結(jié)構(gòu)力學(xué)力矩分配法

結(jié)構(gòu)力學(xué)力矩分配法第1頁，共45頁，2023年，2月20日，星期四學(xué)習(xí)內(nèi)容

轉(zhuǎn)動剛度、分配系數(shù)、傳遞系數(shù)的概念及確定。

力矩分配法的概念，用力矩分配法計算連續(xù)梁和無側(cè)移剛架。

無剪力分配法的概念及計算。

利用對稱性簡化力矩分配法計算。

第2頁，共45頁，2023年，2月20日，星期四學(xué)習(xí)目的和要求

力矩分配法是計算連續(xù)梁和無側(cè)移剛架的一種實用計算方法。它不需要建立和求解基本方程，直接得到桿端彎矩。運算簡單，方法機械，便于掌握。

本章的基本要求：

熟練掌握力矩分配法的基本概念與連續(xù)梁和無側(cè)移剛架的計算。掌握無剪力分配法的計算，了解用力矩分配法計算有側(cè)移剛架。

第3頁，共45頁，2023年，2月20日，星期四一、基本概念1、力矩分配法概述第4頁，共45頁，2023年，2月20日，星期四2、正負號規(guī)定：在力矩分配法中對桿端轉(zhuǎn)角、桿端彎矩、固端彎矩的正負號規(guī)定與位移法相同，即都假定對桿端順時針轉(zhuǎn)動為正號。作用與結(jié)點上的外力偶荷載，約束力矩，也假定順時針轉(zhuǎn)動為正號，而桿端彎矩作用于結(jié)點上時逆時針轉(zhuǎn)動為正號。

第5頁，共45頁，2023年，2月20日，星期四3、轉(zhuǎn)動剛度S：表示桿端對轉(zhuǎn)動的抵抗能力。在數(shù)值上=僅使桿端發(fā)生單位轉(zhuǎn)動時需在桿端施加的力矩。AB桿A端的轉(zhuǎn)動剛度SAB與AB桿的線剛度i（材料的性質(zhì)、橫截面的形狀和尺寸、桿長）及遠端支承有關(guān)，而與近端支承無關(guān)。當(dāng)遠端是不同支承時，等截面桿的轉(zhuǎn)動剛度如下：第6頁，共45頁，2023年，2月20日，星期四第7頁，共45頁，2023年，2月20日，星期四如果把A端改成固定鉸支座、可動鉸支座或可轉(zhuǎn)動（但不能移動）的剛結(jié)點轉(zhuǎn)動剛度SAB的數(shù)值不變。

第8頁，共45頁，2023年，2月20日，星期四4、傳遞系數(shù)C：桿端轉(zhuǎn)動時產(chǎn)生的遠端彎矩與近端彎矩的比值。即：C＝M遠/M近利用傳遞系數(shù)的概念，遠端彎矩可表達為：MBA=CABMAB等截面直桿的轉(zhuǎn)動剛度和傳遞系數(shù)如下表。第9頁，共45頁，2023年，2月20日，星期四第10頁，共45頁，2023年，2月20日，星期四例題1轉(zhuǎn)動剛度第11頁，共45頁，2023年，2月20日，星期四在確定桿端轉(zhuǎn)動剛度時：近端看位移（是否為單位位移）

遠端看支承（遠端支承不同，轉(zhuǎn)動剛度不同）。θMAB1MABMAB111MABΔ②①③④下列那種情況的桿端彎矩MAB=SAB轉(zhuǎn)動剛度SAB=4i是（）√√√√iiiii⑤①②③④iAAAAA4i>SAB>3iBBBBB返回第12頁，共45頁，2023年，2月20日，星期四二、基本運算力矩分配法的基本運算指的是，單結(jié)點結(jié)構(gòu)的力矩分配法計算。第13頁，共45頁，2023年，2月20日，星期四1、單結(jié)點結(jié)構(gòu)在結(jié)點集中力偶作用下的計算如圖1所示結(jié)構(gòu)，結(jié)點集中力偶m作用下，使結(jié)點轉(zhuǎn)動，從而帶動各桿端轉(zhuǎn)動，桿端轉(zhuǎn)動產(chǎn)生的近端彎稱為分配彎矩，產(chǎn)生遠端彎矩稱為傳遞彎矩。分配彎矩：M1j＝μ1jm（j=A，B，C）

（1）傳遞彎矩：Mj1＝cM1j（j=A，B，C）

（2）

第14頁，共45頁，2023年，2月20日，星期四第15頁，共45頁，2023年，2月20日，星期四注意：①結(jié)點集中力偶m順時針為正，產(chǎn)生正的分配彎矩。

②分配系數(shù)

