對策與決策模型

對策與決策模型第1頁，共72頁，2023年，2月20日，星期一對策與決策模型對策與決策是人們生活和工作中經(jīng)常會遇到的擇優(yōu)活動。人們在處理一個問題時，往往會面臨幾種情況，同時又存在幾種可行方案可供選擇，要求根據(jù)自己的行動目的選定一種方案，以期獲得最佳的結(jié)果。有時，人們面臨的問題具有競爭性質(zhì)，如商業(yè)上的競爭、體育中的比賽和軍事行動、政治派別的斗爭等等。這時競爭雙方或各方都要發(fā)揮自己的優(yōu)勢，使己方獲得最好結(jié)果。因而雙方或各方都要根據(jù)不同情況、不同對手做出自己的決擇，此時的決策稱為對策。在有些情況下，如果我們把可能出現(xiàn)的若干種情況也看作是競爭對手可采取的幾種策略，那么也可以把決策問題當(dāng)作對策問題來求解。第2頁，共72頁，2023年，2月20日，星期一§1對策問題對策問題的特征是參與者為利益相互沖突的各方，其結(jié)局不取決于其中任意一方的努力而是各方所采取的策略的綜合結(jié)果。先考察幾個實際例子。

例1

（田忌賽馬）

田忌賽馬是大多數(shù)人都熟知的故事，傳說戰(zhàn)國時期齊王欲與大將田忌賽馬，雙方約定每人挑選上、中、下三個等級的馬各一匹進(jìn)行比賽，每局賭金為一千金。齊王同等級的馬均比田忌的馬略勝一籌，似乎必勝無疑。田忌的朋友孫臏給他出了一個主意，讓他用下等馬比齊王的上等馬，上等馬對齊王的中等馬，中等馬對齊王的下等馬，結(jié)果田忌二勝一敗，反而贏了一千金。

第3頁，共72頁，2023年，2月20日，星期一對策的基本要素（1）局中人。參加決策的各方被稱為決策問題的局中人，一個決策總是可以包含兩名局中人（如棋類比賽、人與大自然作斗爭等），也可以包含多于兩名局中人（如大多數(shù)商業(yè)中的競爭、政治派別間的斗爭）。（2）策略集合。局中人能采取的可行方案稱為策略，每一局中人可采取的全部策略稱為此局中人的策略集合。應(yīng)當(dāng)注意的是，所謂策略是指在整個競爭過程中對付他方的完整方法，并非指競爭過程中某步所采取的具體局部辦法。例如下棋中的某步只能看和一個完整策略的組成部分，而不能看成一個完整的策略。當(dāng)對策問題各方都從各自的策略集合中選定了一個策略后，各方采取的策略全體可用一矢量S表示，稱之為一個純局勢（簡稱局勢）第4頁，共72頁，2023年，2月20日，星期一例如，若一對策中包含A、B兩名局中人，其策略集合分別為SA

={1,…,m}，SB

={1,…,n}。若A選擇策略i而B選策略j，則（i,j）就構(gòu)成此對策的一個純局勢。顯然，SA與SB一共可構(gòu)成m×n個純局勢，它們構(gòu)成下表。對策問題的全體純局勢構(gòu)成的集合S稱為此對策問題的局勢集合。

(m,n)

…(m,j)

…(m,2)

(m,1)

m…………………(i,n)

…(i,j)

…(i,2)

(i,1)

i…………………(2,n)

…(2,j)

…(2,2)

(2,1)

2(1,n)

…(1,j)

…(1,2)

(1,1)

1A的策略n…J…21B的策略第5頁，共72頁，2023年，2月20日，星期一（3）贏得函數(shù)（或稱支付函數(shù)）。贏得函數(shù)F為定義在局勢集合S上的矢值函數(shù)，對于S中的每一純局勢S，F(xiàn)（S）指出了每一局中人在此對策結(jié)果下應(yīng)贏得（或支付）的值。綜上所述，一個對策模型由局中人、策略集合和贏得函數(shù)三部分組成。記局中人集合為I={1,…,k}，對每一i∈I，有一策略集合Si，當(dāng)I中每一局中人i選定策略后得一個局勢s；將s代入贏得函數(shù)F，即得一矢量F(s)=(F1(s),…,Fk(s))，其中Fi(s)為在局勢s下局中人i的贏得（或支付）。本節(jié)討論只有兩名局中人的對策問題，即兩人對策，其結(jié)果可以推廣到一般的對策模型中去。對于只有兩名局中人的對策問題，其局勢集合和贏得函數(shù)均可用表格表示。第6頁，共72頁，2023年，2月20日，星期一例2

（石頭—剪子—布）這是一個大多數(shù)人小時候都玩過的游戲。游戲雙方只能選石頭、剪子、布中的一種，石頭贏剪子，剪子贏布，而布又贏石頭，贏者得一分，輸者失一分，雙方相同時不得分，見下表。表1石頭剪子布石頭（0，0）（1，-1）（-1，1）剪子（-1，1）（0，0）（1，1）布（1，-1）（-1，1）（0，0）第7頁，共72頁，2023年，2月20日，星期一例3

