SAS學(xué)習(xí)系列40.時間序列分析Ⅳ-GARCH模型

WordWord文檔資料40.時間序列分析III—GARCH模型（一）GRACH模型即自回歸條件異方差模型，是金融市場中廣泛應(yīng)用的一種特殊非線性模型。1982年，R.Engle在研究英國通貨膨脹率序列規(guī)律時提出ARCH模型，其核心思想是殘差項的條件方差依賴于它的前期值的大小。1986年，Bollerslev在ARCH模型基礎(chǔ)上對方差的表現(xiàn)形式進行了線性擴展，并形成了更為廣泛的GARCH模型。一、金融時間序列的異方差性特征金融時間序列，無恒定均值（非平穩(wěn)性），呈現(xiàn)出階段性的相對平穩(wěn)的同時，往往伴隨著出現(xiàn)劇烈的波動性；具有明顯的異方差（方差隨時間變化而變化）特征：尖峰厚尾：金融資產(chǎn)收益呈現(xiàn)厚尾和在均值處呈現(xiàn)過度波峰；波動叢聚性：金融市場波動往往呈現(xiàn)簇狀傾向，即波動的當(dāng)期水平往往與它最近的前些時期水平存在正相關(guān)關(guān)系。杠桿效應(yīng)：指價格大幅度下降后往往會出現(xiàn)同樣幅度價格上升的傾向。因此，傳統(tǒng)線性結(jié)構(gòu)模型(以及時間序列模型)并不能很好地解釋金融時間序列數(shù)據(jù)。二、ARCH(p)模型考慮k變量的回歸模型y=y+yx++yx+s

t011t kktt若殘差項e,的均值為0,對yt取基于t-1時刻信息的期望：E(y)=y+yx++yx

t-1t0 111 kkt該模型中，yt的無條件方差是固定的。但考慮yt的條件方差：var(yIY)=E(y-y-yx--x)2=Ee2tt-1 t-1t0 11t kkt t-1t其中，var(ytIYt1)表示基于t-1時刻信息集合丫口的yt的條件方差，若殘差項e存在自回歸結(jié)構(gòu)，則yt的條件方差不固定。假設(shè)在前P期所有信息的條件下，殘差項平方e2服從AR(p)模型：TOC\o"1-5"\h\ze2=3+ae2++ae2+v (*)t 1t-1 pt-p t其中v為0均值、。2方差的白噪聲序列。則殘差項e服從條件正態(tài)t v t分布：8~N(0,3+ae2++a82)t 1t—1 pt—p殘差項8的條件方差：tvar(8)=02=3+ae2++a82tt 1t—1 pt—p由兩部分組成：(1)常數(shù)項①；(2)ARCH項——變動信息，前p期的殘差平方和Xa82it—ii=1注：未知參數(shù)a,a,,a和y彳,彳利用極大似然估計法估01 p01k計。方差非負性要求a,a,,a都非負。為了使82協(xié)方差平穩(wěn)，需01 p t進一步要求方程1—az——azp=01p的根都位于單位圓外。若a都非負，上式等價于a++a<1.i 1p注：若擾動項的條件方差不存在自相關(guān)，則有a==a=0，1p此時var(8)=a，即殘差的條件方差同方差性情形。t0三、GARCH(p,q)模型ARCH(p)模型在實際應(yīng)用中，為了得到較好的擬合效果，往往需要很大的階數(shù)P，從而增加了待估參數(shù)個數(shù)、引發(fā)多重共線性、非限制估計違背a非負性要求。i1986年，Bollerslev將ARCH(p)模型推廣為廣義自回歸條件異方差模型GARCH(p,q):殘差E的條件方差表示為tvar(e)二。2=3+Zae2+￡配2

tt it—i it—ii=1 i=1由三項組成，(1)常數(shù)項①;ARCH項；GARCH項——前q期預(yù)測方差X0。2.it—ii=1注：未知參數(shù)用極大似然法估計，通常殘差的假設(shè)分布有正態(tài)分布、t分布、廣義誤差分布；該模型也要求a,0非負；若要求是平穩(wěn)ii過程，需要限制Xa+X0V1.實際上，GARCH(p,q)模型是將殘iii=1 i=1差平方用ARMA(q,p)模型描述。四、ARCH檢驗檢驗?zāi)Ｐ偷臍埐钍欠窬哂蠥RCH效應(yīng)有兩種方法：ARCHLM檢驗——拉格朗日乘數(shù)檢驗檢驗原假設(shè)H0：殘差序列直到p階都不存在ARCH效應(yīng)；需進行如下回歸：￡2=0+X0e2+v