μ1j

表示1j桿1端承擔(dān)結(jié)點外力偶的比率，它等于該桿1端的轉(zhuǎn)動剛度S1j與交與結(jié)點1的各桿轉(zhuǎn)動剛度之和的比值，即：μ1j＝S1j/ΣS1j，且Σμ1j＝1（3）

③只有分配彎矩才能向遠端傳遞。

④分配彎矩是桿端轉(zhuǎn)動時產(chǎn)生的近端彎矩，傳遞彎矩是桿端轉(zhuǎn)動時產(chǎn)生的遠端彎矩。第16頁，共45頁，2023年，2月20日，星期四單結(jié)點結(jié)構(gòu)在集中結(jié)點力偶作用下的力矩分配法

iBCAMMiA=4iθ=SiAθMiB=3iθ=SiBθMiC=iθ=SiCθ∑M=MiA+MiB+MiC－M=0a）分配力矩注：1）μ稱為力矩分配系數(shù)。且∑μ=12）分配力矩是桿端轉(zhuǎn)動時產(chǎn)生的近端彎矩。3）結(jié)點集中力偶荷載順時針為正。2、傳遞系數(shù)C：桿端轉(zhuǎn)動時產(chǎn)生的遠端彎矩與近端彎矩的比值。即：b）傳遞彎矩Mji=CMijj=A，B，C注：1）傳遞力矩是桿端轉(zhuǎn)動時產(chǎn)生的遠端彎矩。2）只有分配彎矩才能向遠端傳遞。返回第17頁，共45頁，2023年，2月20日，星期四2、單結(jié)點結(jié)構(gòu)在跨間荷載作用下的計算將整個變形過程分為兩步：

第一步，在剛結(jié)點加剛臂阻止結(jié)點轉(zhuǎn)動，將連續(xù)梁分解為兩根單跨超靜定梁，求出各桿端的固端彎矩。結(jié)點B各桿端固端彎矩之和為附加剛臂中的約束力矩，稱為結(jié)點不平衡力矩MB。

第二步，去掉約束，相當(dāng)于在結(jié)點B加上負的不平衡力矩MB，并將它分給各個桿端及傳遞到遠端。

疊加以上兩步的桿端彎，得到最后桿端彎矩。

第18頁，共45頁，2023年，2月20日，星期四第19頁，共45頁，2023年，2月20日，星期四返回單結(jié)點結(jié)構(gòu)在跨中荷載作用下的力矩分配法200kN↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓20kN/m3m3m6m3i4iABC200kN↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓20kN/mABCABC1）鎖住結(jié)點，求固端彎矩－150150－902）去掉約束，相當(dāng)于在結(jié)點加上負的不平衡力矩，并將它分給各個桿端及傳遞到遠端。MB=150－90=60MBMBmBAmBC－MB=－60SBA=4×3i=12iSBC=3×4i=12iμBA=12i/24i=1/2μBC=12i/24i=1/2－30－30－153）疊加1）、2）得到最后桿端彎矩。計算過程可列表進行μ1/21/2－150m150－90－30－30－15M－175－120120ABCM圖（kN.m平衡力矩=固端彎矩之和節(jié)點不平衡力矩要變號分配.第20頁，共45頁，2023年，2月20日，星期四例題2單結(jié)點力矩分配法第21頁，共45頁，2023年，2月20日，星期四返回i=1i=1i=22m2m4m4mABCD↓↓↓↓↓↓↓↓↓40kN/m100kN15kN用力矩分配法計算,畫M圖。解：1）求μμAB=μAC=μAD=4/92/93/92）求m

