新課標(biāo)人教實(shí)驗(yàn)版高二數(shù)學(xué)必修五知識點(diǎn)典型例題講解

INETac<bc2、一元二次不等式、一元二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系判別式二次函數(shù)的圖象一元二次方程的根有兩根異實(shí)根有兩相等實(shí)根沒有實(shí)根的解集R的解集3、一元二次不等式的解法解一元二次不等式的步驟：（1）將原不等式化成一般形式（或），把二次項(xiàng)的系數(shù)變?yōu)檎龜?shù)（如果是負(fù)，那么在不等式兩邊都乘以－1，把系數(shù)變?yōu)檎?）求出對應(yīng)的一元二次方程的根．（先看能否因式分解，若不能，再看△，然后求根）（3）根據(jù)一元二次函數(shù)的圖象、二次方程的根確定一元二次不等式的解集．（根據(jù)一元二次方程的根及不等式的方向）三、典型例題剖析例1、解不等式．分析：令f（x)=，△＞0，即方程=0有兩個不相等的實(shí)根，又圖象開口向上，畫出圖象的示意圖，由二次函數(shù)的零點(diǎn)和一元二次方程的根的關(guān)系知不等式的解集．解：因?yàn)椤鳎?，方程=0的根是．所以不等式的解集是{x|x<－，或x>2}．例2、已知不等式ax2＋5x＋b＞0的解為，求a，b．分析：不等式ax2＋5x＋b＞0的解為，則知二次函數(shù)y=ax2＋5x＋b的兩個零點(diǎn)是x1=，x2=，由二次函數(shù)的零點(diǎn)與一元二次方程的關(guān)系知x1=，x2=是方程ax2＋5x＋b=0的兩個實(shí)數(shù)根，由根與系數(shù)的關(guān)系得到關(guān)于a，b的方程組．解：因?yàn)椴坏仁絘x2＋5x＋b＞0的解為，所以x1=，x2=是方程ax2＋5x＋b=0的兩個實(shí)數(shù)根，所以解得例3、已知不等式x2－ax－b<0的解集是{x|2<x<3}，求不等式bx2－ax－1>0的解集．分析：一元二次不等式的解集是由一元二次方程的根及首項(xiàng)系數(shù)的正、負(fù)，不等式是大于還是小于零確定的，不等式x2－ax－b<0的解集是{x|2<x<3}，則x=2，x=3是方程x2－ax－b＝0的兩根，求出a，b再解不等式．解：因?yàn)椴坏仁絰2－ax－b<0的解集是{x|2<x<3}，從而a=2＋3=5，b=－(2×3)=－6，于是－6x2－5x－1>0，即6x2＋5x＋1<0．因△>0，方程6x2＋5x＋1=0的兩根為：故所求不等式的解集為．小結(jié)：解一元二次不等式時，首先一定要使二次項(xiàng)系數(shù)為正數(shù)，其次要知道解集是由方程的根來給出，從而知道解集時，可求不等式系數(shù)．例4、假設(shè)國家收購某種農(nóng)副產(chǎn)品的價格是120元/擔(dān)，其中征稅標(biāo)準(zhǔn)是每100元征稅8元（叫做稅率是8個百分點(diǎn)，即8%），計劃可收購m萬擔(dān)，為了減輕農(nóng)民負(fù)擔(dān)，決定稅率降低x個百分點(diǎn)，預(yù)計收購量可增加2x個百分點(diǎn)，要使此項(xiàng)稅收在稅率降低后不低于原計劃的78%，試確定x的取值范圍．分析：此為應(yīng)用題，關(guān)鍵是審好題，從中建立出數(shù)學(xué)模型進(jìn)行求解．解答：稅率降低后是(8－x)%，收購量為m(1＋2x%)萬擔(dān)，稅收為120m(1＋2x%)(8－x)%萬元，原來的稅收為120m·8%萬元，根據(jù)題意可得120m（1＋2x%）(8－x)%≥120m·8%·78%，即x2＋42x－88≤0，解之－44≤x≤2，又x>0，∴0<x≤2，∴x的取值范圍是{x|0<x≤2}．例5、若不等式組的整數(shù)解只有－2，k應(yīng)取怎樣的值.分析：針對第二個不等式的解集展開討論．解：由，解得x<－1或x>2，再由，得①當(dāng)時，，①的解為，這時原不等式組的解為，顯然不包括－2，不合題意，舍去；當(dāng)時，，①的解為，這里原不等式組的解為（Ⅰ），或（Ⅱ）欲保證不等式組的解中只有整數(shù)解－2，由（Ⅰ）可得k<2，由（Ⅱ）可得k≥－3，即有－3≤k<2.當(dāng)，即時，①無解，此時，不等式組也無解.