理科數(shù)學(xué)高考模擬試題

理科數(shù)學(xué)試題

一、選擇題（本大題共12個(gè)小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有

一項(xiàng)是符合題目要求的

1.復(fù)數(shù)匕4■的共規(guī)復(fù)數(shù)是（）A.衛(wèi)B.--C.iD.-/

2-i55

2.已知集合A=＜九eA三*0,,8={xeR卜一2a）（九一/一若4口8=0,則實(shí)數(shù)。的取

值范圍是（）A.（2,+0o）B.[2,+oo）C.{1}U[2,+oo）D.（l,+8）

3.某工廠生產(chǎn)A、B、。三種不同型號(hào)的產(chǎn)品，產(chǎn)品數(shù)量之比依次為女：5:3,現(xiàn)用分層抽樣方法抽出一

個(gè)容量為120的樣本，已知A種型號(hào)產(chǎn)品共抽取了24件，則。種型號(hào)產(chǎn)品抽取的件數(shù)為（）

A.24B.30C.36D.40

4.如圖給出的是計(jì)算1+,+1+…的值的一個(gè)框圖,

其中菱形判斷框內(nèi)應(yīng)填入的條件是（）

24620

A.z>8?B.z>9?C.z>10?D.i>ll?

5.已知把函數(shù)/（x）=sinx+Gcosx的圖像向右平移7個(gè)單位,

再把橫坐標(biāo)擴(kuò)大到原來(lái)的2倍，得到函數(shù)g（x）,則函數(shù)

g（x）的一條對(duì)稱(chēng)軸為（）

4717〃八兀z5%

A.x=—B.x=—C.x=—D.x=—

66126

6.已知等比數(shù)列{%}的前〃項(xiàng)的和為S“=2"T+左，

則/一"2-2x+l的極大值為（）

75

A.2B.3C.—D.一

22/輸出s/

7.已知身穿紅、黃兩種顏色衣服的各有兩人，身穿藍(lán)顏色

衣服的有一人，現(xiàn)將這五人排成一行，要求穿相同顏色衣服的人

不能相鄰，則不同的排法共有（）A.48種B.72種C.78種1）.84種

r2r2r2r2

8.已知橢圓一+土-=1的左、右焦點(diǎn)耳，E與雙曲線二—一=1（。＞8＞0）的焦點(diǎn)重合.且直線

尤-y-1=0與雙曲線右支相交于點(diǎn)P,則當(dāng)雙曲線離心率最小時(shí)的雙曲線方程為（）

第1頁(yè)共1頁(yè)

2X2X222

A2廠1X-X

A.x---=lB.C.D.

8至一可亍一5c

9.一個(gè)長(zhǎng)方體的四個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)四面體EF”G,在這

個(gè)長(zhǎng)方體中把四面體EFHG截出如圖所示，則四面

體EFHG的側(cè)視圖是（）

10.已知函數(shù)/。）=丁+/+1的對(duì)稱(chēng)中心的橫坐標(biāo)為/（%>0）,且〃力有三個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取

返

值范圍是（）A.（-oo,0）B.一8,C.(0,+8)D.(―8,-1)

11.已知三棱錐尸一43。的四個(gè)頂點(diǎn)都在球。的球面上，若PA=AB=2,AC=1,ZBAC=120°,

且PAJ_平面ABC,則球。的表面積為（）A.翌工B.竺三C.12〃D.15兀

33

/、fAx+l,x<0,//、、_

12.已知函數(shù)/（x）={下列是關(guān)于函數(shù)y=/（〃x））+l的零點(diǎn)個(gè)數(shù)的四種判斷：①當(dāng)女>0

log2x,x>0,

時(shí)，有3個(gè)零點(diǎn)；②當(dāng)上<0時(shí)?.有2個(gè)零點(diǎn)；③當(dāng)女>0時(shí)，有4個(gè)零點(diǎn)；④當(dāng)上<0時(shí)、有1個(gè)零點(diǎn).則

正確的判斷是（）A.③④B.②③C.①④D.①②

第n卷（非選擇題共90分）

二、填空題（本大題共4小題，每題5分，滿分20分.）

13.已知拋物線9=2*（0>0）的焦點(diǎn)為尸，A4BC的頂點(diǎn)都在拋物線上，且滿足而+而=-定，

則——十——+——=______.

^AB女8c幻人

14.設(shè)曲線y=x向（XEN）在點(diǎn)（1,1）處的切線與x軸的交點(diǎn)橫坐標(biāo)為天，則

l°g2O15尢I+l°g2015X2+l°g2015X3^°§2015X2014的值為------?

15.已知AABC中，角A、B、C的對(duì)邊分別為。、b>c,已知cos2A+cos23=2cos2C,貝iJcosC

的最小值為.

