人教A版高中數(shù)學高三一輪3-7解三角形學案

高三一輪復(fù)習3.7解三角形學案【考綱傳真】掌握正弦定理、余弦定理，并能解決一些簡單的三角形度量問題．【知識掃描】知識點1正弦定理和余弦定理定理正弦定理余弦定理內(nèi)容eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝2R.(R為△ABC外接圓半徑)a2＝b2＋c2－2bc·cos_A；b2＝c2＋a2－2ca·cos_B；c2＝a2＋b2－2ab·cos_C變形形式(1)a＝2RsinA，b＝2Rsin_B，c＝2Rsin_C；(2)sinA＝eq\f(a,2R)，sinB＝eq\f(b,2R)，sinC＝eq\f(c,2R)；(3)a∶b∶c＝sin_A∶sin_B∶sin_CcosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)；cosB＝eq\f(c2＋a2－b2,2ca)；cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)解決問題(1)已知兩角和任一邊，求另一角和其他兩條邊；(2)已知兩邊和其中一邊的對角，求另一邊和其他兩角(1)已知三邊，求各角；(2)已知兩邊和它們的夾角，求第三邊和其他兩個角知識點2在△ABC中，已知a，b和∠A時解的情況∠A為銳角∠A為鈍角或直角圖形關(guān)系式a＝bsinAbsinA<a<ba≥ba>b解的個數(shù)一解兩解一解一解知識點3三角形常用面積公式(1)S＝eq\f(1,2)a·ha(ha表示邊a上的高)；(2)S＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)acsinB＝eq\f(1,2)bcsinA；(3)S＝eq\f(1,2)r(a＋b＋c)(r為內(nèi)切圓半徑)．1．必會結(jié)論(1)三角形內(nèi)角和定理：在△ABC中，A＋B＋C＝π，其變式有A＋B＝π－C，eq\f(A＋B,2)＝eq\f(π,2)－eq\f(C,2).(2)三角形中的三角函數(shù)關(guān)系①sin(A＋B)＝sinC；②cos(A＋B)＝－cosC；③sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(A＋B,2)))＝coseq\f(C,2)；④coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(A＋B,2)))＝sineq\f(C,2).(3)正弦定理的公式變形eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝eq\f(a＋b＋c,sinA＋sinB＋sinC).2．必知聯(lián)系在三角形中大角對大邊，大角的正弦值也較大，正弦值較大的角也較大，余弦值則相反，即在△ABC中，A>B?sinA>sinB?cosA<cosB.【學情自測】1．判斷下列結(jié)論的正誤．(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)在△ABC中，若A>B，則必有sinA>sinB．()(2)在△ABC中，若b2＋c2>a2，則△ABC為銳角三角形．()(3)在△ABC中，若A＝60°，a＝4eq\r(3)，b＝4eq\r(2)，則B＝45°或135°.()(4)在△ABC中，eq\f(a,sinA)＝eq\f(a＋b－c,sinA＋sinB－sinC).()2．在△ABC中，A＝60°，B＝75°，a＝10，則c等于()A．5eq\r(2)B．10eq\r(2)C.eq\f(10\r(6),3)D．5eq\r(6)3．(2015·廣東高考)設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c.若a＝2，c＝2eq\r(3)，cosA＝eq\f(\r(3),2)且b<c，則b＝()A．3 B．2eq\r(2)C．2 D.eq\r(3)4．在△ABC中，a＝3eq\r(2)，b＝2eq\r(3)，cosC＝eq\f(1,3)，則△ABC的面積為________．5．(2015·山東高考)設(shè)f(x)＝sinxcosx－cos2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4))).(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)在銳角△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c.若feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(A,2)))＝0，a＝1，求△ABC面積的最大值．規(guī)范解答4．正、余弦定理的綜合應(yīng)用(12分)(2015·全國卷Ⅱ)△ABC中，D是BC上的點，AD平分∠BAC，△ABD面積是△ADC面積的2倍．(1)求eq\f(sinB,sinC)；(2)若AD＝1，DC＝eq\f(\r(2),2)，求BD和AC的長．【規(guī)范解答】(1)S△ABD＝eq\f(1,2)AB·ADsin∠BAD，S△ADC＝eq\f(1,2)AC·ADsin∠CAD.2分因為S△ABD＝2S△ADC，∠BAD＝∠CAD，所以AB＝2AC.由正弦定理，得eq\f(sinB,sinC)＝eq\f(AC,AB)＝eq\f(1,2).5分(2)因為S△ABD∶S△ADC＝BD∶DC，所以BD＝eq\r(2).6分在△ABD和△ADC中，由余弦定理，知AB2＝AD2＋BD2－2AD·BDcos∠ADB，AC2＝AD2＋DC2－2AD·DCcos∠ADC.8分故AB2＋2AC2＝3AD2＋BD2＋2DC2＝分由(1)知，AB＝2AC，所以AC＝分【解題程序】第一步：利用面積公式將△ABD與△ADC的面積表示出來；第二步：利用面積關(guān)系得到AB與AC關(guān)系，進而求出eq\f(sinB,sinC)的值；第三步：由面積之比得出邊之比，求出BD；第四步：在△ABD和△ADC中利用余弦定理將AB2與AC2表示出來；第五步：利用cos∠ADB與cos∠ADC的關(guān)系得出邊之間的關(guān)系，求出AC.【智慧心語】易錯提示：(1)不能正確利用面積公式及∠BAD與∠DAC的關(guān)系，得不到eq\f(sinB,sinC)的值．(2)不能夠活用余弦定理，忽視cos∠ADB與cos∠ADC的關(guān)系，不能求出AC的值．防范措施：(1)合理選擇面積公式，應(yīng)用已知條件將三角形的面積之比轉(zhuǎn)化為邊長之比．(2)巧用∠ADB與∠ADC的關(guān)系，結(jié)合余弦定理得到三角形的邊長之間的關(guān)系，利用方程思想求出AC.參考答案1.【解析】(1)正確．A>B?a>b?sinA>sinB.(2)錯誤．由cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)>0知，A為銳角，但△ABC不一定是銳角三角形．(3)錯誤．由b<a知，B<A.(4)正確．利用a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC，可知結(jié)論正確．【答案】(1)√(2)×(3)×(4)√2.【解析】由A＋B＋C＝180°，知C＝45°，由正弦定理得：eq\f(a,sinA)＝eq\f(c,sinC)，即eq\f(10,\f(\r(3),2))＝eq\f(c,\f(\r(2),2))，∴c＝eq\f(10\r(6),3).【答案】C3.【解析】由a2＝b2＋c2－2bccosA，得4＝b2＋12－6b，解得b＝2或4.又b<c，∴b＝2.【答案】C4.【解析】∵cosC＝eq\f(1,3)，0<C<π，∴sinC＝eq\f(2\r(2),3)，∴S△ABC＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)×3eq\r(2)×2eq\r(3)×eq\f(2\r(2),3)＝4eq\r(3).【答案】4eq\r(3)5.【解】(1)由題意知f(x)＝eq\f(sin2x,2)－eq\f(1＋cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,2))),2)＝eq\f(sin2x,2)－eq\f(1－sin2x,2)＝sin2x－eq\f(1,2).由－eq\f(π,2)＋2kπ≤2x≤eq\f(π,2)＋2kπ，k∈Z，可得－eq\f(π,4)＋kπ≤x≤eq\f(π,4)＋kπ，k∈Z；由eq\f(π,2)＋2kπ≤2x≤eq\f(3π,2)＋2kπ，k∈Z，可得eq\f(π,4)＋kπ≤x≤eq\f(3π,4)＋kπ，k∈Z.所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)＋kπ，\f(π,4)＋kπ))(k∈Z)；單調(diào)遞減區(qū)間是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋kπ，\f(3π,4)＋kπ))(k∈Z)．(2)由feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(A,2)))＝sinA－eq\f(1,2)＝0，得s