圓錐曲線離心率問題

第九章 圓錐曲線的離心率問題解析幾何圓錐曲線的離心率問題離心率是圓錐曲線的一個(gè)重要幾何性質(zhì)，一方面刻畫了橢圓，雙曲線的形狀，另一方面也體現(xiàn)了參數(shù)之間的聯(lián)系。一、基礎(chǔ)知識：1、離心率公式：（其中為圓錐曲線的半焦距）（1）橢圓：（2）雙曲線：2、圓錐曲線中的幾何性質(zhì)及聯(lián)系（1）橢圓：，①：長軸長，也是同一點(diǎn)的焦半徑的和：②：短軸長③橢圓的焦距（2）雙曲線：①：實(shí)軸長，也是同一點(diǎn)的焦半徑差的絕對值：②：虛軸長③橢圓的焦距3、求離心率的方法：求橢圓和雙曲線的離心率主要圍繞尋找參數(shù)的比例關(guān)系（只需找出其中兩個(gè)參數(shù)的關(guān)系即可），方法通常有兩個(gè)方向：（1）利用幾何性質(zhì)：如果題目中存在焦點(diǎn)三角形（曲線上的點(diǎn)與兩焦點(diǎn)連線組成的三角形），那么可考慮尋求焦點(diǎn)三角形三邊的比例關(guān)系，進(jìn)而兩條焦半徑與有關(guān)，另一條邊為焦距。從而可求解（2）利用坐標(biāo)運(yùn)算：如果題目中的條件難以發(fā)掘幾何關(guān)系，那么可考慮將點(diǎn)的坐標(biāo)用進(jìn)行表示，再利用條件列出等式求解2、離心率的范圍問題：在尋找不等關(guān)系時(shí)通常可從以下幾個(gè)方面考慮：（1）題目中某點(diǎn)的橫坐標(biāo)（或縱坐標(biāo)）是否有范圍要求：例如橢圓與雙曲線對橫坐標(biāo)的范圍有要求。如果問題圍繞在“曲線上存在一點(diǎn)”，則可考慮該點(diǎn)坐標(biāo)用表示，且點(diǎn)坐標(biāo)的范圍就是求離心率范圍的突破口（2）若題目中有一個(gè)核心變量，則可以考慮離心率表示為某個(gè)變量的函數(shù)，從而求該函數(shù)的值域即可（3）通過一些不等關(guān)系得到關(guān)于的不等式，進(jìn)而解出離心率注：在求解離心率范圍時(shí)要注意圓錐曲線中對離心率范圍的初始要求：橢圓：，雙曲線：二、典型例題：例1：設(shè)分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓上，線段的中點(diǎn)在軸上，若，則橢圓的離心率為（）A．B．C．D．思路：本題存在焦點(diǎn)三角形，由線段的中點(diǎn)在軸上，為中點(diǎn)可得軸，從而，又因?yàn)?，則直角三角形中，，且，所以答案：A小煉有話說：在圓錐曲線中，要注意為中點(diǎn)是一個(gè)隱含條件，如果圖中存在其它中點(diǎn)，則有可能與搭配形成三角形的中位線。例2：橢圓與漸近線為的雙曲線有相同的焦點(diǎn),為它們的一個(gè)公共點(diǎn),且,則橢圓的離心率為________思路：本題的突破口在于橢圓與雙曲線共用一對焦點(diǎn)，設(shè)，在雙曲線中，，不妨設(shè)在第一象限，則由橢圓定義可得：解：直線的方程為：；直線的方程為：，聯(lián)立方程可得：解得：，則在橢圓上，解得：答案：例6：已知F是雙曲線的左焦點(diǎn)，是該雙曲線的右頂點(diǎn)，過點(diǎn)且垂直于軸的直線與雙曲線交于兩點(diǎn)，若是銳角三角形，則該雙曲線的離心率的取值范圍為（）A．B．C．D．思路：從圖中可觀察到若為銳角三角形，只需要為銳角。由對稱性可得只需即可。