第一型曲線積分

第一型曲線積分第1頁，共22頁，2023年，2月20日，星期三一．第一型曲線積分的定義上的連續(xù)函

是定義在設某物體的密度函數(shù)數(shù)當是直線段時,應用定積分就能計算得該物體

的質(zhì)量.現(xiàn)在研究當是平面或空間中某一可求長度的曲線段時物體的質(zhì)量的計算問題.(2)近似求和：在每一個上任取一點由于

(1)分割：把分成個可求長度的小曲線段

第2頁，共22頁，2023年，2月20日，星期三上的連續(xù)函數(shù),故當?shù)幕￠L都很小時,

每一小段的質(zhì)量可近似地等于其中

為小曲線段的長度.于是在整個上的質(zhì)量就近似地等于和式(3)當對的分割越來越細密(即)

時,上述和式的極限就應是該物體的質(zhì)量.由上面看到,求物質(zhì)曲線段的質(zhì)量,與求直線段的質(zhì)第3頁，共22頁，2023年，2月20日，星期三量一樣,也是通過“分割、近似求和、取極限”來得到的.下面給出這類積分的定義.個可求長度的小曲線段的弧長,它把定義在上的函數(shù).對曲線做分割分成記為分割的細度為在上任取一點若有極限為平面上可求長度的曲線段,定義1設為第4頁，共22頁，2023年，2月20日，星期三且的值與分割的取法無關,則稱此極限為上的第一型曲線積分,記作為空間可求長曲線段,

若為定義在上

的函數(shù),則可類似地定義在空間曲線上

的第一型曲線積分,并且記作于是前面講到的質(zhì)量分布在曲線段上的物體的質(zhì)

第5頁，共22頁，2023年，2月20日，星期三量可由第一型曲線積分(1)或(2)求得.1.若在為

常數(shù),

則也存在,且2.若曲線段由曲線首尾相接而成,

都存在,則

也存在,且第6頁，共22頁，2023年，2月20日，星期三3．都存在,且在

則4．也存在,

且第7頁，共22頁，2023年，2月20日，星期三5．存在,的弧長為則存在常數(shù)

使得6.第一型曲線積分的幾何意義為L若為坐標平面上的分段光滑曲線,上定義的連續(xù)非負函數(shù).由第一型曲線的定義,易見以為準線,母線平行于軸的柱面上截取

第8頁，共22頁，2023年，2月20日，星期三的部分的面積就是第9頁，共22頁，2023年，2月20日，星期三二．第一型曲線積分的計算定理20.1

設有光滑曲線為定義在上的連續(xù)函數(shù),則證由弧長公式知道,上由的弧長的連續(xù)性與積分中值定理,有第10頁，共22頁，2023年，2月20日，星期三所以這里則有第11頁，共22頁，2023年，2月20日，星期三令現(xiàn)在證明因為復合函數(shù)連續(xù),所以在閉區(qū)

間上有界,即存在常數(shù)使對一切

都有第12頁，共22頁，2023年，2月20日，星期三再由上連續(xù),所以它在上一致連續(xù),即對任給的使當時,從而所以第13頁，共22頁，2023年，2月20日，星期三因此當在(4)式兩邊取極限后,即得所要證的(3)式.上有連續(xù)的導函數(shù)時,(3)式成為再由定積分定義當曲線由方程表示,且在第14頁，共22頁，2023年，2月20日，星期三上有連續(xù)導函數(shù)時,(3)式成為例1設是半圓周試計算第一型曲線積分解當曲線L由方程表示,且在第15頁，共22頁，2023年，2月20日，星期三例2

一段(圖20-2),試計算第一型曲線積分解

由參

仿照定理20.1,對于空間曲線積分(2),當曲線量方程表示時,第16頁，共22頁，2023年，2月20日，星期三其計算公式為:例3計算其中為球面被平面所截得的圓周.解由對稱性知所以第17頁，共22頁，2023年，2月20日，星期三*例4計算其中為內(nèi)擺線解由對稱性知第18頁，共22頁，2023年，2月20日，星期三其中*例5求圓柱面被圓柱面所

而內(nèi)擺線的參數(shù)方程為因此第19頁，共22頁，2023年，2月20日，星期三包圍部分的面積A.

解圖中直影線部分為被圍柱面在第一卦限的部分,它的面積為把平面上的位于第一象限的四分之一圓周記為,則被圍柱面在第一卦限部分正是以曲線L為準線母線平行于z積分的幾何意義可知它的面積為的那部分柱面.由第一型曲面軸的第20頁，共22頁，2023年，2月20日，星期三L的參數(shù)方程為:因此,定義,線密度為的曲線狀物體對于x,y