第四講 概率和概率分布

第四講概率和概率分布第1頁，共122頁，2023年，2月20日，星期三上一章內(nèi)容回顧試驗(yàn)資料均具有集中性和離散性兩種基本特征。平均數(shù)是反映集中性的特征數(shù)，變異數(shù)是反映離散性的特征數(shù)。平均數(shù)包括算術(shù)平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)和幾何平均數(shù)。算術(shù)平均數(shù)具有離均差之和等于零和離均差平方和為最小的性質(zhì)。變異數(shù)包括極差、方差、標(biāo)準(zhǔn)差和變異系數(shù)。方差等于觀測值離均差的平方和除以自由度，可以反映出資料中每一個(gè)觀測值的變異。標(biāo)準(zhǔn)差是方差的平方根，其單位與平均數(shù)相符；用標(biāo)準(zhǔn)差除以平均數(shù)即為變異系數(shù)，可以進(jìn)行單位不同資料間變異程度的比較。第2頁，共122頁，2023年，2月20日，星期三前面兩章，我們介紹了如何搜集和整理樣本資料。但是，我們研究一組樣本數(shù)據(jù)的最終目的不在于研究樣本本身，而是根據(jù)樣本提供的信息對其來自的總體的特征和分布規(guī)律作出盡可能精確和可靠的推斷，這稱為統(tǒng)計(jì)推斷。由于抽樣誤差的存在，統(tǒng)計(jì)推斷的結(jié)論帶有一定的不確定性，即它不可能是完全正確的。所以，我們在理解和運(yùn)用統(tǒng)計(jì)推斷的方法之前，必須熟悉不確定性的理論－概率和概率分布。第3頁，共122頁，2023年，2月20日，星期三第一節(jié)概率的基本概念一、概率論的一些基本術(shù)語1、試驗(yàn)：通常我們把根據(jù)某一研究目的，在一定條件對自然現(xiàn)象所進(jìn)行的觀察或試驗(yàn)統(tǒng)稱為試驗(yàn)。例如，拋一枚硬幣；擲一次骰子；觀察隨機(jī)挑選的6個(gè)新生嬰兒中男嬰的數(shù)目第4頁，共122頁，2023年，2月20日，星期三2、隨機(jī)試驗(yàn)：試驗(yàn)之前無法預(yù)測出現(xiàn)哪一個(gè)結(jié)果的試驗(yàn)稱為隨機(jī)試驗(yàn)。例如，拋硬幣；擲骰子；觀察隨機(jī)挑選的6個(gè)新生嬰兒中男嬰的數(shù)目；在一定條件下生長的小麥隨機(jī)挑選出一株測株高。注意：生物統(tǒng)計(jì)學(xué)里是以隨機(jī)試驗(yàn)為研究對象的。第5頁，共122頁，2023年，2月20日，星期三3、基本事件：試驗(yàn)的每一個(gè)最基本的結(jié)果。一般用小寫字母a,b,c,…來表示4、事件：基本事件的集合。一般用大寫字母A,B,C,…來表示6、不可能事件：任何一次試驗(yàn)中，一定不會出現(xiàn)的結(jié)果。其概率為0，用Φ表示。5、必然事件-----對于一類事件來說，在同一組條件的實(shí)現(xiàn)之下必然要發(fā)生的，稱為必然事件；其概率為1。第6頁，共122頁，2023年，2月20日，星期三例一，在擲一次骰子的試驗(yàn)中，有如下的一些可能發(fā)生的事件：基本事件有6個(gè)：{1},{2},{3},{4},{5},{6}其它的事件有：事件A＝得到一個(gè)奇數(shù)＝{1,3,5}事件D＝得到一個(gè)不小于2的數(shù)＝{2,3,4,5,6}事件B＝得到一個(gè)偶數(shù)＝{2,4,6}事件C＝得到最大的數(shù)＝{6}事件E＝得到數(shù)字0＝Φ第7頁，共122頁，2023年，2月20日，星期三7、頻率頻率的定義：設(shè)事件A在n次重復(fù)試驗(yàn)中發(fā)生了m次，其比值m/n稱為事件A發(fā)生的頻率，記為W(A)=m/n顯然事件A的頻率是介于0和1之間的一個(gè)數(shù)0≤W(A)≤1第8頁，共122頁，2023年，2月20日，星期三8、概率一個(gè)事件A的概率，記為P（A），是事件A發(fā)生的可能性的定量計(jì)量。概率的三個(gè)性質(zhì)： （1）任何事件概率均滿足0≤P(A)≤1 （2）必然事件的概率為1 （3）不可能事件的概率為0，即P(Φ)＝0注意：計(jì)算概率時(shí)，結(jié)果為5或－0.3時(shí)肯定是錯(cuò)誤的。概率(probability)----每一個(gè)事件出現(xiàn)的可能性稱為該事件的概率。第9頁，共122頁，2023年，2月20日，星期三概率的求法兩種途徑：（1）統(tǒng)計(jì)方法（適用于進(jìn)行了大量試驗(yàn)時(shí)）：假設(shè)試驗(yàn)共進(jìn)行n次，事件A出現(xiàn)了m次，則事件A發(fā)生的頻率是m/n。隨著n的增大，頻率m/n趨于一個(gè)常數(shù)p，那么p就是事件A發(fā)生的概率。例如：如何求一個(gè)人某年中被閃電擊中的概率？中國1.3×109人中，在2008年被閃電擊中的人數(shù)為3900人，則某人被閃電擊中的概率為3900/1.3×109=3×10-6。第10頁，共122頁，2023年，2月20日，星期三（2）理論方法（適用于可以進(jìn)行數(shù)學(xué)推算，在試驗(yàn)的每個(gè)基本事件等可能時(shí)）：例如：A＝擲骰子得到一個(gè)奇數(shù)＝{1,3,5}的概率為 P(A)=m/n=3/6=1/2第11頁，共122頁，2023年，2月20日，星期三解：事件A＝孩子性別為兩男＝{男男} 所有可能的基本事件有：{男男}{男女}{女男}{女女} 所以P(A)=m/n=1/4兩個(gè)孩子的家庭里，孩子性別為兩男的概率是多少？同理，孩子性別為一男一女的概率是2/4=1/2注意：在生物統(tǒng)計(jì)學(xué)里，我們著重于討論理論方法。第12頁，共122頁，2023年，2月20日，星期三二、事件間的關(guān)系1、和事件2、積事件3、互斥事件4、對立事件5、完全事件系6、事件的獨(dú)立性第13頁，共122頁，2023年，2月20日，星期三

