2014年高考真題-文科數(shù)學(xué)上海卷

2014年全國普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一上海數(shù)學(xué)試卷(文史類)考生注意：1、本試卷共4頁，23道試題，滿分150分?？荚嚂r(shí)間120分鐘。2、本考試分設(shè)試卷和答題紙。試卷包括試題與答題要求。作答必須涂(選擇題)或?qū)?非選擇題)在答題紙上。在試卷上作答一律不得分。3、答卷前，務(wù)必用鋼筆或圓珠筆在答題紙正面清楚地填寫姓名、準(zhǔn)考證號(hào)，并將核對(duì)后的條形碼貼在指定位置上，在答題紙正面清楚地填寫姓名。一、填空題(本大題共有14題，滿分56分)考生應(yīng)在答題紙相應(yīng)編號(hào)的空格內(nèi)直接填寫結(jié)果，每個(gè)空格填對(duì)得4分，否則一律得零分。1、函數(shù)y=1-2cos2(2X)的最小正周期是.n1【答案】【解析】2nn?/y=1-2cos2(2x)=-cos4x「?周期T=——=—4 2(、—2、若復(fù)數(shù)z=1+2i,其中i是虛數(shù)單位，則z+—?z=.I z/2【答案】6【解析】…，1、?「z=1+2i??(z+—)?z=zz+1=(1+4)+1=6z.設(shè)常數(shù)a￡R,函數(shù)f(X)=|x-1|+|X2-小若f(2)=1，則f(1)=.3【答案】3【解析】

