2023屆新疆昌吉九中數(shù)學(xué)高二下期末質(zhì)量檢測試題含解析

2022-2023高二下數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知等差數(shù)列中，，，則（）A． B． C． D．2．如圖，直線：與雙曲線：的右支交于，兩點，點是線段的中點，為坐標(biāo)原點，直線交雙曲線于，兩點，其中點，，在雙曲線的同一支上，若雙曲線的實軸長為4，，則雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．3．設(shè)隨機變量X的分布列為P(X＝i)＝a()i，i＝1，2，3，則a的值為()A．1 B． C． D．4．若直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），則直線的傾斜角為()A． B． C． D．5．某商場進行購物摸獎活動，規(guī)則是：在一個封閉的紙箱中裝有標(biāo)號分別為1，2，3，4，5，6的六個小球，每次摸獎需要同時取出兩個球，每位顧客最多有兩次摸獎機會，并規(guī)定：若第一次取出的兩球號碼連號，則中獎，摸獎結(jié)束；若第一次未中獎，則將這兩個小球放回后進行第二次摸球，若與第一次取出的兩個小球號碼相同，則為中獎，按照這樣的規(guī)則摸獎，中獎的概率為（）A． B． C． D．6．已知復(fù)數(shù)，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限7．已知直線、經(jīng)過圓的圓心，則的最小值是A．9 B．8 C．4 D．28．已知定義域為的函數(shù)滿足，，當(dāng)時，則（）A． B．3 C． D．49．如圖的三視圖表示的四棱錐的體積為，則該四棱錐的最長的棱的長度為（）A． B． C．6 D．10．某群體中的每位成員使用移動支付的概率都為，各成員的支付方式相互獨立，設(shè)為該群體的10位成員中使用移動支付的人數(shù)，，，則A．0.7 B．0.6 C．0.4 D．0.311．已知函數(shù)有三個不同的零點（其中），則的值為()A． B． C． D．112．閱讀如圖所示的程序框圖，則輸出的S等于()A．38 B．40 C．20 D．32二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若實數(shù)，滿足約束條件，則的最大值是.14．若復(fù)數(shù)z=(a+i)2是純虛數(shù)(i是虛數(shù)單位)，a為實數(shù)，則復(fù)數(shù)z的模為15．將一顆骰子拋擲兩次，用表示向上點數(shù)之和，則的概率為______.16．若函數(shù)在內(nèi)有且只有一個零點，則在上的最大值與最小值的和為__________．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖所示的幾何，底為菱形，，.平面底面，，，.（1）證明：平面平面；（2）求二面角的正弦值.18．（12分）為豐富市民的文化生活，市政府計劃在一塊半徑為200m，圓心角為的扇形地上建造市民廣場，規(guī)劃設(shè)計如圖：內(nèi)接梯形區(qū)域為運動休閑區(qū)，其中A，B分別在半徑，上，C，D在圓弧上，；上，；區(qū)域為文化展區(qū)，長為，其余空地為綠化區(qū)域，且長不得超過200m.(1)試確定A，B的位置，使的周長最大？(2)當(dāng)?shù)闹荛L最長時，設(shè)，試將運動休閑區(qū)的面積S表示為的函數(shù)，并求出S的最大值.19．（12分）（1）化簡：；（2）我國數(shù)學(xué)家陳景潤在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界領(lǐng)先的成果.哥德巴赫猜想是“每個大于的偶數(shù)可以表示為兩個素數(shù)的和”，如，在不超過的素數(shù)中，隨機選取兩個不同的數(shù)，其和等于的概率是多少?20．（12分）已知直線的方程為，圓的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以原點為極點，軸正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系．（1）求直線與圓的交點的極坐標(biāo)；（2）若為圓上的動點，求到直線的距離的最大值．21．（12分）設(shè)函數(shù)，其中實數(shù)是自然對數(shù)的底數(shù).(1)若在上無極值點，求的值；(2)若存在，使得是在上的最大或最小值，求的取值范圍.22．（10分）將前12個正整數(shù)構(gòu)成的集合中的元素分成四個三元子集，使得每個三元子集中的三數(shù)都滿足：其中一數(shù)等于另外兩數(shù)之和，試求不同的分法種數(shù)．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】分析：根據(jù)等差數(shù)列的通項公式，可求得首項和公差，然后可求出值。詳解：數(shù)列為等差數(shù)列，，，所以由等差數(shù)列通項公式得，解方程組得所以所以選C點睛：本題考查了等差數(shù)列的概念和通項公式的應(yīng)用，屬于簡單題。2、A【解析】

