一類爪形三角形問題的解題策略 論文

一類“爪”型三角形問題的解決策略摘要：解三角形試題是高考?？純?nèi)容之一，是歷年各省高考中的重點(diǎn)、熱點(diǎn)問題，常與函數(shù)、不等式及三角、幾何等相關(guān)知識結(jié)合，其試題靈活多變，知識點(diǎn)覆蓋廣泛，試題體現(xiàn)了基礎(chǔ)性、綜合性、應(yīng)用性和創(chuàng)新性的考查要求[]，不僅考查學(xué)生對基礎(chǔ)知識的掌握與應(yīng)用、運(yùn)算能力、推理判斷能力等情況，而且重視考查學(xué)生的化歸轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合等思想。體現(xiàn)了新課程“價(jià)值引領(lǐng)、素養(yǎng)導(dǎo)向、能力為重、知識為基”[]的命題理念。 關(guān)鍵詞：解三角形，正弦定理、余弦定理、構(gòu)造相似三角形，向量，基本不等式 引言：正弦定理、余弦定理是解三角形問題中常用的兩個定理，其揭示了三角形中邊與角之間的內(nèi)在聯(lián)系，熟練運(yùn)用這兩個定理是解決三角形問題的關(guān)鍵。但是有時候出題人在設(shè)置題目時正弦定理、余弦定理是隱性的，這對于有些學(xué)生來說問題就變的不太容易起來。筆者在平時做題中發(fā)現(xiàn)一類“爪”型問題具有一定的通性通法，為此寫下此文，下面是本人的一些淺顯的看法，僅供大家參考。一、典型例題分析例題1.在△ABC中，內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為abc。2sinA=3cosB+asinB。（1）求角B的大小。（2）設(shè)點(diǎn)D是AC邊的中點(diǎn)，若BD=3,求a+c的最大值。分析題目，尋找思路：第（1）問可由題中給出的等式結(jié)合正弦定理的變形化邊為角，從而得出角B的正切值，進(jìn)而得出角B的值。第（2）問可先畫出圖形進(jìn)行分析觀察，利用兩角互補(bǔ)時，其余弦值和為0進(jìn)而找到等量關(guān)系，同樣也可以借助向量基本定理和數(shù)量積或者構(gòu)造相似三角形等知識結(jié)合余弦定理解決，因此，本小問設(shè)計(jì)了以下三種解法。解：(1)由題意；因?yàn)?sinA=3cosB+asinB，AsinB，所以由正弦定理得：2sinBsinA=3sinAcosB+sin1可得：sinAsinB=3sinAcosB，因?yàn)锳?（，），則sinA≠0，所以sinB=3cosB，即tanB=3，因?yàn)锽?（，），可得B p=3。(2)解法一、（從“兩角互補(bǔ)時，余弦值的和為0”的角度進(jìn)行分析）因?yàn)镈BDC+DBDA=p,所以cosDBDC+cosDBDA=0(★)因?yàn)镈是AC邊中點(diǎn)，所以CD=AD b=2，又BD=3，△BCD中，cosDBDC=BD2+CD2-BC2=(3)2 b

+()22-a23b2+4-a2①=2BDCDb2323b△BAD中cosDBDA=BD2+AD2-AB2=(3)2 b

+()22-c23b2+4-c2②=2BDADb2323b將①②式代入（★）式并化簡，可得：2a2+2c2=12+b2③由第（1）問知，B=p,所以，在△ABC中，由余弦定理得：3AC2=AB2+BC2-2ABBC×cosDABC，即b2=a2+c2-ac④，將④式帶入③式消去b2得：a2+c2=12-ac，配方、移項(xiàng)得：ac=(a+c)2-12，因?yàn)閍c￡(a+c)2(當(dāng)且僅當(dāng)a=c時等號2成立）所以(a+c)2-12￡(a+c)2(當(dāng)且僅當(dāng)a=c時等號成立），2即(a+c)2￡16(當(dāng)且僅當(dāng)a=c=2時等號成立），所以解得a+c的最大值為4。解法二、（從向量的角度進(jìn)行分析）2uuur 1uuur 1uuur因?yàn)镈是AC的中點(diǎn)，所以由向量基本定理可知：BD= BA+ BC，2 2由向量數(shù)量積的性質(zhì)知：

