2023屆江蘇省鹽城市高三上學(xué)期10月調(diào)研數(shù)學(xué)試題

2023屆江蘇省鹽城市高三上學(xué)期10月調(diào)研數(shù)學(xué)試題一、單選題1．設(shè)，，則=（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】解對(duì)數(shù)不等式得,解一元二次不等式得,進(jìn)而求解集合運(yùn)算.【詳解】解：解對(duì)數(shù)不等式得，故，解一元二次不等式得，則.故選：B.2．已知是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為，若，則的虛部為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則，直接求解即可.【詳解】解：，，，則復(fù)數(shù)的虛部為，故選：C．3．已知，，則用、可表示為A． B．C． D．【答案】D【分析】將對(duì)數(shù)的真數(shù)利用、的指數(shù)冪表示，然后利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)可將用、表示.【詳解】，．故選D.【點(diǎn)睛】本題考查對(duì)數(shù)的表示，解題的關(guān)鍵就是將真數(shù)利用指數(shù)冪加以表示，并利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.4．已知，，，若，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】首先根據(jù)平面向量平行的坐標(biāo)表示可知，再根據(jù)余弦二倍角公式化簡(jiǎn)、解方程可得,進(jìn)而可得，再根據(jù)兩角差的正切公式即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，所以，，，所以或，又，所以，所以，所以，故選：B.5．在等比數(shù)列中，，是方程的二根，則的值為（

）A． B． C． D．或【答案】B【分析】利用等比數(shù)列的性質(zhì)、韋達(dá)定理列方程組求解．【詳解】解：在等比數(shù)列中，，是方程的二根，則，，則．故選：B．6．已知，若，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由題意，利用同角三角函數(shù)的平方式以及二倍角公式，化簡(jiǎn)等式，聯(lián)立平方式，求得正弦與余弦的值，利用二倍角公式，化簡(jiǎn)代入，可得答案.【詳解】，由，得，，所以，即，聯(lián)立，解得，，所以.故選：D.7．圖1是我國古代數(shù)學(xué)家趙爽創(chuàng)制的一幅“趙爽弦圖”，它是由四個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)小的正方形拼成一個(gè)大的正方形．某同學(xué)深受啟發(fā)，設(shè)計(jì)出一個(gè)圖形，它是由三個(gè)全等的鈍角三角形和一個(gè)小的正三角形拼成一個(gè)大的正三角形，如圖2，若BD＝1，且三個(gè)全等三角形的面積和與小正三角形的面積之比為，則△ABC的面積為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】設(shè)小正三角形邊長(zhǎng)為，由面積比求得，再計(jì)算出小正三角形面積可得大正三角形面積．【詳解】設(shè)，則，解得（舍去），所以，，故選：D．8．已知是定義在上的奇函數(shù)，對(duì)任意兩個(gè)不相等的正數(shù)，，都有，記，，，則，，的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】構(gòu)造函數(shù)，判斷函數(shù)在定義域上為單調(diào)減函數(shù)，然后在判斷，即可得出答案.【詳解】設(shè)，則，則由得，化簡(jiǎn)得，令函數(shù)，即得，則得函數(shù)在上為單調(diào)減函數(shù)，因?yàn)槭嵌x在上的奇函數(shù)，所以因?yàn)?，即得，所以，即.故選：D【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：根據(jù)題目所給的條件設(shè)，推出，即可構(gòu)造函數(shù)，得到函數(shù)的單調(diào)性，再根據(jù)是定義在上的奇函數(shù)，轉(zhuǎn)化為，這是解題的關(guān)鍵.二、多選題9．已知，且，則下列不等式一定成立的有（