且均可用表示，是通徑的一半，得：，，所以，即答案：B小煉有話說：（1）在處理有關(guān)角的范圍時(shí)，可考慮利用該角的一個(gè)三角函數(shù)值，從而將角的問題轉(zhuǎn)變?yōu)檫叺谋戎祮栴}（2）本題還可以從直線的斜率入手，，利用即可求出離心率例7：已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，若橢圓上存在點(diǎn)使，則該橢圓的離心率的取值范圍為（）A.B.C.D.思路：為焦點(diǎn)三角形的內(nèi)角，且對邊為焦半徑，所以利用正弦定理對等式變形：，再由解得：，再利用焦半徑的范圍為可得（由于依題意，非左右頂點(diǎn)，所以焦半徑取不到邊界值）：，解得答案：D例8：已知是橢圓的左右焦點(diǎn)，若橢圓上存在點(diǎn)，使得，則橢圓離心率的取值范圍是（）A.B.C.D.思路一：考慮在橢圓上的點(diǎn)與焦點(diǎn)連線所成的角中，當(dāng)位于橢圓短軸頂點(diǎn)位置時(shí)，達(dá)到最大值。所以若橢圓上存在的點(diǎn)，則短軸頂點(diǎn)與焦點(diǎn)連線所成的角，考慮該角與的關(guān)系，由橢圓對稱性可知，，所以，即，進(jìn)而即，解得，再由可得思路二：由可得，進(jìn)而想到焦點(diǎn)三角形的面積：，另一方面：，從而，因?yàn)樵跈E圓上，所以，即，再同思路一可解得：思路三：可想到，進(jìn)而通過向量坐標(biāo)化，將數(shù)量積轉(zhuǎn)為方程。設(shè)，則有，則，即點(diǎn)一定在以為圓心，為半徑的圓上，所以只需要該圓與橢圓有交點(diǎn)即可，通過作圖可發(fā)現(xiàn)只有半徑時(shí)才可有交點(diǎn)，所以，同思路一可解得注：本題對在圓上也可由判定出在以為直徑的圓上，進(jìn)而寫出圓方程思路四：開始同思路三一樣，得到所在圓方程為，因?yàn)樵跈E圓上，所以聯(lián)立圓和橢圓方程：代入消去可得：，整理后可得：，由可得：，同思路一即可解得：答案：小煉有話說：本題的眾多思路重點(diǎn)區(qū)別在：一是從條件中想到橢圓的哪些性質(zhì)與結(jié)論，不同的結(jié)論得到不同的突破口；二是在解決離心率時(shí)是選擇用幾何特點(diǎn)數(shù)形結(jié)合去解還是通過坐標(biāo)方程用代數(shù)方式計(jì)算求解例9：設(shè)點(diǎn)分別為橢圓的左右焦點(diǎn)，若在橢圓上存在異于點(diǎn)的點(diǎn)，使得，其中為坐標(biāo)原點(diǎn)，則橢圓的離心率的取值范圍是（）A.B.C.D.思路：本題取值范圍的突破口在“橢圓上存在點(diǎn)”，則的橫縱坐標(biāo)分別位于中，所以致力于計(jì)算的坐標(biāo)，設(shè)，題目中，由可得也在以為直徑的圓上。即，所以聯(lián)立方程：，即，由已知可得也是圓與橢圓的一個(gè)交點(diǎn)，所以由韋達(dá)定理可得：，再根據(jù)的范圍可得：，解得答案：D小煉有話說：本題運(yùn)用到了一個(gè)求交點(diǎn)的模型：即已知一個(gè)交點(diǎn)，可利用韋達(dá)定理求出另一交點(diǎn)，熟練使用這種方法可以快速解決某些點(diǎn)的坐標(biāo)例10：如圖，已知雙曲線上有一點(diǎn)，它關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)為，點(diǎn)為雙曲線的右焦點(diǎn)，且滿足，設(shè)，且，則該雙曲線離心率的取值范圍為（）A．B．C．D．思路：本題與焦半徑相關(guān)，所以考慮的幾何含義，可得為直角三角形，且，結(jié)合可得，因?yàn)殛P(guān)于原點(diǎn)對稱，所以即為的左焦半徑。