（囚犯的困惑）警察同時逮捕了兩人并分開關(guān)押，逮捕的原因是他們持有大量偽幣，警方懷疑他們偽造錢幣，但沒有找到充分證據(jù)，希望他們能自己供認(rèn)，這兩個人都知道：如果他們雙方都不供認(rèn)，將被以使用和持有大量偽幣罪被各判刑18個月；如果雙方都供認(rèn)偽造了錢幣，將各被判刑3年；如果一方供認(rèn)另一方不供認(rèn)，則供認(rèn)方將被從寬處理而免刑，但另一方面將被判刑7年。將嫌疑犯A、B被判刑的幾種可能情況列表如下：表2嫌疑犯B供認(rèn)不供認(rèn)嫌疑犯A供認(rèn)不供認(rèn)（3，3）（7，0）（0，7）（1.5，1.5）表中每對數(shù)字表示嫌疑犯A、B被判刑的年數(shù)。如果兩名疑犯均擔(dān)心對方供認(rèn)并希望受到最輕的懲罰，最保險的辦法自然是承認(rèn)制造了偽幣。第8頁，共72頁，2023年，2月20日，星期一二、零和對策存在一類特殊的對策問題。在這類對策中，當(dāng)純局勢確定后，A之所得恰為B之所失，或者A之所失恰為B之所得，即雙方所得之和總為零。在零和對策中，因F1(s)=－F2(s)，只需指出其中一人的贏得值即可，故贏得函數(shù)可用贏得矩陣表示。例如若A有m種策略，B有n種策略，贏得矩陣

表示若A選取策略i而B選取策略j，則A之所得為aij（當(dāng)aij<0時為支付）。第9頁，共72頁，2023年，2月20日，星期一在有些兩人對策的贏得表中，A之所得并非明顯為B之所失，但雙方贏得數(shù)之和為一常數(shù)。例如在表7.4中，無論A、B怎樣選取策略，雙方贏得總和均為10，此時，若將各人贏得數(shù)減去兩人的平均贏得數(shù)，即可將贏得表化為零和贏得表。表74中的對策在轉(zhuǎn)化為零和對策后，具有贏得矩陣表4局中人B123局中人A1(8,2)(1,9)(7,3)2(4,6)(9,1)(3,7)3(2,8)(6,4)(8,2)4(6,4)(4,6)(6,4)第10頁，共72頁，2023年，2月20日，星期一例4

給定G={SA,SB,R}，其中SA

={1,2,3}，SB

={1,2,3,4}

從R中可以看出，若A希望獲得最大贏利30，需采取策略1，但此時若B采取策略4，A非但得不到30，反而會失去22。為了穩(wěn)妥，雙方都應(yīng)考慮到對方有使自己損失最大的動機(jī)，在最壞的可能中爭取最好的結(jié)果。局中人A采取策略1、2、3時，最壞的贏得結(jié)果分別為min{12,－6,30,－22}=－22min{14,2,18,10}=2min{－6,0,－10,16}=－10其中最好的可能為max{－22,2,－10}=2。如果A采取策略2，無論B采取什么策略，A的贏得均不會少于2.第11頁，共72頁，2023年，2月20日，星期一定義

對于兩人對策G={SA,SB,R}，若有，則稱G具有穩(wěn)定解，并稱VG為對策G的值。若純局勢（）使得，則稱（）為對策G的鞍點或穩(wěn)定解，贏得矩陣中與（）相對應(yīng)的元素稱為贏得矩陣的鞍點，與分別稱為局中人A與B的最優(yōu)策略。第12頁，共72頁，2023年，2月20日，星期一第13頁，共72頁，2023年，2月20日，星期一§2決策問題人們在處理問題時，常常會面臨幾種可能出現(xiàn)的自然情況，同時又存在著幾種可供選擇的行動方案。此時，需要決策者根據(jù)已知信息作決策，即選擇出最佳的行動方案，這樣的問題稱為決策問題。面臨的幾種自然情況叫做自然狀態(tài)或簡稱狀態(tài)。狀態(tài)是客觀存在的，是不可控因素?？晒┻x擇的行動方案叫做策略，這是可控因素，選擇哪一方案由決策者決定。

第14頁，共72頁，2023年，2月20日，星期一例5在開采石油時，會遇到是否在某處鉆井的問題。盡管勘探隊已作了大量調(diào)研分析，但由于地下結(jié)構(gòu)極為復(fù)雜，仍無法準(zhǔn)確預(yù)測開采的結(jié)果，決策者可以決定鉆井，也可以決定不鉆井。設(shè)根據(jù)經(jīng)驗和勘探資料，決策者已掌握一定的信息并列出下表。表7000不鉆井（2）