綜上所述，只有當(dāng)時，原不等式組的整數(shù)解只有－2.§7二元一次不等式（組）與簡單的線性規(guī)劃問題一、一周知識概述本周學(xué)習(xí)內(nèi)容是用二元一次不等式表示區(qū)域和簡單的線性規(guī)劃問題．（1）了解并會用二元一次不等式表示平面區(qū)域以及用二元一次不等式組表示平面區(qū)域；（2）了解線性規(guī)化的意義以及線性約束條件、線性目標(biāo)函數(shù)、線性規(guī)化問題、可行解、可行域以及最優(yōu)解等基本概念；（3）了解線性規(guī)化問題的圖解法，并能應(yīng)用它解決一些簡單的實(shí)際問題；（4）培養(yǎng)學(xué)生觀察、聯(lián)想以及作圖的能力，滲透集合、化歸、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，提高學(xué)生“建?！焙徒鉀Q實(shí)際問題的能力；探求解決線性規(guī)劃實(shí)際問題的基本方法和步驟，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神和應(yīng)用能力．二、重難點(diǎn)知識的歸納與剖析1、二元一次不等式ax＋by＋c>0和ax＋by＋c＜0表示的平面區(qū)域．（1）二元一次不等式ax＋by＋c>0在平面直角坐標(biāo)系中表示直線ax＋by＋c=0某一側(cè)所有點(diǎn)組成的平面區(qū)域．把直線畫成虛線以表示區(qū)域不包括邊界直線，若畫不等式ax＋by＋c≥0表示的平面區(qū)域時，此區(qū)域包括邊界直線，則把邊界直線畫成實(shí)線．（2）判斷方法：由于對在直線ax＋by＋c=0同一側(cè)的所有點(diǎn)（x,y），把它的坐標(biāo)（x,y）代入ax＋by＋c，所得的實(shí)數(shù)的符號都相同，故只需在這條直線的某一側(cè)取一個特殊點(diǎn)（x0,y0），以的正負(fù)情況便可判斷ax＋by＋c>0表示這一直線哪一側(cè)的平面區(qū)域，特殊地，當(dāng)c≠0時，常把原點(diǎn)作為此特殊點(diǎn)．2、簡單的線性規(guī)劃（1）求線性目標(biāo)函數(shù)的在約束條件下的最值問題的求解步驟是：①作圖——畫出約束條件（不等式組）所確定的平面區(qū)域和目標(biāo)函數(shù)所表示的平行直線系中的任意一條直線l；②平移——將l平行移動，以確定最優(yōu)解所對應(yīng)的點(diǎn)的位置；③求值——解有關(guān)的方程組求出最優(yōu)點(diǎn)的坐標(biāo)，再代入目標(biāo)函數(shù)，求出目標(biāo)函數(shù)的最值.（2）在線性規(guī)劃的實(shí)際問題中，主要掌握兩種類型：一是給定一定數(shù)量的人力、物力資源，問怎樣運(yùn)用這些資源，能使完成的任務(wù)量最大，收到的效益最大；二是給定一項(xiàng)任務(wù)，問怎樣安排，能使完成這項(xiàng)任務(wù)耗費(fèi)的人力、物力資源量最?。还苁悄姆N類型，解線性規(guī)劃的實(shí)際問題，關(guān)鍵在于根據(jù)條件寫出線性的約束條件及線性目標(biāo)函數(shù)，然后作出可行域，在可行域內(nèi)求出最優(yōu)解.（3）尋找整點(diǎn)最優(yōu)解的方法①平移找解法：先打網(wǎng)格，描整點(diǎn)，平移直線l，最先經(jīng)過或最后經(jīng)過的整點(diǎn)便是最優(yōu)整點(diǎn)解，這種方法應(yīng)充分利用非整點(diǎn)最優(yōu)解的信息，結(jié)合準(zhǔn)確的作圖才行，當(dāng)可行域是有限區(qū)域且整點(diǎn)個數(shù)又較少時，可逐個將整點(diǎn)坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)求值，經(jīng)比較求最優(yōu)解.②調(diào)整優(yōu)值法：先求非整點(diǎn)最優(yōu)解及最優(yōu)值，再借助不定方程的知識調(diào)整最優(yōu)值，最后篩選出整點(diǎn)最優(yōu)解.三、典型例題講解例1、畫出不等式2x＋y-6＜0表示的平面區(qū)域分析：先畫出直線，將原點(diǎn)代入看是否符合不等式，如符合，則在含原點(diǎn)的部分，否則，在不含原點(diǎn)的部分．解：先畫直線2x＋y-6=0（畫線虛線）,取原點(diǎn)（0，0），代入2x＋y-6，∵2x＋y-6＜0，∴