1、和事件事件A和B至少有一個(gè)發(fā)生而構(gòu)成的新事件稱為事件A和B的和事件，記為A+B，讀作“或者A發(fā)生，或者B發(fā)生”。例如，有一批種子，包含有能發(fā)芽的和不能發(fā)芽的。若A為“取到能發(fā)芽種子”，B為“取到不能發(fā)芽種子”，則A+B為“或者取到能發(fā)芽種子或者取到不能發(fā)芽種子”。事件間的和事件可以推廣到多個(gè)事件：事件A1、A2、…、An至少有一發(fā)生而構(gòu)成的新事件稱為事件A1、A2、…、An的和事件，記為A1+A2+…+An=第14頁，共122頁，2023年，2月20日，星期三2、積事件事件A和B同時(shí)發(fā)生所構(gòu)成的新事件稱為事件A和B的積事件，記作AB，讀作“A和B同時(shí)發(fā)生”。事件間的積事件也可以推廣到多個(gè)事件：事件A1、A2、…、An同時(shí)發(fā)生所構(gòu)成的新事件稱為這n個(gè)事件的積事件，記作A1A2…An=第15頁，共122頁，2023年，2月20日，星期三3、互斥事件

事件A和B不可能同時(shí)發(fā)生，即AB為不可能事件，記作A·B=V，稱事件A和B互斥或互不相容。例如，有一袋種子，按種皮分黃色和白色。若記A為“取到黃色”，B為“取到白色”，顯然A和B不可能同時(shí)發(fā)生，即一粒種子不可能既為黃色又為白色，說明事件A和B互斥。這一定義也可以推廣到n個(gè)事件。事件A1、A2、…、An不可能同時(shí)發(fā)生所構(gòu)成的新事件稱為這n個(gè)事件互斥或互不相容，記作A1·A2…·An=V

。

第16頁，共122頁，2023年，2月20日，星期三4、對立事件事件A和B不可能同時(shí)發(fā)生，但必發(fā)生其一，即A+B為必然事件(記為A+B=U)，AB為不可能事件(記為A·B=V），則稱事件B為事件A的對立事件，并記B為。例如，上面例子中A為“取到黃色”，B為“取到白色”，A與B不可能同時(shí)發(fā)生，但是，任意抽取一粒種子，其皮色不是黃色就是白色，即A和B必發(fā)生其一，因此，A和B互為對立事件。第17頁，共122頁，2023年，2月20日，星期三5、完全事件系

若事件A1、A2、…、An兩兩互斥，且每次試驗(yàn)結(jié)果必發(fā)生其一，則稱A1、A2、…、An為完全事件系。例如，僅有三類花色：黃色、白色和紅色，則取一朵花，“取到黃色”、“取到白色”和“取到紅色”就構(gòu)成完全事件系。第18頁，共122頁，2023年，2月20日，星期三6、事件的獨(dú)立性若事件A發(fā)生與否不影響事件B發(fā)生的可能性，則稱事件A和事件B相互獨(dú)立。例如，事件A為“花的顏色為黃色”，事件B為“產(chǎn)量高”，顯然如果花的顏色與產(chǎn)量無關(guān),則事件A與事件B相互獨(dú)立。第19頁，共122頁，2023年，2月20日，星期三三、計(jì)算事件概率的法則1、互斥事件的加法2、獨(dú)立事件的乘法3、對立事件的概率4、完全事件系的概率5、非獨(dú)立事件的乘法第20頁，共122頁，2023年，2月20日，星期三1、互斥事件的加法

假定兩互斥事件A和B的概率分別為P(A)和P(B)。則事件A與B的和事件的概率等于事件A的概率與事件B的概率之和，即P(A+B)=P(A)+P(B)。加法定理對于多個(gè)兩兩互斥的事件也成立：假定A1、A2、…、An

n個(gè)事件彼此間均是兩兩互斥的事件，其概率依次為P(A1)，P(A2)，…，P(An)，則A1，A2到An和事件的概率P(A1+A2+…+An)等于P(A1)，P(A2)，…，P(An)之和，即P(A1+A2+…+An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An)。第21頁，共122頁，2023年，2月20日，星期三例如，一捆花中紅、黃、白花的概率分別為0.2、0.3、0.5，那么我們隨機(jī)抽取一朵非白色花的概率為0.5(=0.2+0.3)，這只是由加法定理得到的兩個(gè)事件概率之和。第22頁，共122頁，2023年，2月20日，星期三2、獨(dú)立事件的乘法假定P(A)和P(B)是兩個(gè)獨(dú)立事件A與B各自出現(xiàn)的概率，則事件A與B同時(shí)出現(xiàn)的概率等于兩獨(dú)立事件出現(xiàn)概率P(A)與P(B)的乘積，即P(AB)=P(A)P(B)乘法定理對于n個(gè)相互獨(dú)立的事件也成立。假定P(A1)，P(A2)，…，P(An)是n個(gè)相互獨(dú)立事件各自出現(xiàn)的概率，則該n個(gè)事件同時(shí)出現(xiàn)的概率P(A1A2…An)等于各自出現(xiàn)概率之乘積，即P(A1A2…An)=P(A1)P(A2)…P(An)。第23頁，共122頁，2023年，2月20日，星期三

