【高中數(shù)學(xué)】頻率的穩(wěn)定性 （教學(xué)課件） 高一數(shù)學(xué)同步備課系列（人教A版2019必修第二冊(cè)）

第10章概率人教A版2019必修第二冊(cè)10.3.1頻率的穩(wěn)定性

學(xué)習(xí)目標(biāo)1、理解頻率的穩(wěn)定性；2、理解頻率與概率的關(guān)系，掌握用頻率估計(jì)概率重點(diǎn)：用頻率估計(jì)概率難點(diǎn)：頻率與概率的關(guān)系以及用頻率估計(jì)概率新知導(dǎo)入

小剛拋擲一枚硬幣100次，出現(xiàn)正面朝上48次.【問(wèn)題】(1)你能計(jì)算出正面朝上的頻率嗎？(2)拋擲一枚硬幣一次出現(xiàn)正面朝上的概率是多少？【提示】(1)正面朝上的頻率為0.48.(2)正面朝上的概率為0.5.

對(duì)于樣本點(diǎn)等可能的實(shí)驗(yàn)，我們可以用古典概型公式計(jì)算有關(guān)事件的概率.但在現(xiàn)實(shí)中，很多試驗(yàn)的樣本點(diǎn)往往是等可能的或者是否等可能不容易判斷.例如，拋擲一枚質(zhì)地不均勻的骰子，或者投擲一枚圖釘，此時(shí)無(wú)法通過(guò)古典概型公式計(jì)算有關(guān)事件的概率，我們需要尋求新的求概率的方法.

我們知道，事件的概率越大，意味著事件發(fā)生的可能性越大，在重復(fù)試驗(yàn)中，相應(yīng)的頻率一般也越大；事件的概率越小，則事件發(fā)生的可能性越小，在重復(fù)試驗(yàn)中，相應(yīng)的頻率一般也越小.在初中，我們利用頻率與概率的這種關(guān)系，通過(guò)大量重復(fù)試驗(yàn)，用頻率去估計(jì)概率.那么，在重復(fù)試驗(yàn)中，頻率的大小是否就決定了概率的大小呢？頻率與概率之間到底是一種怎樣的關(guān)系呢？

用折線(xiàn)圖表示頻率的波動(dòng)情況.

例1新生嬰兒性別比是每100名女?huà)雽?duì)應(yīng)的男嬰數(shù).

通過(guò)抽樣調(diào)查得知，我國(guó)2014年、2015年新出生的嬰兒性別比分別為115.88和113.51．(1)分別估計(jì)我國(guó)2014年和2015年男嬰的出生率(新生兒中男嬰的比率,精確到0.001);(2)根據(jù)估計(jì)結(jié)果，你認(rèn)為“生男孩和生女孩是等可能的”這個(gè)判斷可靠嗎？(2)由于調(diào)查新生兒人數(shù)的樣本非常大，根據(jù)頻率的穩(wěn)定性，上述對(duì)男嬰出生率的估計(jì)具有較高的可信度．因此，我們有理由懷疑“生男孩和生女孩是等可能的”的結(jié)論．

要得到生男孩和生女孩是否等可能的科學(xué)判斷，還需要用統(tǒng)計(jì)學(xué)中假設(shè)檢驗(yàn)的方法進(jìn)行檢驗(yàn)．

例2

一個(gè)游戲包含兩個(gè)隨機(jī)事件A和B，規(guī)定事件A發(fā)生則甲獲勝，事件B發(fā)生則乙獲勝．判斷游戲是否公平的標(biāo)準(zhǔn)是事件A和B發(fā)生的概率是否相等．在游戲過(guò)程中甲發(fā)現(xiàn)：玩了10次時(shí)，雙方各勝5次；但玩到1000次時(shí)，自己才勝300次，而乙卻勝了700次．據(jù)此，甲認(rèn)為游戲不公平，但乙認(rèn)為游戲是公平的．你更支持誰(shuí)的結(jié)論？為什么？解:當(dāng)游戲玩了10次時(shí)，甲乙獲勝的頻率都為0.5；當(dāng)游戲玩了1000次時(shí)，甲獲勝的頻率為0.3，乙獲勝的頻率為0.7．

