第三章快捷準(zhǔn)確的幾何計算

第三章快捷準(zhǔn)確的幾何計算第1頁，共39頁，2023年，2月20日，星期三3.1幾何計算中常用的定理與公式為簡便起見，我們先約定三角形中一些常用符號：在△ABC中，內(nèi)角A、B、C對應(yīng)的邊分別記為a、b、c，半周長記為p，三條中線記為ma，mb

，mc，三條高線記為ha，hb，hc，三內(nèi)角平分線記為ta，tb，tc，△ABC的外接圓半徑記為R，內(nèi)切圓半徑記為r，面積記為S.第2頁，共39頁，2023年，2月20日，星期三3.1.1幾何計算中的常用定理定理1（托勒密（Ptolemy）定理）圓內(nèi)接四邊形對角線之積等于兩組對邊乘積之和.注本定理的證明過程給解決形如ab=cd+ef的問題提供了一個范例．用類似的證法，可得到：廣義Ptolemy定理：對于一般的四邊形ABCD，有AB·CD+AD·BC≥AC·BD．當(dāng)且僅當(dāng)ABCD是圓內(nèi)接四邊形時等號成立．第3頁，共39頁，2023年，2月20日，星期三例1(美國)證明：從圓周上一點到圓內(nèi)接正方形的四個頂點的距離不可能都是有理數(shù)．思考：⑴求證：銳角三角形的外接圓半徑與內(nèi)切圓半徑的和等于外心到各邊距離的和．

⑵若ABC為直角三角形或鈍角三角形，上面的結(jié)論成立嗎？第4頁，共39頁，2023年，2月20日，星期三注：（1）Menelaus定理的逆命題為真，是Menelaus定理的逆定理；（2）本定理可以推廣到平面凸四邊形、四面體乃至n維歐氏空間中；（3）恰當(dāng)選取或作出三角形的截線，是應(yīng)用Menelaus定理的關(guān)鍵，其逆定理常用于證明三點共線問題.第5頁，共39頁，2023年，2月20日，星期三例2設(shè)四邊形ABCD兩組對邊相交于E、F，則AC、BD、EF的中點共線。注:此結(jié)論是一個定理，叫牛頓定理。第6頁，共39頁，2023年，2月20日，星期三注：

（1）Ceva定理的逆命題為真，是Ceva定理的逆定理；（2）Ceva定理可以推廣到四面體中；（3）同時應(yīng)用Menelaus定理和Ceva定理，是解決比較復(fù)雜的相關(guān)問題的有效途徑.第7頁，共39頁，2023年，2月20日，星期三例3以△ABC的三邊為邊向形外作正方形ABDE、BCFG、ACHK，設(shè)L、M、N分別為DE、FG、HK的中點．求證：AM、BN、CL交于一點．第8頁，共39頁，2023年，2月20日，星期三思考：在△ABC中，∠ABC和∠ACB均是銳角，D是BC邊上的內(nèi)點，且AD平分∠BAC，過點D分別向兩條直線AB、AC作垂線DP、DQ，其垂足是P、Q，兩條直線CP與BQ相交于點K．求證：AK⊥BC；第9頁，共39頁，2023年，2月20日，星期三定理4（斯特瓦爾特（Stewart）定理）已知△ABC及BC邊上一點P.

求證:AB2·PC+AC2·BP-AP2·BC=BP·PC·BC

.注:（1）定理的逆命題為真，是斯特瓦爾特定理的逆定理.（2）若將BC邊上的三線段看作有向線段，則不論P在直線BC上何處，此定理仍然成立.（3）由本定理易得如下推論：（4）斯特瓦爾特定理可以推廣到四面體中.第10頁，共39頁，2023年，2月20日，星期三定理5（切割線定理）從圓外一點P引圓的切線,切線長PA是這點到割線與圓交點C、D的兩條線段長的比例中項.即PA2＝PC?PD.推論從圓外一點引圓的兩條割線，這一點到每條割線與圓的交點的兩條線段的積相等.