現(xiàn)有4粒種子，其中3粒為黃色、1粒為白色，采用復(fù)置抽樣。試求下列兩事件的概率：(A)第一次抽到黃色、第二次抽到白色；(B)兩次都抽到黃色。由于采用復(fù)置抽樣(即每一次抽出觀察結(jié)果后又放回再進(jìn)行下一次抽樣)，所以第一次和第二次的抽樣結(jié)果間是相互獨(dú)立的。

第24頁，共122頁，2023年，2月20日，星期三采用概率的古典定義，可以求出抽到黃色種子的概率為0.75，抽到白色種子的概率為0.25。因此，有P(A)=P(第一次抽到黃色種子)P(第二次抽到白色種子)

=0.25×0.75=0.1875，P(B)=P(第一次黃色種子)P(第二次黃色種子)

=0.75×0.75=0.5625。第25頁，共122頁，2023年，2月20日，星期三3、對立事件的概率

若事件A的概率為P(A)，那么其對立事件的概率為：第26頁，共122頁，2023年，2月20日，星期三4、完全事件系的概率完全事件系的概率為1。

例如“從10個(gè)數(shù)字中隨機(jī)抽得任何一個(gè)數(shù)字都可以”這樣一個(gè)事件是完全事件系，其概率為1。

第27頁，共122頁，2023年，2月20日，星期三5、非獨(dú)立事件的乘法

如果事件A和B是非獨(dú)立的，那么事件A與B同時(shí)發(fā)生的概率為事件A的概率P(A)乘以事件A發(fā)生的情況下事件B發(fā)生的概率P(B|A)，即：P(AB)=P(A)P(B|A)第28頁，共122頁，2023年，2月20日，星期三第二節(jié)概率分布一、隨機(jī)變量1、隨機(jī)變量：就是隨機(jī)試驗(yàn)中被測的變量。例如：（1）測量一定條件下生長的小麥的株高。小麥株高是隨機(jī)變量（2）從1000只動(dòng)物（雌雄各半）的群體，放回式抽樣，每次抽取10只，記錄其中雄性的個(gè)數(shù)。設(shè)10只動(dòng)物中雄性的個(gè)數(shù)為X，則X就是一個(gè)隨機(jī)變量。隨機(jī)變量的取值有隨機(jī)性。隨機(jī)變量所有可能值的分布規(guī)律稱為概率分布。第29頁，共122頁，2023年，2月20日，星期三隨機(jī)變量能幫助我們深入理解總體和樣本的概念，使總體和樣本的關(guān)系更加明確。隨機(jī)變量的引入使統(tǒng)計(jì)學(xué)的深入研究成為可能。隨機(jī)變量與總體和樣本的關(guān)系總體：隨機(jī)變量可能取值的全體樣本：隨機(jī)變量的n個(gè)獨(dú)立觀察值例如在研究一定條件下生長的小麥的株高時(shí)，總體是所有在這種條件下生長的小麥的株高的全體，也就是小麥株高這個(gè)隨機(jī)變量的所有可能的取值。假如獲得了200株小麥株高數(shù)據(jù)的樣本，樣本也就是小麥株高這個(gè)隨機(jī)變量的200次獨(dú)立觀測值。第30頁，共122頁，2023年，2月20日，星期三隨機(jī)變量一般用大寫字母來表示，如X，Y，U等。變量的觀測值一般用小寫字母來表示，如xi，yi，ui等表示隨機(jī)變量X，Y，U的第i次觀測值。第31頁，共122頁，2023年，2月20日，星期三2、隨機(jī)變量的類型（1）離散型變量：取值有限個(gè)或可數(shù)無窮個(gè)孤立的數(shù)值。譬如：a，擲一次骰子得到的數(shù) b，一只母雞一周里下的蛋數(shù)（2）連續(xù)型變量：可能取值為某范圍（或某區(qū)間）內(nèi)的任何值?？赡苋〉闹甸g不存在間隙。譬如：a，小麥株高 b，奶牛產(chǎn)奶量第32頁，共122頁，2023年，2月20日，星期三二、概率分布變量的概率分布是描述該變量的所有值的分布的規(guī)律，也就是變量對應(yīng)的總體的分布。概率分布總體的值的分布頻數(shù)分布樣本的值的分布第33頁，共122頁，2023年，2月20日，星期三1、離散型隨機(jī)變量的概率分布----當(dāng)試驗(yàn)只有幾個(gè)確定的結(jié)果，并可一一列出，變量y的取值可用實(shí)數(shù)表示，且y取某一值時(shí)，其概率是確定的，這種類型的變量稱為離散型隨機(jī)變量。將這種變量的所有可能取值及其對應(yīng)概率一一列出所形成的分布稱為離散型隨機(jī)變量的概率分布：概率變量yiy1y2y3…ynP1P2P3…Pn也可用函數(shù)f(y)表述，稱為概率函數(shù)。第34頁，共122頁，2023年，2月20日，星期三例：拋硬幣試驗(yàn)，硬幣落地后只有兩種可能結(jié)果：幣值面向上和國徽面向上，用數(shù)“1”表示“幣值面向上”，用數(shù)“0”表示“國徽面向上”。把0，1作為變量y的取值。在討論試驗(yàn)結(jié)果時(shí)，就可以簡單地把拋硬幣試驗(yàn)用取值為0，1的變量來表示。P(y=1)=0.5，P(y=0)=0.5

0.50.5概率10變量y)(iyyP=第35頁，共122頁，2023年，2月20日，星期三變量y01概率qp例：用“1”表示“能發(fā)芽種子”，其概率為p；用“0”表示“不能發(fā)芽種子”，其概率為q。顯然

p+q=1，則

P(y=1)=p，P(y=0)=q=1－p。第36頁，共122頁，2023年，2月20日，星期三2、連續(xù)型隨機(jī)變量的概率分布----對于隨機(jī)變量，若存在非負(fù)可積函數(shù)f(y)(－∞＜y＜＋∞)，對任意a和b(a＜b)都有P(a≤y＜b)=，則稱y為連續(xù)型隨機(jī)變量(continuousrandomvariate)，f(y)稱為y的概率密度函數(shù)(probabilitydensityfunction)或分布密度(distributiondensity)。例如：第37頁，共122頁，2023年，2月20日，星期三例：用變量y表示水稻產(chǎn)量，若y大于500kg的概率為0.25，大于300kg且等于小于500kg的概率為0.65，等于小于300kg的概率為0.1。則用變量y的取值范圍來表示的試驗(yàn)結(jié)果為