根據(jù)頻率的穩(wěn)定性，隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加，頻率偏離概率很大的可能性會(huì)越來(lái)越?。鄬?duì)10次游戲，1000次游戲時(shí)的頻率接近概率的可能性更大，因此我們更愿意相信1000次時(shí)的頻率離概率更近．

而游戲玩到1000次時(shí)，甲乙獲勝的頻率分別是0.3和0.7，存在很大差距，所以有理由認(rèn)為游戲是不公平的．因此，應(yīng)該支持甲對(duì)游戲公平性的判斷．問(wèn)題3：氣象工作者有時(shí)用概率預(yù)報(bào)天氣，如某氣象臺(tái)預(yù)報(bào)“明天的降水概率是90%.如果您明天要出門(mén)，最好攜帶雨具”.如果第二天沒(méi)有下雨，我們或許會(huì)抱怨氣象臺(tái)預(yù)報(bào)得不準(zhǔn)確.那么如何理解“降水概率是90%”？又該如何評(píng)價(jià)預(yù)報(bào)的結(jié)果是否準(zhǔn)確呢？

降水的概率是氣象專(zhuān)家根據(jù)氣象條件和經(jīng)驗(yàn)，經(jīng)分析推斷得到的.對(duì)“降水的概率為90%”比較合理的解釋是：大量觀察發(fā)現(xiàn)，在類(lèi)似的氣象條件下，大約有90%的天數(shù)要下雨.

只有根據(jù)氣象預(yù)報(bào)的長(zhǎng)期記錄，才能評(píng)價(jià)預(yù)報(bào)的準(zhǔn)確性.如果在類(lèi)似氣象條件下預(yù)報(bào)要下雨的那些天(天數(shù)較多)里，大約有90%確實(shí)要下雨了，那么應(yīng)該認(rèn)為預(yù)報(bào)是準(zhǔn)確的；如果真實(shí)下雨的天數(shù)所占的比例與90%差別較大，那么就可以認(rèn)為預(yù)報(bào)不太準(zhǔn)確.課堂練習(xí)1.判斷下列說(shuō)法是否正確，并說(shuō)明理由:

(1)拋擲一枚硬幣正面朝上的概率為0.5，則拋擲兩枚硬幣，一定是一次正面朝上，一次反面朝上;

(2)拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣10次，結(jié)果是4次正面朝上，所以事件“正面朝上”的概率為0.4;

(3)當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)很大時(shí)，隨機(jī)事件發(fā)生的頻率接近其概率;

(4)在一次試驗(yàn)中，隨機(jī)事件可能發(fā)生也可能不發(fā)生，所以事件發(fā)生和不發(fā)生的概率各是0.5.解:(1)不正確.拋擲兩枚硬幣,樣本空間Ω={(正,正),(正,反),(反,正),(反,反)},所以?huà)仈S兩枚硬幣,不一定是一次正面朝上,一次反面朝上.(2)不正確.不能說(shuō)概率為0.4,只能說(shuō)正面朝上的頻率為0.4.(3)正確.(4)不正確.一次試驗(yàn),只能說(shuō)事件發(fā)生和不發(fā)生的頻率各是0.5.2.用擲兩枚硬幣做勝負(fù)游戲,規(guī)定:兩枚硬幣同時(shí)出現(xiàn)正面或同時(shí)出現(xiàn)反面算甲勝,一個(gè)正面、一個(gè)反面算乙勝.這個(gè)游戲公平嗎?解：這個(gè)游戲是公平的.理由如下:

擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣的樣本空間Ω={(正,正),(正,反),(反,正),(反,反)},則兩枚硬幣同時(shí)出現(xiàn)正面或同時(shí)出現(xiàn)反面的概率為2/4=0.5，即甲勝的概率為0.5，一個(gè)正面、一個(gè)反面的概率也為0.5，即乙勝的概率為0.5，所以這個(gè)游戲是公平的.3.據(jù)統(tǒng)計(jì)ABO血型具有民族和地區(qū)差異.在我國(guó)H省調(diào)查了30488人，四種血型的人數(shù)如下:(1)計(jì)算H省各種血型的頻率并填表(精確到0.001);