4020－30鉆井（1）

P(3)=0.3

P(2)=0.5

P(1)=0.2

（億元）高產(chǎn)油井（3）

一般（2）

無油（1）

自然狀態(tài)概率

收益方案問：決策者應(yīng)如何作出決策？第15頁，共72頁，2023年，2月20日，星期一解：由題意可以看出，決策問題應(yīng)包含三方面信息：狀態(tài)集合Q={1,…,n}、策略集合A={1,…,m}及收益R={aij}，其中aij表示如果決策者選取策略i而出現(xiàn)的狀態(tài)為j，則決策者的收益值為aij（當(dāng)aij為負(fù)值時表示損失值）。決策問題按自然狀態(tài)的不同情況，常被分為三種類型：確定型、風(fēng)險型（或隨機(jī)型）和不確定型。確定型決策是只存在一種可能自然狀態(tài)的決策問題。這種決策問題的結(jié)構(gòu)較為簡單，決策者只需比較各種方案，確定哪一方案最優(yōu)即可。在本節(jié)中，我們主要討論風(fēng)險型與不確定型決策，并介紹它們的求解方法。第16頁，共72頁，2023年，2月20日，星期一§2。1隨機(jī)型決策方法隨機(jī)型決策又稱為風(fēng)險型決策，主要應(yīng)用于產(chǎn)品開發(fā)、技術(shù)改造、風(fēng)險投資等決策問題。設(shè)為可能選擇的第個策略，為可能出現(xiàn)的第j個自然狀態(tài)，那么隨機(jī)型決策問題一般可用下述5個要素來描述：（1）策略集（2）自然狀態(tài)集（3）收益函數(shù)（4）自然狀態(tài)的概率分布——狀態(tài)出現(xiàn)的概率（5）決策目標(biāo)V?！扇〔呗远霈F(xiàn)狀態(tài)時的收益值；第17頁，共72頁，2023年，2月20日，星期一第18頁，共72頁，2023年，2月20日，星期一第19頁，共72頁，2023年，2月20日，星期一第20頁，共72頁，2023年，2月20日，星期一第21頁，共72頁，2023年，2月20日，星期一第22頁，共72頁，2023年，2月20日，星期一例11

某燒雞店每賣出一只燒雞可賺5元，如出現(xiàn)過剩將于下午5點另作處理，每剩一只將損失2.5元。該店根據(jù)平時銷售情況列出下表，試根據(jù)表9中提供的信息確定制作燒雞的最佳數(shù)量并求該店銷售燒雞的最佳平均利潤。表90.10.180.20.220.20.1概率P()

302928272625需求量

解：根據(jù)題意，單位過剩損失k0=2.5，單位不足損失ku=5，。

因為，

但。故燒雞的最佳制作量為28只。

最佳平均利潤為

（元）

第23頁，共72頁，2023年，2月20日，星期一第24頁，共72頁，2023年，2月20日，星期一第25頁，共72頁，2023年，2月20日，星期一第26頁，共72頁，2023年，2月20日，星期一對于較為復(fù)雜的決策問題，尤其是需要作多階段決策的問題，常采用較直觀的決策樹方法，但從本質(zhì)上講，決策樹方法仍然是一種期望值法。

例9某工程按正常速度施工時，若無壞天氣影響可確保在30天內(nèi)按期完工。但根據(jù)天氣預(yù)報，15天后天氣肯定變壞。有40%的可能會出現(xiàn)陰雨天氣而不影響工期，在50%的可能會遇到小風(fēng)暴而使工期推遲15天，另有10%的可能會遇到大風(fēng)暴而使工期推遲20天。對于可能出現(xiàn)的情況，考慮兩種方案：（1）提前緊急加班，在15天內(nèi)完成工程，實施此方案需增加開支18000元。

（2）先按正常速度施工，15天后根據(jù)實際出現(xiàn)的天氣狀況再作決策。如遇到陰雨天氣，則維持正常速度，不必支付額外費用。如遇到小風(fēng)暴，有兩個備選方案：（i）維持正常速度施工，支付工程延期損失費20000元。（ii）采取應(yīng)急措施。實施此應(yīng)急措施有三種可能結(jié)果：有50%可能減少誤工期1天，支付應(yīng)急費用和延期損失費共24000元；有30%可能減少誤工期2天，支付應(yīng)急費用和延期損失費共18000元；有20%可能減少誤工期3天，支付應(yīng)急費用和延期損失費共12000元。第27頁，共72頁，2023年，2月20日，星期一如遇大風(fēng)暴，也有兩個方案可供選擇：（i）維持正常速度施工，支付工程延期損失費50000元。（ii）采取應(yīng)急措施。實施此應(yīng)急措施也有三種可能結(jié)果：有70%可能減少誤工期2天，支付應(yīng)急費及誤工費共54000元；有20%可能減少誤工期3天，支付應(yīng)急費及誤工費共46000元；有10%可能減少誤工期4天，支付應(yīng)急費和誤工費共38000元。根據(jù)上述情況，試作出最佳決策使支付的額外費用最少。解：由于未來的天氣狀態(tài)未知，但各種天氣狀況出現(xiàn)的概率已知，本例是一個風(fēng)險型決策問題，所謂的額外費用應(yīng)理解為期望值。

本例要求作多次決策，工程初期應(yīng)決定是按正常速度施工還是提前緊急加班。如按正常速度施工，則15天后還需根據(jù)天氣狀況再作一次決策，以決定是否采取應(yīng)急措施，故本例為多階段（兩階段）決策問題。為便于分析和決策，采用決策樹方法。根據(jù)題意，作決策樹如圖7.6第28頁，共72頁，2023年，2月20日，星期一圖7.6中，□表示決策點，從它分出的分枝稱為方案分枝，分枝的數(shù)目就是方案的個數(shù)。○表示機(jī)會節(jié)點，從它分出的分枝稱為概率分枝，一條概率分枝對應(yīng)一條自然狀態(tài)并標(biāo)有相應(yīng)的發(fā)生概率?！鞣Q為未梢節(jié)點，右邊的數(shù)字表示相應(yīng)的收益值或損失值。第29頁，共72頁，2023年，2月20日，星期一在決策樹上由右向左計算各機(jī)會節(jié)點處的期望值，并將結(jié)果標(biāo)在節(jié)點旁。遇到?jīng)Q策點則比較各方案分枝的效益期望值以決定方案的優(yōu)劣，并且用雙線劃去淘汰掉的方案分枝，在決策點旁標(biāo)上最佳方案的效益期望值，計算步驟如下：（1）在機(jī)會節(jié)點E、F處計算它們的效益期望值E(E)=0.5×（－24000）＋0.3×（－18000）＋0.2×（－12000）=－19800E(F)=0.7×（－54000）＋0.2×（－46000）＋0.1×（－38000）=－50800（2）在第一級決策點C、D處進(jìn)行比較，在C點處劃去正常速度分枝，在D處劃去應(yīng)急分枝。