P(y≤300)=0.10，P(300＜y≤500)=0.65，P(y＞500)=0.25。第38頁，共122頁，2023年，2月20日，星期三連續(xù)型變量的一個(gè)特征是取的值非常多（不可數(shù)），無法象離散型變量那樣對每一個(gè)值賦予一個(gè)概率。所以，在研究連續(xù)型變量時(shí)，我們不研究它取每個(gè)值的概率，即P（X＝x），而是研究它在一個(gè)區(qū)間中取值的概率。具體來說，有三種形式：P（a<X<b）P（X<c）P（X>d）另一方面原因：P（X＝x）＝0（對于任何x）第39頁，共122頁，2023年，2月20日，星期三在研究連續(xù)型變量概率時(shí)，“>”,“<”均可相應(yīng)換成“≥”,“≤”，而概率數(shù)值不變。P（a<X<b）＝P（a≤

X≤

b）P（X<c）＝P（X≤

c）P（X>d）＝P（X≥d）問題：怎樣求這三種概率？答：借助于密度函數(shù)f(x)曲線（或稱概率分布密度曲線）第40頁，共122頁，2023年，2月20日，星期三每個(gè)連續(xù)型變量都有它自己的密度函數(shù)曲線。f(x)的圖形密度函數(shù)曲線總在x軸的上方，且曲線下的總面積等于1。第41頁，共122頁，2023年，2月20日，星期三第42頁，共122頁，2023年，2月20日，星期三一個(gè)術(shù)語：分布函數(shù)或稱累積分布函數(shù)，是隨機(jī)變量X取得小于x0的值的概率。F(x0)第43頁，共122頁，2023年，2月20日，星期三在分布函數(shù)已知的情況下，概率也可以通過分布函數(shù)來求。第44頁，共122頁，2023年，2月20日，星期三第45頁，共122頁，2023年，2月20日，星期三三、大數(shù)定理大數(shù)定律（lawoflargenumbers）是概率論中用來闡述大量隨機(jī)現(xiàn)象平均結(jié)果穩(wěn)定性的一系列定律的總稱。常用的有：1、貝努里大數(shù)定律（Bernoullitheorem）2、辛欽大數(shù)定律（Khinchinetheorem）第46頁，共122頁，2023年，2月20日，星期三一、二項(xiàng)總體與二項(xiàng)式分布二、二項(xiàng)式分布的概率計(jì)算方法三、二項(xiàng)式分布的形狀和參數(shù)四、泊松分布五、正態(tài)分布第三節(jié)幾種常見的理論分布第47頁，共122頁，2023年，2月20日，星期三一、二項(xiàng)總體與二項(xiàng)式分布有些總體的各個(gè)個(gè)體的某些性狀，只能發(fā)生非此即彼的兩種結(jié)果，“此”和“彼”是對立事件。例如種子的發(fā)芽與不發(fā)芽，施藥后害蟲的死或活，產(chǎn)品的合格與不合格。這種由非此及彼事件構(gòu)成的總體，稱之為二項(xiàng)總體(binomialpopulation)。第48頁，共122頁，2023年，2月20日，星期三為便于研究，通常給“此”事件以變量“1”，具概率p；給“彼”事件以變量“0”，具概率q其概率關(guān)系為：

p＋q=11-q=p如果我們每次抽取0、1總體的n個(gè)個(gè)體，則所得變量y（表示n次試驗(yàn)中事件A出現(xiàn)的結(jié)果）將可能有0，1，…n，共n+1種。這n+1變量有它各自的概率而組成一個(gè)分布。這個(gè)分布叫做二項(xiàng)概率分布，簡稱二項(xiàng)分布(binomialdistribution)。第49頁，共122頁，2023年，2月20日，星期三例如，觀察施用某種農(nóng)藥后蚜蟲的死亡數(shù)，記“死”為0，“活”為1。如果每次觀察5只，則觀察的結(jié)果將有0(5只全死)、1(4死1活)、2(3死2活)、3(2死3活)、4(1死4活)、5(5只全活)，共6種變量。由這6種變量的相應(yīng)概率組成的分布，就是n=5時(shí)活蟲數(shù)的二項(xiàng)分布。第50頁，共122頁，2023年，2月20日，星期三二、二項(xiàng)式分布的概率計(jì)算方法下面用一個(gè)例子來講解這一問題。紅花豌豆和白花豌豆雜交，F(xiàn)2代出現(xiàn)紅花的概率為p=3/4，出現(xiàn)白花的概率為q=1/4。如果將F1代種子成行種植，每行種4粒。問一行全是紅花、三株紅花、二株紅花、一株紅花、0紅花的概率各是多少。第51頁，共122頁，2023年，2月20日，星期三這實(shí)際上是以n=4,從p=3/4，q=1/4的二項(xiàng)總體中抽樣構(gòu)成二項(xiàng)分布的問題。為方便，以“1”代表出現(xiàn)紅花的事件，“0”代表出現(xiàn)白花的事件。第52頁，共122頁，2023年，2月20日，星期三紅花數(shù)組合數(shù)xF(x)4紅3紅2紅1紅0紅(1,1,1,1)4P(x=4)=1p4=0.754=0.3164(1,1,1,0)(1,1,0,1)(1,0,1,1)(0,1,1,1)3P(x=3)=4p3q1=4×0.753×0.25=0.4219(1,1,0,0)(1,0,1,0)(1,0,0,1)(0,1,1,0)(0,1,0,1)(0,0,1,1)2P(x=2)=6p2q2=6×0.752×0.252=0.2109(1,0,0,0)(0,1,0,0)(0,0,1,0)(0,0,0,1)1P(x=1)=4p1q3=4×0.75×0.253=0.0409(0,0,0,0)0P(x=0)=1q4=0.254=0.0039第53頁，共122頁，2023年，2月20日，星期三上例各項(xiàng)的概率相當(dāng)于(p+q)4的展開：(p+q)4=C40p4+C41p3q+C42p2q2+C43pq3+C44q4