16.若函數(shù)/（x）在定義域。內(nèi)的某個(gè)區(qū)間/上是增函數(shù)，且E（X）="D在/上也是增函數(shù)，則稱(chēng)

X

第2頁(yè)共2頁(yè)

y=/（x）是/上的“完美函數(shù)”.已知g（x）=e'+x—lnx+l,若函數(shù)g（x）是區(qū)間+8）上的“完美

函數(shù)”，則整數(shù)機(jī)的最小值為.

三、解答題（本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.）

17.（本小題滿分12分）設(shè)數(shù)列｛2｝的前限項(xiàng)和為S“，且首項(xiàng)。產(chǎn)3,a,川=S“+3”（〃eN*）..

（1）求證：｛S“—3"｝是等比數(shù)列；（2）若｛%｝為遞增數(shù)列，求q的取值范圍.

18.（本小題滿分12分）有一批貨物需要用汽車(chē)從生產(chǎn)商所在城市甲運(yùn)至銷(xiāo)售商所在城市乙，已知從城市

甲到城市乙只有兩條公路，且通過(guò)這兩條公路所用的時(shí)間互不影響.據(jù)調(diào)查統(tǒng)計(jì)，通過(guò)這兩條公路從城市

甲到城市乙的200輛汽車(chē)所用時(shí)間的頻率分布如下表：

所用的時(shí)間（天數(shù)）10111213

通過(guò)公路1的頻數(shù)20402020

通過(guò)公路2的頻數(shù)10404010

假設(shè)汽車(chē)A只能在約定日期（某月某日）的前11天出發(fā)，汽車(chē)3只能在約定日期的前12天出發(fā)（將頻

率視為概率）.

（1）為了盡最大可能在各自允許的時(shí)間內(nèi)將貨物運(yùn)往城市乙，估計(jì)汽車(chē)A和汽車(chē)B應(yīng)如何選擇各自的路

徑；（2）若通過(guò)公路1、公路2的“一次性費(fèi)用”分別為3.2萬(wàn)元、1.6萬(wàn)元（其他費(fèi)用忽略不計(jì)），此

項(xiàng)費(fèi)用由生產(chǎn)商承擔(dān).如果生產(chǎn)商恰能在約定日期當(dāng)天將貨物送到，則銷(xiāo)售商一次性支付給生產(chǎn)商40萬(wàn)元,

若在約定II期前送到，每提前一天銷(xiāo)售商將多支付給生產(chǎn)商2萬(wàn)元；若在約定II期后送到，每遲到?天。

生產(chǎn)商將支付給銷(xiāo)售商2萬(wàn)元.如果汽車(chē)A,8按（1）中所選路徑運(yùn)輸貨物，試比較哪輛汽車(chē)為生產(chǎn)商獲

得的毛利潤(rùn)更大.

19.（本小題滿分12分）如圖，平面PAC_L平面ABC,AC1BC,

△PAC為等邊三角形，PEOBC,過(guò)3C作平面交AP、AE分別

AN

于點(diǎn)N、M.（1）求證：MN□PE；（2）設(shè)一=2,求力的值,

AP

使得平面ABC與平面MNC所成的銳二面角的大小為45°.

2

20.（本小題滿分12分）如圖，已知圓E:（x+GJ+y2=16,點(diǎn)/（6,0）,P是圓E上任意一點(diǎn)線段

PF的垂直平分線和半徑PE相交于Q.

第3頁(yè)共3頁(yè)

（1）求動(dòng)點(diǎn)。的軌跡「的方程；（2）設(shè)直線/與（1）中軌跡「相交下A,8兩點(diǎn)，直線0A/08的斜率

分別為4,七,質(zhì)（其中％>0）.A0A8的面積為S,以0A03為直徑的圓的面積分別為5.若k\,k,k?

恰好構(gòu)成等比數(shù)列，求衛(wèi)邑的取值范圍.

S

21.（本小題滿分12分）已知函數(shù)/（x）=H_-lnx（aW0）.（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

ax

「11/i+x

（2）當(dāng)。=1時(shí)，求“X）在「2上的最大值和最小值（0.69<1口2<0.70）；（3）求證：加一《——.

2xx

請(qǐng)考生在第22、23、24三題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分.解答時(shí)請(qǐng)

寫(xiě)清題號(hào).

22.（本小題滿分10分）選修4T：幾何證明選講

已知直線AC與圓。相切于點(diǎn)8,A。交圓。于

F、D兩點(diǎn),CE交圓于E,F,BDDCE,AB=BC,

AD=2,BD=\.（1）求證：\BDF\FBC；（2）

求CE的長(zhǎng).