）A． B．C． D．【答案】AC【分析】根據(jù)題設(shè)條件可得同號(hào)，且，直接判斷A選項(xiàng)，根據(jù)不等式的性質(zhì)判斷B選項(xiàng)，根據(jù)基本不等式判斷C選項(xiàng)，根據(jù)判斷函數(shù)的單調(diào)性判斷D選項(xiàng).【詳解】因?yàn)?，且，所以同?hào)，且，故A正確；因?yàn)椋瑒t當(dāng)時(shí)，，同時(shí)除以，因?yàn)椋杂屑?，故B錯(cuò)誤；因?yàn)?，所以同?hào)，所以，所以，又，所以等號(hào)取不到，所以，故C正確；因?yàn)楹瘮?shù)是單調(diào)增函數(shù)，且，所以，故D錯(cuò)誤；故選：AC【點(diǎn)睛】在應(yīng)用基本不等式求最值時(shí)，要把握不等式成立的三個(gè)條件，就是“一正——各項(xiàng)均為正；二定——積或和為定值；三相等——等號(hào)能否取得”，若忽略了某個(gè)條件，就會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤．10．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，則下列選項(xiàng)中正確的是（

）A．B．C．?dāng)?shù)列是等比數(shù)列D．?dāng)?shù)列的前項(xiàng)和為【答案】ACD【分析】根據(jù)轉(zhuǎn)化到，進(jìn)而可知數(shù)列是以為首項(xiàng)，公比為的等比數(shù)列，并寫出通項(xiàng)公式及求和公式，即可判斷選項(xiàng)正誤.【詳解】解：，①，②兩式作差得：，，，，即，，.數(shù)列是以為首項(xiàng)，公比為的等比數(shù)列，則，.由上述內(nèi)容可知，選項(xiàng)A，C正確.當(dāng)時(shí)，，則選項(xiàng)B錯(cuò)誤.，，，數(shù)列是首項(xiàng)為的等比數(shù)列.則數(shù)列的前項(xiàng)和為，則選項(xiàng)D正確.故選：ACD.11．函數(shù)的部分圖像如圖所示，則下列結(jié)論正確的是（

）A．B．若把圖像上的所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋?，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)的圖像，則函數(shù)在上是增函數(shù)C．若把函數(shù)的圖像向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖像，則函數(shù)是奇函數(shù)D．，若恒成立，則的取值范圍為【答案】CD【分析】根據(jù)圖像可確定最小正周期，由此可得；根據(jù)可求得，由此可得A錯(cuò)誤；根據(jù)三角函數(shù)伸縮變換可求得，利用代入檢驗(yàn)的方式可知B錯(cuò)誤；根據(jù)三角函數(shù)平移變換可得，由正弦型函數(shù)奇偶性判斷可知C正確；將問題轉(zhuǎn)化為，由正弦型函數(shù)值域求法可求得的值域，由此可得的范圍，知D正確.【詳解】對(duì)于A，由圖像可知：的最小正周期，；，，解得：，又，，，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，圖像上的所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋兜茫?，?dāng)時(shí)，，在上不單調(diào)，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，的圖像向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度得：，，即為奇函數(shù)，C正確；對(duì)于D，，由得：，當(dāng)時(shí)，，，，，即實(shí)數(shù)的取值范圍為，D正確.故選：CD.12．給出定義：若函數(shù)在上可導(dǎo)，即存在，且導(dǎo)函數(shù)在上也可導(dǎo)，則稱在上存在二階導(dǎo)函數(shù)，記若在上恒成立，則函數(shù)在上為凸函數(shù)．以下四個(gè)函數(shù)在上是凸函數(shù)的是（

