2022屆江西省南昌市高三年級下冊學(xué)期核心模擬卷（中）數(shù)學(xué)（文）試題【含答案】

2022屆江西省南昌市高三下學(xué)期核心模擬卷（中）數(shù)學(xué)（文）試題一、單選題1．已知集合，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先化簡集合，再利用交集運算求解.【詳解】因為，所以，即;所以．故選:B．2．已知（為虛數(shù)單位），則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用復(fù)數(shù)的乘除運算求復(fù)數(shù)即可.【詳解】由題設(shè)，則，所以，得，故選：A.3．近年來，人口問題已成為一個社會問題，人口老齡化，新生兒數(shù)量減少等問題已對我國的經(jīng)濟建設(shè)產(chǎn)生影響．為應(yīng)對人口問題的挑戰(zhàn)，自2016年1月1日起全面放開二胎，2021年1月1日起全面放開三胎．下表是2016年~2020年我國新生兒數(shù)量統(tǒng)計：年份x20162017201820192020數(shù)量y（萬）17861758153214651200研究發(fā)現(xiàn)這幾年的新生兒數(shù)量與年份有較強的線性關(guān)系，若求出的回歸方程為，則的值約為（

）A． B． C． D．146.5【答案】B【分析】先求得，再根據(jù)回歸直線過樣本點中心，即可求解.【詳解】，由回歸直線的性質(zhì)知，所以．故選：B．4．已知直線和圓，則“”是“直線l與圓C相切”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【分析】直線與圓相切等價于直線到圓心的距離等于半徑，據(jù)此先算出再判斷即可.【詳解】直線l與圓C相切等價于圓心C(1,0)到l的距離等于圓C的半徑1，即，解得，所以“”是“直線l與圓C相切”的充要條件.故選：C.5．已知，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由，得到，再利用二倍角公式和商數(shù)關(guān)系求解.【詳解】解：因為，所以，所以，，故選：D．6．已知實數(shù)滿足約束條件，則目標(biāo)函數(shù)的最大值為（

）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】A【分析】根據(jù)線性規(guī)劃的要求，畫出可行域，由圖象及直線間的斜率大小關(guān)系即可得出結(jié)果.【詳解】畫出可行域（如圖陰影部分所示），當(dāng)目標(biāo)函數(shù)所表示的直線過點時，的截距取得最小值，即．故選：A．7．已知，，，則a，b，c的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)對數(shù)的運算法則，對數(shù)函數(shù)性質(zhì)、指數(shù)函數(shù)性質(zhì)判斷．【詳解】，，，，，所以，故選：A．8．如圖，在正三棱柱中，，則異面直線與所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】延長至使得，則與平行且相等，是平行四邊形，所以，所以是異面直線與所成角或其補角，設(shè)，通過解三角形可得．【詳解】延長至使得，則與平行且相等，是平行四邊形，所以，所以是異面直線與所成角或其補角，正三棱柱中，平面，平面，，同理，設(shè)，則，，，，，，所以異面直線與所成角的余弦值．故選：C．9．在中，角所對的邊分別為，若，，則（

）A．4 B． C． D．2【答案】C【分析】由，利用正弦定理得到，再利用余弦定理得到，然后由，求得，再由正弦定理求解.【詳解】根據(jù)條件，由正弦定理，得，所以，所以．由余弦定理，得，因為，所以．由，得，所以．由正弦定理，得，所以．故選：C.10．已知雙曲線的右頂點為，以為圓心，為半徑的圓與雙曲線的一條漸近線交于、兩點．若，則的離心率為（