根據(jù)點是線段的中點，利用點差法求得直線的斜率及其方程；聯(lián)立直線與雙曲線得到點橫坐標(biāo)，聯(lián)立直線與直線，得到點橫坐標(biāo)。由于，根據(jù)相似可得，又因為雙曲線的對稱性，，故，則，整理得到，進一步求得離心率?！驹斀狻吭O(shè)點為，點為，中點為，則，根據(jù)點差法可得，即，雙曲線的實軸長為4，直線為，，直線為.聯(lián)立，得；聯(lián)立，得又，根據(jù)相似可得雙曲線的對稱性，，，，，故選A【點睛】本題考察雙曲線離心率問題，出現(xiàn)弦中點考慮點差法，面積比值可以利用相似轉(zhuǎn)化為邊的比值，以此簡化計算3、D【解析】

根據(jù)分布列中所有概率和為1求a的值.【詳解】因為P(X＝i)＝a()i，i＝1，2，3，所以，選D.【點睛】本題考查分布列的性質(zhì)，考查基本求解能力.4、D【解析】

將直線的參數(shù)方程化為普通方程，求出斜率，進而得到傾斜角?！驹斀狻吭O(shè)直線的傾斜角為，將直線的參數(shù)方程（為參數(shù)）消去參數(shù)可得，即，所以直線的斜率所以直線的傾斜角，故選D.【點睛】本題考查參數(shù)方程和普通方程的互化以及直線的傾斜角，屬于簡單題。5、B【解析】

可將中獎的情況分成第一次兩球連號和第二次取出的小球與第一次取出的號碼相同兩種情況，分別計算兩種情況的概率，根據(jù)和事件概率公式可求得結(jié)果.【詳解】中獎的情況分為：第一次取出兩球號碼連號和第二次取出兩個小球與第一次取出的號碼相同兩種情況第一次取出兩球連號的概率為：第二次取出兩個小球與第一次取出號碼相同的概率為：中獎的概率為：本題正確選項：【點睛】本題考查和事件概率問題的求解，關(guān)鍵是能夠根據(jù)題意將所求情況進行分類，進而通過古典概型和積事件概率求解方法求出每種情況對應(yīng)的概率.6、D【解析】

根據(jù)復(fù)數(shù)的運算法則，化簡復(fù)數(shù)，再利用復(fù)數(shù)的表示，即可判定，得到答案.【詳解】由題意，復(fù)數(shù)，所以復(fù)數(shù)對應(yīng)的點位于第四象限.故選D.【點睛】本題主要考查了復(fù)數(shù)的除法運算，以及復(fù)數(shù)的表示，其中解答中熟記復(fù)數(shù)的運算法則，準(zhǔn)確化簡復(fù)數(shù)為代數(shù)形式是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎(chǔ)題.7、A【解析】

由圓的一般方程得圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，所以圓心坐標(biāo)為，由直線過圓心，將圓心坐標(biāo)代入得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，即時，等號成立，所以最小值為1【詳解】圓化成標(biāo)準(zhǔn)方程，得，圓的圓心為，半徑．直線經(jīng)過圓心C，，即，因此，，、，，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立．由此可得當(dāng)，即且時，的最小值為1．故選A．【點睛】若圓的一般方程為，則圓心坐標(biāo)為，半徑8、D【解析】