23.（本小題滿分10分）選【修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程】在極坐標(biāo)系

中，圓C的方程為p=2acos6（aw0）,以極點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，極軸為x

x=3f+1,

軸正半軸建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)直線/的參數(shù)方程為y=4f+3"

為參數(shù)）.（1）求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程和直線/的普通方程；（2）若直線/與圓C恒

有公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

24.（本小題滿分10分）【選修4-5：不等式選講】（1）設(shè)函數(shù)/（%）=x~~+|-V-?|,^€R,若關(guān)于X的

不等式/（X）2。在火上恒成立，求實(shí)數(shù)a的最大值;

321

(2)已知正數(shù)％,y,z滿足x+2y+3z=l,求一+—+—

xyz

的最小值.

第4頁(yè)共4頁(yè)

參考答案

一、選擇題(本大題共12個(gè)小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有

一項(xiàng)是符合題目要求的

1.復(fù)數(shù)上@的共規(guī)復(fù)數(shù)是()

2-i

*3i3z八.c.

A.—B.---C.iD.-i

55

【答案】D

【解析】

…皿八”l+2i(1+2z)z.「“…田

試題分析：由于-----=--------=I，因此應(yīng)選D.

2-z(2-z)z

考點(diǎn)：復(fù)數(shù)的運(yùn)算.

2.已知集合4==€/?三六0,,8=卜€(wěn)/?卜一24)卜—/一1)＜()},若4口8=0,則實(shí)數(shù)

a的取值范圍是()

A.(2,+8)B.[2,+oo)C.{l}U[2,+8)D.

【答案】C

【解析】

試題分析：因/=3-1＜乂勺4},5={工|2。＜》＜/+1},故當(dāng)。=18寸，3=中成立；當(dāng)2a24,即

a22時(shí)也成立.所以應(yīng)選C.

考點(diǎn)：二次不等式的解法和集合的運(yùn)算.

3.某工廠生產(chǎn)A、B、C三種不同型號(hào)的產(chǎn)品，產(chǎn)品數(shù)量之比依次為公5:3,現(xiàn)用分層抽樣方法

抽出一個(gè)容量為120的樣本，已知A種型號(hào)產(chǎn)品共抽取了24件，則C種型號(hào)產(chǎn)品抽取的件數(shù)為()

A.24B.30C.36D.40

【答案】C

【解析】

k?43

試題分析：因一匚=士，故％=2,二*120=36,應(yīng)選(：.

人+812010

考點(diǎn)：抽樣方法及計(jì)算.

第5頁(yè)共5頁(yè)

4.如圖給出的是計(jì)算…+-L的值的一個(gè)框圖,

24620

其中菱形判斷框內(nèi)應(yīng)填入的條件是()

A.z>8?B.z>9?C.z>10?D.i>ll?

【答案】C

【解析】

試題分析：從所給算法流程可以看出當(dāng)i=10時(shí)仍在運(yùn)算，

當(dāng)i=11>10時(shí)運(yùn)算就結(jié)束了，所以應(yīng)選C.

考點(diǎn)：算法流程圖的識(shí)讀和理解.

5.已知把函數(shù)/(光)=5m彳+百(：05%的圖像向右平移7個(gè)單位，再把橫坐標(biāo)擴(kuò)大到原來(lái)的2倍,

得到函數(shù)g(x),則函數(shù)g(x)的一條對(duì)稱(chēng)軸為()

JiIJIJi5"

A.x=—B.x=--C.x=—D.x=—

66126

【答案】D

【解析】

試題分析：因/(x)=sinx+J5cosx=2sin(x+%)，向右平移(個(gè)單位后變?yōu)?/p>

/(x)=2sin(x+—--)=2sin(x+—),再將其橫坐標(biāo)擴(kuò)大到原來(lái)的兩倍后得到g(x)=2sin(-x+—),

34,12212

應(yīng)選D.考點(diǎn)：三角函數(shù)的圖象和性質(zhì).

6.已知等比數(shù)列｛4｝的前"項(xiàng)的和為S“=2"T+Z,則=d—丘2一2%+1的極大值為()

75

A.2B.3C.-D.-【答案】D考點(diǎn)：等比數(shù)列的前〃項(xiàng)和與函數(shù)的極值.

22

7.已知身穿紅、黃兩種顏色衣服的各有兩人，身穿藍(lán)顏色衣服的有?人，現(xiàn)將這五人排成一行，

要求穿相同顏色衣服的人不能相鄰，則不同的排法共有()

A.48種B.72種C.78種D.84種

【答案】A

【解析】

試題分析：先將穿紅衣服的兩人排定有否種排法；再將穿黃衣服的兩人插空有A；種排法；最后將穿藍(lán)衣

服的人插入有四種插法，由分布計(jì)數(shù)原理共有2x6x4=48種排法,應(yīng)選A.

第6頁(yè)共6頁(yè)

考點(diǎn)：排列組合數(shù)公式及兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的運(yùn)用.