t0 it—iti=1檢驗回歸有兩個統(tǒng)計量：(1)F統(tǒng)計量一一檢驗回歸系數(shù)是否顯著為0.TXR2統(tǒng)計量——LM統(tǒng)計量，其中T為觀察值個數(shù)，R2為回歸擬合優(yōu)度，該統(tǒng)計量漸近服從Z2(p)分布。

2.殘差平方相關(guān)圖殘差平方相關(guān)圖顯示殘差平方62序列，直到任意指定的滯后階數(shù)的自相關(guān)函數(shù)（AC）和偏自相關(guān)函數(shù)（PAC）,并計算相應(yīng)滯后階數(shù)的Qlb統(tǒng)計量。若不存在ARCH效應(yīng)，則任意滯后階數(shù)的自相關(guān)函數(shù)（AC）和偏自相關(guān)函數(shù)（PAC）都近似為0.五、GARCH-M模型一般風(fēng)險越大，預(yù)期收益越大。在回歸模型中加入一項“利用條件方差表示的預(yù)期風(fēng)險”：y=Xy+p?O2+8

tt ttXa8Xa82+it—iX0O2it—ii=1 i=1稱為GARCH-M模型。另外，還有非對稱沖擊模型：TARCH、EGARCH、PARCH等（略）。（二）PROCAUTOREG過程SAS中的AUTOREG過程，是用于估計和預(yù)測誤差項自相關(guān)或異方差的時間序列數(shù)據(jù)的線性回歸模型。自回歸誤差模型被用來校正自相關(guān)系數(shù)和廣義自回歸條件異方差模型GARCH，并且其變體如廣義的ARCH（GARCH）、方差無窮的GARCH（IGARCH）、指數(shù)的GARCH（EGARCH）和依均值的GARCH(GARCH-M)被用于異方差的建模和校正。自回歸過程autoreg可以擬合任意階的自回歸誤差模型，并且可以擬合子集自回歸模型。為了診斷自相關(guān)性，過程產(chǎn)生廣義Durbin-Watson(DW)統(tǒng)計量和其邊緣概率。普通回歸分析假定誤差方差對于所有觀察是相同的，但當(dāng)誤差方差不相同時，數(shù)據(jù)被稱為異方差，此時普通最小二乘法估計不是有效的，同時也影響預(yù)測值置信區(qū)間的精確性。Autoreg過程能檢驗異方差，并且提供GARCH模型族來估計和校正數(shù)據(jù)易變性。對于帶有自相關(guān)擾動和隨時間變化的條件異方差模型，過程輸出條件均值和條件方差的預(yù)測值?；菊Z法：procautoregdata=數(shù)據(jù)集〈可選項》;model因變量=獨立回歸變量列表</選項列表,；outputout=數(shù)據(jù)集〈選項列表,；<by變量;>說明：procautoreg語句可選項outest=數(shù)據(jù)集——把估計參數(shù)輸出到指定數(shù)據(jù)集；covout=數(shù)據(jù)集一一把估計參數(shù)的協(xié)方差陣輸出到指定數(shù)據(jù)集；model語句center——通過減去均值中心化因變量并且取消模型的均值參數(shù)；noint——取消模型的均值參數(shù)；nlag二數(shù)值I(數(shù)值列表)一一指定自回歸誤差的階或者自回歸誤差的時間間隔的子集。例如，nlag=3與nlag=(123)作用相同，但與nlag=(13)等不同;garch=(q=數(shù)值，p=數(shù)值,type=選擇值，mean,noint,tr)——指定廣義條件異方差GARCH模型的類型。例如，定義GARCH(2,1)回歸模型：modely=x1x2/garch=(q=2,p=1);注意：SAS系統(tǒng)的自回歸參數(shù)符號q和p與前文所述公式中的符號P和q正好相反。