mAB=mBA=mAD=50－50－80M=15MAmABmADmACM+MA=mAB+mAD+mAC－M=50+－80－15=－45結(jié)點BACD桿端分配系數(shù)BAABADACCADA4/93/92/9分配與傳遞20固端彎矩－5050－80101510－10最后彎矩－4070－6510－10100M圖（kN.m)2m2m4m4mABCD↓↓↓↓↓↓↓↓↓40kN/m100kN15kN40701001080M圖（kN.m)第22頁，共45頁，2023年，2月20日，星期四三、多結(jié)點力矩分配法用力矩分配法計算多結(jié)點的連續(xù)梁和無側(cè)移剛架，只要逐次放松每一個結(jié)點，應(yīng)用單結(jié)點的基本運算，就可逐步漸近求出桿端彎。以圖1所示連續(xù)梁為例加以說明。⑴加入剛臂，鎖住剛結(jié)點，將體系化成一組單跨超靜定梁，計算各桿固端彎矩m，由結(jié)點力矩平衡求剛臂內(nèi)的約束力矩（稱為結(jié)點的不平衡力矩），如圖b，圖b與原結(jié)構(gòu)的差別是：在受力上，結(jié)點B、C上多了不平衡力矩MB、MC；在變形上結(jié)點B、C不能轉(zhuǎn)動。⑵為了取消結(jié)點B的剛臂，放松結(jié)點B（結(jié)點C仍鎖住），在結(jié)點B加上（－MB），如圖c,此時ABC部分只有一個角位移，并且受結(jié)點集中力偶作用，可按基本運算進行力矩分配和傳遞。結(jié)點B處于暫時的平衡。此時C點的不平衡力矩是MC+M傳。第23頁，共45頁，2023年，2月20日，星期四⑶為了取消結(jié)點C的剛臂，放松結(jié)點C，在結(jié)點C加上（－(MC+M傳)），如圖d，為了使BCD部分只有一個角位移，結(jié)點B再鎖住，按基本運算進行力矩分配和傳遞。結(jié)點C處于暫時的平衡。⑷傳遞彎矩的到來，又打破了B點的平衡，B點又有了新的約束力矩M傳，重復(fù)⑵、⑶兩步，經(jīng)多次循環(huán)后各結(jié)點的約束力矩都趨于零，恢復(fù)到了原結(jié)構(gòu)的受力狀態(tài)和變形狀態(tài)。一般2～3個循環(huán)就可獲得足夠的精度。⑤疊加：最后桿端彎矩：

M=∑M分配＋∑M傳遞＋MF

第24頁，共45頁，2023年，2月20日，星期四第25頁，共45頁，2023年，2月20日，星期四↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓24kN/m50kN－128128－75MB=－128MC=53－MB↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓24kN/m50kN4m4m8m8mABCC2EI2EIEI取EI=8i=2i=2i=1μBA=0.6μBC=0.4μCB=0.4μCD=0.676.851.225.6MC=78.6－MC=－78.6－31.4－47.2－15.7－15.715.79.46.33.2分配系數(shù)逐次放松結(jié)點進行分配與傳遞固端彎矩最后彎矩0.60.40.40.6－128128－7551.276.825.6－31.4－47.2－15.76.39.43.2－1.3－1.9－0.70.30.40.2－0.1－0.1086.6－86.6124.2－124.2第26頁，共45頁，2023年，2月20日，星期四4m4m8m8m↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓24kN/m50kNABCC固端彎矩最后彎矩－128128－75086.6－86.6124.2－124.286.6124.2192i=2i=2i=1100M圖（kN.m)ΔMik86.641.4－3.8－49.2ΔMki/20－1.920.7000ΔM′86.643.3－24.5－49.2ΔM′之比i之比i=2i=2i=1i=2i=2i=1校核i=2i=2i=1i=2i=2i=1返回第27頁，共45頁，2023年，2月20日，星期四變形條件的校核：ijikijikiiMM=DD''ijikjiijkiikiiMMMM=D-DD-D332121ijjiijkikiikiMMiMMD-D=D-D321321ikkiikikkikiikikikiMMimMmMD-D=---=3213)(21)(jikikikmMM-=DkiikikMMMD-D=D21'由此可見，在同一結(jié)點上各桿桿端轉(zhuǎn)角相等的前提下，兩桿i端的kiikikMMMD-D=D21'值之比等于其線剛度之比。第28頁，共45頁，2023年，2月20日，星期四注意：①多結(jié)點結(jié)構(gòu)的力矩分配法得的是漸近解。②首先從結(jié)點不平衡力矩較大的結(jié)點開始，以加速收斂。③不能同時放松相鄰的結(jié)點（因為兩相鄰結(jié)點同時放松時，它們之間的桿的轉(zhuǎn)動剛度和傳遞系數(shù)定不出來）；但是，可以同時放松所有不相鄰的結(jié)點，這樣可以加速收斂。④每次要將結(jié)點不平衡力矩變號分配。⑤結(jié)點i的不平衡力矩Mi

