山東省青島第十九中學(xué)2022-2023學(xué)年高二下學(xué)期4月月考數(shù)學(xué)試題含解析

青島十九中2022～2023學(xué)年度第二學(xué)期4月份階段性診斷高二數(shù)學(xué)試題說明：1．本試卷分第I卷和第II卷.滿分150分.答題時(shí)間120分鐘.2．請(qǐng)將第I卷題目的答案選出后用2B鉛筆涂在答題紙對(duì)應(yīng)題目的代號(hào)上；第II卷用黑色簽字筆將正確答案寫在答題紙對(duì)應(yīng)的答題區(qū)域，答在試卷上作廢.第I卷（選擇題，共60分）一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.若，則正整數(shù)（）A.4 B.5 C.6 D.7【答案】C【解析】【分析】根據(jù)排列數(shù)和組合數(shù)計(jì)算出即可.【詳解】，，解得（舍去）,或.故選：C.2.已知在等差數(shù)列中，，則（）A.30 B.39 C.42 D.78【答案】B【解析】【分析】由已知條件求得等差數(shù)列的首項(xiàng)和公差，即可求得答案.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為，則，解得，故，故選：B3.已知函數(shù)y=f（x）的圖象是下列四個(gè)圖象之一，且其導(dǎo)函數(shù)y=f′（x）的圖象如圖所示，則該函數(shù)的圖象是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【詳解】由y＝f′(x)的圖象知，y＝f(x)的圖象為增函數(shù)，且在區(qū)間(－1,0)上增長(zhǎng)速度越來越快，而在區(qū)間(0,1)上增長(zhǎng)速度越來越慢．故選B.4.已知函數(shù)在處有極大值，則的值（）．A.6 B.6或2 C.3 D.4【答案】A【解析】【分析】根據(jù)在處有極大值，得出，解出的值，代入檢驗(yàn)，即可得出答案．【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)，所以，因?yàn)樵谔幱袠O大值，所以，即，解得或，當(dāng)時(shí)，，令，解得或當(dāng)時(shí)，，即在單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，即在單調(diào)遞增，所以時(shí)取得極小值，不合題意，舍去；當(dāng)時(shí)，，令，解得或當(dāng)時(shí)，，即在單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，即在單調(diào)遞減，所以時(shí)取得極大值，所以的值為6，故選：A．5.已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，滿足，則（）A.4043 B.4042 C.4045 D.4044【答案】C【解析】【分析】由得出數(shù)列為公差為1的等差數(shù)列，得出的通項(xiàng)公式，進(jìn)而得出，根據(jù)得出答案．【詳解】因?yàn)?，所以，，所以?shù)列為公差為1的等差數(shù)列，所以，所以，所以，故選：C．6.在等比數(shù)列中，已知對(duì)有，那么（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用“時(shí)，；當(dāng)時(shí)，”即可得到，進(jìn)而得到數(shù)列是等比數(shù)列，求出公比和首項(xiàng)，再利用等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式即可得出．【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，，當(dāng)時(shí)，，．，當(dāng)時(shí)，，，解得，．也符合，數(shù)列是等比數(shù)列，首項(xiàng)為1，公比為4．．故選：D7.學(xué)校要安排2名班主任，3名科任老師共五人在本校以及另外兩所學(xué)校去監(jiān)考，要求在本校監(jiān)考的老師必須是班主任，且每個(gè)學(xué)校都有人去，則有（）種不同的分配方案．A.18 B.20 C.28 D.34【答案】D【解析】【分析】首先分類，即本校監(jiān)考分為1人和2人，在分類的基礎(chǔ)上分配或分組.【詳解】根據(jù)本校監(jiān)考人數(shù)分為：本校1人監(jiān)考，另外4人分配給兩所學(xué)校，有2，2和3，1兩種分配方案，所以總數(shù)為：；本校2人監(jiān)考，另外3人分配給兩所學(xué)校，有2，1一種分配方案，所以總數(shù)為：，根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理，所有分配方案總數(shù)為28+6=34；故選：D.8.已知是定義在上的函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為，且，且，則不等式的解集為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】令，再結(jié)合，和已知條件將問題轉(zhuǎn)化為，最后結(jié)合單調(diào)性求解即可.【詳解】解：令，則，因?yàn)?，所以，即函?shù)為上的增函數(shù)，因?yàn)?，不等式可化為，所以，故不等式的解集為．故選：B二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得2分．9.記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，則（）A. B.C.，，成等差數(shù)列 D.