平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的譜分析

平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的譜分析第1頁(yè)，共33頁(yè)，2023年，2月20日，星期一第三章平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的譜分析重點(diǎn)及其要求：（1）平穩(wěn)過(guò)程的自相關(guān)函數(shù)與功率譜密度之間、聯(lián)合平穩(wěn)過(guò)程的互相關(guān)函數(shù)與互譜密度之間皆互為傅立葉變換，知其一可求其二，并能求出平均功率、互功率。（2）對(duì)功率譜密度、互譜密度的定義及性質(zhì)要熟記，以便靈活運(yùn)用，解決有關(guān)問(wèn)題。第2頁(yè)，共33頁(yè)，2023年，2月20日，星期一3.1隨機(jī)過(guò)程的譜分析（一）隨機(jī)過(guò)程的功率譜密度隨機(jī)過(guò)程X(t)的樣本函數(shù)x(t)不滿足傅立葉變換絕對(duì)可積條件。盡管x(t)的總能量是無(wú)限的，但其平均功率卻是有限的。過(guò)程的樣本函數(shù)x(t)的截取函數(shù)定義為第3頁(yè)，共33頁(yè)，2023年，2月20日，星期一3.1隨機(jī)過(guò)程的譜分析當(dāng)T為有限值時(shí)，截取函數(shù)滿足絕對(duì)可積條件，其傅立葉變換存在，則有顯然xT(t)也應(yīng)滿足帕賽瓦定理，即對(duì)上式作集平均、時(shí)間平均處理后，可得到隨機(jī)過(guò)程的平均功率為第4頁(yè)，共33頁(yè)，2023年，2月20日，星期一3.1隨機(jī)過(guò)程的譜分析由此得到兩個(gè)重要結(jié)論：（1）若過(guò)程X(t)是平穩(wěn)的，則有（2）設(shè)則有我們稱SX()為隨機(jī)過(guò)程X(t)的功率譜密度函數(shù)。對(duì)平穩(wěn)過(guò)程X(t)，則有第5頁(yè)，共33頁(yè)，2023年，2月20日，星期一3.1隨機(jī)過(guò)程的譜分析（二）功率譜密度與復(fù)頻率面為了系統(tǒng)分析的方便，有時(shí)用復(fù)頻率來(lái)代替實(shí)頻率變量，于是，功率譜密度便是復(fù)變量S的函數(shù)，記為。最簡(jiǎn)單的情況就是，，此時(shí)記；當(dāng)用-jS代替時(shí)，功率譜密度應(yīng)記為或。有時(shí)也用復(fù)頻率面上的零、極點(diǎn)圖來(lái)研究功率譜密度。第6頁(yè)，共33頁(yè)，2023年，2月20日，星期一3.1隨機(jī)過(guò)程的譜分析例3.1設(shè)復(fù)隨機(jī)過(guò)程其中a和0皆為實(shí)常數(shù)，是均勻分布在區(qū)間（0,/2）上的隨機(jī)變量。試求X(t)的平均功率。解：因?yàn)閄(t)的均方值是時(shí)間t的函數(shù)，故X(t)不是寬平穩(wěn)的?？梢郧蟮肵(t)的平均功率第7頁(yè)，共33頁(yè)，2023年，2月20日，星期一3.1隨機(jī)過(guò)程的譜分析例3.2設(shè)解：用=-js代入得求用復(fù)頻率s=j表示的SX(s)第8頁(yè)，共33頁(yè)，2023年，2月20日，星期一習(xí)題3.1設(shè)平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程X(t)的功率密度為求用復(fù)頻率s=j表示的SX(s)，并在復(fù)頻率面上畫(huà)出SX(s)的零、極點(diǎn)圖。第9頁(yè)，共33頁(yè)，2023年，2月20日，星期一3.2平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的功率譜密度性質(zhì)（一）平穩(wěn)過(guò)程X(t)的功率譜密度的性質(zhì)(1).(2).功率譜密度SX()是的實(shí)函數(shù)。(3).(4).SX()可積(5).(6).在平穩(wěn)過(guò)程中，有一大類(lèi)過(guò)程，其功率譜密度是的有理函數(shù)，即式中S0>0,M<N,此外，分母應(yīng)該無(wú)實(shí)數(shù)根。