V2r2r2

8.已知橢圓需+]=1的左、右焦點(diǎn)耳,巴與雙曲線點(diǎn)■—》=1(。>/?>0)的焦點(diǎn)重合.且直線

x—y-1=0與雙曲線右支相交于點(diǎn)P,則當(dāng)雙曲線離心率最小時(shí)的雙曲線方程為()

【答案】D

【解析】

試題分析：因C=716-7=3,故月(3。,設(shè)交點(diǎn)尸(小-IX/>0),則PF2=J(?3)2+Q-l)2

=-2?-8t+10,右準(zhǔn)線方程為x=1,點(diǎn)尸到這條直線的距離為d=”9,所以巨=■-一,+10,

33aa2

t--

3

即(3r-a2)2=2a￥-8aV+10a2,也即(2/一9)/一2。。+10/-/=o,該方程有正根，所以

△=4/—4(2。？—9乂10/一。4)之0,解之得/45或/29,所以當(dāng)/=5時(shí)，雙曲線的離心率最小，

此時(shí)/=9-5=4,應(yīng)選D.

考點(diǎn)：雙曲線的幾何性質(zhì).

【易錯(cuò)點(diǎn)晴】本題考查的是圓錐曲線的基本量的計(jì)算問(wèn)題.解答這類(lèi)問(wèn)題的一般思路是依據(jù)題設(shè)條件想方設(shè)

【解析】

試題分析:因S1=%=1+左：$2=+。2=2+45=S?+%=4+左,即=1+忙%=L&3=2,故題

設(shè)2(1+幻=Lk=-g,所以/(X)=x3+：X2-2x+1,由于/(力=3/+X—2=(3x-2Xx+1),因此

當(dāng)xe(Yo「l)時(shí)，f(x)>O,f(x)單調(diào)遞增；當(dāng)xe(-L或時(shí),./(力<0,〃力單調(diào)遞減，所以函數(shù)

1?,

/(x)在x=-1處取極大值/(-1)=-1+5+2+1=彳,應(yīng)選D.

法建構(gòu)含。，4C的方程,然后再通過(guò)解方程或方程組使問(wèn)題獲解.解答本題的難點(diǎn)是如何建立和求出關(guān)于離

心率的目標(biāo)函數(shù),再進(jìn)一步探求該函數(shù)取得最小值時(shí)的條件,從而求出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程中的。力的值.本題

中的函數(shù)是運(yùn)用兩點(diǎn)之間的距離公式建立的,求解時(shí)是解不等式而求出a,b的值.

9.一個(gè)長(zhǎng)方體的四個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)四面體E/77G,在這個(gè)長(zhǎng)方體中把四面體EF”G截出如圖所

示，則四面體E/HG的側(cè)視圖是()

第7頁(yè)共7頁(yè)

【答案】D

【解析】

試題分析：側(cè)視圖就是左視圖,也就是從幾何體的左側(cè)向右看,幾何體所投射到平面上所得到的圖形，由于

EF被遮擋故應(yīng)畫(huà)虛線,所以應(yīng)選D.

考點(diǎn)：三視圖的識(shí)讀和理解.

10.已知函數(shù)/（九）=/+辦2+1的對(duì)稱(chēng)中心的橫坐標(biāo)為且/（X）有三個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)

數(shù)a的取值范圍是（）

逆、

A.(—oo,0)B.-8.C.(0,+°°)D.一8,

/

【答案】B

【解析】

試題分析：由于/（力=3/+2衣=3Mx+1a）因此函數(shù)〃x）=/+-+1有兩個(gè)極值點(diǎn)0「暫，因

/1（0）=1>0,故/（一等）=<+1<0,即。<一半,應(yīng)選民

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)的零點(diǎn)中的運(yùn)用.

11.已知三樓錐P-ABC的四個(gè)頂點(diǎn)都在球。的球面上，若PA=AB=2,AC=1,ZBAC=120°,

且PAJ.平面ABC,則球。的表面積為（）

【答案】A

【解析】

試題分析：設(shè)球心為。，A48C外接圓的圓心為外接圓的半徑為r,則0。J_平面ABC,由于24_1_平

面ABC,因此。。也=在A48c中，由余弦定理得BC=,1+4-2xlx2x（-g）=J7,所以

第8頁(yè)共8頁(yè)

一=2r,即r由此可得相=1+(］口尸="，所以球的面積是5=駟，應(yīng)選A.

sin"120°0V3V333

考點(diǎn)：球的兒何性質(zhì)與表面積的計(jì)算.

【易錯(cuò)點(diǎn)晴】本題考查的是多面體的外接球的表面積問(wèn)題.解答本題的難點(diǎn)是如何求出該四棱錐.的外接球的

半徑,如何確定球心的位置,這對(duì)學(xué)生的空間想象能力的要求非常高.解答時(shí)充分借助題設(shè)條件,先求出三角

形MBC的外接圓的半徑r=R,再借助PA1平面ABC,球心。與\ABC的外接圓的圓心O,的連線也

垂直于A4BC所在的平面,從而確定球心。與P,A,。共面.求出了球的半徑,找到解題的突破口.