（3）計算第二級機(jī)會節(jié)點B處的效益期望值E(B)=0.4×0＋0.5×（－19800）＋0.1×（－50000）=－14900并將－14900標(biāo)在B點旁。第30頁，共72頁，2023年，2月20日，星期一（4）在第二級決策點A處進(jìn)行方案比較，劃去提前緊急加班，將－14900標(biāo)在A點旁。

結(jié)論最佳決策為前15天按正常速度施工，15天后按實際出現(xiàn)的天氣狀況再作決定。如出現(xiàn)陰雨天氣，仍維持正常速度施工；如出現(xiàn)小風(fēng)暴，則采取應(yīng)急措施；如出現(xiàn)大風(fēng)暴，也按正常速度施工，整個方案總損失的期望值為－14900元。

根據(jù)期望值大小決策是隨機(jī)型決策問題最常用的辦法之一。實際應(yīng)用時應(yīng)根據(jù)具體情況作出分析，選取期望收益最大或期望損失最小的方案。第31頁，共72頁，2023年，2月20日，星期一2。3不確定型決策問題只知道有幾種可能自然狀態(tài)發(fā)生，但各種自然狀態(tài)發(fā)生的概率未知的決策問題稱為不確定型決策問題，由于概率未知，期望值方法不能用于這類決策問題。下面結(jié)合一個例子，介紹幾種處理這類問題的方法。例10設(shè)存在五種可能的自然狀態(tài)，其發(fā)生的概率未知。有四種可供選擇的行動方案，相應(yīng)的收益值見下表表866653415964387543266544154321自然狀態(tài)方案常用的處理這類非確定型決策問題的方法有：樂觀值準(zhǔn)則、悲觀值準(zhǔn)則、折中值準(zhǔn)則、后悔值準(zhǔn)則和等可能準(zhǔn)則。

第32頁，共72頁，2023年，2月20日，星期一（1）樂觀法（maxmax原則）

采用樂觀法時，決策者意在追求最大可能收益。他先計算每一方案的最大收益值，再比較找出其中的最大者，并采取這一使最大收益最大的方案，在例8.10中，maxa1j=6，maxa2j=8，maxa3j=9，maxa4j=6，而max{6，8，9，6}=9，采取方案3。（2）悲觀法（maxmin原則）采用悲觀法時，決策者意在安全保險。他先求每一方案的最小收益,再比較找出其中的最大者，并采取這一使最小收益值最大化的方案。對于例7.10，mina1j=4，mina2j=3，mina3j=1，mina4j=3。因為max{4,3，1，3}=4,采取方案1。（3）樂觀系數(shù)法（Hurwicz決策準(zhǔn)則）樂觀系數(shù)法采用折中的辦法，引入一個參數(shù)t，0≤t≤1，稱t為樂觀系數(shù)。作決策時，決策者先適當(dāng)選取一個t的值；再對各方案1求出；最后再作比較，找出使最大的方案。在例10中，若取t=0.5，采用樂觀系數(shù)法決策，將選取方案2。易見，t=1對應(yīng)樂觀法，而t=0則對應(yīng)于悲觀法。第33頁，共72頁，2023年，2月20日，星期一（4）等可能法（Laplace準(zhǔn)則）由于不能估計各狀態(tài)出現(xiàn)的概率，決策者認(rèn)為它們相差不會過大。此時，決策者采用將各狀態(tài)的概率取成相同值的辦法把問題轉(zhuǎn)化為風(fēng)險型，并借用風(fēng)險型問題的期望值法來決策。不難看出，對于不確定型決策問題，不論采用什么方法決策，最終采用的策略都不能稱為最佳策略。事實上，采取什么方法決策與決策者的心理狀態(tài)有關(guān)。而且，即使對同一決策者，在處理不同決策問題時也可能采取不同的方法。例如，在決定購買幾元錢一張的對獎券時，決策者也許會采用樂觀法。因為幾元錢的損失對他來講是無所謂的事，小額獎金他也許看不上眼，要中就來個大獎。但是，在決策購買何種股票時，因為關(guān)系重大，也許他為了保險又會采取悲觀法。同而，不確定型問題的決策充其量只能算是在決策者某種心理狀態(tài)下的選優(yōu)。要作出較符合實際情況的決策，還需決策者多作些調(diào)查研究，以便對未來自然狀態(tài)的出現(xiàn)作出較符合客觀實際的預(yù)測，才能收到較好的效果。第34頁，共72頁，2023年，2月20日，星期一§3層次分析法建模層次分析法是對一些較為復(fù)雜、較為模糊的問題作出決策的簡易方法，它特別適用于那些難于完全定量分析的問題。當(dāng)我們面對這類決策問題時，容易發(fā)現(xiàn)，影響我們作決策的因素很多，其中某些因素存在定量指標(biāo)，可以給以度量，但也有些因素不存在定量指標(biāo)，只能定性地比較它們的強(qiáng)弱。在處理這類比較復(fù)雜而又比較模糊的問題時，如何盡可能克服因主觀臆斷而造成的片面性，較系統(tǒng)、全面地比較分析并作出較為明智的決策呢？第35頁，共72頁，2023年，2月20日，星期一Saaty.T.L等人在70年代提出了一種以定性與定量相結(jié)合，系統(tǒng)化、層次化分析問題的方法，稱為層次分析法（AnalyticHiearchyProcess，簡稱AHP）。層次分析法將人們的思維過程層次化，逐層比較其間的相關(guān)因素并逐層檢驗比較結(jié)果是否合理，從而為分析決策提供了較具說服力的定量依據(jù)。