第10頁(yè)，共33頁(yè)，2023年，2月20日，星期一3.2平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的功率譜密度性質(zhì)例3.3考慮一個(gè)廣義平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程X(t)，具有功率譜密度為解：現(xiàn)在我們用復(fù)頻率的方法來(lái)求。首先令s=j,得求過(guò)程的均方值利用留數(shù)定理，考慮沿著左半平面上的一個(gè)半徑為無(wú)窮大的半圓積分第11頁(yè)，共33頁(yè)，2023年，2月20日，星期一3.2平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的功率譜密度性質(zhì)左半平面有兩個(gè)極點(diǎn)，在－1和－3處，于是，可以分別計(jì)算兩個(gè)極點(diǎn)的留數(shù)為故第12頁(yè)，共33頁(yè)，2023年，2月20日，星期一習(xí)題3.2已知平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程X(t)，具有功率譜密度為求過(guò)程的均方值第13頁(yè)，共33頁(yè)，2023年，2月20日，星期一3.3平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的功率譜密度與自相關(guān)函數(shù)之間的關(guān)系（一）關(guān)系式經(jīng)分析，隨機(jī)過(guò)程自相關(guān)函數(shù)的時(shí)間均值與過(guò)程功率譜密度之間構(gòu)成了傅立葉變換對(duì)，即若平穩(wěn)過(guò)程滿足第14頁(yè)，共33頁(yè)，2023年，2月20日，星期一3.3平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的功率譜密度與自相關(guān)函數(shù)之間的關(guān)系利用的偶函數(shù)特性，維納－辛欽定理還可以表示為：則有第15頁(yè)，共33頁(yè)，2023年，2月20日，星期一3.3平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的功率譜密度與自相關(guān)函數(shù)之間的關(guān)系（二）例解例3.4設(shè)平穩(wěn)過(guò)程X(t)的自相關(guān)函數(shù)為其中a,0均為常數(shù)。求該過(guò)程的功率譜密度。解：第16頁(yè)，共33頁(yè)，2023年，2月20日，星期一3.3平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的功率譜密度與自相關(guān)函數(shù)之間的關(guān)系例3.4設(shè)平穩(wěn)過(guò)程X(t)的功率譜密度為求該過(guò)程的自相關(guān)函數(shù)和平均功率Q.解：利用留數(shù)定理，可求得第17頁(yè)，共33頁(yè)，2023年，2月20日，星期一習(xí)題3.3設(shè)隨機(jī)過(guò)程Y(t)=aX(t)sin0t,其中a,0皆為常數(shù)，X(t)為具有功率譜密度SX()的平穩(wěn)過(guò)程。求過(guò)程Y(t)的功率譜密度。3.4已知平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程X(t),具有功率譜密度為求過(guò)程的自相關(guān)函數(shù)和均方值。第18頁(yè)，共33頁(yè)，2023年，2月20日，星期一3.4離散時(shí)間隨機(jī)過(guò)程的功率譜密度（一）離散時(shí)間隨機(jī)過(guò)程的功率譜密度設(shè)X(n)為寬平穩(wěn)離散時(shí)間隨機(jī)過(guò)程，其自相關(guān)函數(shù)RX(m)滿足定義1X(n)的功率譜密度SX()為RX(m)的離散傅立葉變換，即它是周期連續(xù)函數(shù)，其周期為2q(即Nyquist頻率)，即第19頁(yè)，共33頁(yè)，2023年，2月20日，星期一3.4離散時(shí)間隨機(jī)過(guò)程的功率譜密度且有在離散時(shí)間系統(tǒng)分析中，有時(shí)用Z變換更為方便，所以也用廣義平穩(wěn)離散時(shí)間隨機(jī)過(guò)程的功率譜密度定義為RX(m)的Z變換。