根據(jù)奇偶性和可知關(guān)于軸和對稱，由對稱性和周期性關(guān)系可確定周期為，進而將所求函數(shù)值化為，代入可求得結(jié)果.【詳解】，為偶函數(shù)，圖象關(guān)于軸對稱；，關(guān)于直線對稱；是周期為的周期函數(shù)，.故選：.【點睛】本題考查利用函數(shù)的性質(zhì)求解函數(shù)值的問題，涉及到函數(shù)奇偶性、對稱性和周期性的應(yīng)用；關(guān)鍵是能夠熟練掌握對稱性和周期性的關(guān)系，準(zhǔn)確求得函數(shù)的周期性.9、C【解析】

根據(jù)三視圖，畫出空間結(jié)構(gòu)體，即可求得最長的棱長?！驹斀狻扛鶕?jù)三視圖，畫出空間結(jié)構(gòu)如下圖所示：由圖可知，底面，所以棱長最長根據(jù)三棱錐體積為可得，解得所以此時所以選C【點睛】本題考查了空間幾何體三視圖，三棱錐體積的簡單應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題。10、B【解析】分析：判斷出為二項分布，利用公式進行計算即可．或，,可知故答案選B.點睛：本題主要考查二項分布相關(guān)知識，屬于中檔題．11、D【解析】

令y=，從而求導(dǎo)y′=以確定函數(shù)的單調(diào)性及取值范圍，再令=t，從而化為t2+（a﹣1）t+1﹣a=0有兩個不同的根，從而可得a＜﹣3或a＞1，討論求解即可．【詳解】令y=，則y′=，故當(dāng)x∈（0，e）時，y′＞0，y=是增函數(shù)，當(dāng)x∈（e，+∞）時，y′＞0，y=是減函數(shù)；且=﹣∞，=，=0；令=t，則可化為t2+（a﹣1）t+1﹣a=0，故結(jié)合題意可知，t2+（a﹣1）t+1﹣a=0有兩個不同的根，故△=（a﹣1）2﹣4（1﹣a）＞0，故a＜﹣3或a＞1，不妨設(shè)方程的兩個根分別為t1，t2，①若a＜﹣3，t1+t2=1﹣a＞4，與t1≤且t2≤相矛盾，故不成立；②若a＞1，則方程的兩個根t1，t2一正一負(fù)；不妨設(shè)t1＜0＜t2，結(jié)合y=的性質(zhì)可得，=t1，=t2，=t2，故（1﹣）2（1﹣）（1﹣）=（1﹣t1）2（1﹣t2）（1﹣t2）=（1﹣（t1+t2）+t1t2）2又∵t1t2=1﹣a，t1+t2=1﹣a，∴（1﹣）2（1﹣）（1﹣）=1；故選：D．【點睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用及轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，考查了函數(shù)的零點個數(shù)問題，考查了分類討論思想的應(yīng)用．12、B【解析】