一、層次分析的基本步驟層次分析過程可分為四個基本步驟：（1）建立層次結(jié)構(gòu)模型；（2）構(gòu)造出各層次中的所有判斷矩陣；（3）層次單排序及一致性檢驗；（4）層次總排序及一致性檢驗。下面通過一個簡單的實例來說明各步驟中所做的工作。第36頁，共72頁，2023年，2月20日，星期一例12某工廠有一筆企業(yè)留成利潤要由廠領(lǐng)導(dǎo)決定如何使用?？晒┻x擇的方案有：給職工發(fā)獎金、擴(kuò)建企業(yè)的福利設(shè)施（改善企業(yè)環(huán)境、改善食堂等）和引進(jìn)新技術(shù)新設(shè)備。工廠領(lǐng)導(dǎo)希望知道按怎樣的比例來使用這筆資金較為合理。步1建立層次結(jié)構(gòu)模型在用層次分析法研究問題時，首先要根據(jù)問題的因果關(guān)系并將這些關(guān)系分解成若干個層次。較簡單的問題通?？煞纸鉃槟繕?biāo)層（最高層）、準(zhǔn)則層（中間層）和方案措施層（最低層）。決策者的目的是合理利用企業(yè)的留成利潤，而利潤的利用是否合理，決策者的主要標(biāo)準(zhǔn)為：（1）是否有利于調(diào)動企業(yè)職工的積極性，（2）是否有利于提高企業(yè)的生產(chǎn)能力，（3）是否有利于改善職工的工作、生活環(huán)境。第37頁，共72頁，2023年，2月20日，星期一根據(jù)決策者的意圖，可以建立起本問題的層次結(jié)構(gòu)模型如圖8.7所示。合理利用企業(yè)利潤調(diào)動職工積極性C1提高企業(yè)技術(shù)水平C2改善職工工作生活條件C3發(fā)獎金P1擴(kuò)建福利事業(yè)P2引進(jìn)新設(shè)備P3目標(biāo)層O準(zhǔn)則層C措施層P圖中的連線反映了因素間存在的關(guān)聯(lián)關(guān)系第38頁，共72頁，2023年，2月20日，星期一對于因果關(guān)系較為復(fù)雜的問題也可以引進(jìn)更多的層次。例如，在選購電冰箱時，如以質(zhì)量、外觀、價格、品牌及信譽(yù)等為準(zhǔn)則，也許在衡量質(zhì)量優(yōu)劣時又可分出若干個不同的子準(zhǔn)則，如制冷性能、結(jié)霜情況、耗電量大小等等。建立層次結(jié)構(gòu)模型是進(jìn)行層次分析的基礎(chǔ)，它將思維過程結(jié)構(gòu)化、層次化，為進(jìn)一步分析研究創(chuàng)造了條件。步2構(gòu)造判斷矩陣層次結(jié)構(gòu)反映了因素之間的關(guān)系，例如圖7.7中目標(biāo)層利潤利用是否合理可由準(zhǔn)則層中的各準(zhǔn)則反映出來。但準(zhǔn)則層中的各準(zhǔn)則在目標(biāo)衡量中所占的比重并不一定相同，在決策者的心目中，它們各占有一定的比例。在確定影響某因素的諸因子在該因素中所占的比重時，遇到的主要困難是這些比重常常不易定量化。雖然你必須讓決策者根據(jù)經(jīng)驗提供這些數(shù)據(jù)，但假如你提出“調(diào)動職工積極性在判斷利潤利用是否合理中占百分之幾的比例”之類的問題，會讓人感到難以精確回答，此外，當(dāng)影響某因素的因子較多時，直接考慮各因子對該因素有多大程度的影響時，常常會因考慮不周全、顧此失彼而使決策者提出與他實際認(rèn)為的重要性程度不相一致的數(shù)據(jù)，甚至有可能提出一組隱含矛盾的數(shù)據(jù)。第39頁，共72頁，2023年，2月20日，星期一設(shè)現(xiàn)在要比較n個因子X={x1,…,xn}對某因素Z的影響大小，Saaty等人建議可以采取對因子進(jìn)行兩兩比較建立成對比較矩陣的辦法。即每次取兩個因子xi和xj，以aij表示xi和xj對Z的影響大小之比，全部比較結(jié)果用矩陣A=(aij)n×n表示，稱A為Z－X之間的成對比較判斷矩陣（簡稱判斷矩陣）。。定義4若矩陣A=(aij)n×n滿足（i）aij>0，（ii）（i,j=1,2,…,n），則稱之為正互反矩陣（易見aii=1,i=1,…,n）。關(guān)于如何確定aij的值，Saaty等建議引用數(shù)字1~9及其倒數(shù)作為標(biāo)度。他們認(rèn)為，人們在成對比較差別時，用5種判斷級較為合適。即使用相等、較強(qiáng)、強(qiáng)、很強(qiáng)、絕對地強(qiáng)表示差別程度，aij相應(yīng)地取1,3,5,7和9。在成對事物的差別介于兩者之間難以定奪時，aij可分別取值2、4、6、8。第40頁，共72頁，2023年，2月20日，星期一步3層次單排序及一致性檢驗上述構(gòu)造成對比較判斷矩陣的辦法雖能減少其他因素的干擾影響，較客觀地反映出一對因子影響力的差別。但綜合全部比較結(jié)果時，其中難免包含一定程度的非一致性。如果比較結(jié)果是前后完全一致的，則矩陣A的元素還應(yīng)當(dāng)滿足：