第20頁(yè)，共33頁(yè)，2023年，2月20日，星期一3.4離散時(shí)間隨機(jī)過(guò)程的功率譜密度定義2X(n)的功率譜密度為的Z變換顯然有RX(m)則為的逆Z變換，即式中D為收斂區(qū)中的簡(jiǎn)單閉合圍線。第21頁(yè)，共33頁(yè)，2023年，2月20日，星期一3.4離散時(shí)間隨機(jī)過(guò)程的功率譜密度（二）平穩(wěn)過(guò)程的采樣定理若零均值的限帶平穩(wěn)過(guò)程X(t)的功率譜密度為在采樣周期時(shí)，可將X(t)按其振幅采樣展開(kāi)為此式就是平穩(wěn)過(guò)程的采樣定理。第22頁(yè)，共33頁(yè)，2023年，2月20日，星期一3.4離散時(shí)間隨機(jī)過(guò)程的功率譜密度（三）功率譜密度的采樣定理若平穩(wěn)連續(xù)時(shí)間實(shí)隨機(jī)過(guò)程X(t)，其自相關(guān)函數(shù)和功率譜密度分別以記；對(duì)X(t)采樣后，所得離散時(shí)間隨機(jī)過(guò)程X(n)=X(nT)，X(n)的自相關(guān)函數(shù)和功率譜密度分別用表示，則有上式就是功率譜密度的采樣定理。第23頁(yè)，共33頁(yè)，2023年，2月20日，星期一3.4離散時(shí)間隨機(jī)過(guò)程的功率譜密度（四）例解例3.5設(shè)平穩(wěn)離散時(shí)間隨機(jī)過(guò)程X(n)的自相關(guān)函數(shù)為求X(m)的功率譜密度解：上式等號(hào)右邊第一個(gè)和式在處收斂為第二個(gè)和式在處收斂為故我們得到第24頁(yè)，共33頁(yè)，2023年，2月20日，星期一3.4離散時(shí)間隨機(jī)過(guò)程的功率譜密度故我們得到則若T=1時(shí)，上式變?yōu)榈?5頁(yè)，共33頁(yè)，2023年，2月20日，星期一3.5互譜密度（一）互譜密度設(shè)X(t),Y(t)為聯(lián)合平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程，若分別為的傅立葉變換，則可定義這兩個(gè)過(guò)程的互譜密度為于是兩個(gè)隨機(jī)過(guò)程X(t)和Y(t)的互功率為第26頁(yè)，共33頁(yè)，2023年，2月20日，星期一3.5互譜密度（二）互譜密度與互相關(guān)函數(shù)的關(guān)系對(duì)于兩個(gè)實(shí)隨機(jī)過(guò)程X(t),Y(t)有若實(shí)過(guò)程X(t)、Y(t)聯(lián)合平穩(wěn)，則有第27頁(yè)，共33頁(yè)，2023年，2月20日，星期一3.5互譜密度（三）互譜密度的性質(zhì)互功率譜密度和功率譜密度不同，它不再是頻率的正的、實(shí)的和偶函數(shù)。下面我們不加證明地列出互譜密度的若干性質(zhì)。（1）（2）互譜密度的實(shí)部Re[SXY()]、Re[SYX()]為的偶函數(shù)，其虛部Im[SXY()]、Im[SYX()]為的奇函數(shù)。第28頁(yè)，共33頁(yè)，2023年，2月20日，星期一3.5互譜密度（3）若隨機(jī)過(guò)程X(t)與Y(t)正交，則有（4）若隨機(jī)過(guò)程X(t)與Y(t)是兩個(gè)不相關(guān)的，均值分別為mX和mY平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程，則（5）第29頁(yè)，共33頁(yè)，2023年，2月20日，星期一3.5互譜密度（四）例解例3.6已知隨機(jī)過(guò)程Z(t)為。其中a和b皆為實(shí)數(shù)，X(t)和Y(t)是各自平穩(wěn)且聯(lián)合平穩(wěn)的隨機(jī)過(guò)程。試求：（1）過(guò)程Z(t)的功率譜SZ();（2）過(guò)程X(t)和Y(t)不相關(guān)時(shí)的SZ();（3）互譜密度SXZ()和SYZ().第30頁(yè)，共33頁(yè)，2023年，2月20日，星期一3.5互譜密度解：（1）過(guò)程Z(t)的均值、互相關(guān)函數(shù)分別為所以Z(t)也是寬平穩(wěn)過(guò)程，它的功率譜密度為第31頁(yè)，共33頁(yè)，2023年，2月20日，星期一3.5互譜密度（2）平穩(wěn)過(guò)程X(t)與Y(t)不相關(guān)時(shí)的互