定義GARCH-M(1,1)回歸模型：modely=x1x2/garch=(q=2,p=1,mean);type=選擇值——指定GARCH模型的類型：默認為noineq表示無約束GARCH模型；nonneg表示非負約束GARCH模型；stn表示約束GARCH模型系數(shù)的和小于1;integ表示IGARCH模型；exp表示EGARCH模型；noint——取消條件異方差模型中的均值參數(shù)；tr——GARCH模型的估計使用信賴區(qū)域方法，缺省值為對偶擬牛頓法；archtest 要求用portmanteaQ檢驗統(tǒng)計量和Engle的拉格朗日乘子LM檢驗是否存在條件異方差情況，即是否有ARCH效應(yīng)；coef——輸出前幾條觀察的變換系數(shù)；corrb——輸出參數(shù)估計的估計相關(guān)系數(shù)；covb——輸出參數(shù)估計的估計協(xié)方差；dw=n——輸出直到n階的DW統(tǒng)計量，默認n=1;dwprob——輸出DW統(tǒng)計量的p值，當(dāng)誤差自由度大于300時dwprob選項被忽略；ginv 輸出Yule-Walker解的自協(xié)方差的Toeplitz矩陣的逆；itprint——輸出每步迭代的目標(biāo)函數(shù)和參數(shù)估計；lagdetp——輸出DWt統(tǒng)計量，它用于檢驗存在時滯因變量時殘差的自相關(guān)性；lagdep=回歸變量一一輸出DWh統(tǒng)計量，它用于檢驗一階自相關(guān)性；partial——輸出偏自相關(guān)；backstep——去掉非顯著自回歸參數(shù)，參數(shù)按最小顯著性的次序被去掉；slstay=數(shù)值一一指定被backstep選項使用的顯著水平，默認為0.05;converge=數(shù)值一一指定在迭代自回歸參數(shù)估計時參數(shù)的變化量的最大絕對值小于此數(shù)值那么認為收斂，默認為0.001；maxiter=數(shù)值——指定允許迭代的最大次數(shù)，默認為50;method=ml|ols|yw|ityw指定估計的方法，分別為：最大似然估計、無條件最小二乘法、Yule-Walker估計、迭代Yule-Walker估計；nomiss——使用沒有缺失值的第一個連貫時間序列數(shù)據(jù)集，進行模型擬合估計。否則，跳過數(shù)據(jù)集開始的任何缺失值，使用獨立回歸變量和因變量都不帶缺失值的所有數(shù)據(jù)。請?zhí)貏e注意，為了保持時間序列中正確的時間間隔，必須要增加時間刻度值，這樣就會產(chǎn)生因變量缺失值的觀察。當(dāng)因變量缺失時，過程可以產(chǎn)生預(yù)測值。如果缺失值很多，則應(yīng)使用ML估計。（3）output語句out=數(shù)據(jù)集一一指定包含預(yù)測值和變換值的輸出數(shù)據(jù)集；alphacli=數(shù)值一一設(shè)置時間序列預(yù)測值置信區(qū)間的顯著水平，默認為0.05；alphaclm=數(shù)值——設(shè)置模型結(jié)構(gòu)部分預(yù)測值置信區(qū)間的顯著水平，缺省值為0.05；cev=變量一一把條件誤差方差寫入到輸出數(shù)據(jù)集的指定變量中，僅GARCH模型被估計時才使用；cpev二變量一一把條件預(yù)測誤差方差寫入到輸出數(shù)據(jù)集的指定變量中，僅GARCH模型被估計時才使用；constant二變量——把被變換的均值寫入到輸出數(shù)據(jù)集的指定變量中；lcl二變量一一把預(yù)測值的置信下限寫入到輸出數(shù)據(jù)集的指定變量中；ucl二變量一一把預(yù)測值的置信上限寫入到輸出數(shù)據(jù)集的指定變量中；lclm二變量一一把模型結(jié)構(gòu)部分預(yù)測值的置信下限寫入到輸出數(shù)據(jù)集的指定變量中；uclm二變量一一把模型結(jié)構(gòu)部分預(yù)測值的置信上限寫入到輸出數(shù)據(jù)集的指定變量中；p二變量一一把預(yù)測值寫入到輸出數(shù)據(jù)集的指定變量中；rm二變量一一把來自模型結(jié)構(gòu)部分預(yù)測的殘差寫入到輸出數(shù)據(jù)集的指定變量中；transform二變量一一把被變換的變量寫入到輸出數(shù)據(jù)集的指定變量中。例1對模擬方法生成的時間趨勢加二階自回歸誤差模型的時間序列數(shù)據(jù)，用PROCautoreg過程進行分析和建模，以便于比較和判斷各種求解模型和運算結(jié)果的好壞。模型：看=10+0.5f+邑[■&6t=1*35I_0.5邑_?十a(chǎn)t%W(0.22)(一)按照模擬模型生成數(shù)據(jù)集代碼：