i、j、k=1,2,…,n

滿足以上關(guān)系式的正互反矩陣稱為一致矩陣。但要求所有比較結(jié)果嚴(yán)格滿足一致性，在n較大時幾乎可以說是無法辦到的，其中多少帶有一定程度的非一致性。更何況比較時采用了1~9標(biāo)度，已經(jīng)接受了一定程度的誤差，就不應(yīng)再要求最終判斷矩陣的嚴(yán)格一致性。如何檢驗構(gòu)造出來的（正互反）判斷矩陣A是否嚴(yán)重地非一致，以便確定是否接受A，并用它作為進(jìn)一步分析研究的工具？Saaty等人在研究正互反矩陣和一致矩陣性質(zhì)的基礎(chǔ)上，找到了解決這一困難的辦法，給出了確定矩陣A中的非一致性是否可以允忍的檢驗方法。第41頁，共72頁，2023年，2月20日，星期一現(xiàn)在來考察一致矩陣A的性質(zhì)，回復(fù)到將單位重量的大石塊剖分成重量為

1,…,n的n塊小石塊的例子，如果判斷者的判斷結(jié)果完全一致，則構(gòu)造出來的一致矩陣為容易看出，一致矩陣A具有以下性質(zhì)：第42頁，共72頁，2023年，2月20日，星期一為確定多大程度的非一致性是可以允忍的，Saaty等人采用了如下辦法：（1）求出，稱CI為A的一致性指標(biāo)。當(dāng)CI略大于零時（對應(yīng)地，λmax稍大于n），A具有較為滿意的一致性；否則，A的一致性就較差。（2）Saaty等人又研究了他們認(rèn)為最不一致的矩陣——用從1~9及其倒數(shù)中隨機(jī)抽取的數(shù)字構(gòu)造的正互反矩陣，取充分大的子樣，求得最大特征根的平均值，并定義稱RI為平均隨機(jī)一致性指標(biāo)。對n=1,…,11,，Saaty給出了RI的值，如表10所示。表10N1234567891011RI000.580.901.121.241.321.411.451.491.51第43頁，共72頁，2023年，2月20日，星期一（3）將CI與RI作比較，定義稱CR隨機(jī)一致性比率。經(jīng)大量實例比較，Saaty認(rèn)為，在CR<0.10時可以認(rèn)為判斷矩陣具有較為滿意的一致性，否則就應(yīng)當(dāng)重新調(diào)整判斷矩陣，直至具有滿意的一致性為止。第44頁，共72頁，2023年，2月20日，星期一合理利用企業(yè)利潤調(diào)動職工積極性C1提高企業(yè)技術(shù)水平C2改善職工工作生活條件C3發(fā)獎金P1擴(kuò)建福利事業(yè)P2引進(jìn)新設(shè)備P3目標(biāo)層O準(zhǔn)則層C措施層P為求出C1、C2、C3在目標(biāo)層A中所占的權(quán)值，構(gòu)造O－C層的成對比較矩陣A=于是經(jīng)計算，A的最大特征根λmax=3.038，CI=0.019，查表得RI=0.58，故CR=0.033。因CR<0.1，接受矩陣A，求出A對應(yīng)于λmax的標(biāo)準(zhǔn)化特征向量W=(0.105,0.637，0.258)T，以W的分量作為C1、C2、C3在目標(biāo)O中所占的權(quán)重。第45頁，共72頁，2023年，2月20日，星期一類似求措施層中的P1、P2在C1中的權(quán)值，P2、P3在C2中的權(quán)值及P1、P2在C1中的權(quán)值：