(2)如果從H省任意調(diào)查一個(gè)人的血型，那么他是O型血的概率大約是多少?血型ABOAB人數(shù)/人77041076589703049頻率0.2530.3530.2940.100解：(1)各種血型的頻率如上表所示.(2)由(1)可得，此人是O血型的概率大約是0.294.隨堂檢測(cè)

【解析】①錯(cuò)，次品率是大量產(chǎn)品的估計(jì)值，并不是針對(duì)200件產(chǎn)品來(lái)說(shuō)的，所以任取200件，不一定有10件是次品．②③混淆了頻率與概率的區(qū)別．④正確．【答案】④2.某射手在同一條件下進(jìn)行射擊，結(jié)果如下表所示：(1)填寫(xiě)表中擊中靶心的頻率；(2)這個(gè)射手射擊一次，擊中靶心的概率約是多少？【解析】(1)表中依次填入的數(shù)據(jù)為：0.80，0.95，0.88，0.92，0.89，0.91.(2)由于頻率穩(wěn)定在常數(shù)0.9附近，所以這個(gè)射手射擊一次，擊中靶心的概率約是0.9.3.有一個(gè)轉(zhuǎn)盤(pán)游戲，轉(zhuǎn)盤(pán)被平均分成10等份(如圖所示)，轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤(pán)，當(dāng)轉(zhuǎn)盤(pán)停止后，指針指向的數(shù)字即為轉(zhuǎn)出的數(shù)字.游戲規(guī)則如下：兩個(gè)人參加，先確定猜數(shù)方案，甲轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤(pán)，乙猜，若猜出的結(jié)果與轉(zhuǎn)盤(pán)轉(zhuǎn)出的數(shù)字所表示的特征相符，則乙獲勝，否則甲獲勝.猜數(shù)方案從以下三種方案中選一種：A.猜“是奇數(shù)”或“是偶數(shù)”；B.猜“是4的整數(shù)倍數(shù)”或“不是4的整數(shù)倍數(shù)”；C.猜“是大于4的數(shù)”或“不是大于4的數(shù)”.請(qǐng)回答下列問(wèn)題：(1)如果你是乙，為了盡可能獲勝，你將選擇哪種猜數(shù)方案，并且怎樣猜？為什么？(2)為了保證游戲的公平性，你認(rèn)為應(yīng)選哪種猜數(shù)方案？為什么？(3)請(qǐng)你設(shè)計(jì)一種其他的猜數(shù)方案，并保證游戲的公平性.【解析】(1)A方案中，“是奇數(shù)”和“是偶數(shù)”的概率都為0.5；B方案中，“是4的整數(shù)倍的數(shù)”的概率為0.2，“不是4的整數(shù)倍的數(shù)”的概率為0.8；C方案中，“是大于4的數(shù)”的概率為0.6，“不是大于4的數(shù)”的概率為0.4.故選擇B方案，猜“不是4的整數(shù)倍的數(shù)”獲勝的概率最大.(2)為了保證游戲的公平性，應(yīng)當(dāng)選擇方案A.因?yàn)榉桨窤猜“是奇數(shù)”或“是偶數(shù)”的概率均為0.5，從而保證了該游戲是公平的.(3)可以設(shè)計(jì)為：猜“是大于5的數(shù)”或“不是大于5的數(shù)”，也可以保證游戲的公平性.估算法求概率的方法：(1)在實(shí)際問(wèn)題中，常用事件發(fā)生的頻率作為概率的估計(jì)值．(2)在用頻率估計(jì)概率時(shí)，要注意試驗(yàn)次數(shù)n不能太小，只有當(dāng)n很大時(shí)，頻率才會(huì)呈現(xiàn)出規(guī)律性，即在某個(gè)常數(shù)附近波動(dòng)，且這個(gè)常數(shù)就是概率．頻率與概率的區(qū)別與聯(lián)系名稱(chēng)區(qū)別聯(lián)系頻