）A． B． C．2 D．【答案】A【分析】不妨設(shè)的一條漸近線為，求出圓心到直線的距離，由，可得是腰長為的等腰直角三角形，從而得到，再求出離心率.【詳解】不妨設(shè)的一條漸近線為，即，圓心到的距離．又，所以，所以是腰長為的等腰直角三角形，所以，所以．故選：A．11．如圖為函數(shù)的部分圖像，將的圖像上各點的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼膬杀?，再向左平移個單位長度，得到函數(shù)的圖像，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由周期求出，由五點法作圖求出的值，可得f(x)的解析式，再利用函數(shù)的圖像變換規(guī)律，得出結(jié)論.【詳解】根據(jù)函數(shù)的部分圖像，可得∴再根據(jù)五點法作圖，可得，∴，∴.將函數(shù)的圖像上各點的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼膬杀叮傻玫脠D像；在向左平移個單位長度，得到函數(shù)的圖像，故選：D.12．已知定義在[1，+∞）上的函數(shù)，若?x≥1，，則實數(shù)a的取值范圍為（）A．[1，6] B．[2，9） C．（1，9] D．[1，6）【答案】D【分析】二次求導(dǎo)得到在上單調(diào)遞增，從而根據(jù)單調(diào)性解不等式，列出不等式組，求出實數(shù)a的取值范圍.【詳解】，令，，當(dāng)時，恒成立，所以在上單調(diào)遞增，所以，所以恒成立，所以在上單調(diào)遞增，由得：，在上恒成立，其中在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞減，所以，所以，由得：，因為，所以.綜上：故選：D二、填空題13．已知兩單位向量的夾角為，若，且，則實數(shù)_________．【答案】/-0.8【分析】利用向量的數(shù)量積公式和向量垂直的性質(zhì)解決本題.【詳解】因為單位向量的夾角為，所以；因為，所以，所以．故答案為：.14．已知定義在上的函數(shù)，若函數(shù)為奇函數(shù)，則________.【答案】【分析】根據(jù)題意得到，即可求解.【詳解】因為函數(shù)為奇函數(shù)，所以，即為，則.故答案為：.15．已知為球O的球面上的三個點，若，三棱錐的體積為6，則球O的表面積為___________．【答案】【分析】根據(jù)題意先確定球心，再計算半徑即可【詳解】如圖所示，設(shè)外接圓的半徑為r，球的半徑為R，三棱錐的高為h，因為，則，所以，又，所以，所以，所以球O的表面積．16．已知拋物線的焦點為，過的直線交拋物線于，兩點，則的最小值是______．【答案】9【分析】根據(jù)拋物線的定義，設(shè)出直線方程與拋物線方程聯(lián)立消元，求出韋達定理即可求解.【詳解】依題意，因為拋物線的焦點為，所以，①當(dāng)斜率存在時：因為直線交拋物線于，兩點，所以，設(shè)過的直線的直線方程為：，，由拋物線定義得：，由消整理得：，所以，即，所以；②當(dāng)不存在時，直線為，此時，所以；綜上可知，的最小值為：9.故答案為：9.三、解答題17．大豆是我國重要的農(nóng)作物，種植歷史悠久．某種子實驗基地培育出某大豆新品種，為檢驗其最佳播種日期，在A，B兩塊試驗田上進行實驗（兩地塊的土質(zhì)等情況一致）．6月25日在A試驗田播種該品種大豆，7月10日在B試驗田播種該品種大豆．收獲大豆時，從中隨機抽取20份（每份1千粒），并測量出每份的質(zhì)量（單位：克），按照，，進行分組，得到如下表格：A試驗田/份4511B試驗田/份6104把千粒質(zhì)量不低于200克的大豆視為籽粒飽滿，否則為籽粒不飽滿．(1)判斷是否有97.5%的把握認為大豆籽粒飽滿與播種日期有關(guān)？(2)用分層抽樣的方法從A，B兩塊實驗田抽取的千粒質(zhì)量在的樣本中抽取5份樣本，再從這5份樣本中任取2份，求所抽取的2份來自不同試驗田的概率．參考公式：，．0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828【答案】(1)有(2)【分析】（1）根據(jù)完成列聯(lián)表，然后根據(jù)公式計算，再與臨界值表比較可得結(jié)論，（2）由用分層抽樣的方法可計算得從A試驗田抽取份數(shù)為2份，從B試驗田抽取的份數(shù)為3份，然后利用列舉法求解即可【詳解】（1）列聯(lián)表為6月25日播種7月10日播種合計飽滿11415不飽滿91625合計202040，所以有97.5%的把握認為大豆籽粒飽滿與播種日期有關(guān)．（2）用分層抽樣的方法從A試驗田抽取份數(shù)為，記為M，N；從B試驗田抽取的份數(shù)為，記為x，y，z．從5份中抽2份所含基本事件有MN，，，，，，，xy，xz，yz，基本事件總數(shù)為10．來自不同試驗田的基本事件有，，，，，，基本事件數(shù)為6．所以所求概率．18．在遞增的等差數(shù)列中，，是和的等比中項．