datarandar;e1=0;e11=0;dot=-10to36;e=1.3*e1-0.5*e11+2*rannor(12346);x=10+0.5*t+e;e11=e1;el=e;ift>0thenoutput;end;run;procprintdata=randar;run;運行結(jié)果：Obse1e11Obse1e111-2.73816-4.9918620.03674-2.7381630.663560.036744-0.862330.663565-4.30165-0.86233tex1-2.738167.761820.0367411.036730.6635612.16364-0.8623311.13775-4.301658.1984e1e11 texe1e11 texWordWord文檔資料Obs678910111213141516171819202122-3.88957-4.30165-3.56635-3.88957-3.68908-3.56635-2.50263-3.68908-1.80957-2.50263-0.14763-1.809571.78537-0.147634.090111.785373.545774.09011-0.929953.54577-3.39550-0.92995-4.57207-3.39550-4.02602-4.57207-3.75333-4.02602-1.73776-3.75333-1.42859-1.73776-0.98120-1.428596-3.889579.11047-3.566359.93378-3.6890810.31099-2.5026311.997410-1.8095713.190411-0.1476315.3524121.7853717.7854134.0901120.5901143.5457720.545815-0.9299516.570116-3.3955014.604517-4.5720713.927918-4.0260214.974019-3.7533315.746720-1.7377618.262221-1.4285919.071422-0.9812020.0188WordWord文檔資料Obsel el1t e x23-1.48741 -0.98120 23 -1.48741 20.012624-4.41515 -1.48741 24 -4.41515 17.584825-4.14229 -4.41515 25 -4.14229 18.357726-5.57633 -4.14229 26 -5.57633 17.423727-5.55633 -5.57633 27 -5.55633 17.943728-4.17604 -5.55633 28 -4.17604 19.824029-2.45303 -4.17604 29 -2.45303 22.047030-0.32189 -2.45303 30 -0.32189 24.678131-0.24246 -0.32189 31 -0.24246 25.2575321.61987 -0.24246 32 1.61987 27.6199332.26259 1.61987 33 2.26259 28.7626340.48540 2.26259 34 0.48540 27.485435-1.11570 0.48540 35 -1.11570 26.384336-2.95901 -1.11570 36 -2.95901 25.0410變量e對應(yīng)7e1對應(yīng)2t1,e2對應(yīng),2.表達式2濘annor(12346),將生成獨立同分布均值為0,標(biāo)準差為2的正態(tài)分布隨機數(shù)，對應(yīng)于公式中均值為0，方差為22的白噪聲誤差序列。DO循環(huán)從t=-10開始而不是直接從t=1開始的原因，是讓模擬生成的二階自回歸誤差序列有一段時間（t=-10到0）進行初始化，以便到達穩(wěn)定的隨機序列值。（二）普通最小二乘法回歸模型代碼：procautoregdata=randarPLOTS（ONLY）=FITPLOT;modelx=t;run;運行結(jié)果及說明:AUTOREG過程因變量x普通最小二乘法估計SSE214.953429DFE34MSE6.32216均方根誤差2.51439SBC173.659101AIC170.492063MAE2.01903356AICC170.855699MAPE12.5270666HQC171.597444Durbin-Watson0.4752回歸R方0.8200總R方0.8200參數(shù)估計值變量自由度估計值標(biāo)準誤差t值近似Pr>|t|