所以有，則，即關(guān)于的函數(shù)，在求值域即可：，所以答案：B三、歷年好題精選1、已知雙曲線，，是雙曲線上關(guān)于原點(diǎn)對稱的兩點(diǎn)，是雙曲線上的動點(diǎn)，直線，的斜率分別為，若的最小值為，則雙曲線的離心率為（）A．B．C．D．2、（2016，新余一中模擬）已知點(diǎn)是拋物線的對稱軸與準(zhǔn)線的交點(diǎn)，點(diǎn)為拋物線的焦點(diǎn)，在拋物線上且滿足，當(dāng)取最大值時(shí)，點(diǎn)恰好在以為焦點(diǎn)的雙曲線上，則雙曲線的離心率為（）A.B.C.D.3、已知分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，過點(diǎn)且垂直于軸的直線與雙曲線交于兩點(diǎn)，若是鈍角三角形，則該雙曲線離心率的取值范圍是（）A．B．C．D．4、設(shè)分別是雙曲線的左右焦點(diǎn)，若雙曲線左支上存在一點(diǎn)，使得，為坐標(biāo)原點(diǎn)，且，則該雙曲線的離心率為（）A.B.C.D.5、（2016四川高三第一次聯(lián)考）橢圓和圓，（為橢圓的半焦距）對任意恒有四個(gè)交點(diǎn)，則橢圓的離心率的取值范圍為（）A.B.C.D.6、如圖，內(nèi)外兩個(gè)橢圓的離心率相同，從外層橢圓頂點(diǎn)向內(nèi)層橢圓引切線，設(shè)內(nèi)層橢圓方程為，外層橢圓方程為若的斜率之積為，則橢圓的離心率為_______7、（2015，新課標(biāo)II）已知為雙曲線的左右頂點(diǎn)，點(diǎn)在上，為等腰三角形，且頂角為，則的離心率為（）A.B.C.D.8、（2016，宜昌第一中學(xué)12月考）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)在雙曲線的左支上，且，則此雙曲線離心率的最大值為（）A．B．C．D．9、（2015，山東）平面直角坐標(biāo)系中，雙曲線的漸近線與拋物線交于點(diǎn)，若的垂心為的焦點(diǎn)，則離心率為________10、（2014，湖北）已知是橢圓和雙曲線的公共焦點(diǎn)，是它們的一個(gè)公共點(diǎn)，且，則橢圓和雙曲線的離心率的倒數(shù)之和的最大值為（）A.B.C.D.11、（2014，浙江）設(shè)直線與雙曲線的兩條漸近線分別交于點(diǎn)，若點(diǎn)滿足，則該雙曲線的離心率是______解得：習(xí)題答案：1、答案：B.解析：設(shè)，則，兩式相減得:，而，則，.2、答案：A解析：由拋物線方程可得：，過作準(zhǔn)線的垂線，垂足為，所以，所以，可知取得最大值時(shí)，最小，數(shù)形結(jié)合可知當(dāng)與拋物線相切時(shí)，最小。設(shè)，聯(lián)立方程，即，則，此時(shí)，則，所以，則3、解析：為鈍角三角形，且即，即答案：B4、答案：A思路：已知條件與焦半徑相關(guān)，先考慮焦點(diǎn)三角形的特點(diǎn)，從入手，可得，數(shù)形結(jié)合可得四邊形為菱形，所以，可判定為直角三角形。，可得5、答案：B解析：由橢圓與圓有四個(gè)不同的交點(diǎn)，則對任意恒成立，即，平方變形后可得：6、答案：解析：設(shè)切線的方程為，切線的方程為，聯(lián)立切線與內(nèi)層橢圓方程，得：，所以，由可得：，同理，所以。即7、答案：D解析：設(shè)雙曲線方程為，如圖所示：，過點(diǎn)作軸于，在中，，所以，代入雙曲線方程可得：可得：，從而8、答案：A解析：由雙曲線可知，所以，因?yàn)辄c(diǎn)，即，所以，即最大值為9、答案：