=p4+4p3q+6p2q2+4pq3+q4同理，以樣本容量為n進(jìn)行的抽樣，得到的概率分布為(p+q)n的展開。每一項(xiàng)的系數(shù)為：(0≤k≤n)第54頁，共122頁，2023年，2月20日，星期三計(jì)算二項(xiàng)分布任何一項(xiàng)概率的通式為：例4.2某種昆蟲在某地區(qū)的死亡率為40%，即p=0.4，現(xiàn)對這種害蟲用一種新藥進(jìn)行治療試驗(yàn)，每次抽10頭作為一組治療。試問如新藥無療效，則在10頭中死3頭、2頭、1頭，以及全部愈好的概率為多少？第55頁，共122頁，2023年，2月20日，星期三8頭愈好，2頭死去的概率為：7頭愈好，3頭死去的概率為：第56頁，共122頁，2023年，2月20日，星期三9頭愈好，1頭死去的概率為：10頭全部愈好的概率為：若計(jì)算10頭中不超過2頭死去的概率為多少？則應(yīng)該應(yīng)用累積概率，即：第57頁，共122頁，2023年，2月20日，星期三三、二項(xiàng)式分布的形狀和參數(shù)一、形狀P=0.35,n=5的概率分布圖第58頁，共122頁，2023年，2月20日，星期三(p=0.5,n=5)的概率分布圖第59頁，共122頁，2023年，2月20日，星期三當(dāng)p=q時(shí)。二項(xiàng)分布呈對稱形狀，如p≠q,則表現(xiàn)偏斜形狀。但從理論和實(shí)踐檢驗(yàn)，當(dāng)n很大時(shí)即使p≠q，它也接近對稱形狀。所以這一理論分布是由n和p兩個(gè)參數(shù)決定的。二、參數(shù)凡描述一個(gè)總體，平均數(shù)和方差(或標(biāo)準(zhǔn)差)兩個(gè)參數(shù)是重要的。二項(xiàng)總體，其平均數(shù)μ、方差σ2和標(biāo)準(zhǔn)差σ為：

μ=np,σ2=npq第60頁，共122頁，2023年，2月20日，星期三四、泊松分布應(yīng)用二項(xiàng)分布時(shí)，有時(shí)會遇到一個(gè)概率p或q很小的值，例如小于0.1，另一方面n又相當(dāng)大，這時(shí)二項(xiàng)分布就變成另外一種特殊的分布，稱為泊松概率分布，簡稱泊松分布(Poissondistribution)。

式中：λ=npx=0，1，2，…，∞第61頁，共122頁，2023年，2月20日，星期三凡在觀察次數(shù)n（n相當(dāng)大）中，某一事件出現(xiàn)的平均次數(shù)m(m是一個(gè)定值）很小，那么，這一事件出現(xiàn)的次數(shù)將符合泊松分布。泊松分布在生物學(xué)研究中是經(jīng)常遇到的，例如，昆蟲與植物種類在一定面積的分布，病菌侵害作物的分布，一個(gè)顯微鏡視野內(nèi)的細(xì)菌計(jì)數(shù)以及原子衰變的規(guī)律等隨機(jī)變數(shù)。泊松分布的平均數(shù)、方差和標(biāo)準(zhǔn)差為：第62頁，共122頁，2023年，2月20日，星期三泊松分布是一種用來描述一定的空間或時(shí)間里稀有事件發(fā)生次數(shù)的概率分布。服從泊松分布的變量的一些例子：

一定畜群中某中患病率很低的非傳染性疾病患病數(shù)或死亡數(shù)。畜群中遺傳的畸形怪胎數(shù)單位空間內(nèi)某些野生動(dòng)物或昆蟲數(shù)每升飲水中的大腸桿菌數(shù)第63頁，共122頁，2023年，2月20日，星期三例：顯微鏡下觀察一種懸浮液中的某種顆粒，據(jù)前人報(bào)告，平均每張樣片可以觀察到3個(gè)微粒，問在一次觀察中看到3個(gè)微粒的概率是多大？少于3個(gè)微粒的概率是多少？若觀察100張片子，大約有多少張片子看到的微粒數(shù)少于3個(gè)？第64頁，共122頁，2023年，2月20日，星期三（一）二項(xiàng)分布的極限—正態(tài)分布（二）正態(tài)分布曲線的特性（三）計(jì)算正態(tài)分布曲線區(qū)間概率的方法五、正態(tài)分布第65頁，共122頁，2023年，2月20日，星期三五、正態(tài)分布（一）二項(xiàng)分布的極限—正態(tài)分布（二）正態(tài)分布曲線的特性（三）計(jì)算正態(tài)分布曲線區(qū)間面積或概率的方法第66頁，共122頁，2023年，2月20日，星期三一、二項(xiàng)分布的極限—正態(tài)分布以二項(xiàng)分布棉株受害率為例，假定受害概率p=1/2，那么，p=q=1/2。現(xiàn)假定每個(gè)抽樣單位包括20株，這樣將有21個(gè)組，其受害株的概率函數(shù)為于是概率分布計(jì)算如下：第67頁，共122頁，2023年，2月20日，星期三現(xiàn)將這概率分布繪于圖4.5。從圖4.5看出它是對稱的，分布的平均數(shù)和方差為：=npq=20(1/2)(1/2)=5(株)2。=np=20(1/2)=10(株)，