,/f(x)=1x-11+Ix2-al-.f(2)=1+14-a1=1,解得a=4「.f(1)=0+I1-4I=3.所以，是3x2 y2.若拋物線y2=2px的焦點(diǎn)與橢圓—+y=1的右焦點(diǎn)重合，則該拋物線的準(zhǔn)線方程為4【答案】x=-2【解析】v?+高=1;右焦點(diǎn)為(2,0)vy2=2px焦點(diǎn)為(2,0)，其準(zhǔn)線方程為x=-2所以，是x=-2TOC\o"1-5"\h\z.某校高一、高二、高三分別有學(xué)生1600名、1200名、800名。為了了解該校高中學(xué)生的牙齒健康狀況，按各年級(jí)的學(xué)生數(shù)進(jìn)行分層抽樣。若高三抽取20名學(xué)生，則高一、高二共需抽取的學(xué)生數(shù)為 .5【答案】70【解析】按比例進(jìn)行抽樣，設(shè)高一高二共抽n個(gè)學(xué)生，則(1600+1200):800=n:20,解得n=70.若實(shí)數(shù)x,y滿足xy=1,則x2+2y2的最小值為.6【答案】 2"2【解析】一2、一： T- 一一vxy=1..x2+2y2=x2+一>2,x2?一=2、'2,所以，是2%'2x2 [ x2.若圓錐的側(cè)面積是底面積的3倍，則其母線與軸所成角的大小為(結(jié)果用反三角函數(shù)值表示)。1arcsin一7【答案】【解析】7【答案】【解析】8.在長方體中割去兩個(gè)小長方體后的幾何體的三視圖如右圖，則切割掉的兩個(gè)小長方體的體8.在長方體中割去兩個(gè)小長方體后的幾何體的三視圖如右圖，則切割掉的兩個(gè)小長方體的體積之和等于 .8【答案】24【解析】兩個(gè)長方體的體積和V=總長?寬?高二(5-1)?3?2=24所以，是24一x+a,x<0,9.設(shè)f(x)=1 1若f(0)是f(x)的最小值，a的取值范圍為x+-,x>0,、x9【答案】(-8⑵【解析】,:f(x)=-x+a,x<0,是單調(diào)遞減的「.f(0)=a是最小值;當(dāng)x>0時(shí)，f(x)=x+12.、：x?1=2是最小值.f(0)=a<2.所以是(-"2]x\x10.設(shè)無窮等比數(shù)列｛a｝的公比為q，若a=lim(a+a+…+a)，則q=n 1 3 4 n 'n-8<5-110【答案】21-q1-qn-2 aaq2 )= 3-=1-1-q1-q1-q丁qW1,a=lim(a+a+a+???+a)=lim(a?「.q2+q-1=0,解得夕=1；§>1,或q= 2，'(舍去).TOC\o"1-5"\h\z2 111.若f(X)=X3—X-2，則滿足f(X)<0的X取值范圍是。11【答案】(0,1)【解析】2 1 7 7 7QX3-X-2<0,X>0「.X6-1<0,X6<160<x<1. (0,1)12.方程sinx+<3cosx=1在區(qū)間［。,2兀］上的所有解的和等于7n12【答案】 3【解析】- nsinx+\：3cosx=2sin(x+—)=1,x^[0,2n]^3一. n n n 7n當(dāng)2sm(x+一)=1,x^[0,2n]時(shí)，解得式=一，x=2n x+x=——3 12 2 6 12313.為強(qiáng)化安全意識(shí)，某商場擬在未來的連續(xù)10天中隨機(jī)選擇3天進(jìn)行緊急疏散演練，則選擇的3天恰好為連續(xù)3天的概率是(結(jié)構(gòu)用最簡分?jǐn)?shù)表示)。113【答案】 15【解析】81 1概率p=c8_=15.所以，是151014.已知曲線C：X=—《4—產(chǎn)，直線1：x=6。若對(duì)于點(diǎn)A(m，0兀存在C上的點(diǎn)P和/上的點(diǎn)Q使得AP+AQ=0，則m的取值范圍為。14【答案】——[2,3L一【解析】C圖像是半徑為2的半個(gè)圓，在y軸左側(cè)，x1G[-2,0]?.?AP+AQ=0,??.A(m,0)為P(x,y),Q(6,t)的中點(diǎn)11??.2m=6+x,xG[-2,0]「. mG[2,3].所以，是[2,3]11二、選擇題(本大題共有4題，滿分20分)每題有且只有一個(gè)正確答案，考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)編號(hào)上，將代表答案的小方格涂黑，選對(duì)得5分，否則一律得零分。15.設(shè)a,beR，則“a+b>4”是“a>2,且b>2”的()(A)充分非必要條件 (B)必要非充分條件(C)充要條件 (D)既非充分也非必要條件15【答案】B【解析】顯然，a+b>4,無法推出a>2>b>2」.不是充分條件若a>2且b>2,則a+b>4成立「.是必要條件，必要不充分條件所以，選B16已知互異的復(fù)數(shù)a,b滿足abW0,集合{a,b}={a2,b2}，則a+b=。16【答案】D【解析】分類討論.⑴若a=a2,若b=b2,且a半b,aW0,b為0,則解集為空(2)若a=b2,b=a2,且a#b,a#0,b#0,則a-b=-a2+b2=(b+a)(b-a),解得-1=a+b.所以，選D17.如圖，四個(gè)邊長為1的正方形排成一個(gè)正方形，AB是大正方形的母廣白Pr一條邊，P(i=1,2，…7)是小正方形的其余的頂點(diǎn)，則%，,工4AB?AP(i=1,2…7)的不同值的個(gè)數(shù)為()i(A)7 (B)5 (C)3 (D)1 1一] [&鳥17【答案】C【解析】AB?AP=1ABI?IAPIcos<AB,AP>=2?0,或2?l,或2?2「.有3個(gè)不同的值選C18.已知P(a,b)與P(a,b)是直線y=kx+1(k為常數(shù))上兩個(gè)不同的點(diǎn)，則關(guān)于x和y的111 222fax+by=1方程組《1 71 1的解的情況是()Iax+by=122(A)無論k,P,P如何，總是無解 (B)無論k,P,P如何，總有唯一解12 12

