2022-2023學(xué)年廣東省揭陽市惠來縣高二年級下冊學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)試題【含答案】

2022-2023學(xué)年廣東省揭陽市惠來縣高二下學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)試題一、單選題1．命題“，”的否定形式是：（

）A． B．，C．， D．，【答案】D【分析】根據(jù)存在量詞命題的否定是全稱量詞命題直接寫出即可.【詳解】存在量詞命題的否定是全稱量詞命題，所以命題“，”的否定形式是“，”.故選:D.2．已知直線的傾斜角為（

）度A．45 B．135 C．60 D．90【答案】A【分析】根據(jù)給定的直線方程，求出其斜率，再求出傾斜角作答.【詳解】直線的斜率為1，所以直線的傾斜角為45度.故選：A3．在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對應(yīng)的點位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】A【分析】利用復(fù)數(shù)除法法則得到，從而確定所在象限.【詳解】，故在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點坐標(biāo)為，位于第一象限.故選：A4．在中，為邊的中點，，若，則（

）A． B． C． D．1【答案】C【分析】以為一組基底，對根據(jù)平面向量的加法的幾何意義進(jìn)行變形，結(jié)合為邊的中點進(jìn)行求解即可.【詳解】因為為邊的中點，所以有.由，因此有.故選：C【點睛】本題考查了平面向量加法的幾何意義，考查了平面向量基本定理，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.5．若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性求解【詳解】，由題意恒成立，故解得故選：A6．南宋數(shù)學(xué)家楊輝為我國古代數(shù)學(xué)研究作出了杰出貢獻(xiàn)，他的著名研究成果“楊輝三角”記錄于其重要著作《詳解九章算法》，該著作中的“垛積術(shù)”問題介紹了高階等差數(shù)列.以高階等差數(shù)列中的二階等差數(shù)列為例，其特點是從數(shù)列中的第二項開始，每一項與前一項的差構(gòu)成等差數(shù)列.若某個二階等差數(shù)列的前4項為：2，3，6，11，則該數(shù)列的第15項為（

）A．196 B．197 C．198 D．199【答案】C【分析】根據(jù)二階等差數(shù)列的定義求出數(shù)列的通項公式，再利用累加法計算即可得.【詳解】設(shè)該數(shù)列為，則；由二階等差數(shù)列的定義可知，所以數(shù)列是以為首項，公差的等差數(shù)列，即，所以將所有上式累加可得，所以；即該數(shù)列的第15項為.故選：C7．設(shè)的定義在上的函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為，且滿足，若，，，則（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)得出在上是增函數(shù)，由單調(diào)性得出的大小.【詳解】令，則，所以在上是增函數(shù)，所以，即故選：B.8．直線經(jīng)過橢圓的左焦點，交橢圓于，兩點，交軸于點，若，則該橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由直線與坐標(biāo)軸的交點，得到，，則，由，得點坐標(biāo)，點A又在橢圓上，由定義求得，可求橢圓的離心率.【詳解】對直線，令，解得，令，解得，故，，則，設(shè)，則，而，則，解得，則，點A又在橢圓上，左焦點，右焦點，由，則，橢圓的離心率.故選：C二、多選題9．某班有男生20人，女生30人，從中抽出10人為樣本，恰好抽到了4名男生和6名女生，那么下面說法正確的是（

）A．該抽樣可能是比例分配的分層隨機(jī)抽樣B．該抽樣一定不是用隨機(jī)數(shù)法C．該抽樣中每個女生被抽到的概率大于每個男生被抽到的概率D．該抽樣中每個女生被抽到的概率與每個男生被抽到的概率相等【答案】AD【分析】因為每種抽樣方法都可能出現(xiàn)這種結(jié)果，可判斷A、B；根據(jù)抽樣的等可能性可判斷C、D.【詳解】對于A，抽樣可以是比例分配的分層隨機(jī)抽樣，也可以是系統(tǒng)抽樣、簡單的隨機(jī)抽樣，故A正確；對于B，抽樣可以是比例分配的分層隨機(jī)抽樣，也可以是系統(tǒng)抽樣、簡單的隨機(jī)抽樣，所以可以用隨機(jī)數(shù)法，故B不正確；對于C、D，根據(jù)抽樣的等可能性可知，選項C不正確、D正確；故選：AD.10．設(shè)是等比數(shù)列，則（

）A．是等比數(shù)列 B．是等比數(shù)列C．是等比數(shù)列 D．是等比數(shù)列【答案】AC【分析】利用等比數(shù)列定義可判斷A、C、，令，可判斷B，取可判斷D.【詳解】因為是等比數(shù)列，所以設(shè)其公比為，即．因為，所以是等比數(shù)列，所以A選項正確；因為，所以是等比數(shù)列，所以C選項正確；當(dāng)時，，所以此時不是等比數(shù)列，所以B選項錯誤；不妨取等比數(shù)列為，則，此時不是等比數(shù)列，所以D選項錯誤.故選：AC11．函數(shù)（e為自然對數(shù)的底數(shù)），則下列選項正確的有（