第68頁，共122頁，2023年，2月20日，星期三圖4.5棉株受害率(0.5+0.5)20分布圖（實(shí)線表示二項(xiàng)式概率分布，虛線表示接近的正態(tài)分布曲線）如p=q，不論n值大或小，二項(xiàng)分布的多邊形圖必形成對稱；如p≠q，而n很大時(shí)，這多邊形仍趨對稱。第69頁，共122頁，2023年，2月20日，星期三倘n或組數(shù)增加到無窮多時(shí)(n→∞)，多邊形的折線就表現(xiàn)為一個(gè)光滑曲線。這個(gè)光滑曲線在數(shù)學(xué)上的意義是一個(gè)二項(xiàng)分布的極限曲線,屬于連續(xù)性變數(shù)分布曲線,一般稱之為正態(tài)分布曲線或正態(tài)概率密度曲線?？梢酝茖?dǎo)出正態(tài)分布的概率密度函數(shù)為：(4·9)

其中，y是所研究的變數(shù)；是概率密度函數(shù)；和為總體參數(shù)，表示所研究總體平均數(shù)，表示所研究總體標(biāo)準(zhǔn)差，不同正態(tài)分布可以有不同的和，但某一定總體的和是常數(shù)。

第70頁，共122頁，2023年，2月20日，星期三參數(shù)和有如下的數(shù)學(xué)表述(4·10)

令可將(4·9)式標(biāo)準(zhǔn)化為：

(4·11)

上式稱為標(biāo)準(zhǔn)化正態(tài)分布方程，它是參數(shù)時(shí)的正態(tài)分布(圖4.7)。記作N(0，1)。

第71頁，共122頁，2023年，2月20日，星期三正態(tài)分布的曲線圖-3-2-10123圖4.6正態(tài)分布曲線圖(平均數(shù)為，標(biāo)準(zhǔn)差為)圖4.7標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布曲線圖(平均數(shù)為0，標(biāo)準(zhǔn)差為1)

第72頁，共122頁，2023年，2月20日，星期三二、正態(tài)分布曲線的特性

1.正態(tài)分布曲線是以y=為對稱軸，向左右兩側(cè)作對稱分布，所以它是一個(gè)對稱曲線。從所豎立的縱軸f(y=)是最大值，所以正態(tài)分布曲線的算術(shù)平均數(shù)、中數(shù)和眾數(shù)是相等的，三者均合一位于點(diǎn)上。

2.正態(tài)分布曲線以參數(shù)和的不同而表現(xiàn)為一系列曲線，所以它是一個(gè)曲線簇而不僅是一個(gè)曲線。確定它在橫軸上的位置，而確定它的變異度，不同和的正態(tài)總體具有不同的曲線和變異度，所以任何一個(gè)特定正態(tài)曲線必須在其和確定后才能確定。圖4.8和4.9表示這個(gè)區(qū)別。第73頁，共122頁，2023年，2月20日，星期三圖4.8標(biāo)準(zhǔn)差相同(1)而平均數(shù)不同(=0、=1、=2)的三個(gè)正態(tài)分布曲線圖4.9平均數(shù)相同(0)而標(biāo)準(zhǔn)差不同(=1、=1.5、=2)的三個(gè)正態(tài)分布曲線第74頁，共122頁，2023年，2月20日，星期三

3.正態(tài)分布資料的次數(shù)分布表現(xiàn)為多數(shù)次數(shù)集中于算術(shù)平均數(shù)附近，離平均數(shù)越遠(yuǎn)，其相應(yīng)的次數(shù)越少；且在左右相等||范圍內(nèi)具有相等次數(shù)；在||≥3以上其次數(shù)極少。4.正態(tài)曲線在||=1處有“拐點(diǎn)”。曲線兩尾向左右伸展，永不接觸橫軸，所以當(dāng)y→±∞，分布曲線以y軸為漸近線，因之曲線全距從－∞到+∞。

5.正態(tài)曲線與橫軸之間的總面積等于1，因此在曲線下橫軸的任何定值，例如從y=y1到y(tǒng)=y2之間的面積，等于介于這兩個(gè)定值間面積占總面積的成數(shù)，或者說等于y落于這個(gè)區(qū)間內(nèi)的概率。

第75頁，共122頁，2023年，2月20日，星期三正態(tài)曲線的任何兩個(gè)y定值ya與yb之間的面積或概率乃完全以曲線的和而確定的。詳細(xì)數(shù)值見附表1，下面為幾對常見的區(qū)間與其相對應(yīng)的面積或概率的數(shù)字：區(qū)間±1面積或概率=0.6827±2=0.9545±3=0.9973±1.960=0.9500±2.576=0.9900第76頁，共122頁，2023年，2月20日，星期三例如，上章水稻140行產(chǎn)量資料的樣本分布表現(xiàn)出接近正態(tài)分布，其平均數(shù)()、標(biāo)準(zhǔn)差(s)以及離均差為1、2和3個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差的區(qū)間所包括的次數(shù)列于表4.5。實(shí)驗(yàn)的結(jié)果與正態(tài)分布的理論結(jié)果很相近?！纊s數(shù)值(g)區(qū)間(g)區(qū)間內(nèi)包括的次數(shù)次數(shù)%±1s157.9±36.4121.5～194.59970.71±2s157.9±72.885.1～230.713495.71±3s157.9±109.248.7～267.1140100.00表4.5

140行水稻產(chǎn)量在±1s，±2s，±3s范圍內(nèi)所包括的次數(shù)表第77頁，共122頁，2023年，2月20日，星期三三、計(jì)算正態(tài)分布曲線區(qū)間面積或概率的方法在正態(tài)分布曲線下，y的定值從y=a到y(tǒng)=b間的概率可用曲線下區(qū)間的面積來表示，或者說，用其定積分的值表示，如圖4.10所示的面積。(4·13)同樣可以計(jì)算曲線下從－∞到y(tǒng)的面積，其公式如下：(4·14)這里FN(y)稱為正態(tài)分布的累積函數(shù)，具有平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差。