）A． B．C． D．【答案】ABC【分析】根據(jù)凸函數(shù)的定義，求出函數(shù)的二階導(dǎo)函數(shù)，分別判斷即可．【詳解】對(duì)于對(duì)于，，，當(dāng)時(shí)，恒成立，故A為凸函數(shù)；，，，當(dāng)時(shí)，恒成立，故B為凸函數(shù)；，，，當(dāng)時(shí)，，，恒成立，故C為凸函數(shù)；，，，當(dāng)時(shí)，恒成立，故D不是凸函數(shù)．故選：．三、填空題13．命題“對(duì)任意，”為真命題的一個(gè)充分不必要條件是__________．【答案】（答案不唯一）【分析】由題可得當(dāng)，，即，再根據(jù)充分不必要條件的定義即可得解．【詳解】解：對(duì)任意，為真命題，則對(duì)任意，，當(dāng)，，，則命題“對(duì)任意，”為真命題的一個(gè)充分不必要條件可以是，故答案為：．14．函數(shù)，的圖象與直線y=k有且僅有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則k的取值范圍是_____.【答案】【詳解】作出其圖像，可只有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)k的范圍為.故答案為15．中角的，，的對(duì)邊分別為，若該三角形的面積為，且，則的最小值為_______．【答案】【分析】根據(jù)兩角差的正弦公式可將原等式變形為，再結(jié)合正弦，余弦定理，將角全部化為邊，可推出，由可得，然后代入，將其整理成關(guān)于的一元二次方程，由，得解．【詳解】因?yàn)?，所以，即，所以，整理得，所以，又，所以，因?yàn)?，所以，化?jiǎn)，由，得，即，所以的最小值為，故答案為：．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：（1）在解三角形中，如果題設(shè)條件是關(guān)于邊的二次形式，我們可以利用余弦定理化簡(jiǎn)該條件；（2）如果題設(shè)條件是關(guān)于邊的齊次式或是關(guān)于內(nèi)角正弦的齊次式，那么我們可以利用正弦定理化簡(jiǎn)該條件；（3）如果題設(shè)條件是邊和角的混合關(guān)系式，那么我們也可把這種關(guān)系式轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系式或邊的關(guān)系式.（4）與三角形有關(guān)的最值問題，我們可以利用基本不等式來求最值或利用正弦定理把邊轉(zhuǎn)化為關(guān)于角的三角函數(shù)式，再利用三角變換和正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的性質(zhì)求最值或范圍.四、雙空題16．已知數(shù)列滿足，，且．則數(shù)列的通項(xiàng)公式為________．若，則數(shù)列的前項(xiàng)和為________．【答案】