1P231P1P2P1C113λmax=2，CI=CR=0W=(0.75,0.25)T15P31P2P3P2C215λmax=2，CI=CR=0W=(0.167,0.833)T1P221P1P2P1C312λmax=2，CI=CR=0W=(0.66,0.333)T第46頁，共72頁，2023年，2月20日，星期一經(jīng)層次單排序，得到圖7.8。合理利用企業(yè)利潤調(diào)動職工積極性C1提高企業(yè)技術(shù)水平C2改善職工工作生活條件C3發(fā)獎金P1擴(kuò)建福利事業(yè)P2引進(jìn)新設(shè)備P3目標(biāo)層O準(zhǔn)則層C措施層P0.1050.6370.2580.750.250.1670.8330.6670.3332第47頁，共72頁，2023年，2月20日，星期一設(shè)上一層次（A層）包含A1,…,Am共m個因素，它們的層次總排序權(quán)值分別為a1,…,am。又設(shè)其后的下一層次（B層）包含n個因素B1,…,Bn，它們關(guān)于Aj的層次單排序權(quán)值分別為b1j,…,bnj（當(dāng)Bi與Aj無關(guān)聯(lián)系時，bij=0）。現(xiàn)求B層中各因素關(guān)于總目標(biāo)的權(quán)值，即求B層各因素的層次總排序權(quán)值b1,…,bn，計算按表11所示方式進(jìn)行,即，i=1,…,n。表11bnm…bn2bn1Bn………………B2m…b22b21B2B1m…b12b11B1B層總排序權(quán)值A(chǔ)mAm……A2a2A1a1層A層B步4

層次總排序及一致性檢驗最后，在步驟（4）中將由最高層到最低層，逐層計算各層次中的諸因素關(guān)于總目標(biāo)（最高層）的相對重要性權(quán)值。第48頁，共72頁，2023年，2月20日，星期一例如，對于前面考察的工廠合理利用留成利潤的例子，措施層層次單排序權(quán)值的計算如表所示。層C層PC1C2C3層P的總排序權(quán)值0.1050.6370.258P10.7500.6670.251P20.250.1670.3330.218P300.83300.531對層次總排序也需作一致性檢驗，檢驗仍象層次總排序那樣由高層到低層逐層進(jìn)行。這是因為雖然各層次均已經(jīng)過層次單排序的一致性檢驗，各成對比較判斷矩陣都已具有較為滿意的一致性。但當(dāng)綜合考察時，各層次的非一致性仍有可能積累起來，引起最終分析結(jié)果較嚴(yán)重的非一致性。B層總排序隨機(jī)一致性比率為CR=

當(dāng)CR<0.10時，認(rèn)為層次總排序結(jié)果具有較滿意的一致性并接受該分析結(jié)果。第49頁，共72頁，2023年，2月20日，星期一二、最大特征根及對應(yīng)特征向量的近似計算法眾所周知，求矩陣A的特征根與特征向量在n較大時是非常麻煩的，需要求解高次代數(shù)方程及高階線性方程組。由于判斷矩陣中aij的給出方法是比較粗糙的，它只是決策者主觀看法在一定精度內(nèi)的定量化反映，也就是說，建模本身存在著較大的模型誤差。因而，在計算特征根和特征向量時，沒有必要化費太多的時間和精力去求A的特征根與特征向量的精確值。事實上，在應(yīng)用層次分析法決策時，這些量的計算通常采用較為簡便的近似方法。1、方根法在應(yīng)用小型計算器求判斷矩陣A的最大特征根與對應(yīng)特征向量時可采用方根法。其計算步驟如下：第50頁，共72頁，2023年，2月20日，星期一（1）求判斷矩陣每行元素的乘積，i=1,2,…,n（2）求Mi的n次方根

（3）對進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化，求特征向量各分量的近似值。（4）求A的最大特征根的近似值從（7.6）式中不難看出，當(dāng)A為一致矩陣時，由A中各行乘積的n次方根組成的向量與A的特征向量成比例。因而當(dāng)A的非一致性不太嚴(yán)重時，方根法求得的Wi（i=1,…,n）可近似用于層次單排序的權(quán)值。第51頁，共72頁，2023年，2月20日，星期一對前面例子中的O—C判斷陣，有每行元素相乘求，得第52頁，共72頁，2023年，2月20日，星期一2、冪法計算步驟：（步1）任取一標(biāo)準(zhǔn)化向量W(0)，指定一精度要求ε>0，k=0。（步2）迭代計算，k=0,1,…。若，i=1,…,n，則取W=為A的對應(yīng)于λmax的特征向量的近似，否則轉(zhuǎn)步2。（步3）將標(biāo)準(zhǔn)化，即求

其中為的第i個分量。第53頁，共72頁，2023年，2月20日，星期一（步4）求λmax的近似值對前面例子中的O—C判斷矩陣，若取，=0.001，利用冪法求近似特征向量如下：（第一次迭代）

(0)=(0.511,3,1.444)T，=4.955，求得W(1)=(0.103,0.605,2.91)T（第二次迭代）

(2)=(0.321,1.993,0.802)T，=3.116，求得W(2)=(0.103,0.639,0.257)T第54頁，共72頁，2023年，2月20日，星期一（第三次迭代）

(3)=(0.316,1.925,0.779)T，=3.02，求得W(3)=(0.105,0.637,0.258)T（第四次迭代）

(4)=(0.318,1.936,0.785)T，=3.04，求得W(4)=(0.105,0.637,0.258)T因，取W=W(4)。進(jìn)而，可求得。3、和積法（步1）將判斷矩陣A的每一列標(biāo)準(zhǔn)化，即令,i,j=1,…,n令。第55頁，共72頁，2023年，2月20日，星期一（步2）將中元素按行相加得到向量，其分量，i=1,…,n。（步3）將標(biāo)準(zhǔn)化，得到W，即

，i=1,…,nW即為A的（對應(yīng)于λmax的）近似特征向量。（步4）求最大特征根近似值。第56頁，共72頁，2023年，2月20日，星期一仍以前面例子中的O—C判斷矩陣為例：按列標(biāo)準(zhǔn)化