原點(diǎn)在不等式2x＋y-6＜0表示的平面區(qū)域內(nèi)，不等式2x＋y-6＜0表示的平面區(qū)域如圖陰影部分．例2、畫出不等式組：表示的平面區(qū)域.分析：在不等式組表示的平面區(qū)域是各個不等式所表示的平面點(diǎn)集的交集，因而是各個不等式所表示的平面區(qū)域的公共部分．本題的問題關(guān)鍵在于正確地描繪出邊界直線，然后根據(jù)給出的不等式，判斷出所表示的平面區(qū)域，為此必須分別畫出每個不等式所表示的平面區(qū)域，然后取各平面區(qū)域的公共部分.解答：不等式x<3表示直線x=3左側(cè)點(diǎn)的集合.不等式2y≥x即x－2y≤0表示直線x－2y=0上及左上方點(diǎn)的集合.不等式3x＋2y≥6，即3x＋2y－6≥0表示直線3x＋2y－6=0上及右上方點(diǎn)的集合.不等式3y<x＋9即x－3y＋9>0表示直線x－3y＋9=0右下方點(diǎn)的集合.綜上可得：不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示的陰影部分.小結(jié)：（1）解決類似本題的問題時，先應(yīng)對每一個不等式所表示的平面區(qū)域作出正確的判斷，保證不因某一不等式所表示的平面區(qū)域產(chǎn)生失誤，其次應(yīng)注意所表示的平面區(qū)域是否包括了邊界．（2）畫二元一次不等式表示的平面區(qū)域常用的方法是：直線定界、原點(diǎn)定“域”，即先畫出對應(yīng)的直線，再將原點(diǎn)坐標(biāo)代入直線方程中，看其值比零大還是比零?。徊坏仁浇M表示的平面區(qū)域是各個不等式所表示的平面點(diǎn)集的交集，是它們平面區(qū)域的公共部分.例3、求不等式|x－2|＋|y－2|≤2所表示的平面區(qū)域的面積.分析：解答本題的關(guān)鍵是正確作出不等式所表示的平面區(qū)域，可先通過討論去掉絕對值符號，再作圖.解答：原不等式等價于作出其所表示的平面區(qū)域，如下圖所示，它是邊長為的正方形，面積等于8.點(diǎn)評：正確畫出不等式表示的區(qū)域，觀察圖形的特殊性，是解決本題的關(guān)鍵所在．例4、解線性規(guī)劃問題：求z=3x＋y的最大值，使式中的x,y滿足約束條件.分析：按照解線性規(guī)劃問題的步驟解題．第一步：在平面直角坐標(biāo)系中作出可行域；第二步：在可行域中找到最優(yōu)解所對應(yīng)的點(diǎn)；第三步：解方程的最優(yōu)解，從而求出目標(biāo)函數(shù)的最大值或最小值．解答：作出可行域，如圖五邊形OABCD所表示的平面區(qū)域．作出直線l0:3x＋y=0將它平移至點(diǎn)B，顯然B的坐標(biāo)是可行域中的最優(yōu)解，它使z=3x＋y達(dá)到最大值．解方程組得B點(diǎn)的坐標(biāo)為（9，2）.∴zmax=3×9＋2=29．點(diǎn)評：若目標(biāo)函數(shù)設(shè)為z=x＋3y，約束條件不變，則z的最大值在點(diǎn)C（3,6）處取得.事實(shí)上，可行域內(nèi)最優(yōu)解對應(yīng)的點(diǎn)在何處，與目標(biāo)函數(shù)z=ax＋by(a≠0,b≠0)，所確定的直線l0：ax＋by=0的斜率有關(guān)．就這個例子而言，當(dāng)l0的斜率為負(fù)數(shù)時，即時，若（直線2x＋3y=24的斜率）時，線段BC上所有點(diǎn)都使z取最大值（如本例）；當(dāng)時，點(diǎn)C處使z取最大值（比如z=x＋3y），若，請同學(xué)思考．例5、某家具廠有方木90m3，五合板600m2，準(zhǔn)確加工成書桌和書櫥出售．已知生產(chǎn)每張書桌需要方木料0.1m3，五合板2m2，生產(chǎn)每個書櫥需要方木料0.2m3、五合板1m2，出售一張書桌可獲利潤80元，出售一個書櫥可獲利120元，如果只安排生產(chǎn)書桌，可獲利潤多少元？如果只安排生產(chǎn)書櫥，可獲利多少元？怎樣安排生產(chǎn)可使所得利潤最大？分析：（1）問什么，設(shè)什么，建立目標(biāo)函數(shù).