(C)存在k,P,P,使之恰有兩解 (D)存在k,P,P,使之有無窮多解TOC\o"1-5"\h\z12 1218【答案】B【解析】,/b=ka+1,b=ka+1「.b-b=k(a-a),a豐a1 1 2 2 12 12 1 2,/ax+by=1,ax+by=1(a-a)x+(b-b)y=01 1 2 2 12 12即(a-a)x+k(a-a)y=0,即x+ky=012 12代入:-aky+by=1,化簡：(〃-ak)y=1,即y=1,x=-k1 11所以，x,y有唯一解選B三．解答題（本大題共5題,滿分74分）解答下列各題必須在答題紙相應(yīng)編號(hào)的規(guī)定區(qū)域內(nèi)寫出必要的步驟。19.（本題滿分12分）三．解答題（本大題共5題,滿分74分）解答下列各題必須在答題紙相應(yīng)編號(hào)的規(guī)定區(qū)域內(nèi)寫出必要的步驟。19.（本題滿分12分）底面邊長為2的正三棱錐P-ABC,其表面展開圖是的體積V.三角形P]P2P3，如圖，求1P2P3的各邊長及此三棱錐19【答案】 4,4,4；2<2丁【解析】???是正三棱錐【解析】???是正三棱錐P-ABCAAPAB,APBC,APAC為全等等腰三角形123???AABC是邊長為2的正三角形，AAPAB,APBC,APAC均是邊長為2的正三角形123所以，APPAP是邊長為4的正三角形12 3 _ _設(shè)正三棱錐P-ABC高為h,則h2=22-（233）2,解得h=236"正三棱錐P-"。的體積"3"aabJh=33?W==所以，正三棱錐P-所以，正三棱錐P-ABC的體積為2<220.(本題滿分14分)本題有2個(gè)小題，第一小題滿分6分，第二小題滿分8分。2兀+a設(shè)常數(shù)a20，函數(shù)f(x)=- x-a(1)若a=4,求函數(shù)y=f(x)的反函數(shù)y=f-1(x)；(2)根據(jù)a的不同取值，討論函數(shù)y=f(x)的奇偶性，并說明理由.20【答案】(1)f-1(1)f-1(x)=2+log2x+1刀,xe(-121+8)(2)當(dāng)a=0時(shí)，f(x)是偶函數(shù)；當(dāng)a=1時(shí)，f(x)是奇函數(shù);當(dāng)a>0,且aW1時(shí)，f(x)是非奇非偶函數(shù)；【解析】2x+a2x+4當(dāng)a=4時(shí),/y=f(x)= = e(-8-1)(1,+8)/.(2x-4)y=2x+4,2x-a 2x-4解得2x=葉,即x=log(今)=2+log二.y-1 2y-1 2y-1x+1所以/-1(x)=2+log ,xe(-8-1)U(1,+8)2x-1y=f(x)=^x+a的奇偶性討論如下2x-a若定義域?qū)ΨQ的則a=0,或a=1⑴若a=0時(shí)，f(x)=1,「.f(x)是偶函數(shù)2x+1 2-x+11+2x(2)若a=1時(shí)，f(x)=---丁f(-x)=---= =-f(x)2x-1 2-x-11-2x「.f(x)是奇函數(shù)所以,當(dāng)a=0時(shí)，f(x)是偶函數(shù)；當(dāng)a=1時(shí)，f(x)是奇函數(shù);當(dāng)a>0,且aW1時(shí)，f(x)是非奇非偶函數(shù)；21.(本題滿分14分)本題共有2個(gè)小題，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分.如圖，某公司要在A、B兩地連線上的定點(diǎn)C處建造廣告牌CD，其中D為頂端，AC

