2023屆四川省大數(shù)據(jù)精準(zhǔn)教學(xué)聯(lián)盟高三第一次統(tǒng)一監(jiān)測數(shù)學(xué)（文）試題

2023屆四川省大數(shù)據(jù)精準(zhǔn)教學(xué)聯(lián)盟高三第一次統(tǒng)一監(jiān)測數(shù)學(xué)（文）試題一、單選題1．已知集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】解不等式求得集合，利用集合交集的定義求得結(jié)果．【詳解】由等價于，即，則，解得，故，所以.故選：C.2．已知復(fù)數(shù)z滿足，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用復(fù)數(shù)的除法可求答案.【詳解】因?yàn)?，所?故選：A.3．某部門調(diào)查了200名學(xué)生每周的課外活動時間（單位：h），制成了如圖所示的頻率分布直方圖，其中課外活動時間的范圍是，并分成，，，，五組．根據(jù)直方圖，判斷這200名學(xué)生中每周的課外活動時間不少于14h的人數(shù)是（

）A．56 B．80 C．144 D．184【答案】C【分析】根據(jù)頻率分布直方圖確定每周的課外活動時間不少于14h的頻率，再根據(jù)頻率、頻數(shù)、總數(shù)的關(guān)系能求出結(jié)果．【詳解】每周的課外活動時間不少于14h的頻率為，故所求人數(shù)，故選：C．4．已知，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】將已知等式兩邊平方，結(jié)合同角的三角函數(shù)關(guān)系以及二倍角的正弦公式，即可求得答案.【詳解】由可得，，即，故選：B5．“”是“直線與圓相切”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【解析】根據(jù)直線和圓相切可得，再根據(jù)充分條件，必要條件的定義即可判斷．【詳解】因?yàn)橹本€與圓相切，所以，.所以“”是“直線與圓相切”的充分不必要條件.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查了直線和圓的位置關(guān)系，以及充分條件和必要的條件，屬于基礎(chǔ)題．6．曲線在處的切線方程為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】求出切點(diǎn)坐標(biāo)，求得導(dǎo)數(shù)，可求得切線斜率，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求得答案.【詳解】由題意可知時，，即切點(diǎn)為，又，則，故曲線在處的切線斜率為，故切線方程為，即，故選：D7．已知函數(shù)的圖象如圖所示，則的解析式可以為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】由圖象的對稱性可知，函數(shù)為偶函數(shù)，B，D中函數(shù)為奇函數(shù)，故排除B，D；A，C中函數(shù)為偶函數(shù)，又對于C，，不符合題意，故排除C，從而得出答案.【詳解】由圖象的對稱性可知，函數(shù)為偶函數(shù).對于A，，為偶函數(shù)；對于B，，為奇函數(shù)，不符合題意；對于C，，為偶函數(shù)；又，不符合題意；對于D，，為奇函數(shù)，不符合題意，故選：A．8．在長方體中，已知異面直線與，與AB所成角的大小分別為和，則直線和平面所成的角的余弦值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】設(shè)，結(jié)合題意可求得，以為原點(diǎn)，分別以所在直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量，結(jié)合空間向量夾角公式可得答案.【詳解】設(shè)，則，由于，所以異面直線與所成角為，從而，由于，所以異面直線與所成角為，從而，所以，以為原點(diǎn)，分別以所在直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，設(shè)平面的法向量為，則，取所以，直線和平面所成的角的正弦值為，從而直線和平面所成的角的余弦值為．