第78頁，共122頁，2023年，2月20日，星期三A=P(a<y<b)fN(y)圖4.10正態(tài)分布密度函數(shù)的積分說明圖面積A=P(a<y<b)第79頁，共122頁，2023年，2月20日，星期三現(xiàn)如給予變數(shù)任何一定值，例如a，那么，可以計(jì)算y≤a的概率為FN(a)，即(4·15)如果a與b(a<b)是y的兩個(gè)定值，則其區(qū)間概率可從下式計(jì)算：(4·16)當(dāng)y=－∞，，當(dāng)y=+∞，正態(tài)分布的密度函數(shù)fN(y)是按y值將累積函數(shù)FN(y)求其導(dǎo)數(shù)得之。第80頁，共122頁，2023年，2月20日，星期三圖4.11正態(tài)分布的累積函數(shù)FN(y)

長度A=P(a＜y≤b)第81頁，共122頁，2023年，2月20日，星期三

[例4.4]假定y是一隨機(jī)變數(shù)具有正態(tài)分布，平均數(shù)

=30，標(biāo)準(zhǔn)差=5，試計(jì)算小于26，小于40的概率，介乎26和40區(qū)間的概率以及大于40的概率。

所有正態(tài)分布都可以轉(zhuǎn)換為標(biāo)準(zhǔn)化正態(tài)分布方程式首先計(jì)算：先將y轉(zhuǎn)換為u值

然后查表計(jì)算概率。第82頁，共122頁，2023年，2月20日，星期三同理可得：

FN(40)=0.9773

所以：P(26＜y≤40)=FN(40)－FN(26)=0.9773－0.2119=0.7654

P(y＞40)=1－P(y≤40)=1－0.9773=0.0227查附表2，當(dāng)u=－0.8時(shí)，F(xiàn)N(26)=0.2119，說明這一分布從－∞到26范圍內(nèi)的變量數(shù)占全部變量數(shù)的21.19%，或者說，y≤26概率為0.2119.第83頁，共122頁，2023年，2月20日，星期三圖4.12概率計(jì)算圖示第84頁，共122頁，2023年，2月20日，星期三[例4.5]在應(yīng)用正態(tài)分布時(shí)，經(jīng)常要討論隨機(jī)變數(shù)y離其平均數(shù)的差數(shù)大于或小于若干個(gè)值的概率。例如計(jì)算離均差絕對值等于小于和等于大于1的概率為：也可以簡寫為

第85頁，共122頁，2023年，2月20日，星期三相應(yīng)地，離均差絕對值等于小于2、等于大于2、等于小于3和等于大于3的概率值為：以上結(jié)果解釋了正態(tài)分布曲線的概率特性，可參考圖4.13。第86頁，共122頁，2023年，2月20日，星期三圖4.13離均差的絕對值≤1,2和1.96的概率值第87頁，共122頁，2023年，2月20日，星期三[例4.6]計(jì)算正態(tài)分布曲線的中間概率為0.99時(shí)，其y或u值應(yīng)等于多少？

因?yàn)檎龖B(tài)分布是對稱的，故在曲線左邊從－∞到－

u的概率和在曲線右邊從u到∞的概率都應(yīng)等于1/2(1－0.99)=0.005。查表，u=－2.58時(shí)，fN(y)

=0.00494≈0.005。于是知，當(dāng)±2.58時(shí)，在其范圍內(nèi)包括99%的變量，僅有1%變量在此范圍之外。上述結(jié)果寫作：第88頁，共122頁，2023年，2月20日，星期三同理可求得：以上

乃正態(tài)曲線下左邊一尾y從－∞到

上的面積和右邊一尾y從到∞上的面積之和，亦可寫成：同理，亦可寫成：第89頁，共122頁，2023年，2月20日，星期三以上兩式等號右側(cè)的前一項(xiàng)為左尾概率，后一項(xiàng)為右尾概率，其和概率稱為兩尾概率值。在附表2列出了兩尾概率取某一值時(shí)的臨界u值(正態(tài)離差u值)，可供直接查用。例如，可查得P=0.01時(shí)u=2.5758，P=0.05時(shí)u=1.9599，即表示：

P(|u|≥2.5758)=0.01,P(|u|≥1.9599)=0.05如果僅計(jì)算一尾，則為一尾概率值。例如計(jì)算

P(u≥1.6448)=P(|u|≥1.6448)=(0.1)=0.05這個(gè)0.05稱為y值大于的一尾概率值。當(dāng)概率一定時(shí)，兩尾概率的|u|總是大于一尾概率|u|。第90頁，共122頁，2023年，2月20日，星期三第四節(jié)抽樣分布前面我們談到總體的參數(shù)是無法得到的，需要用樣本的統(tǒng)計(jì)數(shù)進(jìn)行估計(jì)。用統(tǒng)計(jì)數(shù)估計(jì)總體的相應(yīng)參數(shù)，首先必須知道統(tǒng)計(jì)數(shù)與參數(shù)的關(guān)系，即要弄清楚總體和樣本的關(guān)系。通過本節(jié)抽樣分布的討論，目的就是要搞清楚從總體中抽出所有可能的樣本統(tǒng)計(jì)量的分布與原總體之間的關(guān)系。第91頁，共122頁，2023年，2月20日，星期三總體隨機(jī)樣本總體和樣本的關(guān)系示意圖總體234……n無窮多個(gè)樣本1從樣本到總體方向從總體到樣本方向第92頁，共122頁，2023年，2月20日，星期三一、抽樣試驗(yàn)從總體中隨機(jī)抽樣得到樣本，獲得樣本觀察值后可以計(jì)算一些統(tǒng)計(jì)數(shù)，統(tǒng)計(jì)數(shù)分布稱為抽樣分布。抽樣