uuurBD

2=(

1uuurBA+

1uuurBC)2=1uuurBA

2+

1uuuruuurBABC+

1uuurBC2 2 4 2 4p uuur uuur p由第（1）問知B= ，所以BA與BC的夾角為 ；3 32，所以（3）2=1c2 1+4ac 1+4a2，即12=a2+ac+c2，即ac=(a+)2-12，4因?yàn)閍c￡(a+c)2(當(dāng)且僅當(dāng)a=c時等號成立）2所以(a+c)2-12￡(a+c)2(當(dāng)且僅當(dāng)a=c時等號成立），2即(a+c)2￡16(當(dāng)且僅當(dāng)a=c=2時等號成立），所以解得a+c的最大值為4。解法三、（從構(gòu)造全等或相似三角形角度進(jìn)行分析）延長BD至點(diǎn)E,使得DE=BD=3，連接AE、CE，因?yàn)镈是AC的中點(diǎn)，所圖1以△ADB@△CDE，所以EC=AB=，因?yàn)椤螦BC=p，所以∠ECB=2p,33在△BCE中，由余弦定理知：BE2=CE2+CB2-2CECB×cosDBCE，即（23=2 c2+a22p+××cos3，化簡可得12=a2+ac+c2，即ac=(a+c)2-12，因?yàn)閍c￡(a+c)2(當(dāng)且僅當(dāng)a=c時等號成立）2所以(a+c)2-12￡(a+c)2(當(dāng)且僅當(dāng)a=c時等號成立），2即(a+c)2￡16(當(dāng)且僅當(dāng)a=c=2時等號成立），所以解得a+c的最大值為4。技巧總結(jié)：在解法一中，主要利用的是“兩角互補(bǔ)時，兩角的余弦值和為0”3列方程，從而在這兩個角分別所屬的三角形中利用余弦定理表示出余弦值，進(jìn)而列出一個方程，但此方程中含有三個未知數(shù)，因此，需要再找到一個方程，此時在原三角形中借助余弦定理得到另一個方程，聯(lián)立兩個方程消去無關(guān)變量，最后再借助于基本不等式的性質(zhì)完成解答。但此法的運(yùn)算量較大且在求范圍時不易求出。而解法二借助的是向量的相關(guān)知識列方程，此法相對于方法一來說，優(yōu)勢在于計(jì)算量明顯有所降低，但是解法二仍然不利于求出取值范圍。對于解法三，通過補(bǔ)形的思想，進(jìn)而構(gòu)造出全等或者相似三角形找到邊之間的數(shù)量關(guān)系，從而在另一個三角形中利用余弦定理列出方程。雖然解法三與解法二都只需列出一個方程，但是解法三比解法二的優(yōu)勢在于解法三更加容易得出取值范圍，比如說第(2)問如果求的是a+c的取值范圍問題，則方法三相對來說就會更加容易些，限于篇幅，這里不再過多贅述。反思：該題的原型實(shí)際來自于普通高中教科書數(shù)學(xué)(A)版必修第二冊第×六章53頁第15題[]：△ABC的三邊分別為abc,,,BCCAAB邊上的中線分別為mmma b c，利用余弦定理證明ma=12(b2+c2)-a22mb=12(a2+c2)-b22mc=12(a2+b2)-c22證明：不妨設(shè)BC邊上的中線為AD，易知DADB+DADC=p,所以cosDADB+cosDADC=0。在△ADB中，由余弦定理知：c2=ma2a2+4-ma××cosDADB①在△ADC中，由余弦定理知：b2=ma2a2+4-ma××cosDADC②由①+②得c2+b2=2ma2 1+2a2。所以ma2=12(b2+c2)-a2。2同理可證mb2=12(a2+c2)-b2和mc2 1=22(a2+b2)-c2。當(dāng)然了，本題也24可以利用向量來證明，證法如下：因?yàn)閡uurAD1=2uuurAB 1+2uuurAC，所以b2①,然后在原uuurAD2=1uuur2AB 1+2uuuruuurABAC 1+4uuurAC2,即ma2=1c2 1+2bccosDBAC 1+444△ABC中，由余弦定理知：a2=b2+c2-2bccosDBAC②。由①②可得ma2=12(b2+c2)-a2。2 當(dāng)然，如果D是BC邊上的三等分點(diǎn)，此時是否仍然可以用此類方法去求解呢？不妨我們也可以試著去證明，看看能得到什么樣的結(jié)論。變式如下：△ABC的三邊分別為abc,,,D是BC邊上靠近B的三等分點(diǎn)，設(shè)AD=ma，試找出ma，a，b，之間是否具有與上述結(jié)論所類似的關(guān)系。這里呢，我們主要是想借助上面介紹的三種方法，看能否去解決這個問題，如果能，則說明以上方法可以進(jìn)一步推廣，在此就不再一種一種方法的去書寫，下面直接選用向量的知識去解答，如下：因?yàn)镈是BC邊上靠近B的三等分點(diǎn)，uuur 1uuur 2uuur所以有AD= AC+ AB,根據(jù)向量數(shù)量積的性質(zhì)可知：3 3uuurAD