參數(shù)估計值變量自由度估計值標(biāo)準誤差t值近似Intercept 1Intercept 18.2308t 10.5021Pr>|t|0.85599.62<.00010.040312.45<.0001AUTOREG過程普通最小二乘回歸基于統(tǒng)計假設(shè)：誤差相互對立。然而，時間序AUTOREG過程普通最小二乘回歸基于統(tǒng)計假設(shè)：誤差相互對立。然而，時間序列數(shù)據(jù)，普通回歸后的殘差常常是相關(guān)的。這將導(dǎo)致：第一，對于參數(shù)的顯著性和置信限的統(tǒng)計檢驗將不正確；第二，回歸系數(shù)的估計不象考慮到自相關(guān)性時的估計一樣有效；第三，由于回歸殘差不獨立，它們包含可用來改進預(yù)測值的信息。由于這些原因，所以對時間序列數(shù)據(jù)不使用普通回歸procreg過程而使用帶自回歸誤差的回歸proautoreg過程。Model語句中指定回歸模型，沒有可選項，是要求利用普通最小二乘法做x對t的回歸。為便于對比，繪制了散點圖和線性回歸趨勢線。回歸R2是對回歸模型的R2,總R2是包括自回歸誤差在內(nèi)的整體模型的R2.現(xiàn)在還無自回歸誤差模型，故兩個R2相等。估計模型為：OLS：%=8.2308+0.5021/+sttVar（s）=6.32216t該模型較合理地接近真實值，但是誤差方差估計6.32216遠大于真實值4。誤差方差估計值遠大于真實值（通過對模型的殘差作自相關(guān)性檢驗來判斷和識別），說明模型還有信息沒有提取。（三）檢驗?zāi)Ｐ偷淖韵嚓P(guān)系數(shù)在實際問題中，需要檢驗自相關(guān)性是否存在，以及存在幾階自相關(guān)。Durbin-Watson檢驗是廣泛使用的自相關(guān)性的檢驗方法。選項dw=4和dwprob是要求過程進行1到4階的OLS殘差中自相關(guān)性Durbin-Watson檢驗，并要求輸出Durbin-Watson統(tǒng)計量的邊緣顯著水平P值。注意：對于季節(jié)性時間序列數(shù)據(jù)，自相關(guān)性檢驗應(yīng)該至少檢驗與季節(jié)性階一樣大的階。例如，對于月度數(shù)據(jù)至少應(yīng)取dw=12。代碼：procautoregdata=randar;modelx=t/dw=4dwprob;run;運行結(jié)果及說明:Durbin-Watson統(tǒng)計量順序DWPr<DWPr>DW1 0.4752 <.0001 1.000021.29350.01370.986332.06940.65450.345542.55440.98180.0182Note:Pr<DWisthep-valuefortestingpositiveautocorrelation,andPr>DWisthep-valuefortestingnegativeautocorrelation.參數(shù)估計值變量 自由度 估計值 標(biāo)準誤差 t值 近似Pr>|t|Intercept 1 8.2308 0.8559 9.62 <.0001t 1 0.5021 0.0403 12.45 <.0001一階Durbin-Watson統(tǒng)計量為0.4752,其p值為<0.0001,極其顯著，強烈拒絕一階自相關(guān)系數(shù)為0的原假設(shè)。因此，自相關(guān)性的校正是必須的。要注意的是，利用Durbin-Watson檢驗可決定是否需要做自相關(guān)性校正。但廣義的Durbin-Watson檢驗不應(yīng)該用于確定自回歸的階數(shù)。因為高階的檢驗是在無低階自相關(guān)性的原假設(shè)下進行的。例如，若普通的Durbin-Watson檢驗表明無一階自相關(guān)性，那么可以用二階檢驗去檢驗二階自相關(guān)性。一旦檢驗出某階有自相關(guān)性存在，那么更高階的檢驗將不適用。