12.已知函數(shù)/(x)=<腎::::下列是關(guān)于函數(shù)y=/(/(x))+l的零點(diǎn)個(gè)數(shù)的四種判斷：①

當(dāng)上>0時(shí)，有3個(gè)零點(diǎn)；②當(dāng)％<0時(shí).有2個(gè)零點(diǎn)；③當(dāng)％>0時(shí)，有4個(gè)零點(diǎn)；④當(dāng)％<0時(shí)，有1

個(gè)零點(diǎn).則正確的判斷是()

A.(3X4)B.②③C.①④D.①②

【答案】A

【解析】

試題分析：若x>0,/(幻=log2X.當(dāng)log2X>0,即X>1時(shí)，/(/(尤))=log2(log2X)+1=0,解得

_2

x=V2；當(dāng)log2尤<0,即0<xWl時(shí)，/(/(幻)=-1082幻+1+1=0,當(dāng)&>0,解得彳=2工<1適合；

2

當(dāng)&<0,解得x=2工>1不適合.若x〈0J(x)=H+l,若依+1<0,則/(/(尤))=攵。+攵+1+1=0,

氏+2

即％2九+々+2=0,當(dāng)A>O,x=——廠合適，4<0時(shí)不合適；若依+1>0,貝I

k

/(/(%))=log,(依+1)+1=0,即依+1=」也即尤=——，當(dāng)&>0時(shí)適合；當(dāng)k<0不合適.因此當(dāng)

22k

k>0時(shí)有四個(gè)根V2,2-*，一絲；當(dāng)4<0只有一個(gè)根x=行，應(yīng)選A.

k22k

考點(diǎn)：函數(shù)的零點(diǎn)和分類(lèi)整合思想.

【易錯(cuò)點(diǎn)晴】本題考查的是函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)及求解問(wèn)題.解答時(shí)借助題設(shè)條件,合理運(yùn)用分類(lèi)整合的數(shù)學(xué)思

想,通過(guò)對(duì)變量x的分類(lèi)討論,建立了關(guān)于函數(shù)/(%)的方程,再通過(guò)對(duì)參數(shù)k的分類(lèi)討論,求解出方程

/(/(%))+1=0的根,求解時(shí)分類(lèi)務(wù)必要求合乎邏輯力爭(zhēng)做到不重不漏,要有條理.解答本題的難點(diǎn)是如何

第9頁(yè)共9頁(yè)

轉(zhuǎn)化方程/(/(%))+1=0,如何進(jìn)行分類(lèi)整合.

第n卷(非選擇題共90分)

二、填空題(本大題共4小題，每題5分，滿分20分.)

13.已知拋物線丁2=2。_4。＞0)的焦點(diǎn)為尸，A48C的頂點(diǎn)都在拋物線匕且滿足

———111

FA+FB=-FC則一+—+—=______.

fkkk

KAB%BC凡CA

【答案】0

【解析】

試題分析：設(shè)A(X1,必),B(X2,%),C(x3,乂)，F(xiàn)(,,0)，由必+所=-FC可得必+必+%=。.因

勉=-=上，故現(xiàn)=旦，噎則J-+-L+-L=2L±A+3+3

馬一%M+%%+%%+%kABkBCkCA2P2p2p

=0.

考點(diǎn)：拋物線的幾何性質(zhì).

14.設(shè)曲線y=x"i(xeN*)在點(diǎn)(1,1)處的切線與x軸的交點(diǎn)橫坐標(biāo)為％,則

^°§2015%+^°§2015X2+l0g2015工3-I^°§2015”2014的值為------?

【答案】-1

【解析】

試題分析：因/(力=(〃+1)/,而/(1)=”+1,即切線的斜率左=〃+1,故切線方程為

123n1

卜-1=(〃+以》—1),令'=0得4=—n所以再吃一/=三彳=------=-；，而

?+1234〃++1

l°g2O15再+l°g”15a+l0g2O15X3^°g2015電。14=1°g2015(X1X2…X2014)=1°g2015~~=一】?

2014+1

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的幾何意義.

15.已知AA3C中，角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c,已知cos2A+cos23=2cos2C,

則cos。的最小值為_(kāi)____.

【答案】-

2

【解析】

試題分析：由cos2A+cos2B=2cos2c得sin2A+sin2B=2sin2c,即/+/=2。2.因?yàn)?/p>

第io頁(yè)共10頁(yè)

「2〃2+〃2_,,211

a~+b2=2c222",即J21,所以cosC=-一-——=—WcosC的最小值為上.

ablablab22

考點(diǎn)：余弦定理和基本不等式的運(yùn)用.