2=9

1uuurAC

2+9

4uuurAB

2+9

4uuuruuurACAB,所以有ma2=19

b2+9

4c2+9

4bccosDBAC①，另外在△ABC中，由余弦定理知：a2=b2+c2-2bccosDBAC②，由①②可得：ma 1=33(b2+2c2)-2a2，在這個關(guān)系中，我們可以發(fā)現(xiàn)a，b，都是已知的量，所以說，用此法確實(shí)可以找出試找出ma，a，b，之間的關(guān)系,因此此法是可以推廣的。同樣的，我們可以證明當(dāng)D是邊BC上的n等分點(diǎn)時，仍然可以使用上面的某些或全部方法進(jìn)行解答。二、直擊高考(2021年新高考I卷第19題)記△ABC內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，。已知b2=ac，點(diǎn)D在邊AC上，BDsinDABC=asinC。(1)證明：BD=b；(2)若AD=2DC，求cos∠ABC。分析題目，尋找思路：題干中給出了兩個等式，對于第二個等式可借助于正弦定理進(jìn)行變形，再結(jié)合第一個等式解答。第（2）問根據(jù)題中條件可知D是AC5邊上靠近C點(diǎn)的三等分點(diǎn)，不妨先在草稿紙上畫出圖形，可發(fā)現(xiàn)其圖形仍然形似“爪”形，這時就可以考慮用上述介紹的方法解答。如下：(1)證明：因?yàn)锽DsinDABC=asinC，所以BD a=sinsinC，由正弦定理：DABCsinb c=sinC知csinC=sinDABC，所以BD=ac b，又因?yàn)閎2=ac，所以BD=b。DABCb(2)解法一、(從“兩角互補(bǔ)，其余弦值和為0”的角度)由題意知：BD=b，AD=2b，CDb=3.因?yàn)椤螦DB+∠CDB=π，所以有3cos∠ADB+cos∠CDB=0，△ADB中，cosDADB=4b2c2=13b2-c2，同+b2-992b2b×34b23理可得，cosDCDB=b

()32+b2-a2=10b2-a2。所以有13b2-c2+10b2-a2=09992bb×32b24b22b2333整理可得2a2+c211b=32，又b2=ac.所以有2a2 b+a4 11=3b2。整理可得26a4-11ab22+3b4=0，解得：a2 1

=或3a2=3.由余弦定理知b2b22cosDABC=a2+c2-b24

=-3a2.當(dāng)a2 1b=3時，cosDABC 7

=＞16不合題意，舍2ac2b2去；當(dāng)a2=3時，cosDABC=7，綜上所述，cosDABC=7。b21212解法二、(從向量的角度)由向量基本定理知uuurBD=2uuurBC 1+3uuurBA，所以uuurBD24=9uuurBC2 4+9uuuruuurBCBA 1+uuur2BA，39由第(1)問BD=b可知：b2=4a2 4+9accosDABC 1+9c2，又由余弦定理知9 acos∠ABC=2+c2-b2，所以有b2=4a2 2+(a2+c2-b2) 1+9c2，整理得2ac9962a2+c211b=32，又b2=ac.所以有2a2 b+4 11=b2。整理得6a4-11ab22+3b4=0，a23解得：a2 1

=或3a2=3.由余弦定理知cos∠ABC=a2+c2-b24

=-3a2.當(dāng)a2 1b=3b2b222ac2b2 7時，cos∠ABC=6＞1不合題意，舍去；。當(dāng)a2b=3時，cos∠ABC=7，綜上所述，cos∠ABC=721212解法三、(從構(gòu)造相似三角形的角度)過點(diǎn)A作邊BC的平行線，交BD的延長線于點(diǎn)E,由相似三角形的相關(guān)知識圖2可得DBDC:DEDA.所以BD=CD=BC=1，所以DE=2b,BE=3b,AE=2a。EDADEA2在△ABE中，由余弦定理得cosDBAE=c2+4a2-9b2，因?yàn)锳E∥BC，所以4ac=0，∠EAB+∠ABC=π,所以cos∠EAB+cos∠ABC=0,即c2+4a2-9b2 a+2+c2-b24ac2ac整理得2a2+c211b=32，又b2=ac，所以有2a2 b+a4 11=3b2，整理得26a4-11ab22+3b4=0。解得：a2 1

=或3a2=3。由余弦定理知cos∠ABC=b2b22a2+c2-b24

=-3a2.當(dāng)a2 1b=3時，cos∠ABC=7＞1，不合題意，舍去；2ac2b26當(dāng)a2b=3時，cos∠ABC=7 7，綜上所述，cos∠ABC=12。