(1)求的通項公式；(2)若，數(shù)列的前n項和為，求．【答案】(1)(2)0【分析】（1）由條件結(jié)合等差數(shù)列的通項公式及等比中項的定義求解；（2）分，，，四種情況討論，進而分組求和得出.【詳解】（1）設(shè)的公差為，則，由題意得，解得（舍）或，所以．（2）由（1）得，所以當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，．所以．19．如圖，分別是圓臺上、下底的圓心，為圓O的直徑，以O(shè)B為直徑在底面內(nèi)作圓E，C為圓O的直徑AB所對弧的中點，連接BC交圓E于點為圓臺的母線，．(1)證明：//平面；(2)若，求C到平面的距離．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）圓臺上下底面平行，利用面面平行的性質(zhì)定理先說明四邊形為平行四邊形，然后根據(jù)線面平行的判定來證明；（2）由等體積法：進行求解即可.【詳解】（1）因為平面//平面，平面平面，平面平面，所以//，即//．又C為圓O的直徑所對弧的中點，所以．又，所以，所以．因為D為圓E上的點，所以，又，所以D為的中點，即，所以，故四邊形為平行四邊形，所以//．又平面平面，所以//平面（2）過作，垂足為F，則F為的中點，且．因為，所以，，所以．又，所以，所以，所以．設(shè)C到平面的距離為h，因為，所以．所以．20．已知函數(shù)．(1)當(dāng)時，求在上的最值；(2)設(shè)，證明：當(dāng)時，僅有2個零點．【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）當(dāng)時，，所以，判斷函數(shù)單調(diào)性求出最值即可．（2）先求出，再根據(jù)單調(diào)性求出最小值，特殊函數(shù)值結(jié)合零點存在定理判斷證明即得.【詳解】（1）當(dāng)時，，所以．當(dāng)時，,在上單調(diào)遞減，;當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增．因為，所以．（2）因為，所以．因為，當(dāng)時，,在上單調(diào)遞減，當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增．因為，所以在上有唯一零點，所以在上有唯一零點；當(dāng)時，，所以在上有唯一零點，所以當(dāng)時，僅有兩個零點，符合題意；當(dāng)時，，所以當(dāng)時，在上有唯一零點，所以，當(dāng)時，在上僅有兩個零點．所以當(dāng)時，僅有兩個零點．21．已知點，，的周長等于，點滿足.（1）求點的軌跡的方程；（2）是否存在過原點的直線與曲線交于，兩點，與圓交于，兩點（其中點在線段上），且，若存在，求出直線的方程；若不存在，請說明理由.【答案】（1）；（2）存在，方程為和.【分析】（1）的周長等于，可得，從而得點的軌跡是以，為焦點的橢圓，可求出點的軌跡方程，再結(jié)合可求得點的軌跡的方程；（2）當(dāng)直線與軸垂直時，可得符合條件，則直線的方程為：，當(dāng)直線存在斜率時，設(shè)直線的方程為，，，將直線方程與橢圓方程聯(lián)立方程組消去，利用根與系數(shù)的關(guān)系結(jié)合弦長公式可求得的長，再求出圓心到直線的距離，從而可求出的長，由，列方程可求出的值，進而可得答案【詳解】解：（1）設(shè)，，由得，，.已知點，，的周長等于，，則點的軌跡是以，為焦點的橢圓.，，所以，，.故點的軌跡方程為（）.將，代入（）并化簡得到點的軌跡的方程：（）.（2）當(dāng)直線與軸垂直時，求得，，，，符合要求.此時直線的方程為：.當(dāng)直線存在斜率時，設(shè)直線的方程為，，.由消去整理得，由韋達定理得，，則.圓心到直線的距離，則..，整理得，，即.此時直線的方程為.綜上，符合條件的直線存在三條，其方程為和.22．在平面直角坐標(biāo)系中，曲線C的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以O(shè)為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線l的極坐標(biāo)方程為．(1)求曲線C的普通方程和l的直角坐標(biāo)方程；(2)若l與x軸相交于M點，與曲線C相交于P，Q兩點，求．【答案】(1)C：；l：(2)6【分析】（1）根據(jù)已知條件，消去參數(shù)α,即可求解曲線C的普通方程，再結(jié)合極坐標(biāo)公式，即可求解；(2)先求出直線l的參數(shù)方程，再與曲線C的普通方程聯(lián)立，再結(jié)合參數(shù)方程的幾何意義，即可求解.【詳解】（1）∵曲線C的參數(shù)方程為（為參數(shù)），∴，∵，∴，∴故C的普通方程為.∵直線l的極坐標(biāo)方程為，又∵，∴直線l的直角坐標(biāo)方程為.（2）令y=0，則x=3，即M的坐標(biāo)為，∵直線l的斜率為1，所以直線l的傾斜角為，∴可設(shè)l直線的