即PA?PB＝PC?PD

.PBACDPACD第11頁，共39頁，2023年，2月20日，星期三定理6（射影定理）1.直角三角形射影定理（又叫歐幾里德定理）直角三角形中，斜邊上的高是兩直角邊在斜邊上射影的比例中項.每一條直角邊是這條直角邊在斜邊上的射影和斜邊的比例中項.2.任意三角形中的射影定理（又稱第一余弦定理）

設(shè)△ABC的三邊是a、b、c，它們所對的角分別是A、B、C，則有（4）a＝bcosC＋ccosB；（5）b＝ccosA＋acosC；（6）c＝bcosA＋acosB.第12頁，共39頁，2023年，2月20日，星期三定理7（張角定理）如圖，設(shè)P為△ABC的BC邊上的點，AB、AC、AP的長分別為a、b、t，則第13頁，共39頁，2023年，2月20日，星期三例4(蝴蝶定理)AB是⊙O的弦，M是其中點，弦CD、EF經(jīng)過點M，CF、DE交AB于P、Q，求證：MP=MQ．第14頁，共39頁，2023年，2月20日，星期三定理8（Eulerline）三角形的外心、重心、垂心三點共線，且外心與重心的距離等于重心與垂心距離的一半．

第15頁，共39頁，2023年，2月20日，星期三例5設(shè)A1A2A3A4為⊙O的內(nèi)接四邊形，H1、H2、H3、H4依次為⊿A2A3A4、⊿A3A4A1、⊿A4A1A2、⊿A1A2A3的垂心．求證：H1、H2、H3、H4四點在同一個圓上，并定出該圓的圓心位置．第16頁，共39頁，2023年，2月20日，星期三定理9（三角形內(nèi)心性質(zhì)定理）如圖，設(shè)I為△ABC的內(nèi)心，A的平分線與△ABC的外接圓交于點P，則PB=PC=PI．第17頁，共39頁，2023年，2月20日，星期三例6(Euler定理)設(shè)三角形的外接圓半徑為R，內(nèi)切圓半徑為r，外心與內(nèi)心的距離為d，則d2=R2-2Rr．第18頁，共39頁，2023年，2月20日，星期三3.1.2幾何計算中的常用公式1.已知三邊求中線定理10三角形中銳（鈍）角對邊的平方，等于其他兩邊的平方和減去（加上）這兩邊中一邊與另一邊在它上面的射影之積的兩倍．（這兩個定理合起來相當(dāng)于余弦定理）由此，我們可以得到三角形中線的常用公式：第19頁，共39頁，2023年，2月20日，星期三2.已知三邊求高和面積實際上，這個計算三角形面積的公式是我國南宋數(shù)學(xué)家秦九韶三斜求積公式（已知三邊求三角形的面積）的變形.推廣：圓內(nèi)接四邊形ABCD中，第20頁，共39頁，2023年，2月20日，星期三3.已知三邊求外接圓半徑4．已知三邊求內(nèi)切圓半徑第21頁，共39頁，2023年，2月20日，星期三5．已知三邊求角平分線6．異面直線所成的角設(shè)AB、CD為異面直線，則它們所成的角θ滿足第22頁，共39頁，2023年，2月20日，星期三9．?dāng)M柱體體積公式所有的頂點都在兩個稱為底的平行平面上的多面體，叫做擬柱體.兩底間的距離叫做高，與兩底平行且等距的截面稱為中截面.設(shè)擬柱體兩底面積為S和S1，中截面面積為M，高為h，則擬柱體的體積為:10.球類體積如果幾何體是球體，則第23頁，共39頁，2023年，2月20日，星期三作業(yè)：P861，3，4，8，14第24頁，共39頁，2023年，2月20日，星期三3.2面積方法與面積計算3.2.1面積概念所謂平面多邊形的面積，是指使每一多邊形跟滿足下列條件的一個量相對應(yīng)：（1）兩個全等的多邊形有相同的面積，不論它們在空間所占的位置為何；（不變性）（2）兩多邊形P、P’之和P’’的面積，等于P、P’面積的和.（可加性）