）A．函數(shù)的極大值為1B．函數(shù)的圖象在點處的切線方程為C．當(dāng)時，方程恰有2個不等實根D．當(dāng)時，方程恰有3個不等實根【答案】BD【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)探討極大值判斷A；利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線方程判斷B；分析函數(shù)性質(zhì)并結(jié)合函數(shù)圖象判斷CD作答.【詳解】對于A：，在區(qū)間，上，，單調(diào)遞增，在區(qū)間上，，單調(diào)遞減，所以的極大值為，A錯誤；對于B：，，則函數(shù)圖象在點處的切線方程為，即，B正確；對于C、D：因為在上遞增，在上遞減，，，在上遞增，且在上的取值集合為，在上的取值集合為，因此函數(shù)在上的取值集合為，的極大值為，的極小值為，作出函數(shù)的部分圖象，如圖，觀察圖象知，當(dāng)或時，有1個實數(shù)根；當(dāng)或時有2個實數(shù)根；當(dāng)時，有3個實數(shù)根，C錯誤，D正確.故選：BD【點睛】思路點睛：研究方程根的情況，可以通過轉(zhuǎn)化，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最值等，借助數(shù)形結(jié)合思想分析問題，使問題的求解有一個清晰、直觀的整體展現(xiàn).12．已知拋物線：，過拋物線的焦點作傾斜角為的直線交于，兩點，則（

）A．（為原點） B．若，則C． D．以為直徑的圓與軸相切【答案】BCD【分析】舉特例即當(dāng)時，計算，判斷A；根據(jù)拋物線的弦長公式可判斷B；分和兩種情況分別求得的值，判斷C；計算的中點到y(tǒng)軸的距離和比較，可判斷D.【詳解】由題意可知拋物線：的焦點為,，設(shè)，對于A，當(dāng)時，直線的方程為，此時不妨設(shè),則，A錯誤；對于B,時，直線的方程為，聯(lián)立得：，則，故，B正確；對于C，當(dāng)時，直線的方程為，此時；當(dāng)時，設(shè)直線的方程為，由題意知，聯(lián)立得：，，則，則，綜合以上可得，C正確；對于D,，的中點的橫坐標(biāo)為，故的中點到y(tǒng)軸的距離為，即以為直徑的圓與軸相切,D正確，故選：BCD三、填空題13．甲、乙兩人獨立解同一道數(shù)學(xué)題目，甲解出這道題目的概率是，乙解出這道題目的概率是，則這道題被解出（至少有一人解出來）的概率是______.【答案】【分析】設(shè)這道題沒被解出來為事件A，則這道題被解出（至少有一人解出來）的概率【詳解】設(shè)數(shù)學(xué)題沒被解出來為事件A，則.故這道題被解出（至少有一人解出來）的概率.故答案為：14．已知是坐標(biāo)原點，，在函數(shù)的圖象上，為線段的中點，則斜率的最大值是______.【答案】【分析】先求出直線的斜率，再利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值即可.【詳解】設(shè)，∵，為線段的中點，∴，，設(shè)，則，當(dāng)時，則，單調(diào)遞增，當(dāng)時，則，單調(diào)遞減，∴當(dāng)時，取得最大值為，∴斜率的最大值是，故答案為：.四、雙空題15．如圖，已知圓的半徑為定長是圓所在平面內(nèi)一個定點，是圓上任意一點，線段的垂直平分線和直線相交于點.當(dāng)點在圓上運(yùn)動時：（1）當(dāng)點A在圓內(nèi)且不與點重合時，點的軌跡是__________（從圓?橢圓?拋物線中選擇一個填寫）；（2）當(dāng)__________（從>，=，<中選擇一個填寫）時，點的軌跡是雙曲線的一支．

【答案】

橢圓

>【分析】根據(jù)圓錐曲線的定義判斷求解．【詳解】當(dāng)點A在圓內(nèi)且不與點重合時，，因此點軌跡是以為焦點，長軸長為半徑的橢圓，當(dāng)點A在圓上時，點到圓心重合，當(dāng)點A在圓外時，，此時點軌跡是以為焦點，實軸長為半徑的雙曲線的一支．故答案為：橢圓；．