，，成等差數(shù)列【答案】BCD【解析】【分析】利用等差數(shù)列求和公式分別判斷.【詳解】由已知得，A選項(xiàng)，，，，所以，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，，B選項(xiàng)正確；C選項(xiàng)，，，，，，則，C選項(xiàng)正確；D選項(xiàng)，，，，則，D選項(xiàng)正確；故選：BCD.10.為了貫徹常態(tài)化疫情防控工作，動(dòng)員廣大醫(yī)護(hù)人員抓細(xì)抓實(shí)各項(xiàng)防疫工作，人民醫(yī)院組織護(hù)理、感染、兒科、疾控、藥劑、呼吸六位專家進(jìn)行“防疫有我，健康同行”知識(shí)講座，每天一人，連續(xù)6天.則下列結(jié)論正確是（）A.從六位專家中選兩位的不同選法共有20種B.“呼吸類專家”不排在最后一天的不同排法共有600種C.“護(hù)理、感染類專家”排在相鄰兩天的不同排法共有240種D.“護(hù)理、感染、兒科類專家”排在都不相鄰三天的不同排法共有72種【答案】BC【解析】【分析】由組合知識(shí)判斷A；從前5天中任選一天排“呼吸類專家”，再排其他專家，從而判斷B；由捆綁法判斷C；由插空法判斷D.【詳解】對(duì)于A：從六位專家中選兩位的不同選法共有種，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：從前5天中任選一天排“呼吸類專家”，再排其他專家共有種，故B正確；對(duì)于C：將“護(hù)理”，“感染類專家”視為一個(gè)元素，不同的排法共有種，故B正確；對(duì)于D：先排疾控、藥劑、呼吸，再用插空法排護(hù)理、感染、兒科類專家，共有種，故D錯(cuò)誤；故選：BC11.數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，，則有（）A.Sn＝3n－1 B.{Sn}為等比數(shù)列C.an＝2·3n－1 D.【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)求得，進(jìn)而求得以及判斷出是等比數(shù)列.【詳解】依題意，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，，所以，所以，所以.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，符合上式，所以.，所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列.所以ABD選項(xiàng)正確，C選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：ABD12.下列判斷正確的有（）A.當(dāng)時(shí)，方程存在唯一實(shí)數(shù)解B.當(dāng)時(shí)，C.D.極值點(diǎn)是，則【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)可確定ABC選項(xiàng)，D選項(xiàng)中是極值點(diǎn)可得值，利用和角公式可得答案.【詳解】當(dāng)時(shí)，由三角函數(shù)線可知，所以A選項(xiàng)錯(cuò)誤.當(dāng)時(shí)，，所以，即，所以B選項(xiàng)正確.當(dāng)時(shí)，，所以，即，所以C選項(xiàng)正確.由，知，是極值點(diǎn)，所以，即得，，所以D選項(xiàng)正確.故選:BCD.第II卷（綜合題/非選擇題，共90分）三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.函數(shù)的圖象在處的切線方程為，則______.【答案】【解析】【分析】利用導(dǎo)數(shù)和斜率的關(guān)系列方程，由此求得的值.【詳解】依題意，由于函數(shù)的圖象在處的切線方程為，直線的斜率為，所以.故答案為：【點(diǎn)睛】本小題主要考查根據(jù)切線方程求參數(shù)，屬于基礎(chǔ)題.14.在等比數(shù)列中，，，則______.【答案】【解析】【分析】利用等比數(shù)列的性質(zhì)求出，繼而算出，即可得到答案【詳解】因?yàn)閿?shù)列是等比數(shù)列，設(shè)其公比為，所以又，所以，所以，，所以故答案為：15.已知數(shù)列的首項(xiàng)，其前項(xiàng)和為，若，則__________．【答案】96【解析】【分析】由題意易得，兩式相減可得數(shù)列從第二項(xiàng)開始成等比數(shù)列，進(jìn)而可得結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，所以，兩式相減得，又因?yàn)椋?，得，所以?shù)列從第二項(xiàng)開始成等比數(shù)列，因此其通項(xiàng)公式為，所以，故答案：96.16.已知函數(shù)，若存在實(shí)數(shù)，滿足，則的最大值是______．【答案】【解析】【分析】作出的函數(shù)圖象，得出，，將化簡(jiǎn)為，構(gòu)造函數(shù)，，由得出單調(diào)遞增，求出的最大值，即可求得答案．【詳解】解：作出的函數(shù)圖象如圖所示：∵存在實(shí)數(shù)，滿足，，，由圖可知，，，設(shè)，其中，，顯然在單調(diào)遞增，，，，在單調(diào)遞增，在的最大值為，的最大值為，故答案為：．四、解答題：本題共6小題，共70分．17.現(xiàn)有一些小球和盒子，完成下面的問題．（1）4個(gè)不同的小球放入編號(hào)為1，2，3，4的4個(gè)盒子中（允許有空盒子），一共有多少種不同的放法？（2）4個(gè)不同的小球放入編號(hào)為1，2，3，4的4個(gè)盒子中，恰有1個(gè)空盒的放法共有多少種？【答案】（1）256；（2）144.