長35米，CB長80米，設(shè)4B在同一水平面上，從A和B看D的仰角分別為a和P.(1)設(shè)計(jì)中CD是鉛垂方向，若要求a>2p，問CD的長至多為多少(結(jié)果精確到0.01米)？(2)施工完成后.CD與鉛垂方向有偏差，現(xiàn)在實(shí)測(cè)得a=38.12。，p=18.45。，求CD的長(結(jié)果精確到0.01米)？CD的長(結(jié)果精確到0.01米)？21【答案】(1) 28.28米(2)26.93米【解析】(1)令DC=h,則tana==,tanp==—DC35CB80n>a>2p>0「.tana>tan2P="a*>02 1-tan2P2?—>802?80h1,h 802-h21-(—)2>0,解得0<h<2022-28.28所以，80AC的最大長度是28.28米(2)設(shè)DC=h,BD=m,在AABD中,由正弦定理得,m

sin38.12°35+80

sin(38.12°+18.45°)解得解得m=35+80

sin(38.12°+18.45°)?sin38.12°~85.064在^BCD中，由余弦定理得，h2=802+m2-2?80?m?cos18.45°,解得h~26.93米所以，AC的長度是26.93米22(本題滿分16分)本題共3個(gè)小題，第1小題滿分3分，第2小題滿分6分，第3小題滿分7分.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，對(duì)于直線I:ax+by+c=0和點(diǎn)P1(x1，y1)，P((x2，y2)，記n=(ax1+by1+c)(ax2+by2+c)，若n<0，則稱點(diǎn)P1，P2被直線I分隔，若曲線C與直線I沒有公共點(diǎn)，且曲線C上存在點(diǎn)P1，P2被直線I分隔，則稱直線I為曲線C的一條分隔線。(1)求證：點(diǎn)A(1,2)，B(-1,0)被直線x+y1=0分隔；

(2)若直線y=kx是曲線x2-4y2=1的分隔線，求實(shí)數(shù)k的取值范圍；(3)動(dòng)點(diǎn)M到點(diǎn)Q(0,2)的距離與到y(tǒng)軸的距離之積為1,設(shè)點(diǎn)M的軌跡為E求E的方程，并證明y軸為曲線E的分隔線。11(y-一]U[—,+8)22【答案】(1)省略⑵ 2 2 (3)只有直線4=0【解析】證明點(diǎn)4(1,2),B(-1,0)被直線x+y-1=0平分，過程如下把點(diǎn)A,B分別代入直線方程左式中，得n=(1+2-1)(-1+0-1)=-4<0所以，點(diǎn)4(1,2),B(-1,0)被直線x+y-1=0平分若直線y=女X是曲線%2-4y2=1的分割線，則3P(x,y),3P(x,y)在曲線上，且(y-kx)(y-kx)<011 22 1 1 2 2?.?曲線x2-4y2=1是雙曲線，漸近線方程為y=±-x.?.當(dāng)kQ(-"」“1,+嗎時(shí)，直線y=卜乂與雙曲線2 22且直線y=kx上下方存在點(diǎn)均在雙曲線上。所以，當(dāng)kQ(-所以，當(dāng)kQ(-"一2]"2,+直線y=kx是曲線%2-4y2=1的分割線設(shè)動(dòng)點(diǎn)M(x,y),Q(0,2),據(jù)題有MQ^Ixl=1，即MQ2?Ix12=12,即x2+(y-2)2=—x2變形為：x2-—+(y-2)2=0,x#0.x2.??曲線x2+(y-2)2=-1的圖像關(guān)員=0,y=2對(duì)稱，也關(guān)于(0,2)中心對(duì)稱，且yeRx2當(dāng)x>0,y22時(shí)，曲線的圖像單調(diào)遞減利用數(shù)形結(jié)合法畫出圖像可知,只有直綴=0與圖像不相交,且圖像在直線左右兩側(cè).所以，只有直繩=0是E的分割線23.(本題滿分18分)本題共3個(gè)小題,第1小題滿分3分,第2小題滿分6分,第3小題滿分9分.已知數(shù)列｛a｝滿足1aVa43a,nwN*,a=1.n 3n n+1 n 1(1)若a=2,a=x,a=9，求x的取值范圍；234

1⑵若｛葉是等比數(shù)列,且V1000，求正整數(shù)m的最小值,以及m取最小值時(shí)相應(yīng)｛a｝的公比；n（3）若a,a,,a成等差數(shù)列，求數(shù)列a,a,,a的公差的取值范圍.1 2 100 1 2 1003 [ ,