【易錯(cuò)點(diǎn)晴】本題考查的是以三角形中的三角變換為背景，其實(shí)是和解三角形有關(guān)的最小值問(wèn)題.求解本題

的關(guān)鍵是如何將題設(shè)條件cos2A+COS2B=2cos2c與cosC的最小值進(jìn)行聯(lián)系,這也是解答好本題的突

破口.解答時(shí)先運(yùn)用二倍角公式將其化為sin?A+sii？8=2sin2。，再運(yùn)用正弦定理將其轉(zhuǎn)化為三角形的

邊的等式。2+/=2c?.然后再借助余弦定理和基本不等式進(jìn)行聯(lián)系,從而求出cosC的最小值.

16.若函數(shù)/(x)在定義域。內(nèi)的某個(gè)區(qū)間/上是增函數(shù)，且/(耳=/區(qū)在/上也是增函數(shù)，

X

則稱(chēng)y=/(x)是/上的“完美函數(shù)”.已知g(x)=e'+x—lnx+1,若函數(shù)g(x)是區(qū)間￡,一)上的

“完美函數(shù)”，則整數(shù)機(jī)的最小值為.

【答案】3

【解析】

試題分析：令G(x)=°、-則g,(x)=篦+1-LG(x)=”二.n:史二2，當(dāng)桁=2時(shí)，

XXX

3-1

gQ)=e>0,G'(x)=-2<0,不合題設(shè)；當(dāng)加=3時(shí)，g(弓)=/+鼻>0,G

符合題設(shè),所以所求最小的正整數(shù)m=3.

考點(diǎn)：導(dǎo)函數(shù)的幾何意義.

【易錯(cuò)點(diǎn)晴】本題以新定義的完美函數(shù)為背景,考查的是導(dǎo)函數(shù)的與函數(shù)的單調(diào)性之間的關(guān)系的應(yīng)用問(wèn)題.

解答本題的關(guān)鍵是如何建立滿足不等式的實(shí)數(shù)機(jī)的值.求解時(shí)依據(jù)題設(shè)條件先對(duì)函數(shù)

g(x)=e*+x-Inx+1和F(x)=犯?求導(dǎo),建立不等式組,求參數(shù)m的值時(shí)運(yùn)用的是試驗(yàn)驗(yàn)證法,即根

x

據(jù)題設(shè)條件對(duì)適合條件的實(shí)數(shù)加的值進(jìn)行逐一檢驗(yàn),最終獲得答案.

三、解答題(本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.)

17.(本小題滿分12分)

設(shè)數(shù)列｛q｝的前〃項(xiàng)和為Sn,且首項(xiàng)qH3,an+i=5,+3"(〃eTV*).

(1)求證：｛S“—3"｝是等比數(shù)列；

第11頁(yè)共11頁(yè)

（2）若｛4,｝為遞增數(shù)列，求q的取值范圍.

【答案】⑴證明見(jiàn)解析；（2）（—9,3）U（3,+8）.

試題分析：。）依據(jù)題設(shè)條件等比額列的定義推證；（2）借助題設(shè)條件運(yùn)用遞增數(shù)列建立不等式求解.

試題解析：

（1）因?yàn)?+i=S*i_S“，所以5川=2.+3。.................................1分

?Sz—3m121+3"—3>_2S“-2X3”_2.................................................................

nn

…Sn-3Sn-3

且q-3H0,

所以｛S”-3”｝是以q一3為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列.................................6分

（2）由（1）得，S“—3"=（q—3）X2"T,所以S,=（%—3）X2"T+3".

當(dāng)〃22時(shí)，

n2

an=S?-S,i=（q-3）x+3”—（q-3）x2-+2-3"-'

n2n,

=（al-3）x2~+2x3~.......8分

若｛6,｝為遞增數(shù)列，則4+|>4對(duì)N*恒成立.

當(dāng)〃22時(shí);（4—3）x2"T+2x3">（a,-3）x2"-2+2x3n+l,

則2"-212x（5）+q—3>0對(duì)〃N*恒成立，

則%>—9；......................................................................10分

又。2=q+3>q

所以6的取值范圍為（一9,3）U（3,+8）

考點(diǎn)：等比數(shù)列及遞增數(shù)列等有關(guān)知識(shí)的運(yùn)用.

18.（本小題滿分12分）

有一批貨物需要用汽車(chē)從生產(chǎn)商所在城市甲運(yùn)至銷(xiāo)售商所在城市乙，己知從城市甲到城市乙只有兩條公

路，且通過(guò)這兩條公路所用的時(shí)間互不影響.據(jù)調(diào)查統(tǒng)計(jì)，通過(guò)這兩條公路從城市甲到城市乙的200輛

汽車(chē)所用時(shí)間的頻率分布如下表：

所用的時(shí)間（天數(shù)）10111213

第12頁(yè)共12頁(yè)

通過(guò)公路1的頻數(shù)20402020

通過(guò)公路2的頻數(shù)10404010

假設(shè)汽車(chē)A只能在約定H期（某月某II）的前11天出發(fā)，汽車(chē)3只能在約定II期的前12天出發(fā)（將頻

率視為概率）.