第25頁，共39頁，2023年，2月20日，星期三3.2.2面積計算1.幾個重要的結(jié)論（1）如圖1，在△ABC中，有（2）如圖2，在梯形ABCD中，有①S1=S2；②S1S2=S3S4.（3）如圖3，四邊形DEFB是平行四邊形，則有①S1=S2；②S1S2=S3S4.圖2圖3圖1第26頁，共39頁，2023年，2月20日，星期三2.常用方法（1）直接計算法根據(jù)幾何圖形的特點，選用有關(guān)面積公式直接進行計算.它是最基本的方法，這種方法又叫公式法．運用這種方法，一般要用幾何知識進行一些推理和論證，有時還涉及到代數(shù)和三角的運算．第27頁，共39頁，2023年，2月20日，星期三例1一個凸五邊形，以每相鄰三個頂點為頂點的三角形的面積都等于1，求這個五邊形的面積.第28頁，共39頁，2023年，2月20日，星期三（2）相對計算法不直接計算所求幾何圖形的面積，而是通過計算其它一些幾何圖形的面積，得到要求的面積．這種方法叫做相對計算法．例2（阿基米德問題——鞋匠的刀）過半圓ABC的直徑AC上一點D引AC的垂線交半圓于B，再分別以AD、DC為直徑作半圓AFD和DHC.求證

SAFDHCB等于以BD為直徑的圓的面積.第29頁，共39頁，2023年，2月20日，星期三（3）等積變換法將欲計算面積的圖形，變換為另外與之等積的圖形，再計算面積，叫做等積變換法．從現(xiàn)行初中教材看，等積變換主要根據(jù)“同底等高的兩個三角形等積”等定理．第30頁，共39頁，2023年，2月20日，星期三例3已知E、F分別是平行四邊形ABCD的邊BC、CD上的點，EF∥BD，S△ADF=5,求S△ABE.第31頁，共39頁，2023年，2月20日，星期三（4）分割補法它包括分割法、割補法和補充法三種基本方法．（5）定積分法當(dāng)平面圖形邊界曲線較復(fù)雜時，我們可以建立直角坐標(biāo)系，求出邊界曲線的方程，利用定積分來計算面積．一般地講，計算平面圖形的面積常把幾種方法結(jié)合起來使用．舉例如下：第32頁，共39頁，2023年，2月20日，星期三例4設(shè)P、Q、R、S分別是正方形ABCD各邊的中點，AP、BQ、CR、DS圍成一個四邊形EFGH，試求四邊形EFGH與正方形ABCD的面積之比．H’第33頁，共39頁，2023年，2月20日，星期三3.2.3面積方法所謂面積方法，就是在處理一些數(shù)學(xué)問題時，以面積的有關(guān)知識為論證或計算的依據(jù)，通過適當(dāng)?shù)淖儞Q，從而導(dǎo)出所求的量與其它相關(guān)的量之間的關(guān)系，使問題得以解決.這里值得一提的是，有的平面幾何問題，雖然沒有直接涉及到面積，但若靈活地運用面積知識去解答，往往會出奇制勝，事半功倍．第34頁，共39頁，2023年，2月20日，星期三例1G是邊長為4的正方形ABCD邊上一點，矩形DEFG的邊EF經(jīng)過點A，已知GD=5，求FG.第35頁，共39頁，2023年，2月20日，星期三

例2△ABC面積為1，在其內(nèi)部或邊界上任取一點P，記P到三邊a，b，c的距離依次為x，y，z．求ax+by+cz的值．

第36頁，共39頁，2023年，2月20日，星期三例3如圖，設(shè)P是△ABC內(nèi)任一點，AD，BE，CF過點P且分別交邊BC，CA，AB于D，E

，F(xiàn)．求

.注本例的結(jié)論很重要，在處理三角形內(nèi)三條線交于一點的問題