，

【分析】（1）根據(jù)遞推關(guān)系求得，利用累加法求得的通項(xiàng)公式；（2）代入求得的，化簡(jiǎn)，得，利用裂項(xiàng)相消法求得前n項(xiàng)和.【詳解】解：，，可得，，又，則，上式對(duì)也成立，所以，；由，可得，則數(shù)列的前項(xiàng)和為．故答案為：，；．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：求通項(xiàng)時(shí)，累加法求和需要考慮的情況；化簡(jiǎn)成可以裂項(xiàng)的形式，從而利用裂項(xiàng)相消法求和.五、解答題17．在中，內(nèi)角，，的對(duì)邊分別是，，，且滿足.（1）求角的值；（2）若，，求的面積.【答案】(1)；(2).【解析】（1）利用正弦定理將角化邊，再用余弦定理即可求得結(jié)果；（2）由正弦定理結(jié)合已知求得，利用面積公式即可求得結(jié)果.【詳解】（1）因?yàn)楣?，故可得，即可得，又，故可?（2）由（1）中所求，故可得，則由，可得.故可得三角形面積.【點(diǎn)睛】本題考查利用正余弦定理解三角形，屬綜合基礎(chǔ)題.18．在①，，成等比數(shù)列②，③，這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問題中，并做出解答．已知是公差不為零的等差數(shù)列，為其n前項(xiàng)和，，_______，是等比數(shù)列，，，公比．（1）求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；（2）數(shù)列和的所有項(xiàng)分別構(gòu)成集合A，B，將的元素按從小到大依次排列構(gòu)成一個(gè)新數(shù)列，求．【答案】選擇見解析；（1）；；（2）．【分析】（1）根據(jù)所選的條件，結(jié)合已知條件求等差數(shù)列的基本量、，即可寫出通項(xiàng)公式，由等比數(shù)列的性質(zhì)，結(jié)合已知條件寫出等比數(shù)列通項(xiàng)公式.（2）由（1）所得的通項(xiàng)公式，確定前80項(xiàng)中分別含和中的哪些項(xiàng)，進(jìn)而應(yīng)用分組求和求.【詳解】（1）選①，∵是公差不為0的等差數(shù)列，設(shè)公差為d，由，，成等比數(shù)列，可得，又，∴，又，即，解得，，∴．選②，由，，有，，可得，，∴．選③，由，可得，又，即，∴，故．∵是等比數(shù)列，由，，，∴，，解得，，即．（2），，∴的前80項(xiàng)中，數(shù)列的項(xiàng)最多有5項(xiàng)，其中，為公共項(xiàng)，又，∴的前80項(xiàng)是由的前77項(xiàng)及，，構(gòu)成．.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：第二問，利用所得數(shù)列的通項(xiàng)公式比較項(xiàng)的大小關(guān)系，根據(jù)的描述確定其前80項(xiàng)中所含和的項(xiàng)分別有哪些，進(jìn)而求和.19．已知函數(shù)，且_____．從以下三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在上面條件中，并回答問題：過點(diǎn)函數(shù)圖象與直線的兩個(gè)相鄰交點(diǎn)之間的距離為函數(shù)圖象中相鄰的兩條對(duì)稱軸之間的距離為．(1)求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)設(shè)函數(shù)，則是否存在實(shí)數(shù)，使得對(duì)于任意，存在，成立若存在，求實(shí)數(shù)的取值范圍若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】(1)；(2)存在，.【分析】（1）利用二倍角的正余弦公式、輔助角公式化簡(jiǎn)函數(shù)，選①，代入求出，選②③求出周期，進(jìn)而求出，再利用正弦函數(shù)單調(diào)性求解作答.（2）求出函數(shù)，在上的值域，再結(jié)合恒成立、能成立列式求解作答.【詳解】（1）選①，依題意，，，即，則，即有，而，則，則有，由得：，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是.選②，依題意，，顯然，因函數(shù)圖象與直線的兩個(gè)相鄰交點(diǎn)之間的距離為，因此函數(shù)的周期，有，則有，由得：，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是.選③，依題意，，因函數(shù)圖象的相鄰兩條對(duì)稱軸之間的距離為，因此函數(shù)的周期，有，則有，由得：，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是.（2）由（1）知，，由得：，，因此，由得：，，因此，從而，由得：，假定存在實(shí)數(shù)，使得對(duì)，，成立，即存在實(shí)數(shù)，使得對(duì)，，成立，則，于是得，解得，因此存在實(shí)數(shù)，使得對(duì)，，成立，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.20．如圖，已知在長(zhǎng)方體中，，，點(diǎn)是的中點(diǎn)．（1）求證：平面；（2）求三棱錐的體積．【答案】（1）證明見解析；（2）.【分析】（1）連接，利用中位線的性質(zhì)得出，再利用線面平行的判定定理可證得結(jié)論成立；（2）計(jì)算出，利用錐體的體積公式可求得結(jié)果.【詳解】（1）因?yàn)樗倪呅螢榫匦?，且，則為的中點(diǎn)，又因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，則，平面，平面，因此，平面；（2）因?yàn)?，，且為的中點(diǎn)，所以，，在長(zhǎng)方體中，平面，因此，.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：常見的線面平行的證明方法有：（1）通過面面平行得到線面平行；（2）通過線線平行得到線面平行，在證明線線平行中，經(jīng)常用到中位線定理或平行四邊形的性質(zhì).21．已知數(shù)列滿足，.(1)證明：數(shù)列為等差數(shù)列.(2)設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，求，并求滿足的的最大值.【答案】(1)證明見解析；(2)【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列的定義證明即可；（2）結(jié)合（1）得，進(jìn)而根據(jù)錯(cuò)位相減法求得，再解不等式即可.【詳解】（1）證明：因?yàn)閿?shù)列滿足，，所以，因?yàn)?，所以所以，?shù)列為等差數(shù)列，公差為，首項(xiàng)為.（2）解：由（1）知，所