故選：A．9．已知函數(shù)的圖象如圖所示，圖象與x軸的交點(diǎn)為，與y軸的交點(diǎn)為N，最高點(diǎn)，且滿足，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由題意的周期可得，由圖象與x軸的交點(diǎn)為可得，從而，所以與軸的交點(diǎn)，由解得.【詳解】若的周期為，由題意有，所以，所以，圖象與x軸的交點(diǎn)為，則，因?yàn)?，所以，即，所以與軸的交點(diǎn)，由，則，解得或(舍)．故選：B.10．拋物線的焦點(diǎn)為F，直線與C交于A，B兩點(diǎn)，則的面積為（

）A．4 B．8 C．12 D．16【答案】B【分析】聯(lián)立直線與拋物線方程求得的坐標(biāo)，得到，計算點(diǎn)到直線的距離，即可得到的面積．【詳解】聯(lián)立直線與拋物線方程，解得或，不妨設(shè)在第一象限，得，，而，點(diǎn)到直線的距離為，則的面積為．故選：B.11．已知，（為自然對數(shù)的底數(shù)），則a，b，的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】設(shè)函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)可知在上單調(diào)遞增，又，則，從而得解.【詳解】設(shè)函數(shù)，則，所以，當(dāng)時，恒成立，故函數(shù)在上單調(diào)遞增．又，所以，故．故選：D.12．四棱錐的底面為正方形，平面ABCD，頂點(diǎn)均在半徑為2的球面上，則該四棱錐體積的最大值為（

）A． B．4 C． D．8【答案】C【分析】設(shè)正方形ABCD的外接圓的半徑為，球心到平面ABCD的距離為，則，四棱錐的體積為，設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性可求得答案．【詳解】設(shè)正方形ABCD的外接圓的半徑為，球心到平面ABCD的距離為，則，且正方形ABCD的面積為，四棱錐的體積為，設(shè)，，則，于是時，，單調(diào)遞增；時，，單調(diào)遞減，從而，于是．故選：C.二、填空題13．已知向量，，則與的夾角為______．【答案】【分析】利用向量夾角公式的坐標(biāo)表示計算即可.【詳解】設(shè)向量與的夾角為，則，又，所以．故答案為：．14．已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，是E上一點(diǎn)，直線與E的另一個交點(diǎn)為B，則的周長為______．【答案】10【分析】根據(jù)雙曲線的定義，，，從而，又，得，故，即可得的周長.【詳解】由題意，點(diǎn)在雙曲線的右支上，點(diǎn)在雙曲線的左支上，根據(jù)雙曲線的定義，，，從而，又，，，，故，所以的周長，故答案為：10．15．四葉草也被稱為幸運(yùn)草、幸福圖，其形狀被廣泛用于窗戶、壁紙、地板等裝修材料的圖案中．如圖所示，正方形地板上的四葉草圖邊界所在的半圓都以正方形的邊長為直徑．隨機(jī)拋擲一粒小豆在這塊正方形地板上，則小豆落在四葉草圖（圖中陰影部分）上的概率為______．【答案】【分析】求出圖中陰影部分的面積，利用幾何概型公式求解即可．【詳解】不妨設(shè)正方形的邊長為2個單位，則圖中陰影部分的面積為兩個圓（半徑為1）的面積減去一個正方形（邊長為2）的面積，即，根據(jù)幾何概型，小豆落在四葉草圖（圖中陰影部分）上的概率為．故答案為：．16．若的面積是外接圓面積的，則______．【答案】##【分析】由正弦定理表示外接圓的面積，由的面積是外接圓面積的得出，又，化簡即可得出結(jié)果.【詳解】由正弦定理得，則，又的面積是外接圓面積的，所以，即..故答案為：.三、解答題17．為了有針對性地提高學(xué)生體育鍛煉的積極性，某學(xué)校對學(xué)生是否經(jīng)常鍛煉的情況進(jìn)行了調(diào)查．從本校學(xué)生中隨機(jī)選取了800名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查了解，并將調(diào)查結(jié)果（“經(jīng)?！