（1）為了盡最大可能在各自允許的時(shí)間內(nèi)將貨物運(yùn)往城市.乙，估計(jì)汽車(chē)A和汽車(chē)B應(yīng)如何選擇各自的路

徑；

（2）若通過(guò)公路1、公路2的“一次性費(fèi)用”分別為3.2萬(wàn)元、1.6萬(wàn)元（其他費(fèi)用忽略不計(jì)），此項(xiàng)費(fèi)

用由生產(chǎn)商承擔(dān).如果生產(chǎn)商恰能在約定日期當(dāng)天將貨物送到，則銷(xiāo)售商一次性支付給生產(chǎn)商40萬(wàn)元，

若在約定日期前送到，每提前一天銷(xiāo)售商將多支付給生產(chǎn)商2萬(wàn)元；若在約定日期后送到，每遲到一天,

生產(chǎn)商將支付給銷(xiāo)售商2萬(wàn)元.如果汽車(chē)按（1）中所選路徑運(yùn)輸貨物，試比較哪輛汽車(chē)為生產(chǎn)商獲

得的毛利潤(rùn)更大.

【答案】（1）汽車(chē)A選擇公路1,汽車(chē)8選擇公路2；（2）汽車(chē)8為生產(chǎn)商獲得毛利潤(rùn)更大..

【解析】

試題分析：（1）依據(jù)題設(shè)條件計(jì)算概率,通過(guò)比較分析求解；（2）借助題設(shè)條件運(yùn)用數(shù)學(xué)期望的大小分析推證.

試題解析：

（1）頻率分布表，如下：

所用的時(shí)間（天數(shù)）10111213

通過(guò)公路1的頻數(shù)0.20.40.20.2

通過(guò)公路2的頻數(shù)0.10.40.40.1

設(shè)A，4分別表示汽車(chē)A在約定日期前11天出發(fā)選擇公路1、2將貨物運(yùn)往城市乙；4、員分別表示汽車(chē)

B在約定日期前12天出發(fā)選擇公路1、2將貨物運(yùn)往城市乙；

P（A）=0.2+0.4=0.6,

P（A）=0.1+0.4=0.5,

P（Bi）=0.2+0.4+0.2=0.8,

「闖=0.1+0.4+0.4=0.9,

所以汽車(chē)A選擇公路1,汽車(chē)B選擇公路2.

（II）設(shè)X表示汽車(chē)A選擇公路1時(shí)，銷(xiāo)售商付給生產(chǎn)商的費(fèi)用，則X=42,40,38,36.

第13頁(yè)共13頁(yè)

X的分布列如卜:

X42403836

P0.20.40.20.2

E（X）=42x0.2+40x0.4+38x0.2+36x0.2=39.2.

.??表示汽車(chē)A選擇公路1時(shí)的毛利潤(rùn)為39.2-3.2=36.0（萬(wàn)元）.

設(shè)Y表示汽車(chē)B選擇公路2時(shí)的毛利潤(rùn)，Y=42.4,40.4,38.4,36.4.

則Y的分布列如下：

X42.440.438.436.4

P0.10.40.40.1

E（Y）=42.4x0.1+40.4x0.4+38.4x0.4+36.4x0.1=39.4.

36.0<39.4，，汽車(chē)8為生產(chǎn)商獲得毛利潤(rùn)更大.

考點(diǎn)：概率和隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望等有關(guān)知識(shí)的運(yùn)用.

19.（本小題滿分12分）

如圖，平面PAC_L平面ABC,ACA.BC,APAC為等邊三角形，PE0BC,過(guò)BC作平面交AP、

AE分別于點(diǎn)N、M.

(1)求證：MN□PE；

（2）設(shè)——=%,求力的值，使得平面ABC與平面MNC所成的銳二面角的大小為45。.

AP

【解析】

試題分析：（1）依據(jù)題設(shè)條件建立空間直角坐標(biāo)系推證；（2）借助題設(shè)條件運(yùn)用向量的數(shù)量積公式建立方程

求解.

試題解析：

第14頁(yè)共14頁(yè)

(D如圖以點(diǎn)C為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系C—4z,不妨設(shè)C4=l,C5=z(?>0),PE=flCB,

則C(OQO),/(L0,0),3(0/0),PipO,

AM_AN得一月"

由—=A,“：11；1尢「而=(0「九陽(yáng)0)

~AEAP2

%=(0,0,1)是平面月BC的一個(gè)法向量，且％.而？=0,故如-面？,

又'：MN0平面.4BC,即知A￡V二平面月BC,

又?.?瓦C"M,N四點(diǎn)共面，.?.AIV二3C二尸E；

(2)麗=(0,—M0),兩=(1—/,4卬岑2

設(shè)平面OWN的法向量q=(X1,y,zJ,貝ij〃「麗=0,〃/兩=0,可取陽(yáng)=1,0,

又???%=(0,0,1)是平面ABC的一個(gè)法向量,

由"*J,

即242+44—4=0,解得4=6—1(負(fù)值舍去)，故4=6—1.