【解析】【分析】（1）根據(jù)題意分析將4個(gè)不同的小球放入編號(hào)為1，2，3，4的4個(gè)盒子中，每個(gè)小球有4種放法，由分步計(jì)數(shù)原理計(jì)算即可得出答案；（2）根據(jù)題意，分兩步進(jìn)行，①將4個(gè)小球分為3組，②在4個(gè)盒子中任選3個(gè)，放入三組小球，根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理計(jì)算即可得出答案；【小問1詳解】4個(gè)不同的小球放入編號(hào)為1，2，3，4的4個(gè)盒子中，每個(gè)小球有4種放法，則4個(gè)小球有種不同的放法；【小問2詳解】①將4個(gè)小球分為3組，有種分組方法，②在4個(gè)盒子中任選3個(gè)，放入三組小球，有種情況，則種不同的放法．18.已知是公差為3的等差數(shù)列，數(shù)列滿足，，．（1）求的通項(xiàng)公式；（2）記的前n項(xiàng)和為，已知對(duì)任意恒成立，求的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由題意可求出，根據(jù)等差數(shù)列通項(xiàng)公式求即可．（2）將代入化簡(jiǎn)可得是以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列，計(jì)算，求出的最小值，即可得出答案．【小問1詳解】由題意令中n＝1，即，因?yàn)椋獾?，又是公差?的等差數(shù)列，故．【小問2詳解】由（1）得，即，故是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，即．所以的前n項(xiàng)和為．因?yàn)閱握{(diào)遞增，所以，因?yàn)閷?duì)任意恒成立，所以，所以．19.在數(shù)列中，.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）證明：.【答案】（1）（2）證明見解析【解析】【分析】（1）令可求得的值，令，由可得，兩式作差可得出的表達(dá)式，再驗(yàn)證的值是否滿足的表達(dá)式，綜合可得出數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）計(jì)算得出，利用裂項(xiàng)相消法求出數(shù)列的前項(xiàng)和，即可證得結(jié)論成立.【小問1詳解】解：因?yàn)椋賱t當(dāng)時(shí)，，即，當(dāng)時(shí)，，②①②得，所以，也滿足，故對(duì)任意的，.【小問2詳解】證明：，所以．，，即結(jié)論成立.20.已知.（1）求函數(shù)的最小值；（2）若存在，使成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（3）證明：對(duì)一切，都有成立．【答案】（1）最小值為（2）（3）證明見解析【解析】【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)來求得的最小值.（2）由分離常數(shù)，利用構(gòu)造函數(shù)法，結(jié)合導(dǎo)數(shù)求得的取值范圍.（3）求得的最大值，從而證得不等式成立.【小問1詳解】的定義域是，，所以在區(qū)間遞減；在區(qū)間遞增.所以當(dāng)時(shí)，取得最小值.【小問2詳解】存在，使成立，即能成立，即能成立，設(shè)，，所以在區(qū)間遞減；在區(qū)間遞增，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值，所以.【小問3詳解】設(shè)，，所以在區(qū)間遞增；在區(qū)間遞減，所以當(dāng)時(shí)，取得最大值.由（1）得，當(dāng)時(shí)，取得最小值，所以對(duì)一切，都有成立.21.已知數(shù)列，，其中為等差數(shù)列且，，（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若表示數(shù)列在區(qū)間內(nèi)的項(xiàng)數(shù)，求數(shù)列的前項(xiàng)的和；（3）記，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）利用等差數(shù)列基本量運(yùn)算和等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，即可求出.（2）利用數(shù)列與的各項(xiàng)的關(guān)系，推出數(shù)列的通項(xiàng)公式，根據(jù)數(shù)列分組求和的方法，求出數(shù)列的前m項(xiàng)的和.（3）根據(jù)數(shù)列的特點(diǎn)，利用裂項(xiàng)相消法求得數(shù)列的前項(xiàng)和.【小問1詳解】因?yàn)闉榈炔顢?shù)列，設(shè)數(shù)列的公差為，由題意，即，得，所以，即，所以.【小問2詳解】由（1）得，所以對(duì)應(yīng)區(qū)間為，則；對(duì)應(yīng)的區(qū)間為，則；對(duì)應(yīng)區(qū)間為，則；……；對(duì)應(yīng)的區(qū)間為，則，所以.【小問3詳解】由（1）得，，所以=所以數(shù)列的前項(xiàng)和，所以.22.已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）證明：當(dāng)時(shí)，.【答案】（1）函數(shù)在上單調(diào)遞增（2）證明見解析【解析】【分析】（1）求導(dǎo)，再根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)即可得出答案；（2）當(dāng)時(shí)，，即證在上恒成立，利用