五、填空題16．在四棱錐中，平面BCDE，，，，且，則該四棱錐的外接球的表面積為______.【答案】【分析】連接，由題意可得在直徑為的圓上，在中，由余弦定理可得到，即可得到底面外接圓的半徑，再利用平面BCDE可得球心到底面的距離，即可求解【詳解】連接，因為，，所以在直徑為的圓上，取的中點，即四邊形外接圓的圓心，在中，即，解得，所以四邊形外接圓的直徑即外接圓的直徑為，所以，因為平面BCDE，所以四棱錐的外接球的球心與底面的距離為，所以四棱錐的外接球的半徑為，對應(yīng)的表面積為故答案為：六、解答題17．已知函數(shù)滿足.(1)求的值；(2)求的圖象在處的切線方程.【答案】(1)(2)【分析】（1）求導(dǎo)得出，令可得出的值；（2）求出、的值，利用點斜式可得出所求切線的方程.【詳解】（1）解：因為，則，所以，，解得.（2）解：由（1）可知，則，則，，因此，的圖象在處的切線方程為，即.18．設(shè)是數(shù)列的前n項和，且．(1)證明：數(shù)列是等差數(shù)列；(2)求數(shù)列的前n項和；【答案】(1)詳見解析；(2).【分析】（1）首先根據(jù)與的關(guān)系得到，即可證明數(shù)列是等差數(shù)列；（2）利用裂項相消法求解即可.【詳解】（1）因為，，所以，兩邊同除以得，因為，所以，因此數(shù)列是首項為，公差為的等差數(shù)列；（2）由（1）知，即，∴，∴.19．將函數(shù)圖象上所有點向右平移個單位長度，然后橫坐標(biāo)縮短為原來的(縱坐標(biāo)不變)，得到函數(shù)的圖象.（1）求函數(shù)的解析式及單調(diào)遞增區(qū)間；（2）在中，內(nèi)角的對邊分別為，若，，求的面積.【答案】（1），單調(diào)遞增區(qū)間為：；（2）或.【分析】（1）由題可得，令即可解得單調(diào)遞增區(qū)間；（2）由題可得，或，由余弦定理可求得，即可求出面積.【詳解】（1），圖象向右平移個單位長度得到的圖象，橫坐標(biāo)縮短為原來的(縱坐標(biāo)不變)得到圖象，所以，令，解得，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為：（2）由（1）知，，因為，所以又因為，所以，當(dāng)時，，此時由余弦定理可知，，解得，所以，當(dāng)時，，此時由勾股定理可得，，所以.【點睛】關(guān)鍵點睛：本題考查三角函數(shù)的圖象變換求三角函數(shù)的性質(zhì)，以及解三角形的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)圖象變換正確得出變換后的解析式.20．已知函數(shù)．(1)若，求的極小值．(2)討論函數(shù)的單調(diào)性；(3)當(dāng)時，證明：有且只有個零點．【答案】(1)(2)答案見解析(3)證明見解析【分析】（1）先求導(dǎo)，判斷函數(shù)單調(diào)性，找到極小值點，求出極小值.（2）求出，再求導(dǎo)，根據(jù)分類討論，判斷函數(shù)單調(diào)性.（3）由導(dǎo)數(shù)為零，可找出極值點及單調(diào)區(qū)間，取并判斷符號，根據(jù)零點存在定理可得結(jié)論.【詳解】（1）當(dāng)時，的定義域為，，在區(qū)間遞減；在區(qū)間遞增．所以當(dāng)時，取得極小值．（2）的定義域為，．令，當(dāng)時，恒成立，所以即在上遞增．當(dāng)時，在區(qū)間即遞減；在區(qū)間即遞增．（3）當(dāng)時，，由（2）知，在上遞增，，所以存在使得，即．在區(qū)間，遞減；在區(qū)間遞增．所以當(dāng)時，取得極小值也即最小值為，由于，所以．，，根據(jù)零點存在性定理可知在區(qū)間和，各有個零點，所以有個零點．21．如圖，四邊形為正方形，分別為，的中點，以為折痕把折起.使點到達(dá)點的位置，且.(1)證明：平面平面；(2)求與平面所成角的余弦值.【答案】(1)證明見解析；(2).【分析】（1）先證明平面，再由面面垂直的判定定理得結(jié)論；（2）作，垂足為H，得平面，以H為坐標(biāo)原點，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，由線面垂直的性質(zhì)定理得線線垂直，求得圖形中的線段長得出點坐標(biāo)，然后用空間向量法求線面角．【詳解】（1）由已知可得，，，又，平面，所以平面，又平面，所以平面平面；（2）作，垂足為H，又平面平面，平面平面，平面，所以平面，以H為坐標(biāo)原點，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)，因為，平面，所以平面，平面，所以，又，所以，又，故.可得，則，，則，易知平面的一個法向量為，所以，設(shè)與平面所成角為，則，∴，即與平面所成角的余弦值為.22．已知橢圓的離心率為是的左、右焦點，是的上頂點，且.(1)求橢圓的方程；(2)是橢圓的右頂點，斜率為的直線與交于兩點（與不重合）.設(shè)直線的斜率為，直線的斜率為，若，求的值.【答案】(1)(2)【分析】(1)由已知得點由結(jié)合從而可解；(2)設(shè)點直線的方程為利用韋達(dá)定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟即可求解.【詳解】