復(fù)置抽樣，指將抽得的個(gè)體放回總體后再繼續(xù)抽樣不復(fù)置抽樣，指將抽得的個(gè)體不放回總體而繼續(xù)進(jìn)行抽樣第93頁，共122頁，2023年，2月20日，星期三如果從容量為N的有限總體抽樣，若每次抽取容量為n的樣本，那么一共可以得到Nn個(gè)樣本。每個(gè)樣本可以計(jì)算一個(gè)平均數(shù)，這樣就得到許多平均數(shù)，如果將這些平均數(shù)集合起來便構(gòu)成一個(gè)新總體。由于每次隨機(jī)抽樣所得的平均數(shù)可能會存在差異，所以由平均數(shù)構(gòu)成的新總體也應(yīng)該有其分布，這種分布稱為平均數(shù)的抽樣分布。二、樣本平均數(shù)的抽樣及其分布第94頁，共122頁，2023年，2月20日，星期三在統(tǒng)計(jì)上，如果所有可能樣本的某一統(tǒng)計(jì)數(shù)等于總體的相應(yīng)參數(shù)，則稱該統(tǒng)計(jì)數(shù)為總體相應(yīng)參數(shù)的無偏估計(jì)值(unbiasedestimate)1、是μ的無偏估計(jì)值。2、s2是σ2的無偏估計(jì)值3、以n為除數(shù)的樣本方差不是σ2的無偏估計(jì)值。4、s不是σ的無偏估計(jì)值。第95頁，共122頁，2023年，2月20日，星期三下面用一個(gè)抽樣實(shí)驗(yàn)進(jìn)一步說明樣本平均數(shù)的抽樣分布及其分布的參數(shù)。例：設(shè)有一總體N=3(2，4，6)。分別以樣本容量n=1、n=2、n=4及n=8，從總體中進(jìn)行復(fù)置抽樣，抽出全部樣本于表4.6。表4.6中列出這些不同樣本容量的抽樣分布，并在圖4.15用方柱形圖表示其分布形狀。由表中第一列當(dāng)N=3，n=1的總體平均數(shù)和方差為：

當(dāng)樣本容量依次為2、4、8時(shí)，其相應(yīng)為4、4、4；其相應(yīng)為4/3、2/3、1/3。即，。第96頁，共122頁，2023年，2月20日，星期三n=1n=2n=4n=8yffff24611123456123212.02.53.03.54.04.55.05.56.0141016191610412.002.252.502.753.003.253.503.754.004.254.504.755.005.255.505.756.001836112266504784101611071016784504266112368139816561平均數(shù)4444方差8/34/32/31/3表4.6各種不同樣本容量的樣本平均數(shù)()的抽樣分布

第97頁，共122頁，2023年，2月20日，星期三n=1n=2圖4.15各種不同樣本容量的

分布方柱形圖第98頁，共122頁，2023年，2月20日，星期三圖4.15各種不同樣本容量的

分布方柱形圖n=4n=8第99頁，共122頁，2023年，2月20日，星期三當(dāng)n=2時(shí)樣本平均數(shù)分布的平均數(shù)為：樣本平均數(shù)分布的方差為：第100頁，共122頁，2023年，2月20日，星期三當(dāng)n=4時(shí)：第101頁，共122頁，2023年，2月20日，星期三當(dāng)n=8時(shí)：第102頁，共122頁，2023年，2月20日，星期三不同樣本容量的平均數(shù)的抽樣分布形狀為：抽樣誤差的概念：稱為標(biāo)準(zhǔn)誤。抽樣誤差的度量：第103頁，共122頁，2023年，2月20日，星期三n=1fyfn=2yfn=4yfn=8y第104頁，共122頁，2023年，2月20日，星期三1、樣本平均數(shù)分布的平均數(shù)等于總體平均數(shù)。2、樣本平均數(shù)分布的方差等于總體方差除以樣本容量3、如果從正態(tài)總體中進(jìn)行抽樣，其樣本平均數(shù)的分布也服從正態(tài)分布4、若母總體不是正態(tài)分布，從中抽出的樣本平均數(shù)分布不一定屬于正態(tài)分布，但當(dāng)樣本容量n增大時(shí)，從這總體抽出樣本平均數(shù)的抽樣分布趨于正態(tài)分布，具有平均數(shù)μ和方差σ2/n。這稱之為中心極限定理。樣本平均數(shù)分布的基本性質(zhì)第105頁，共122頁，2023年，2月20日，星期三三、樣本平均數(shù)差數(shù)的抽樣分布及其分布參數(shù)第106頁，共122頁，2023年，2月20日，星期三如果從一個(gè)總體隨機(jī)地抽取一個(gè)樣本容量為n1的樣本，同時(shí)隨機(jī)獨(dú)立地從另一個(gè)總體抽取一個(gè)樣本容量為n2的樣本，那么可以得到分別屬于兩個(gè)總體的樣本，這兩個(gè)獨(dú)立隨機(jī)抽取的樣本平均數(shù)間差數(shù)()的抽樣分布參數(shù)與兩個(gè)母總體間存在如下關(guān)系：(1)該抽樣分布的平均數(shù)與母總體的平均數(shù)之差相等。(2)該抽樣分布的方差與母總體方差間的關(guān)系為：

(4·21)(4·22)第107頁，共122頁，2023年，2月20日，星期三例：假定第一個(gè)總體包括3個(gè)觀察值，2、4和6

(N1=3,n1=2)，所有樣本數(shù)為Nn=32=9個(gè)，總體平均數(shù)和方差=4，=8/3。第二個(gè)總體包括2個(gè)觀察值，3和6

(N2=2)，抽出的樣本容量為3(n2=3)，所以所有樣本數(shù)為23=8個(gè)，總體平均數(shù)和方差=4.5，=2.25?，F(xiàn)將上述兩個(gè)總體的次數(shù)分布列于表4.7，并計(jì)算出其分布的參數(shù)。將第一總體的9個(gè)樣本平均數(shù)和第二總體的8個(gè)樣本平均數(shù)作所有可能的相互比較，這樣共有9×8=72個(gè)比較或72個(gè)差數(shù)，這72個(gè)差數(shù)次數(shù)分布列于表4.8和表4.9。第108頁，共122頁，2023年，2月20日，星期三表4.7從兩個(gè)總體抽出