總等于附加剛臂上的約束力矩，可由結(jié)點平衡來求。在第一輪第一個分配結(jié)點：Mi=∑MF－m

（結(jié)點力偶荷載順時針為正）在第一輪其它分配結(jié)點：Mi=∑MF＋M傳－m

（結(jié)點力偶荷載順時針為正）以后各輪的各分配結(jié)點：Mi=M傳

（8－6）第29頁，共45頁，2023年，2月20日，星期四例題3連續(xù)梁第30頁，共45頁，2023年，2月20日，星期四↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓100kN/mi=1.92i=1.37i=2.4i=12.5m3.5m4.82mA123B解:1)求分配系數(shù):0.5130.4780.3630.6370.7620.2382)求固端彎矩:78.1－102.0102.0－33.333.3－288mμ1,312.311.6194.160.65.897.1－62.3－109.3－31.2－51.41615.221,341.71320.97.6－10.3－18.22－5.2－9.11,32.72.51.36.93.23.5－1.7－3.1－1.6－0.921,30.50.40.21.20.40.6－0.3－0.5－0.3－0.221,30.10.10.20.1M0109.7－109.742.3－42.3211.7－211.7109.742.3211.7M(kN.m)78.115350288返回第31頁，共45頁，2023年，2月20日，星期四例題4無側(cè)移剛架第32頁，共45頁，2023年，2月20日，星期四↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓20kN/m3m3m3m2iiiiii4i2iSAG=4i↓↓↓↓↓↓20kN/m1.5miiACEGHSAC=4iSCA=4iSCH=2iSCE=4iμAG=0.5μAC=0.5μCA=0.4μCH=0.2μCE=0.4結(jié)點桿端ACEAGACCACHCECHmμ0.50.50.40.20.4－15第33頁，共45頁，2023年，2月20日，星期四返回0.50.50.40.20.4－157.57.53.75－1.50－0.75－1.50－0.75－0.750.370.380.19－0.08－0.03－0.08－0.04－0.040.020.02結(jié)點桿端ACEAGACCACHCECHmμM－7.117.112.36－0.78－1.58－0.79↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓20kN/m7.110.791.582.630.791.587.112.630.78M圖（kN.m)第34頁，共45頁，2023年，2月20日，星期四四、無剪力分配法力矩分配法是用于連續(xù)梁和無側(cè)移剛架，不能直接用于有側(cè)移剛架。但對有些特殊的有側(cè)移剛架，可以用與力矩分配法類似的無剪力分配法進行計算。

⑴無剪力分配法的使用條件：結(jié)構(gòu)中除了兩端無相對線位移的桿外，其余的桿均為剪力靜定桿。

如果桿件兩端線位移平行并且不于軸線垂直，則該桿為兩端無相對線位移的桿。如圖1(a)中EC、CF、DB桿均為無側(cè)移桿。

剪力靜定桿指的是剪力可由截面投影平衡求出來的桿。如圖1(a)中AB、BC桿均為剪力靜定桿。兩端無相對線位移的桿轉(zhuǎn)動剛度、傳遞系數(shù)和固端彎矩確定，前面已經(jīng)討論過，下面這種討論剪力靜定桿的轉(zhuǎn)動剛度、傳遞系數(shù)和固端彎矩確定。

第35頁，共45頁，2023年，2月20日，星期四⑵剪力靜定桿的固端彎矩計算

先由截面投影平衡求出桿端剪力，然后將桿端剪力看作桿端荷載加在桿端，按該端滑動，另一端固定的單跨梁計算固端彎矩。如圖1(b)(c)所示。⑶剪力靜定桿的轉(zhuǎn)動剛度：S=i，傳遞系數(shù)：C=－1。第36頁，共45頁，2023年，2月20日，星期四第37頁，共45頁，2023年，2月20日，星期四剪力靜定推導(dǎo)過程第38頁，共45頁，2023年，2月20日，星期四1、剪力靜定桿的固端彎矩：↓↓↓↓↓↓↓↓2kN/m↓↓↓↓↓↓↓↓2kN/m求剪力靜定桿的固端彎矩時先由平衡條件求出桿端剪力；將桿端剪力看作桿端荷載，按該端滑動，另端固定的桿計算固端彎矩。2、剪力靜定桿的S和C：θAΔABMAB=4iθA－6iΔ/lMBA=2iθA－6iΔ/l∵QBA=－（MAB+MBA）/l=0∴MBA=－MAB，∴MAB=4iθA－6iθA/2=

iθA,MBA=2iθA

－6iθA/2

=－iθA

剪力靜定桿的S=iC=－1Δ/l=θA/2返回第39頁，共45頁，2023年，2月20日，星期四例題5無剪力分配法1第40頁，共45頁，2023年，2月20日，星期四例題12-7用無剪力分配法計算剛架。解：1、求分配系數(shù)SBC=3i1=12SBA=i2=3μBC=4/5μBA=1/5BA桿的傳遞系數(shù)=－12m2m4m↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓1kN/m5kNi1=4i2=3ABC2、求固端彎矩：ABBABCCBμ4/51/5m－5.33－2.67－3.75分傳1.285.14M－1.28－6.61－1.391.3901.395.706.61M圖（kN.m)返回第41頁，共45頁，2023年，2月20日，星期四例題6無剪力分配法2第42頁，共45頁，2023年，2月20日，星期四8m×6=48m5n4kN4kN4kN6kN6kN12kN2kN4kN6kN(3)(3)(3)(3)(3)(3)(4)(4)(4)(4)(5)(5