模擬程序,依次寫出各步的結(jié)果,即可得到所求輸出值．【詳解】程序的起始為第一次變?yōu)榈诙巫優(yōu)榈谌巫優(yōu)榈谒拇巫優(yōu)闈M足條件可得故選：B.【點睛】本題考查程序框圖中的循環(huán)結(jié)構(gòu),難度較易.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】試題分析：畫出不等式組表示的平面區(qū)域為下圖中的陰影部分，看作兩點，連線的斜率，根據(jù)上圖可求最大值為考點：線性規(guī)劃。14、2【解析】分析：先化z為代數(shù)形式，再根據(jù)純虛數(shù)概念得a，最后根據(jù)復(fù)數(shù)模的定義求結(jié)果.詳解：因為z=(a+i)2所以|z|=點睛：首先對于復(fù)數(shù)的四則運算，要切實掌握其運算技巧和常規(guī)思路，如(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i,(a,b,c.d∈R).其次要熟悉復(fù)數(shù)相關(guān)基本概念，如復(fù)數(shù)a+bi(a,b∈R)的實部為a、虛部為b、模為a2+b215、【解析】分析：利用列舉法求出事件“”包含的基本事件個數(shù)，由此能出事件“”的概率．詳解：將一顆質(zhì)地均勻的正方體骰子（六個面的點數(shù)分別為1，2，3，4，5，6）先后拋擲兩次，用表示向上點數(shù)之和，則基本數(shù)值總數(shù)，事件“”包含的基本事件有：共6個，∴事件“”的概率．即答案為.點睛：本題考查概率的求法，是基礎(chǔ)題，解題時要認(rèn)真審題，注意列舉法的合理運用．16、.【解析】分析：先結(jié)合三次函數(shù)圖象確定在上有且僅有一個零點的條件，求出參數(shù)a,再根據(jù)單調(diào)性確定函數(shù)最值，即得結(jié)果.詳解：由得，因為函數(shù)在上有且僅有一個零點且，所以，因此從而函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，點睛：對于函數(shù)零點個數(shù)問題，可利用函數(shù)的單調(diào)性、草圖確定其中參數(shù)取值條件．從圖象的最高點、最低點，分析函數(shù)的最值、極值；從圖象的對稱性，分析函數(shù)的奇偶性；從圖象的走向趨勢，分析函數(shù)的單調(diào)性、周期性等．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析；（2）【解析】

（1）推導(dǎo)出，從而平面，進而.再由，得平面，推導(dǎo)出，從而平面，由此能證明平面平面；

（2）取中點G，從而平面，以、、所在直線分別為x軸、y軸、z軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出二面角的余弦值.【詳解】解：（1）由題意可知，又因為平面底面，所以平面，從而.因為，所以平面，易得，，，所以，故.又，所以平面.又平面，所以平面平面；（2）取中點G，，相交于點O，連結(jié)，易證平面，故、、兩兩垂直，以O(shè)為坐標(biāo)原點，以、、所在直線分別為x軸、y軸、z軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，所以，，.由（1）可得平面的法向量為.設(shè)平面的法向量為，則即令，得，所以.從而，故二面角的正弦值為.【點睛】本題考查面面垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是中檔題.18、（1）、都為50m；（2）；；最大值為.【解析】

對于（1），設(shè)，，m，，在△OAB中，利用余弦定理可得，整理得，結(jié)合基本不等式即可得出結(jié)論；對于（2），當(dāng)△AOB的周長最大時，梯形ACBD為等腰梯形，過O作OF⊥CD交CD于F，交AB于E，則E、F分別為AB，CD的中點，利用已知可表示出相關(guān)線段；然后利用梯形的面積公式可知，，，令，，，結(jié)合導(dǎo)數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性，即可求出S的最大值．【詳解】解：（1）設(shè)，，m，，在中，，即.所以.所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，取得最大值，此時周長取得最大值.答：當(dāng)、都為50m時，的周長最大.（2）當(dāng)?shù)闹荛L最大時，梯形為等腰梯形.如上圖所示，過O作交于F，交于E，則E、F分別為、的中點，所以.由，得.在中，，.又在中，，故.所以，.令，，，.又及在上均為單調(diào)遞減函數(shù)，故在上為單調(diào)遞減函數(shù).因，故在上恒成立，于是，在上為單調(diào)遞增函數(shù).所以當(dāng)時，有最大值，此時S有最大值為.答：當(dāng)時，梯形面積有最大值，且最大值為.【點睛】本題主要考查了余弦定理、基本不等式以及導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，在（2）中得到后，利用導(dǎo)數(shù)得到求出，結(jié)合函數(shù)在公共區(qū)間上，減函數(shù)+減函數(shù)等于減函數(shù)，從而確定在上為單調(diào)遞減函數(shù).屬于難題.19、（1）詳見解析；（2）【解析】

（1）根據(jù)組合數(shù)的運算公式求解；（2）首先列舉所有不超過30的素數(shù)，然后按照古典概型寫出概率.【詳解】（1）（2）不超過30的素數(shù)有2,3,5,7,11,13,17,19,23,29共10個，任取2個不同的數(shù)有種方法，其