這里由于1階自相關(guān)性檢驗是顯著的，所以2、3、4階的檢驗是被忽略的。（四）自回歸誤差模型代碼：procautoregdata=randar;modelx=t/nlag=2method=ml;outputout=poutp=xhatpm=trendhat;run;procgplotdata=pout;plotx*t=1xhat*t=2trendhat*t=3/overlay;symbol】v=stari=nonec=red h=2.5;symbol2v=plusi=joinc=blueh=2.5;symbol3v=nonei=joinc=greenw=2;title】'Auto-Regression';title2'nlag=2method=ml';run;運行結(jié)果及說明：nlag=2選項，指定誤差為1階、2階自回歸模型，其另一種格式，如nlag=(145),表示自回歸誤差模型為s=^s+0e+帆+v

t1t-14t-4t-5t選項method=ml，指定回歸參數(shù)的估計采用精確最大似然估計，默認為Yule-Walker估計。用output語句輸出預(yù)測值到pout數(shù)據(jù)集中，預(yù)測值有兩種類型：第一類是部分模型預(yù)測值：僅通過模型的結(jié)構(gòu)部分得到，即由￡=8+81部分得到，這是響應(yīng)變量xt在時刻t的無條件均值估計，t01 t用選項pm=trendhat將該預(yù)測值數(shù)據(jù)集pout的變量trendhat中；第二類，是整體模型預(yù)測值，既包含模型的結(jié)構(gòu)部分也包含自回歸誤差過程的預(yù)測值，即由￡=8+81+(fs+(fs整體模型得到，t01 1t-11t-2用選項p=xhat將該預(yù)測值輸出到數(shù)據(jù)集pout的變量xhat中。普通最小二乘法估計SSE214.953429DFE34MSE6.32216均方根誤差2.51439SBC173.659101AIC170.492063MAE2.01903356AICC170.855699MAPE12.5270666HQC171.597444Durbin-Watson0.4752回歸R方0.8200

普通最小二乘法估計0.8200參數(shù)估計值變量 自由度估計值標(biāo)準誤差t值近似Pr>|t|Intercept 18.2308 0.85599.62<.0001t 10.5021 0.040312.45<.0001自相關(guān)估計值滯后協(xié)方差相關(guān)-19876543210123456789105.97091.000000| |********************|14.51690.756485| |*************** |22.02410.338995| |******* |初步MSE1.7943滯后自回歸參數(shù)的估計值t值系數(shù)標(biāo)準誤差1-1.1690570.148172-7.8920.5453790.1481723.68

算法收斂。最大似然估計SSE54.7493022DFE32MSE1.71092均方根誤差1.30802SBC133.476508AIC127.142432MAE0.98307236AICC128.432755MAPE6.45517689HQC129.353194對數(shù)似然-59.571216回歸R方0.7280Durbin-Watson2.2761總R方0.9542觀測36參數(shù)估計值變量自由度估計值標(biāo)準誤差t值近似Pr>|t|Intercept17.88331.16936.74<.0001t10.50960.05519.25<.0001AR11-1.24640.1385-9.00<.0001參數(shù)估計值變量自由度估計值標(biāo)準誤差t值近似Pr>|t|AR2 10.6283 0.13664.60<.0001指定所用的自回歸參數(shù)變量自由度估計值標(biāo)準誤差t值近似Pr>|t|Intercept 17.88331.16786.75<.0001t 10.50960.05519.26<.0001第一部分輸出普通最小二乘法回歸模型的回歸結(jié)果(與前文一致)，包括診斷統(tǒng)計量和參數(shù)估計表，模型公式見前文。