被颉安唤?jīng)?！保┲瞥上卤硭镜牧新?lián)表：性別不經(jīng)常經(jīng)常合計女生200300500男生150150300合計350450800(1)通過計算判斷，有沒有99%的把握認(rèn)為性別因素與學(xué)生鍛煉的經(jīng)常性有關(guān)？(2)將頻率視作概率．若該學(xué)校有4000名學(xué)生，估計該校經(jīng)常鍛煉的學(xué)生人數(shù)．附表及公式：其中，．【答案】(1)有(2)2250【分析】（1）計算的值，與附表中的值比較，可得結(jié)論；（2）求出樣本數(shù)據(jù)中經(jīng)常鍛煉的學(xué)生的頻率，將頻率視為概率，即可求得該校經(jīng)常鍛煉的學(xué)生人數(shù)的估計值．【詳解】（1）由題，有，因此，有99%的把握認(rèn)為性別因素與學(xué)生鍛煉的經(jīng)常性有關(guān)系.（2）由圖表可知，樣本數(shù)據(jù)中，經(jīng)常鍛煉的學(xué)生人數(shù)為450，頻率為，將頻率視為概率，則在該校隨機(jī)抽取一名學(xué)生，抽取到經(jīng)常鍛煉的學(xué)生的概率為，則該校4000名學(xué)生中，經(jīng)常鍛煉的學(xué)生人數(shù)的估計值為．18．已知等差數(shù)列與正項等比數(shù)列滿足，．(1)求數(shù)列和的通項公式；(2)記數(shù)列的前n項和為，數(shù)列的前n項和為，比較與的大小．【答案】(1),.(2).【分析】（1）由題意列方程，求得公差和公比，即可求得數(shù)列和的通項公式；（2）利用等差數(shù)列和等比數(shù)列的前n項和公式，求得與，比較可得二者大小關(guān)系.【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為d，正項等比數(shù)列的公比為,由，,得,解得，所以，數(shù)列的通項公式為，數(shù)列的通項公式為．（2）由（1）得，，所以.19．如圖，四棱臺中，底面ABCD是菱形，點(diǎn)M，N分別為棱BC，CD的中點(diǎn)，，，，．(1)證明：平面平面ABCD；(2)當(dāng)時，求多面體的體積．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）由，，得，又，所以面ACGE，從而．取點(diǎn)為線段AB的中點(diǎn)，可得，由得，即，證得面ABCD，從而得結(jié)論；（2）利用勾股定理可得，菱形ABCD是邊長為2的正方形，由面ABCD可知四棱臺的高為1，求得即可得出答案.【詳解】（1）因?yàn)榈酌鍭BCD是菱形，所以四邊形ABCD的對角線．因?yàn)镸，N是BC，AD中點(diǎn)，所以，故．又因?yàn)椋叶嗝骟w是四棱臺，所以A，C，G，E共面，又，面ACGE，所以面ACGE，又因?yàn)槊鍭CGE，所以．又因?yàn)槎嗝骟w是四棱臺，所以四邊形AEFB是梯形．取點(diǎn)為線段AB的中點(diǎn)，連接FK．因?yàn)?，所以四邊形AKFE是平行四邊形，故．在中，，故，即，因?yàn)镸N與AB是相交直線，面ABCD，所以面ABCD，甴面ABFE，所以面面ABCD.（2）當(dāng)MN＝時，，則，所以，故，菱形ABCD是邊長為2的正方形.由（1）知，面ABCD，所以四棱臺的高為1，．又因?yàn)?，所以多面體的體積為.20．已知橢圓的離心率為，，是C的頂點(diǎn)，點(diǎn)M是第一象限內(nèi)的動點(diǎn)，已知的斜率之比為．(1)證明：點(diǎn)M在一條定直線上；(2)設(shè)與橢圓C分別交于另外的兩點(diǎn)，證明直線過定點(diǎn)．【答案】(1)證明見解析.(2)證明見解析.【分析】（1）設(shè)，根據(jù)可列出方程，化簡即可證明結(jié)論；（2）利用題意求得橢圓方程，設(shè)設(shè)，表示直線方程，聯(lián)立橢圓方程，求得的坐標(biāo)，取點(diǎn)，利用向量共線證明，即可證明結(jié)論.【詳解】（1）證明：設(shè),由題意可知，則，,因?yàn)?，所?即，即，故點(diǎn)M在直線上，即點(diǎn)M在一條定直線上.