（2）根據(jù)已知條件列出不等式組，找出可行域.解析：（1）設(shè)只生產(chǎn)書桌x張，可獲利潤z元.則所以當(dāng)x=300時，zmax=80·300=24000（元）.即如果只安排生產(chǎn)書桌，最多可生產(chǎn)300張書桌，獲得利潤24000元.（2）設(shè)只生產(chǎn)書櫥y張，可獲利潤z元.所以當(dāng)x=450時，zmax=120·450=54000（元）.如果只安排生產(chǎn)書櫥，最多可生產(chǎn)450個書櫥，獲得利潤54000元.（3）設(shè)生產(chǎn)書桌x張、書櫥y個，利潤總額為z元.則z=80x＋120y.在直角坐標(biāo)平面內(nèi)作出上面不等式組所表示的平面區(qū)域，即可行域.作直線l：80x＋120y=0，即直線2x＋3y=0.把直線l向右上方平移到l1的位置時，直線經(jīng)過可行域上的點(diǎn)M，此時z=80x＋120y=0取得最大值.由解得點(diǎn)M的坐標(biāo)為（100，400）.所以當(dāng)x=100，y=400時，zmax=80·100＋120·400=56000（元）因此，生產(chǎn)書桌100張、書櫥400個，可使所得利潤最大.小結(jié)：線性規(guī)劃問題在解決實(shí)際問題時，要注意條件.§8基本不等式：一、一周知識概述在學(xué)習(xí)了不等式的基本性質(zhì)后學(xué)習(xí)并掌握基本不等式，理解這個基本不等式的幾何意義，并掌握定理中的不等號“≥”取等號的條件．理解兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)的證明以及它的幾何解釋．基本不等式是不等式證明及求函數(shù)最值的重要工具．二、重點(diǎn)知識歸納1、一般地對于任意實(shí)數(shù)a,b，，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時，等號成立．2、當(dāng)a＞0，b＞0時，稱為正數(shù)a，b的算術(shù)平均數(shù)，為正數(shù)a，b的幾何平均數(shù)。，當(dāng)僅且當(dāng)a=b時“=”成立．3、兩個正數(shù)的和為定值，則它們的積有最大值；兩個正數(shù)的積為定值，則它們的和有最小值.這兩個結(jié)論常常用于求解最值問題.在具體應(yīng)用時，要注意“一正、二定、三相等”三、典型例題講解例1、(1)若lgx＋lgy＝2，求的最小值．(2)若正數(shù)x，y滿足x＋2y＝1，求的最小值．分析：運(yùn)用基本不等式，注意取等號的條件．解：(1)∵lgx＋lgy＝2∴l(xiāng)gxy＝2即xy＝100∴≥2(等號當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)＝10時取得)∴的最小值為．(2)∵x＋2y＝1，且x＞0，y＞0∴≥3＋2當(dāng)且僅當(dāng)即x＝－1，y＝1－時，取最小值3＋2．下面解法是否正確，為什么？∵x＞0，y＞0∴1＝x＋2y≥2∴≥2∴≥≥4．例2、已知是正實(shí)數(shù)，。求證：分析：本題不能由，求解，因?yàn)閮墒疆?dāng)且僅當(dāng)時成立，而顯然是不可能的，故考慮能否部分使用。解法一：解法二：，因?yàn)槭钦龑?shí)數(shù)，所以，又，所以所以所以故例3、設(shè)求證。分析：若直接使用基本不等式，則無法消去，此時需對條件作結(jié)構(gòu)上的變換，創(chuàng)造條件使用基本不等式。證明：例4、設(shè)計一幅宣傳畫，要求畫面面積為4840cm2，畫面的寬與高的比為λ（λ<1），畫面的上、下各留8cm的空白，左、右各留5cm的空白.怎樣確定畫面的高與寬尺寸，能使宣傳畫所用紙張面積最小？分析：先根據(jù)題意畫出草圖，設(shè)畫面的寬為自變量x（cm），將所用紙張面積表示成x的函數(shù)，再求函數(shù)的最小值.解：如圖所示，設(shè)畫面的寬為xcm，則畫面的高為，設(shè)紙張面積為Scm2.答：畫面高為88cm，寬為55cm時，能使所用紙張面積最小.例5、如圖所示，為處理含有某種雜質(zhì)的污水，要制造一底寬為2米的無蓋長方體沉淀箱，污水從A孔流入，經(jīng)沉淀后從B孔流出，設(shè)箱