考點(diǎn)：空間直線與平面的位置關(guān)系及空間向量等有關(guān)知識(shí)的運(yùn)用.

【易錯(cuò)點(diǎn)晴】空間向量是理科高考的必考的重要內(nèi)容之一，也是高考的難點(diǎn)之一.解答這類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵是運(yùn)

算求解能力不過(guò)關(guān)和靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)和思想方法不到位.解答本題的兩個(gè)問(wèn)題時(shí),都是通過(guò)建立空間直角

坐標(biāo)系,充分借助題設(shè)條件和空間向量的有關(guān)知識(shí)進(jìn)行推證和求解.第?問(wèn)中的求證是借助向量共線定理進(jìn)

第15頁(yè)共15頁(yè)

行推證的;第二問(wèn)中充分運(yùn)用向量的數(shù)量積公式建立方程的,通過(guò)解方程從而求出A=V3-1.如何通過(guò)計(jì)算

建立方程是解答好本題的難點(diǎn)和關(guān)鍵之所在.

20.（本小題滿分12分）

如圖，已知圓E:（x+6J+y2=16,點(diǎn)川6,0）,P是圓EI二任意一點(diǎn)線段P尸的垂直平分線和半

徑PE相交于Q.

（1）求動(dòng)點(diǎn)。的軌跡「的方程;

（2）設(shè)直線/與（1）中軌跡r相交下A,B兩點(diǎn)，直線OAJQB的斜率分別為K次,修（其中上＞o）.AOAB

的面積為S,以0A08為直徑的圓的面積分別為￡,52.若匕,女歡2恰好構(gòu)成等比數(shù)列，求衛(wèi)士的取

S

值范圍.

⑵*8.

【解析】

試題分析：（1）依據(jù)題設(shè)條件運(yùn)用橢圓的定義建立方程求解；（2）借助題設(shè)條件運(yùn)用直線與橢圓的位置關(guān)系

建立函數(shù)求解.

試題解析：

（1）連結(jié)。尸,根據(jù)題意，|。尸|=|。耳,

則\QE\+\QF\=\QE\+\QP\=4>\EF1=20,

故動(dòng)點(diǎn)。的軌跡「是以E,尸為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4的橢圓.2分

X2X7，/

設(shè)其方程為L(zhǎng)記=1(">Z?>0),可知。=2,c=y/a2—b1=V3,則b=1,3分

第16頁(yè)共16頁(yè)

2

所以點(diǎn)。的軌跡「的方程為為?+產(chǎn)=1.4分

（2）設(shè)直線/的方程為y=+A（x，y）,8（工2，%）

y=kx+m

2

由＜元22.可得（1+4攵+Skmx+4（-1）=0,

—+V-=1

[4-

由韋達(dá)定理有:

8km

玉+%"由

且A=16（l+4公-加）＞06分

4（/-1）

中2=、^

???k、,k,k,構(gòu)成等比數(shù)列，,k2=k、h=囪+孫5+w

中2

2

即：切Mx+x2）+m=0

,11

由韋達(dá)定理代入化簡(jiǎn)得：k2^-.Vk＞Q,：.k=-.....................................8分

42

此時(shí)八=16（2—〃/）＞0,即機(jī)e（—又由A、0、5三點(diǎn)不共線得awO

從而me（-夜,0）U（0,3）.

故S=；14M.d=gjl+k21%1-x|-

2jL：

=—J（X]+工2）2—4二工2'\m\=-|m|]0分

又今+3=今+只=1

第17頁(yè)共17頁(yè)

貝!]S|+$2=：(九；+y；+x2++；+2

=^[(X|+/『一2X/2+5=弓為定值.12分

S1+S,_5")STT

二一^二7?齊--2—當(dāng)且僅當(dāng)"2=±1時(shí)等號(hào)成立.

m2-|zn|4

綜上：N±±e|'2

,+°°.14分

S4

考點(diǎn)：直線與橢圓的位置關(guān)系等有關(guān)知識(shí)的運(yùn)用.

21.(本小題滿分12分)

已知函數(shù)/(x)=-~--lnx(<z^0).

ax

(1)求函數(shù)/(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)當(dāng)。=1時(shí)，求"X)在1,2上的最大值和最小值(0.69<In2<0.70)；

/]+X

(3)求證：In—

xx

【答案】(1)若a<0,函數(shù)/(x)的單調(diào)減區(qū)間為(0,+8),若。>(),/(X)的單調(diào)增區(qū)間為(0,!),單

調(diào)減區(qū)間為(工,