（2）由題意知：，故橢圓方程為，由（1）知點(diǎn)M在直線上，設(shè)，則的方程為，代入，得，，所以，即，同理可得，取點(diǎn)，則，，又因?yàn)椋?，則三點(diǎn)共線，即直線過定點(diǎn).【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：第二問中，證明直線過定點(diǎn)，可根據(jù)題意求得點(diǎn)的坐標(biāo)，如果要表示出直線方程，計算量將會比較大，且運(yùn)算復(fù)雜，因此可以結(jié)合題意合理猜測定點(diǎn)坐標(biāo)，然后證明直線過該點(diǎn).21．已知函數(shù)．(1)若單調(diào)遞減，求a的取值范圍；(2)若有兩個極值點(diǎn)，且，證明：．【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1），因?yàn)閱握{(diào)遞減，所以在時恒成立，即，令，問題轉(zhuǎn)化為求的最值，利用導(dǎo)數(shù)求解即可；（2）由題意可知，且，要證明，只需證明．由得，所以．令，，則需證明．令，則，令，可求得，從而在時單調(diào)遞減，所以，原不等式即可得證．【詳解】（1）由得，因?yàn)閱握{(diào)遞減，所以在時恒成立，即，令，則，可知時，，單調(diào)遞增；時，，單調(diào)遞減，則時取最大值，所以，所以，的取值范圍是．（2）由（1）知，當(dāng)時，單調(diào)遞減，不合題意；因?yàn)楹瘮?shù)有兩個極值點(diǎn)，則有兩個零點(diǎn)，令，，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，不合題意，可知，且，要證明，只需證明．由得則，所以，.令，則，要證明，需證明．令，且，則，令，且，則，則在時單調(diào)遞增，故，故，則在時單調(diào)遞減，所以，，即，則有，所以，即原不等式成立.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)證明不等式常見解題策略：（1）構(gòu)造差函數(shù)，根據(jù)差函數(shù)導(dǎo)函數(shù)符號，確定差函數(shù)的單調(diào)性，利用單調(diào)性得不等量關(guān)系，進(jìn)而證明不等式；（2）根據(jù)條件，尋找目標(biāo)函數(shù)．一般思路為利用條件將問題逐步轉(zhuǎn)化，或利用放縮、等量代換將多元函數(shù)轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)，再通過導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行證明．22．在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，曲線C的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，已知直線l的極坐標(biāo)方程為．(1)寫出曲線C的普通方程和直線l的直角坐標(biāo)方程；(2)設(shè)點(diǎn)M為C上的動點(diǎn)，點(diǎn)P滿足，寫出P的軌跡的參數(shù)方程，并判斷l(xiāng)與是否有公共點(diǎn)．【答案】(1)，：(2)，（為參數(shù)），直線l與圓沒有公共點(diǎn)?！痉治觥浚?）根據(jù)消參法可得曲線C的普通方程，利用極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)之間的轉(zhuǎn)化公式可得直線的直角坐標(biāo)方程.（2）設(shè)，設(shè)，根據(jù)，即可求得P的軌跡的參數(shù)方程，表示圓，計算圓心到直線的距離，即可判斷斷l(xiāng)與是否有公共點(diǎn)．【詳解】（1）因?yàn)榍€C的參數(shù)方程為(為參數(shù))，所以，即曲線C的普通方程為：，因?yàn)?，由，可得l的方程為：.（2）設(shè)，設(shè)，因?yàn)椋?，則，（為參數(shù)），故P的軌跡的參數(shù)方程為，（為參數(shù)），所以曲線為以為圓心，半徑為4的圓