第二部分輸出自回歸誤差模型的輸出結(jié)果，首先是PreliminaryMSE=1.7943為最大似然估計迭代計算的初始Yule-Walker估計值。然后給出了在原假設(shè)時間間隔為1和2的自相關(guān)系數(shù)為0情況下，1階和2階自相關(guān)系數(shù)檢驗統(tǒng)計量、標(biāo)準差和t值，t=-7.890和3.681(絕對值都很大)，拒絕1階和2階自相關(guān)系數(shù)為0的原假設(shè)。自回歸誤差模型的回歸結(jié)果也包括回歸統(tǒng)計量和參數(shù)估計表。參數(shù)估計表顯示了回歸系數(shù)的ML估計，比OLS輸出的參數(shù)估計表多二個附加行，被標(biāo)記為AR(1)和AR(2)，分別為自回歸誤差的一階系數(shù)和二階系數(shù)的估計值。估計模型為：X=7.8833+0.50961+sst=1.2464s-0.6283st (*)t t—1 t—2Var(v)=1.71092t基于自回歸參數(shù)的估計值，重新計算了參數(shù)的標(biāo)準誤差和t值，如重新計算截距7.8833的標(biāo)準差為1.1678而不是1.1693.比較自回歸誤差模型和普通最小二乘法回歸模型，整體的R2=0.9542>0.8200.這反映了由于考慮了殘差作用而改進了擬合模型，將會使預(yù)測值更準確。顯然，自回歸誤差模型部分的R2總是小于普通最小二乘法回歸模型部分R2(0.7280<0.8200)，這是因為在部分模型時，普通最小二乘法回歸已經(jīng)達到最優(yōu)，它的部分模型R2與整體模型R2是相等的。自回歸誤差模型的信息準則SBC和AIC值都分別比OLS模型的要小，如133.476508<173.659101，127.142432<170.492063，同樣說明估計模型(40.83)式比估計模型(40.82)式要好。對于自回歸誤差模型的MSE為1.71092,此值遠小于真實值4,而對于OLS模型的MSE為6.32216,此值遠大于真實值4,從MSE值的大小對比中，也可以得出自回歸誤差模型較好。注意：在小樣本情況下，自回歸誤差模型傾向于低估6,而OLS模型傾向于高估6。最后，注意到自回歸誤差模型的DW統(tǒng)計量為2.2761,接近2,殘差序列不相關(guān)，而OLS模型的DW統(tǒng)計量為0.4752,接近0偏離2,殘差序列正相關(guān),同樣可以得出自回歸誤差模型已經(jīng)完全提取了內(nèi)在規(guī)律的信息,只剩下純隨機波動。Auto-RearAuto-Rearessionnleez2mEh0dzmI紅*為原始序列散點圖；藍色線+號為整體模型預(yù)測值；綠色線為部分模型預(yù)測值。注意，該綠色趨勢線模型為：AR(2):x=7.8833+0.5096tt不同于前文的OLS模型趨勢線。（五）預(yù)測自回歸誤差模型代碼：datanew;x二.;dot=37to46;output;end;run;datarandar37;mergerandarnew;byt;run;procautoregdata=randar37;modelx=t/nlag=2method=ml;outputout=poutpp=xhatpm=trendhatlcl=lclucl=ucl;run;procgplotdata=poutp;plotx*t=1xhat*t=2trendhat*t=3lcl*t=3ucl*t=3/overlayhref=36.5;symbol】v=stari=nonec=red h=2.5;symbol2v=plusi=joinc=blueh=2.5l=1;symbol3v=nonei=joinc=greenw=2;title】'Auto-Regression:AR(2)';title2'predictestimation';run;運行結(jié)果及說明:先產(chǎn)生10個等間隔的將來時間點，對應(yīng)的因變量x值先設(shè)為缺失值。再與原序列合并，作為數(shù)據(jù)集randar37。procautoreg過程，對數(shù)據(jù)集randar37進行自回歸誤差模型擬合，擬合自回歸誤差模型為公式(*)，擬合的預(yù)測趨勢線