標(biāo)準(zhǔn)化，以上近似方法計算都很簡單，計算結(jié)果與實際值相差很小，且A的非一致性越弱相差越小，而當(dāng)A為一致矩陣時兩者完全相同。按行相加第57頁，共72頁，2023年，2月20日，星期一三、層次分析法應(yīng)用舉例在應(yīng)用層次分析法研究問題時，遇到的主要困難有兩個：（1）如何根據(jù)實際情況抽象出較為貼切的層次結(jié)構(gòu)；（2）如何將某些定性的量作比較接近實際的定量化處理。層次分析法對人們的思維過程進(jìn)行了加工整理，提出了一套系統(tǒng)分析問題的方法，為科學(xué)管理和決策提供了較有說服力的依據(jù)。但層次分析法也有其局限性，主要表現(xiàn)在：（1）它在很大程度上依賴于人們的經(jīng)驗，主觀因素的影響很大，它至多只能排除思維過程中的嚴(yán)重非一致性（即矛盾性），卻無法排除決策者個人可能存在的嚴(yán)重片面性。（2）比較、判斷過程較為粗糙，不能用于精度要求較高的決策問題。AHP至多只能算是一種半定量（或定性與定量結(jié)合）的方法，如何用更科學(xué)、更精確的方法來研究問題并作出決策，還有待于進(jìn)一步的探討研究。在應(yīng)用層次分析法時，建立層次結(jié)構(gòu)模型是十分關(guān)鍵的一步?，F(xiàn)再分析若干實例，以便說明如何從實際問題中抽象出相應(yīng)的層次結(jié)構(gòu)。第58頁，共72頁，2023年，2月20日，星期一例14招聘工作人員某單位擬從應(yīng)試者中挑選外銷工作人員若干名，根據(jù)工作需要，單位領(lǐng)導(dǎo)認(rèn)為招聘來的人員應(yīng)具備某些必要的素質(zhì)，由此建立層次結(jié)構(gòu)如圖7.9所示。招聘人員綜合情況知識能力外表經(jīng)濟(jì)知識外語知識法律知識組織能力公關(guān)能力計算機(jī)操作氣質(zhì)身高體形C層B層A層B1B2B3C1C2C3C4C5C6C7C8C9第59頁，共72頁，2023年，2月20日，星期一該單位領(lǐng)導(dǎo)認(rèn)為，作為外銷工作人員，知識面與外觀形象同樣重要，而在能力方面則應(yīng)有稍強(qiáng)一些的要求。根據(jù)以上看法，建立A—B層成對比較判斷矩陣→

求得λmax=3，CR=0。1211121B1B2B3B3B2B1A第60頁，共72頁，2023年，2月20日，星期一類似建立B—C層之間的三個成對比較矩陣:

注：權(quán)系數(shù)是根據(jù)后面的計算添加上去的

1C3815C231C1C3C2C1B1111C6111C5111C4C6C5C4B21C921C8751C7C9C8C7B3W=(0.186,0.737,0.077)T

=3.047,CR=0.08W=(,,)TW

=(0.738,0.168,0.094)T

=3.017,CR=0.08第61頁，共72頁，2023年，2月20日，星期一招聘人員綜合情況知識能力外表經(jīng)濟(jì)知識外語知識法律知識組織能力公關(guān)能力計算機(jī)操作氣質(zhì)身高體形C層B層A層0.250.50.25B1B2B30.1860.7370.0770.3330.3330.3330.7380.1680.094C1C2C3C4C5C6C7C8C9經(jīng)層次總排序，可求得C層中各因子Ci在總目標(biāo)中的權(quán)重分別為：0.047,0.184,0.019，0.167,0.167,0.167,0.184,0.042,0.024招聘工作可如下進(jìn)行，根據(jù)應(yīng)試者的履歷、筆試與面試情況，對他們的九項指標(biāo)作1—9級評分。設(shè)其得分為X=(x1,…,x9)T，用公式y(tǒng)=0.047x1+0.184x2+0.019x3+0.167(x4+x5+x6)+0.184x7+0.042x8+0.024x9

第62頁，共72頁，2023年，2月20日，星期一例15

（挑選合適的工作）經(jīng)雙方懇談，已有三個單位表示愿意錄用某畢業(yè)生。該生根據(jù)已有信息建立了一個層次結(jié)構(gòu)模型，如圖8.10所示。工作滿意程度研究課題發(fā)展前途待遇同事情況地理位置單位名氣工作1工作2工作3目標(biāo)層A準(zhǔn)則層B方案層CB1B2B3B4B5B6C1C2C3第63頁，共72頁，2023年，2月20日，星期一該生經(jīng)冷靜思考、反復(fù)比較，建立了各層次的成對比較矩陣：133222B611311B51B43511B314211B214111B1B6B5B4B3B2B1A第64頁，共72頁，2023年，2月20日，星期一由于比較因素較多，此成對比較矩陣甚至不是正互反矩陣。（方案層）

12C3314C21C1C3C2C1B1125C314C21C1C3C2C1B211C311C231C1C3C2C1B3第65頁，共72頁，2023年，2月20日，星期一(層次總排序)如表13所示。

表13準(zhǔn)則研究課題發(fā)展前途待遇同事情況地理位置單位名氣總排序權(quán)值準(zhǔn)則層權(quán)值0.160.190.190.050.120.30方案層工作10.140.100.320