾何本章歸納整合高考真題．(2012·)如圖，在四棱錐－ABCD，⊥面⊥，AB⊥，∠BAC＝，＝AD2，＝(1)證明⊥；(2)求二面角A－PC－的弦值；(3)設(shè)為棱上的點，滿足異面直線與所成的角為30°求AE的長．解

如圖，以點A為點建立空間直角坐標(biāo)系，依題意得A，，C，B－，，0，P．→→(1)證明：易得P＝，－，＝(2,0,0)，→→于是PCAD＝，所以⊥AD→→(2)PC＝，2)，＝，－．設(shè)平面PCD的向量＝，，)則

→PC0，，即→0.不妨令z＝，可得＝(1,2,1)．可取平面的法向量＝(1,0,0)．

→222→2226于是cos〈，〉＝＝，m|·|n6從而〈m〉＝

所以二面角－－的弦值為

(3)設(shè)點E的標(biāo)(0,0h)，其中h．1由此得B＝，－，h.→→→→→BECD由D(2，－，故〈BECD＝＝→→BE|·|CD

＝＋h×5

＋20

2

，所以，解得＝

3＝cos30°＝，＋2010，即AE＝10．(京如圖，在eq\o\ac(△,Rt)ABC，＝＝3＝D分是AC，上點，且∥，DE＝將△沿DE折起到eq\o\ac(△,A)eq\o\ac(△,)DE的置，使A⊥CD，如圖11(1)求證：AC平面BCDE；1(2)若MAD的中點求與面BE成角的大小；11(3)線段BC上否存在點P，使平面DP與面BE垂？說明理由．11(1)證明因為AC⊥BC，DE，所以DEAC所以DE⊥D，DECD所以⊥平面.11所以DE⊥C又因為A⊥，所以A⊥面BCDE.11(2)解如，以C為標(biāo)原點，建立空間直坐標(biāo)系C－，則3)，，(0,13)(3,0,0)，E．1

→→28→→28→→設(shè)平面ABE的向量為＝，，)則B，＝1→→又＝，－，BE＝－，1－z＝，所以2＝令y＝1則x＝2＝3.所以＝，．設(shè)與面BE成的角為θ.1→→42因為C＝(0,1，，所以＝〈，〉＝＝.||CMπ所以CM與面BE所角的大小為1(3)解線BC上存在點使面平面ABE直．理由如下設(shè)這樣的點P存設(shè)其11坐標(biāo)為(p,0,0)其中p[0,3]．設(shè)平面ADP的向量為＝(，，)，1→→則AD，DP1→→又D＝，－，DPp，－2,0)，1－z＝，所以2y＝0.令x＝2則y＝p＝

所以＝

，，

平面DP平面，當(dāng)且僅當(dāng)＝0即＋＋p解＝，與∈[0,3]矛盾．11所以線段上存在點，使平面A平面BE垂．11．(課標(biāo)全國如圖，直三棱柱ABC－中AC＝AA，是的點，⊥BD11211

2222(1)證明：⊥；1(2)求二面角A－BDC的小．11(1)證明由題設(shè)知，三棱柱的側(cè)面為矩形．由于為AA的點，故DC＝.11又ACAA，得DC＋＝CC1

，所以⊥DC.1而DC⊥，DC∩＝D，1所以DC⊥面1BC平面BCD故DC⊥BC1(2)解由知⊥，⊥，11則BC平面ACC，1所以CACB，CC兩兩相互垂直．1→→以為標(biāo)原點CA方向為x軸的正方向，為位長，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系C由題意知A，，，．11

nD0nD0→→→則D＝，－，＝(1，－1,1)，DC＝－．11設(shè)n＝(x，y，)是平面ABD的向量，1→BD0，0，則即→1可?。剑?，設(shè)m是面C法向量，1則

→＝，→＝1

可取＝(1,2,1)．n3從而cos〈n，〉＝.|故二面角A－－的小為30°.11(2012·大綱國)如，棱錐－中，底面PA底面，＝22PA＝，是PC上的(1)證明：⊥面BED(2)設(shè)二面角－PBC為90°，求PD與平面PBC?。?/p>

為形，一點，＝所成角的大解

以為標(biāo)原點，射線為x軸正半軸，

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)－.設(shè)(22，，(2，b,0)其中b，則(0,0,2)，E，，，(2－0)→→2于是PC＝2，－BE，b，→2→→→→＝，b，，而P＝0，DE＝，

2222故PCBE，PC⊥DE.又＝E，以⊥平面BDE.→→(2)＝，＝(，－．→設(shè)＝，，)為平面PAB的法向量，則＝，→＝0即2＝x－＝0令x＝b則＝(，20)．→設(shè)n＝pq，r)為平面法向量，則PC＝，→22n＝，即2－2＝且＋bqr＝，令＝，則r2＝－

，n＝，－

，2.→因為面⊥面PBC，故mn＝0即b＝0故b2，于是n，12)＝(－2－，→→DP→，cos〈，DP＝＝，〉＝60°.→2||DP→因為PD與面所成角和〈，DP互余，故與面所的角為．(重慶)如圖，在直三棱柱ABC－B中，＝，AC＝，D為AB的中點．11(1)求點到面的離；11(2)若⊥A，求二面角－CD－的面角的111

余弦值．解

由ACBC，D為AB的點，得CDAB，

又⊥，1故⊥面A，以點C到面AABB的離111－BD＝5.BC

為

＝如圖，過D作∥交A于D，在直三棱柱11DC，兩兩垂直，以D為原點，射線DBDC1軸y軸軸正半軸建立空間直角坐標(biāo)系D－xyz

中，易知，DD分為x1

2＝，1→→21＋12＝，1→→21＋1→設(shè)直三棱柱的高為h則(－2,0,0)A－)B(2,0，)，C，5，0)C(0，5)，從而111→＝，h，A＝，5－h(huán)，1→→由B⊥，有8－h(huán)＝0＝21→故A＝(－2,0,22)，1→→CC＝(0,0,2，DC＝(0，．1設(shè)平面ACD的法向量為＝(，，z)，1→→則D